Wie konnte Gauß sein berühmtes Integral berechnen?🤔📝
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- Опубликовано: 8 фев 2025
- In diesem Video wollen wir an ein vorheriges Video anknüpfen, bei dem wir bei der Berechnung auf das berühmte Integral von Carl Friedrich Gauß gestoßen sind. Genauer gesagt wollen wir uns anschauen wie Gauß dieses Integral berechnen konnte. Um den Rechenweg besser verstehen zu können, schauen wir uns zunächst noch die Polarkoordinaten an. Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Berechnung des Integrals.
Wie konnte Gauß sein berühmtes Integral berechnen?🤔📝
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• Wie kann man die Fakul...
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Dankeschön! Das war wirklich super erklärt! Jede der 17 Minuten wert👍👋
In der theoretischen Quantenmechanik mussten wir dieses Integral auch andauernd berechnen 😊
Coole Wiederholung ❤
Ich will hier nicht wiederholen, was bereits andere kritisiert haben, aber daß Du die totalen Ableitungen hinschreibst, aber die partiellen Ableitungen berechnest, ist schon ein Hammer, der mich an Deinen mathematischen Fähigkeiten zweifeln läßt. Daß Du einfach abgeschrieben hast, hat Dir bereits jemand anderer unterstellt.
Man quadriert das Integral, und nimmt beim zweiten Faktor y als Variable. Und plötzlich wird aus dem y, das y aus der Einleitung zum Thema Polarkoordinaten. Das selbe gilt für x. Und das ohne jede Begründung. Das alles passiert auf magische Weise.
Fand auch das dies sehr hokus pokus mäßig aussah. Hätte gerne da nh begründung zu gehabt oder Erklärung warum das geht
@@siehhut9401 Es geht, weil die Mathematik diese Erweiterung zulässt.
@@knutritter461 ich will eine richtige Begründung. Nichts tautologisches. Es geht weil es nunmal geht kann jeder sagen.
@@siehhut9401 Er hat das quadratische Problem sowohl aus x- als auch aus y-Perspektive gelöst und beides zusammengeführt.
x = r • cos(phi)
y = r • sin(phi)
Das Ergebnis beider Integrale ist einzeln betrachtet dasselbe, nur ist das einzelne Integral nicht analytisch bestimmbar. Das Produkt beider (I^2) ist hingegen bestimmbar und ist gleich π. Deswegen ist das Ergebnis des "gewurzelten" Integrals, also das Ergebnis des Ursprungsintegrals, gleich √π.
Ein Wahnsinnskniff!
@knutritter461 ja ich habs nun verstanden. Vielen Dank!
Sehr schön! Ich hätte das gerne meinem Vater gezeigt, dessen letzter Vortrag vor 20 Jahren über Gauss war. Wir beide hatten das Mathe-Gen in der Familie und konnten damit etwas anfangen. Manches war versickert, danke für's Auffrischen.
Wirklich sehr nett und unterhaltsam gemacht 👍 Besser als Fernsehen 👌
Vielen Dank! 🙏
Super Video !
Aber auch ein Beweis wie unglaublich gut die Leute damals waren !
Ich bin mitm Maschbaustudium zwar schon fertig, aber schau mir trotzdem gerne solche Videos an. Danke dir!
Insgesamt ein gutes Video, aber wie schon von anderen Bemängelt gehen Deine Erklärungen unterschiedlich tief. Die Jacobi-Determinate voraussetzen, aber Zwischenschritte einführen, weil (-)*(-) plus ergibt.
Vielen Dank für das Video. Ich habe nie verstanden, wie man da drauf gekommen ist
Der Kanal von Dr Peyam hat eine ganze Videoreihe mit vielen verschiedenen Methoden dazu.
@@bjornfeuerbacher5514 Der Kanal von Dr. Peyam ist auch zu empfehlen. Dr. Peyam wirkt mir persönlich manchmal zu aufgekratzt. Dennoch, er hat mathematisch was mitzuteilen.
5:15 Polarkoordinaten braucht man da nicht unbedingt. Man kann sich auch klar machen, dass das hier gesuchte Integral über x und y genau das Volumen des Rotationskörpers beschreibt, der entsteht, wenn man den Graphen von e^-x² um die y-Achse rotiert. Und die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers ist (zumindest in manchen Bundesländern) immer noch Abi-Stoff.
ja, aber das wäre zu einfach ;-)
Für mich nicht bitte ein Video dazu 😂
Was ergibt das Rotationsvolumen dann eingesetzt im Abi lernt man nur das Volumen bei Rotation um die x Achse
@@bratwurstkonigsxbbakschrei5434 Bei Rotation um die y-Achse nimmt man im Prinzip dieselbe Formel, nur mit der Umkehrfunktion statt mit der Funktion selbst. Ist, wie gesagt, zumindest in manchen Bundesländern Abi-Stoff - bei dir anscheinend nicht?
Da stehe ich auf dem Schlauch: wie komme ich denn ohne den Weg über die Polarkoordinaten darauf, dass das Volumen des Rotationskörpers gerade das Quadrat des gesuchten Gauß-Integrals ist (oder geometrisch das Vierfache der des Quadrats der Fläche, die da rotiert)?
Bin sehr mathe interessiert. Ist aber zu hoch für mich, da fehlt mir einfach die basis für mitzurechnen. Aber trozdem sehr interessant
Wir hatten das Glück des alten Boomer-Abiturs (13 Jahre) im naturwissenschaftlichen Zweig in HH mit einem jungen Mathe-/Physik-Lehrer. 12 Schüler, davon 2 Mädchen, alle MNT-begeistert. Gibt es heute leider nicht mehr. Die ersten 3 Mathe-Semester für Dipl.-Ings an der TU Braunschweig konnten wir alle schon, die Bayern nicht, Heute ist es umgekehrt.
Es fehlt die Begründung, warum beim Quadrieren x durch y ersetzt werden kann. Die Begründung, es sind halt Variablen reicht keinesfalls aus.
Na ja: einem Quadrat mit der Fläche 4 ist es ja auch egal, ob es vorher a² oder b²=4 hieß. Aber die Variable y wurde ja gewählt, um natürlich erscheinen zu lassen, das Doppelintegral in ein Flächenintegral über die x-y-Ebene umzudeuten und dann schließlich in Polarkoordinaten auszurechnen. Das hätte man schon deutlicher heraustellen sollen.
Wir mussten im Chemiestudium mit Fortran dieses Integral numerisch berechnen lassen. 😉
Aber wir Chemiker haben sogar auch Möglichkeiten entwickelt, analytisch nicht lösbare Integrale zu bestimmen: Wir zeichnen sie auf Papier, schneiden sie aus und wiegen sie auf der Analysenwaage ab. 😂
😂😂😂
@@entwurzler Das funktioniert.... aber wie! Kein Scherz!
man nennt das einen 'Analogrechner'. Im Gegensatz zum Digitalrechner (mit Fortran). Es gibt übrigens mathematische Probleme die sich mit einem 'Analogrechner' in nullkommanix lösen lassen und ein Digitalrechner kläglich scheitert.
cool wie sich eine Sache nach der anderen auflöst !
👍👍👍👍👍👍👍👍👍
Warum bei I² rechts nicht einfach auch quadriert wird, sondern plötzlich x und y auftaucht , will mir nicht in den Sinn.
Dafür hast du erfahren dass -1 * -1 gleich +1 ist!
@hans7831
Naja einfach gesagt, weil es immernoch das gleiche ist. Nur der "Name" der Variable ist anders, was das Ergebnis nicht ändert.
Stell dir 2 sehr einfache Funktionen vor:
f(a) = a
f(b) = b
Solange für a, b die exakt gleichen Zahlen eingesetzt werden kommt auch das gleiche Ergebnis raus. Da die Integralgrenzen salopp gesagt eben genau die Zahlen sind, welche man einsetzen möchte und diese genau gleich sind. Also kommen bei beiden die gleichen Funktionswerte raus.
Eine andere Erklärung:
wir sagen x = y,
unsere Funktion: f(x) = 2x
das kann umgeschrieben werden: 2x = x + x,
da x = y kann man ein x ersetzen: x + x = x + y.
das mag anfangs unintuitiv klingen, aber ist exakt das gleiche.
Jetzt konkret zum Video:
I = integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)) | ^2
I^2 = (integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)))^2 = integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)) * integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)) | da x = y
I^2 = integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)) * integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-y^2)).
Solange man nur die Namen der Variablen ändert ist's tatsächlich Powidl. Hier wird aber mit x = r cos Phi und
y = r sin Phi weiter gerechnet. Und das ist tatsächlich nur bei 45° das selbe.
TO TO TO. HOĆEMO JOŠ !!!!!!!!!!!!!!!!! BLAAAAGO MOJOJ ŽENI !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
✔️
Sieht aus wie schwarze Kunst. Wie kommt man darauf, mal eben in die Polarkoordinaten zu hüpfen, um eine Lösung herbeizuführen?
Warum nutzt man nicht Komplexe Zahlen?
Schwarze Kunst 😄👍. Jedoch das gibt ja öfters in der Mathematik. Da wird das Zahlensystem gewechselt
um anschließend Erkenntnisse zu gewinnen die mit dem Dezimalsystem nicht so offensichtlich waren,
da werden Transformationen vorgenommen um in einem anderen "Raum" Lösungen zu bestimmen die wieder zurücktransformiert werden müssen (Laplace-Transformation, ....). Wahrscheinlich gibt es sogar weitere Methoden um das besprochene Integral zu berechnen, nur sind wir bisher noch nicht darauf gekommen.
Das ist ja doch das Schöne an der Mathematik, die Forschung geht eine Ende für die "Entdeckungen" scheint sich bisher nicht abzuzeichnen. Vielleicht entwickelst du irgendwann auf eine neue Methode, findest einen neuen Weg, wie das Integral zu berechnen ist, wer weiß?
komplexe Zahlen sind im Grunde nichts anderes, siehe e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x)
Hallo Herr "Entwurzler". Vielen Dank für das Video und deine vorgestellte Herangehensweise.
Dein vorgestellter Ansatz wäre fast für einen Oberstufenkurs in Mathe anwendbar gewesen.
Die Nutzung der Jakobi-Matrix erleichtert eine Verwendung deines Videos für den Oberstufenunterricht jedoch leider nicht,
da dort partielle Ableitungen nur im Rahmen von Ausarbeitungen der Schüler/innen besprochen werden könnten.
Eventuell wäre eine Hinweis zu einer Quelle hilfreich, aus welcher interessierte Zuschauer/innen deines Videos
sich selbständig informieren könnten, wie man auf den Ansatz der Jakobi-Matrix kommt und wie diese verwendet wird.
Viele Grüße und vielen Dank für dein Video.
Die trivialen Polarkoordinaten sind recht langatmig erklärt, aber die Jacobi- Matrix, die mir ganz und gar nicht logisch erscheint, wird einfach so hingeworfen. Wenn ich die direkt ausrechne, steht da doch dxdy = dxdy/drdphi - dxdy/drdphi, also Null. Gut, dxdy ist auch sehr, sehr klein... aber das ist mir zuwenig, um einleuchtend zu sein.
Aber zumindest habe ich jetzt eine ungefähre Vorstellung, woher das kommt.
"dxdy/drdphi - dxdy/drdphi = Null": Da muss man SEHR vorsichtig sein, die Behandlung von Differential-Quotienten nach Regeln der Bruchrechnung geht nur (als Eselsbrücke) in ganz speziellen Fällen. Außerdem geht es hier um partielle Ableitungen, und bei der üblichen Schreibweise wäre man wohl gar nicht erst auf diese Idee gekommen.
Wieso es legitim ist 0 bis 2*Pi statt 0 bis oo zu setzen, kommt ein bisschen zu kurz. Dafür könnte man die -1 * -1 = +1 Erklärungen weglassen ;-)
Man will über die gesamte Fläche integrieren. Und wenn man die ganze Ebene in Polarkoordinaten darstellt, dann ist das eben jede Kombination von phi zwischen 0 und 2 pi und r von 0 bis unendlich.
Das ist die anschauliche Erklärung. Dadurch, dass wir hier rein reell rechnen müssen wir uns nicht mit so wichtigen Details wie Riemannschen Blättern und analytischen Fortsetzungen auseinandersetzen. Die Koordinatentransformation ist mit einer kleinen Skizze viel besser erklärt als mit irgendwelchen Determinanten, dann sind die Integrationsgrenzen auch unmittelbar klar.
@@stefanhennig Vielen Dank. Das klingt erstmal einleuchtend für die Grenzen! Wobei, on second thought, eine grafische Darstellung der Funktion in Polarkoordinaten schon hilfreich wäre um zu verstehen warum da die Fläche mir r=>oo nicht auch unendlich wird.
Ich war immer ein Freund der Volumen-Methode (da braucht man nämlich keine Jacobi-Matrix).
Sei f(x,y) := exp(-x²-y²). Was ist das Volumen unter dem Graphen? Aufgrund der geometrischen Interpretation des Riemann-Integrals gilt einerseits natürlich:
V = ∫(-∞..∞, ∫(-∞..∞, exp(-x²-y²) dx) dy) = ∫(-∞..∞, ∫(-∞..∞, exp(-x²) exp(-y²) dx) dy)
Wir sehen, dass exp(-y²) ja ein komplett unabhängiger Faktor im inneren Integral ist, also können wir den Faktor vorziehen:
V = ∫(-∞..∞, exp(-y²) ∫(-∞..∞, exp(-x²) dx) dy)
Jetzt sehen wir, dass das ganze innere Integral ein unabhängiger Faktor im äußeren Integral ist, und können es vorziehen:
V = ∫(-∞..∞, exp(-x²) dx) ∫(-∞..∞, exp(-y²) dy)
Damit sind das jetzt zwei komplett getrennte Integrale. Weil bei Integralen der Name der Integrationsvariable egal ist, sind beide das gesuchte I, also
V = I²
Wir können das Volumen aber auch anders berechnen. Nämlich unter Betrachtung der Funktion f selbst:
z = exp(-x²-y²)
ln z = -x²-y²
- ln z = x² + y²
√(-ln z) = √(x² + y²)
Was steht denn da? Die rechte Seite ist der Abstand eines Punktes im 3D-Raum von der z-Achse, und die linke Seite ist eine Funktion von z. Der Abstand eines Punktes auf dem Graphen von der z-Achse ist also nur von z abhängig. Wir können also den Graphen der Zielfunktion als aufeinander gestapelte Kreise verstehen. Entsprechend ist das Volumen unter dem Graphen dann auch einfach die Summe der Volumina unendlich vieler Zylinder mit infinitesimaler Höhe. Diesen Prozess kann man auch mit einem Integral darstellen. Die Grenzen ergeben sich aus der Funktion, die wir für den Radius der Kreise haben: Der Ausdruck ist in den reellen Zahlen nur definiert, wenn der Radikand nichtnegativ und das Argument des Logarithmus positiv ist.
Erst einmal der Radikand:
- ln z ≥ 0
ln z ≤ 0
z ≤ 1
Und die andere Bedingung ergibt z > 0, also zusammen 0 < z ≤ 1.
Da der Ausdruck für z = 0 bereits nicht mehr definiert ist, handelt es sich also um ein uneigentliches Integral, und wir müssen eine Grenzwertberechnung durchführen.
Bedenken wir, dass das Volumen eines Zylinders sich aus dem Produkt von Kreisfläche und Höhe ergibt, so können wir alles vorgesagte Zusammenfassen mit:
V = lim(a→0, ∫(a..1, π (-ln z) dz))
= lim(a→0, -π ∫(a..1, ln z dz))
Ich weiß nicht, wie man den ln integriert, aber ich weiß, wie man ihn ableitet. Und mittels partieller Integration kann ich versuchen eine Lösung zu finden. Ich nutze die tabellarische Methode:
D I
+ ln z 1
- 1/z z
und das Produkt der letzten Zeile kann ich integrieren. So erhalten wir:
V = lim(a→0, -π ([z ln z, z=a..1] - ∫(a..1, (1/z) z dz)))
V = lim(a→0, -π (-a ln a - (1 - a))
V = lim(a→0, π (a ln a + 1 - a))
Der einzige Teil vom Grenzwert, der kritisch ist, ist das a ln a, denn bei a→0 wird das zu 0(-∞), eine unbestimmte Form. Wenn wir das zu einer Division umformen könnten, so käme uns l'Hospital zur Hilfe.
Nun gut, sei b = 1/a, dann ist
lim(a→0, a ln a) = lim(b→∞, (1/b) ln (1/b)) = lim(b→∞, 1/b ln (b⁻¹)) = lim(b→∞, (- ln b)/b) = lim(b→∞, (-1/b)/1) = 0
Das setzen wir ins Volumen ein, und erhalten
V = π (0 + 1 - 0) = π
Und weil V = I², so muss I = √π.
Folgendes verstehe ich nicht: Bei 2:55 wird bei einem Integral zur besseren Unterscheidung x durch y ersetzt und später bei 5:43 mit x²+y²=r² so getan als wenn es ich um das richtige y handeln würde. x²+x² ist sicherlich nicht r².
Ja, das ist leider unzureichend erklärt. Dort benutzt er den Satz von Fubini und muss daher die Variabeln umbenennen.
Die Funktionalmatrix bzw. Jacobi Determinante bzw. den Verzerrungsfaktor (hier der Radius r) solltest Du aber herleiten. Ohne die Herleitung ist diese Lösung unvollständig. Und ich bezweifle sehr sehr stark, daß Gauss die Jacobi Determinante kannte ... der dürfte das Integral also mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit ganz anderes berechnet haben. Ausserdem erinnert mich die hier vorgestellte Lösung doch sehr an das Beispiel in der deutschen Wikipedia zum Stichwort "Transformationssatz". Du hast doch nicht etwa abgeschrieben ?
Das ist nicht mehr Oberstufen-Stoff, sondern schon Uni-Stoff. Jacobi-Matrix lernt man erst auf der Uni oder FH.
"aufleiten" als inverse Operation zum Ableiten, hab ich noch nie gehört. Sagt man das heute?
Ich verwende das in meinem Unterricht häufig.
@@bjornfeuerbacher5514 Hat sich tatsächlich im Unterrichten von Mathematik "ausgebreitet".
Ist aber eher ein sprachliches Hilfsmittel um ein "mechanisches" Verständnis der Vorgehensweise beim Integrieren und Differenzieren zu erleichtern. Aus rein mathematischer Sicht, also für den akademischen Diskurs innerhalb der Mathematik, ist der Begriff jedoch nicht wirklich "brauchbar".
@@omot4372 Wieso ist der Begriff aus mathematischer Sicht nicht brauchbar? Eine Funktion integrieren ist die umgedrehte Operation zum Differenzieren. Und "auf" ist das Gegenteil von "ab". Passt doch sprachlich gut.
@@bjornfeuerbacher5514 Didaktisch kann einiges Sinn ergeben was bezüglich der mathematischen Präzision nicht korrekt ist. Wie ich oben bereits ausgeführt habe, innerhalb des akademischen Diskurses wirst du (zumindest bisher) im deutschsprachigen Raum den Begriff "Aufleiten" zurecht nicht finden.
Ich verwende den Begriff bisweilen auch in meinem Unterricht, aber ausschließlich um den Zugang für all jene Schüler/innen zu erleichtern die eher einen sprachlichen und weniger einen konzeptionellen Zugang zur Mathematik haben.
Der Begriff ist damit für den Unterricht der Mathematik "brauchbar" (jedoch habe ich zuvor davon geschrieben, dass er mathematisch nicht "haltbar" ist, was qualitativ zweierlei ist).
Von dem was das Konzept der Integration und den damit einhergehenden Ideen und Methoden ausmacht, die dann erst in einer gewissen Handhabungsmechanik münden, lässt sich der Begriff des "Aufleitens" nicht ableiten (schönes Wortspiel). Weder im englischsprachigen noch im französischsprachigen Raum wird man einen solchen Begriff finden. Die Verwendung des Begriffs "Aufleiten" lässt sich nur innerhalb des deutschsprachigen Raums und das auch nur didaktisch "rechtfertigen" nicht aber mathematisch. Tut letztlich für den Unterrichtsalltag keinen Abbruch, aber mathematisch ist der Begriff nicht zu halten, da sich das Wort "Auf-leiten" ausschließlich auf die Vorgehensweise bzw. Handhabungsmechanik (besonders bei Polynomen) fokussiert und damit das ganze Entstehungs- und Bedeutungskonzept quasi vernachlässigt.
Vielleicht fordere ich deshalb eine solche Unterscheidung zwischen mathematischer Präzision und didaktischer Eignung, weil ich vor meinem Eintritt ins Lehramt zunächst ein volles Studium der Mathematik abgeschlossen habe und mich noch heute im akademischen Diskurs befinde (aktuelle Papers zu neueren Entwicklungen innerhalb der Mathematik lese).
Nur in der Schule, in der Uni nicht
Ich habe dann pi mal eins, was ja pi ergibt. So dehnt man videos
Um Gotteswillen! Lern schreiben. Isoliert betrachtet gibt es viele Buchstaben und Kombinationen, die man falsch deuten kann. Ansonsten kurzweilig und interessant.
lieber entwurzler, dein pi sieht aus wie ein u mit strich/balken drüber.
Danke fürs Feedback! Ich weiß, dass meine griechischen Buchstaben noch verbesserungsfähig sind 🙈
Bin dafuehr dass man versuchen sollte das sumerische Basissystem (60) inklusive der indianischen (0) nutzen sollte, anstatt das Zehner System !...