2024 vs. 2025: Welches Integral ist größer? 🤔📝
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- Опубликовано: 8 фев 2025
- Das neue Jahr steht kurz bevor und deshalb gibt es in diesem Video eine passende Mathe Aufgabe dazu. Wir haben zwei fast identische Integrale: Das 1. Integral beinhaltet die 2024 und das 2. Integral die 2025. Wir wollen beide Integrale berechnen und vergleichen.
Welches Integral ist größer? 🤔📝
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Sehr gut ! Danke fürs Zeigen.😊
Ich hab mir das geometrisch überlegt. Man kann bei beiden Integralen Variablenersetzung durchführen: y=x+2024 bzw. y=x+2025 und jeweils dy=dx, analog mit den Grenzen. Dann kann man sich überlegen, dass das eine Interval breiter ist als das andere. Ein schönes Jahr 2025!
Zu erst einmal aus der Hüfte ...ja geht ohne Integral ... die substitution x-1 = u und du=dx
Ergibt zwei identische Integranten ... nur geht das eine integral von 0 bis 2024 und das andere 1 bis 2024 somit ergibt sich, da die Kurve zwischen 0 und 1 ohne Nullstelle ist, dass das integral von 1 bis 2024 kleiner ist als das Integral von 0 bis 2024.
Da das Integral aber bei x= 2024 eine Unendlichkeit besitzt muss man wohl tiefer graben für eine exakte Antwort.
Hm, die Unendlichkeit muss aber bei x=-2024 sein, denn sonst liesse sich das Integral wohl auch sonst nicht berechnen.
Als rein geometrische Überlegung ist das linke Integral der Flächeninhalt unter der Kurve 1/y in den Grenzen von 2025 bis 4048, das rechte Integral der Flächeninhalt unter der Kurve 1/y in den Grenzen von 2026 bis 4050, d.h. der Flächeninhalt unter der Kurve zwischen 2026 und 4048 ist gleich. Es bleiben also die zwei Flächen 2025 bis 2026 vs. 4048 bis 4050. Als unregelmäßige Vierecke angenähert ist der Flächeninhalt links dann (1/2025+1/2026)/2=(1/4050+1/4052) und rechts (1/4048+1/4050).
Ich hatte beim ersten Kommentar diese Erklärung nicht mehr hinbekommen, es war schon spät ;-)
Ich hatte of cause das gleiche Resultat raus, hab es aber mit der 3. bin. Formel gemacht und im Zähler vorher eine 2 Ausgeklammert. Schöne Weihnachten! 🎄
Frohe Weihnachten
Danke! Dir auch frohe Weihnachtstage! 🎅🎄
Danke. Bei der Gelegenheit hättest du noch die allgemeine Integralregel erwähnen können für f=(ax+b)^-1.
Dann ist F=1/a*ln(ax+b).
Weitermachen! Dauert sicher sich zu etablieren, aber gute erklärer für Mathe brauchen wir! Überleg trotzdem es vielleicht ähnlich wie Mathematricks mit nem digitalen Pen zu machen, damit du die Möglichkeit hast entsprechend schneiden zu können und nicht bei nem Schreibfehler alles nochmal aufnehmen zu müssen. Daumen hoch!
Danke für dein Feedback! Ich bin aktuell auch am Überlegen wie ich die Videos weiter verbessern kann 🙂
Ich weiß leider nicht, ob Substitution bei Integralen zum Schulstoff in Gymnasien gehört. Aber falls ja, kann man diese Aufgabe damit auch lösen, ohne die Stammfunktion zu bilden:
Im linken Term substituiert man u=x+2024, im rechten u=x+2025.
Man erhält zwei Integrale mit den Grenzen u=2025 bis 4048 bzw. 2026 bis 4050, jeweils über die Funktion f(u)=1/u.
Schließlich kann man die Regel anwenden, dass das Integral von u=A bis B plus dem Integral von u=B bis C (über dieselbe Funktion) gleich dem Integral von u=A bis C ist.
Im Folgenden verwende ich die folgenden Abkürzungen:
D = Integral von u=2025 bis 2026
E = Integral von u=2026 bis 4048
F = Integral von u=4048 bis 4050 (jeweils über die Funktion f(u)=1/u)
Linke Seite: D+E
Rechte Seite: E+F
Da f(u)=1/u im Bereich u=2025 bis 2026 (mit Ausnahme der Stelle u=2025) kleiner als 1/2025 ist, ist D kleiner als das Integral von u=2025 bis 2026 über f(u)=1/2025.
Also: D < 1/2025.
Und da 1/u im Bereich u=4048 bis 4050 größer als 1/4050 ist, ist F > 2/4050 = 1/2025 > D.
Aus F > D folgt E+F > D+E, also ist die rechte Seite größer.
Ps.:
Wenn es kein Schulstoff ist, könnte man die Substitution an einem Funktionsgrafen veranschaulichen, und dort auch die Rechtecke mit dem Flächeninhalt 1/2025 und 2/4050 einzeichnen...
Mein TaRe spukte gleich, um 2,44*10^(-7) größer aus.
Mit Taschenrechner geht es natürlich schneller 😁
@@entwurzler Mein TR kann auch integrale. Da muss ich nicht mal aufleiten. 🖥
@@ulgramvonchaos5328 Mein Uralt HP48 macht das mit links.
Leider beim Gleichnahmig machen ein Schreibfehler... 2050 anstatt 2025 im Nenner
Hab ich beim Schneiden auch gemerkt, darum noch die nachträgliche Korrektur im Video 🙂
Lösung:
2024
∫1/(x+2024)*dx =
1
-------------------
Substitution: u = x+2024 dx = du
untere Grenze = 1+2024 = 2025 obere Grenze = 2024+2024 = 4048
-------------------
4048 4048
= ∫1/u*du = [ln|u|] = ln(4048)-ln(2025) = ln(4048/2025) = ln(1.9990123456790123)
2025 2025
2025
∫1/(x+2025)*dx =
1
-------------------
Substitution: u = x+2025 dx = du
untere Grenze = 1+2025 = 2026 obere Grenze = 2025+2025 = 4050
-------------------
4050 4050
= ∫1/u*du = [ln|u|] = ln(4050)-ln(2026) = ln(4050/2026) = ln(1.9990128331688055)
2026 2026
1.9990123456790123 < 1.9990128331688055
Da der natürliche Logarithmus monoton steigend ist, gilt der Größenunterschied nicht nur für das Argument, sondern auch für den Logarithmus. Das 1. Integral ist also etwas kleiner als das 2. Integral. Ich habe den Taschenrechner im Internet benutzt (web2.0rechner.de).
Ich wußte nicht, dass man das ohne Taschenrechner machen sollte. Aber du hast es gut gemacht bis auf den kleinen Fehler beim Gleichnamigmachen, den du ja bemerkt hast und der letztendlich keine Rolle gespielt hat.