Seitdem du diese Uni-Videos statt der Geometrie-Rätsel machst, schaue ich mir die Videos gerne an. Es ist eine schöne Wiederholung vom Studienbeginn ❤ Damals saß man ratlos davor. Wenn ich mir die Videos so anschaue, habe ich voll die Nostalgie 😊
Es wäre noch interessant gewesen zu sehen wie sich die Taylor-Reihen von sin und cos herleiten. In dieser Erklärung werden die einfach als "gegeben" hingenommen...
Das geht im genau gleich, wie bei der e-Funktion. Bilde die Ableitungen der Funktion an der einer bestimmten Stelle, z.B. der Null. Dann erhältst du bestimmte Werte (bei der e-Funktion war das immer die 1, hier sind es natürlich andere). Leite die Polynomfunktion ab und setze hier - wie bei der e-Funktion gezeigt - die gefundenen Werte ein. Daraus ergibt sich dann die Taylor-Reihe. Das kannst du im Prinzip mit jeder beliebigen Funktion machen. Die Taylor-Reihen von sin und cos sind also nicht einfach gegeben, sondern können genau gleich hergeleitet werden.
The differentiation of e^(ix) is why ie^(ix) ?.... is this a definition or theorem?.. the method you select is only true when the exponent of e is a real variable but there is ix at there. if it is a theorem, you should prove that, or definition,, it is the same that the Euler formula is also a kind of definition.
Interessant, dass Euler so drauf gekommen ist. Euler meinte, die komplexen Zahlen seien das unanschaulichste, was man sich denken kann - sinngemäß zitiert. Gauß widersprach, nichts sei falscher als das ... In der Tat, geht man von der Gaussschen Zahlenebene aus, dann ist jede komplexe Zahl als Zeiger (Vektor) darstellbar, die goniometrische Form ist sehr anschaulich. Die e-Funktion, dass ist hier dargestellt steht aufgrund der Eigenschaften von i in enger Beziehung zu den Winkelfunktionen, was die Reihen zeigen. Mit etwas Überlegung könnten man daher auch über die goniometrische Darstellung starten. Die schönste Gleichung der Mathematik, ist dann der Spezialfall, das der Zeiger auf -1 zeigt. Aber zugleich lassen sich ähnliche Formen für jede reelle Zahl finden.
Die Eulersche Identität ist auch wichtig, um Logarithmen negativer Zahlen zu berechnen. Denn wenn e^πi = -1, dann ist ln(-1) = πi Und damit ln(-x) = ln(x) + πi.
Danke, eine wunderschöne "Ableitung"! Besonderen Dank dafür, dass du am Ende "die 1 auf die andere Seite setzst" mit umgekehrtem Vorzeichen, und nicht dieses kindische "wir addieren auf beiden Seiten … " verwendest. Das hilft, bei längeren Termen die Angelegenheit in einer Zeile zu bewältigen, statt für jeden Term eine neue Zeile verwenden zu müssen, bei der jeweils ein einziger Wert was tut? Auf die andere Seite wandern, mit umgekehrtem Vorzeichen. Wann dieses langweilige "wir addieren"-Verfahren in die Schulen Einzug gefunden hat, weiß ich nicht, wir machten es nicht so. Wir hätten in unseren Schulaufgaben gar nicht die Zeit für solche Kinderspielchen gehabt. (Bayerisches Gymnasium, 50er Jahre)
man macht das, weil es das korrekte vorgehen ist für eine äquivalenzumformung ist. im prinzip darf man alles tun, solange es auf beiden seiten geschieht. etwas von einer auf die anderere seite packen ist hingegegen eine verkürzte darstellung, die natürlich für einige umformungen zeit erspart, aber man sollte immer die lange version im hinterkopf haben, weil die abkürzung allein nicht logisch ist ...
Ich hätte eine Frage und zwar die Summe der ganzen Terme ist ja eine unendliche Reihe. Wieso darf man da die einzelnen Terme vertauschen und sie zusammenfassen zu cos und sin? Man darf ja generell die Terme in einer unendlichen Reihe nicht vertauschen oder?
Die Bemerkung ist richtig für beliebige Reihen, da darf man es nicht immer tun. Da die Reihenentwicklungen von sin(x) und cos(x) absolut konvergent sind, darf man es in diesem Fall aber tun.
Aha also wenn eine Reihe absolut konvergent ist, dann darf man die Glieder umstellen? Bzw absolut konvergent heißt quasi, dass, egal in welcher Reihenfolge die Glieder sind, die Reihe immer den selben Grenzwert hat?
Man sieht es auch im Kreis. Denn e^ix ist x der Winkel im Kreis. Bei pi sind das genau 180°, also bei -1. Dann ergänzt man noch +1 und erhält Null. So hat es unser Dozent erklärt.
Woher stammt die Information, dass Euler da so drauf gekommen ist? Hat er in irgendnem Brief an jemanden das mal geschrieben oder hat er es in einem Tagebucheintrag erwähnt oder ...? 🤔
@@entwurzler ja aber laut Videotitel sollte es ja darum gehen, WIE er drauf gekommen ist - daher meine Frage: woraus geht hervor, dass Euler wirklich SO auf diese Formel gekommen ist, wie Du es darstellst, also durch Vergleichen der Taylorreihen?
Ist euch mal aufgefallen, dass e die _eulersche_ Zahl ist? Eulersche! Wie Euler! Soll das etwa Zufall sein?! Der Euler findet also eine Zahl, die rein zufällig so heißt wie er?! Ich rufe: Schiebung! Schiebung! Schiebung! Edit: Oh mein Gott. Ich hab gerade Antonias Zahl gefunden! (10^69 + 42) * τ! Ich kann's kaum glauben!
Du könntest auf beiden Seiten der Gleichung auch noch den Goldenen Schnitt phi addieren. Dann wären sogar 6 berühmte Zahlen in einer Gleichung. Wenn du dann noch Wurzel5 unterschiebts, fällt das nicht mal auf.
Aufnahmetipp: Baue vor dein Mikrofon noch einen "Poppschutz", damit Luftstöße beim Sprechen (Buchstabe 'P', 'Z', . . ) nicht tieffrequent nerven . . . 😊 Danke im Voraus.
Das müsste man wohl am Einheitskreis bestimmen. Auf die Ableitungen der Reihenpolynome zu verweisen, was ja sehr einfach wäre, wäre selbstreferentiell.
Den Mathematikern täte es ganz gut, sich mal zu überlegen welche Dimensionen ihre Zahlen so haben. Etwas, das sie normalerweise nur zu gerne den Physikern überlassen... Pi ist hier keine dimensionslose Zahl. Es ist ein Winkelmaß, Radiant. In Exponenten sind aber nur reine Zahlen erlaubt. Alles andere ist sinnlos.
Pi könnte aber auch eine Zeit sein. Wenn 1 die Kreisfrequenz ist. (Dimension 1/s) Dadurch können dann Schwingungen (zb Wechselstrom etc.) sehr elegant modelliert werden. Also sehr sinnvoll gerade für die Physiker.
Pi ist eine reelle Zahl, sie kann ja auch Argument der Sinus-Funktion sein, die bekanntermaßen eine Funktion R -> R ist. Als solche kann sie natürlich auch ein Exponent sein.
Bei 10:00 hätte ich das i erst ausgeklammert und dann gesagt "guck mal, da ist Sinus". Und ich persönlich finde e^i*pi = -1 schöner als die 1 nach links zu holen, da es kürzer ist. Für mich ist das so eine "echte" Gleichung. Wenn =0 da steht, ist es eher eine Nullstelle. (Ja, es zählt auch als Gleichung, ist aber länger und kein Vergleich von 2 Termen, sondern auf beiden Seiten steht "nichts".
Da wäre ich nie draufgekommen. Euler hatte eben mehr Grütze unter der Mütze.
Mach Dir nichts draus. Auch ich habe anscheinend nur Gelee unterm Toupet…
Seitdem du diese Uni-Videos statt der Geometrie-Rätsel machst, schaue ich mir die Videos gerne an.
Es ist eine schöne Wiederholung vom Studienbeginn ❤
Damals saß man ratlos davor.
Wenn ich mir die Videos so anschaue, habe ich voll die Nostalgie 😊
Vielen Dank! ❤️
Vielen Dank! 😊
Endlich zeigt mal jemand, wie man auf die Reihen kommt statt dort anzufangen! Danke!
Super tolle Herleitung, danke
Toll, nach so viel Rechnerei so eine kurze Gleichung
Super erklärt!
Freut mich, danke!
Spontan-Abo für diese Erklärung.
Vielen Dank!
Ach ich dachte, wir erfahren jetzt, ob Euler die Gleichung schön fand oder nicht.
@@amigalemming Vermutlich ja. Er war ein Nerd. 😆
Ich hab so öange hierrauf gewartet. Hab dazu kaum was auf deutsch gefunden. Hoffentlich wird es Video gut😂
Es wäre noch interessant gewesen zu sehen wie sich die Taylor-Reihen von sin und cos herleiten.
In dieser Erklärung werden die einfach als "gegeben" hingenommen...
Das geht im genau gleich, wie bei der e-Funktion. Bilde die Ableitungen der Funktion an der einer bestimmten Stelle, z.B. der Null. Dann erhältst du bestimmte Werte (bei der e-Funktion war das immer die 1, hier sind es natürlich andere). Leite die Polynomfunktion ab und setze hier - wie bei der e-Funktion gezeigt - die gefundenen Werte ein. Daraus ergibt sich dann die Taylor-Reihe. Das kannst du im Prinzip mit jeder beliebigen Funktion machen.
Die Taylor-Reihen von sin und cos sind also nicht einfach gegeben, sondern können genau gleich hergeleitet werden.
Wunderschön!
Jetzt weiß ich’s endlich… Danke.
Man lernt nie aus - danke für's erklären. :)
sehr schön erklärt
Danke!
Super das Lob ich mir dazu ist Youtub da. Uns etwas Hirn einpflanzen ;-)
The differentiation of e^(ix) is why ie^(ix) ?.... is this a definition or theorem?.. the method you select is only true when the exponent of e is a real variable but there is ix at there. if it is a theorem, you should prove that, or definition,, it is the same that the Euler formula is also a kind of definition.
Chain rule (Kettenregel): The differentiation of f(g(x)) is f'(g(x)) * g'(x)
wie cool 🤩
Interessant, dass Euler so drauf gekommen ist. Euler meinte, die komplexen Zahlen seien das unanschaulichste, was man sich denken kann - sinngemäß zitiert. Gauß widersprach, nichts sei falscher als das ... In der Tat, geht man von der Gaussschen Zahlenebene aus, dann ist jede komplexe Zahl als Zeiger (Vektor) darstellbar, die goniometrische Form ist sehr anschaulich. Die e-Funktion, dass ist hier dargestellt steht aufgrund der Eigenschaften von i in enger Beziehung zu den Winkelfunktionen, was die Reihen zeigen. Mit etwas Überlegung könnten man daher auch über die goniometrische Darstellung starten. Die schönste Gleichung der Mathematik, ist dann der Spezialfall, das der Zeiger auf -1 zeigt. Aber zugleich lassen sich ähnliche Formen für jede reelle Zahl finden.
Funktioniert das auch, wenn der Entwicklungspunkt der Taylorreihe ein anderer als (0/1) ist?
Die Eulersche Identität ist auch wichtig, um Logarithmen negativer Zahlen zu berechnen.
Denn wenn e^πi = -1, dann ist ln(-1) = πi
Und damit ln(-x) = ln(x) + πi.
joa beachte dass die komplexe exponentialfunktion nicht injektiv ist. also gibt es unendlich viele logarithmen.
Bedeutet das, dass Euler von Taylor die Reihenentwicklung gelernt hat?
Wird schon so gewesen sein
Taylor lebte von 1685 bis 1735 und Euler von 1707 bis 1783, also ja hat er bestimmt in Mathematikveröffentlichungen = Buch gelesen!
@@saiteklilo50 Hmm...
Macht Sinn. Bin neugierig, was er da genau gelesen hat. Sind da Details bekannt?
Danke, eine wunderschöne "Ableitung"!
Besonderen Dank dafür, dass du am Ende "die 1 auf die andere Seite setzst" mit umgekehrtem Vorzeichen, und nicht dieses kindische "wir addieren auf beiden Seiten … " verwendest.
Das hilft, bei längeren Termen die Angelegenheit in einer Zeile zu bewältigen, statt für jeden Term eine neue Zeile verwenden zu müssen, bei der jeweils ein einziger Wert was tut? Auf die andere Seite wandern, mit umgekehrtem Vorzeichen. Wann dieses langweilige "wir addieren"-Verfahren in die Schulen Einzug gefunden hat, weiß ich nicht, wir machten es nicht so. Wir hätten in unseren Schulaufgaben gar nicht die Zeit für solche Kinderspielchen gehabt. (Bayerisches Gymnasium, 50er Jahre)
man macht das, weil es das korrekte vorgehen ist für eine äquivalenzumformung ist. im prinzip darf man alles tun, solange es auf beiden seiten geschieht. etwas von einer auf die anderere seite packen ist hingegegen eine verkürzte darstellung, die natürlich für einige umformungen zeit erspart, aber man sollte immer die lange version im hinterkopf haben, weil die abkürzung allein nicht logisch ist ...
das kindliche ist jedoch genau das richtige. Du verstehst denke ich nicht was eine Gleichung überhaupt ist
Oh weh, Mathe? - Ja, bitte!👍
Ich hätte eine Frage und zwar die Summe der ganzen Terme ist ja eine unendliche Reihe. Wieso darf man da die einzelnen Terme vertauschen und sie zusammenfassen zu cos und sin? Man darf ja generell die Terme in einer unendlichen Reihe nicht vertauschen oder?
Die Bemerkung ist richtig für beliebige Reihen, da darf man es nicht immer tun. Da die Reihenentwicklungen von sin(x) und cos(x) absolut konvergent sind, darf man es in diesem Fall aber tun.
danke, dieselbe frage wollte ich auch stellen
Genau, wäre die Reihe nicht absolut konvergent, könnte man nach dem Riemannschen Umordnungssatz ein beliebig anderes Ergebnis konstruieren 😊
Aha also wenn eine Reihe absolut konvergent ist, dann darf man die Glieder umstellen? Bzw absolut konvergent heißt quasi, dass, egal in welcher Reihenfolge die Glieder sind, die Reihe immer den selben Grenzwert hat?
@@stefansendroiu6379 Richtig, bei einer absolut konvergenten Reihe darf man die Summanden umstellen und erhält immer denselben Grenzwert.
Nice
🤯🤯🤯🤯🤯
Ich glaube eher daß der Euler bei dem Mathematiker Gelfand oder anderen abgeschrieben hat, denn e^pi = (-1) ^(-i)
Das ist nach 3 Glas Rotwein einfach nicht mehr mein Ding 😊😅
😂😂😂
Man sieht es auch im Kreis. Denn e^ix ist x der Winkel im Kreis. Bei pi sind das genau 180°, also bei -1. Dann ergänzt man noch +1 und erhält Null. So hat es unser Dozent erklärt.
Dafür musst du aber zuerst die Eulersche Gleichung finden um überhaupt zu erkennen, dass exp(jx) ein Kreis in der komplexen Ebene ist
@@kcldnx3485 Andere Erklärung: ruclips.net/video/-dhHrg-KbJ0/видео.html
Woher stammt die Information, dass Euler da so drauf gekommen ist? Hat er in irgendnem Brief an jemanden das mal geschrieben oder hat er es in einem Tagebucheintrag erwähnt oder ...? 🤔
In dem Werk "Introductio in analysin infinitorum", das Euler 1748 veröffentlichte, erwähnte er die Eulersche Formel
@@entwurzler ja aber laut Videotitel sollte es ja darum gehen, WIE er drauf gekommen ist - daher meine Frage: woraus geht hervor, dass Euler wirklich SO auf diese Formel gekommen ist, wie Du es darstellst, also durch Vergleichen der Taylorreihen?
Er hat Tausende an Theoremen gefunden. Der hat die schneller produziert, als er hätte Tagebuch schreiben können ;)
Euler kenn ich nur durch RSA.
Genauer durch die Eulersche Phi funktion.
-1 +1=0
e^iπ = i^2 gefällt mir besser 😂
Ist euch mal aufgefallen, dass e die _eulersche_ Zahl ist? Eulersche! Wie Euler! Soll das etwa Zufall sein?! Der Euler findet also eine Zahl, die rein zufällig so heißt wie er?! Ich rufe: Schiebung! Schiebung! Schiebung!
Edit: Oh mein Gott. Ich hab gerade Antonias Zahl gefunden! (10^69 + 42) * τ! Ich kann's kaum glauben!
Ich finde Euler's Zahl nützlicher. Aber deswegen war ja auch ER der Euler und nicht wir.
Du könntest auf beiden Seiten der Gleichung auch noch den Goldenen Schnitt phi addieren. Dann wären sogar 6 berühmte Zahlen in einer Gleichung. Wenn du dann noch Wurzel5 unterschiebts, fällt das nicht mal auf.
Aufnahmetipp: Baue vor dein Mikrofon noch einen "Poppschutz", damit Luftstöße beim Sprechen (Buchstabe 'P', 'Z', . . ) nicht tieffrequent nerven . . . 😊 Danke im Voraus.
Danke fürs Feedback! Ich habe tatsächlich bereits einen Popschutz vorne dran, aber ich versuche es noch zu verbessern 😊
1. Semester.... keine Ahnung mehr 🤣🤣
Naja, mir fehlt noch der Beweis für die Taylorreihen für cos und sin. So ist das irgendwie nichts Halbes und nichts Ganzes. :/
Das müsste man wohl am Einheitskreis bestimmen. Auf die Ableitungen der Reihenpolynome zu verweisen, was ja sehr einfach wäre, wäre selbstreferentiell.
Den Mathematikern täte es ganz gut, sich mal zu überlegen welche Dimensionen ihre Zahlen so haben. Etwas, das sie normalerweise nur zu gerne den Physikern überlassen...
Pi ist hier keine dimensionslose Zahl. Es ist ein Winkelmaß, Radiant. In Exponenten sind aber nur reine Zahlen erlaubt. Alles andere ist sinnlos.
Pi könnte aber auch eine Zeit sein. Wenn 1 die Kreisfrequenz ist. (Dimension 1/s)
Dadurch können dann Schwingungen (zb Wechselstrom etc.) sehr elegant modelliert werden. Also sehr sinnvoll gerade für die Physiker.
Pi ist das Verhältnis vom Umfang des Kreises und dessen Durchmesser und hat die Dimension 1.
Alle Winkel haben die Dimension 1.
Pi ist eine reelle Zahl, sie kann ja auch Argument der Sinus-Funktion sein, die bekanntermaßen eine Funktion R -> R ist. Als solche kann sie natürlich auch ein Exponent sein.
Die Definition von Pi ist das Zweifache der ersten Nullstelle von Cosinus. Zufrieden?
rad ist keine einheit
Bei 10:00 hätte ich das i erst ausgeklammert und dann gesagt "guck mal, da ist Sinus".
Und ich persönlich finde e^i*pi = -1 schöner als die 1 nach links zu holen, da es kürzer ist. Für mich ist das so eine "echte" Gleichung. Wenn =0 da steht, ist es eher eine Nullstelle. (Ja, es zählt auch als Gleichung, ist aber länger und kein Vergleich von 2 Termen, sondern auf beiden Seiten steht "nichts".