Wie kommt man auf die Ableitung des Logarithmus? 🤔📝
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- Опубликовано: 8 фев 2025
- Die Ableitung des Logarithmus ist auf den ersten Blick etwas verwunderlich. Mit den bekannten Ableitungsregeln kann man sich nicht herleiten warum die Ableitung vom Logarithmus 1/x ist. In diesem Video werden wir die Ableitung mithilfe des Differentialquotienten machen und so herleiten wie man auf die Ableitung des Logarithmus kommt. Am Ende zeige ich euch noch einen alternativen (deutlich kürzeren) Beweis, der ohne den Differentialquotient funktioniert.
Wie kommt man auf die Ableitung des Logarithmus? 🤔📝
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Hervorragend dargestellt und erklärt!!!! Ich bin begeistert.
In der Ingenieurschule hatten wir gar keine Zeit, die Ableitungsregeln wirklich alle mit dem Diffentialquotient herzuleiten. Das machten wir, soweit ich mich erinnern kann (ist 33 Jahre her), nur für die Exponentialfunktion und die Polynomfunktionen. Den ln'(x) = 1/x mussten wir einfach glauben und auswendig lernen. Vielen Dank für die Herleitung!
Ja genau so ist mir das vor vielen Jahren auch ergangen. Manchmal muss man eben optimieren durch weglassen😊
Ansonsten nachvollziehbar dargestellt.
Wir haben das in der 12. Klasse durchgenommen. Wir gingen aber umgekehrt vor, mit dem Integral dx/x. Das ermittelten wir mit einer Treppenfunktion mit unterschiedlich breiten Treppen. Ich könnte es nicht mehr.
Den zweiten Weg finde ich genial. Investigativer Pharmaingenieur und Hobby - Schmuckdesigner dankt. 🙏
Den ersten Weg habe ich noch nie gesehen. Man konnte es alles super nachvollziehen. Es ist ein klassischen Fall von „Man muss vorher schon wissen, wo man hin will“.
Genau, der zweite Weg ist der angenehme ohne viel Arbeit 😊
Sehe ich auch so 😊
Ja. Es ist relativ klar weil das dir aufgemotzte Variante des Beweises ist die 2 Schritte in einen kombiniert.
Man kommt auch natürlich auf einen Beweis- also wenn man wie üblich h und x trennt.
Eigentlich ist der erste weg eher methodisch. Für den zweiten Weg muss man kreativ sein
@@kruemmelmonater5282 definitiv nicht wenn ln als inverses von exp definitiniert ist , ist es methodisch die rechenregel für die Verträglichkeit von inversion und differenzieren anzuwenden. Was der zweite Weg macht mit Herleitung der Regel.
Der erste Weg ist sehr unmethodisch im Sinne das der methodische Weg die Trennung der Variablen ist. Der gezeigte Weg macht erst Sinn wenn man die 2 Stufen des Beweis kennt und ihn dann zu einen zusammenfasst
Sehr schön und ausführlich erklärt. weiter so !
Danke!
Tolle Erklärung!
Vielen Dank!
Danke, sehr schön erklärt.
Hey danke. Muss für statistik klausur nächste woche den mle schätzer üben und da kommen auch oft Logarithmus Ableitungen vor. Deswegen hilft das wieder enorm👍🏼
Ich finde den Kanal super
Hohe Qualität an Videos von dir, klasse mag ich
👌
✔️
Ich verwende dazu die Umkerregel. Damit geht es besonders einfach und schnell.
Ui, da waren einige Ungenauigkeiten dabei. Zumindest hätte erwähnt werden müssen, dass der Grenzwert in die stetige Funktion ln hineingezogen werden durfte, weil ln stetig ist.
Der Beweis hat eine Lücke : Aus h gegen null folgt lediglich das Betrag von u gegen unendlich.
Was mir nicht klar ist, ist folgendes:
Im 5. Schritt in der 2. Spalte setzt man 1/x nach Vorne! Aber das ln steht nicht vor der inneren Klammer, sondern vor der äußeren?
Wie kommt man auf den Doppelbruch rechnerisch? Und weshalb ist der Limes gegen 0 gegen unendlich "gewechselt"?
Der Doppelbruch ist sozusagen 1 geteilt durch der Kehrwert. Das ist dann wieder der selbe wert, zb
a/b = 1 / (b/a)
Und der limes wurde gewechselt weil wir uns angeschaut hatten was mit u passiert wenn wir h-> 0 laufen lassen.
Unser es war ja u:= x/h und wenn h ->0, dann wird der Nenner immer kleiner also gleichzeitig der gesamte Bruch immer größer, deshalb ist u=x/h -> ∞
Das Video ist in Ordnung. Leider geht die Mathematische Essenz verloren die den Beweis klar und elegant machen.
Es ist nicht die Schuld des Ersteller sondern eher das zwei bis drei Konzepte in der Schulmathematik untergehen.
1. Universaltät der Expotentialfunktion
2. Definierende Gleichung des Logarithms
(3. Aufgemotzter Beweis vs "Beweisentwurf" )
Diese beiden ( drei) Konzepte machen das Verstehen des Beweise einfach und die Schritte einfach nachvollziehbar.
die zweite Methode ist sehr anschaulich.
Es geht noch einfacher:
1. x als Funktion von y umformen: x = e^y.
2. Ableiten: dx/dy = e^y.
3. Kehrwert nehmen: dy/dx = 1/(e^y).
4. e^y erstzen: dy/dx = 1/x
Fertig ist die Laube.
@@horsthorstmann7921 das ist einfach weg 2 ohne Beweise . Methodex2 zeigt das d/dy x = 1/ d/dx y ( Gleichung 1) Du nimmst es in Schritt 3 als gegeben an.
Es ist ein Zirkelschluss. Gleichung 1
rechtfertigt die Notation
d/dy x = dx/dy . Umgekehrt kannst du aus deiner Notation keine Realität herleiten.
Das ist einfach Methode 2 ohne Beweis . Du nimmst d/dy x = (d/dx y )^-1 als gegebenan . Der Beweis rechtfertigt die Notation für diese ausdrücke als dx/dy . Was du machst ist ein Zirkelschluss. Du benutzt Notation um Realität abzuleiten
Den Beweis Integral 1/x = ln x durfte ich im GK-Mathe halten um nicht allzu gelangweilt dazusitzen 😀
Beim vorletzten Schritt solltest du erwähnen wieso du Funktion und Grenzwert tauschen kannst.
Es wäre richtig klasse gewesen, wenn unser Mathelehrer in der Schule uns die Schreibweise f'(x) = df/dx beigebracht hätte. Zwar so einfach, aber als ich an der Uni für mein Chemiestudium ankam, konnte ich mit df/dx, d^2 f/dx^2 oder d^2 f/dxdy und ∂f/∂x nichts anfangen. 😂
@@knutritter461 es hat schon einem grund. Das umgekehrte macht auch Probleme . Benutzt man die Notation bleibt es meist ein Mysterium warum dy/dx kein Bruch ist. Für mich hat es auch länger gebraucht " abuse of Notation " vollständig zu konzeptionalisieren.
Ums klar zu machen die Notation benutzt 2 Multiplikation die mit der üblichen nichts zu tun haben
d*f/dx . Das * ist die Anwendung einer Funktion, das / ist Notation. Wobei der Spaß ja nicht aufhört - uns mit derFrage weitergeht was dieses x ist- wo wir bei slotsbleitungen sind die du eigentlich auch brauchen würdest wie man an deine Beispiele sieht f'(x) ist ja streng genommen nicht df/dx sondern df/dx (x) mit den 2 x die unterschiedliche Bedeutung haben . Die Lösung ist d1f(x) oder df/dt | t=x . Was schließt in der Differentialgeometrie zu df(x)(v) ist .
@@peteradler6005 Moment... df/dx mit f(x)=y ist der Differentialquotient, also doch so etwas wie ein Bruch, oder? 🤔
Und ja, in den NaWis haben wir jede Menge "abgelitten"! 😂
@@peteradler6005 Scheibenkleister... ich habe gerade nochmal bei blackpenredpen nachgeguckt. Du hast recht! 😅
Es ist kein Bruch, es kann aber mathematisch wie ein Bruch behandelt werden. 😂
mit f(x) = y
df/dx = f'(x) | •dx
df = f'(x) dx
@knutritter461 erst mal ist df/dx= f'
Zweitens was heißt " als Bruch behandelt?
Und die nächste Frage was ist dx?
Schreiben wir das mal vernünftig
df= df/dx*dx
Ich sehe nicht was der Punkt ist.
10:38 (1 + 1/u)^u ist NICHT die Definition von e, sondern nur in Verbindung mit dem lim_ {u->inf}...
Mal abgesehen davon, daß man vorsichtig sein muß, wann man was in den limes rein- oder rausziehen kann!
Ich hätte übrigens nur den "kleinen Trick" am Ende des Videos erwartet, der gar kein Trick ist.
Vielmehr ist der auch über das Ableitungsdreieck zu vermitteln! y = f(x) = ln(x) => x = e^y.
d/dy x(y) = d/dy e^y = e^y = x = lim_{h->0} ((x + h) - x) / h = lim_{h->0} h / h = 1 => d/dx y(x) = d/dx ln(x) = 1/x.
Für JEDE Umkehrfunktion werden die Seitenlängen des Dreiecks und die Achsen am selben Diagramm vertauscht!
Die Kurzform der Ableitung verstehe ich nicht. Dann müsste ja bei jeder beliebigen Basis die Ableitung 1/X sein, oder?
Die Ableitung von a^x ist aber nicht a^x, sondern a^x * ln(a).
Nein, das gilt wirklich nur in diesem Fall. Es wird ja verwendet, dass (e^x)'=e^x ist. Setzt du z.B. an mit 2^log2(x)=x, musst du die Ableitung von 2^x anwenden und die ist nicht identisch mit der Ausgangsfunktion, sondern (2^x)'=2^x*ln(2). Damit erhält man dann (log2(x))'=1/(x*ln(2)), was auch den Tatsachen entspricht. 🙂
kann mir jemand erklären wie man von 1:x • ln ((1+ 1:h:x)^x:h //auf// 1:x • ln((1+1:x:h)^ x:h) kommt, danke
@@mxfrk8400 zeitstempel wäre nett
Ich finde, das Koordinatensystem ist etwas zu groß gezeichnet.
Integral von f'(x) / f(x) dx = ln(|f(x)|) + C
Im Grunde finde ich solche Videos ja nicht schlecht, aber warum Faber Castell? Ist da etwa Intelligenz in der Mine? Da könnte doch auch draufstehen "Hirmimprägnat".