Danke, sehr anschaulich. Nur eine kleine Kritik: Der letzte Schritt, Wurzel(Pi) => 1/2 Wurzel(Pi), gilt nur, wenn das Integral von -Unendlich bis Null denselben Wert hat wie das Integral von Null bis +Unendlich, und das ist der Fall, wenn der Integrand, also e^(-z²) symmetrisch zur y-Achse ist - was zwar zutrifft, aber dann auch erwähnt werden sollte.
Echt wie immer tolles Video. Bezüglich zu der Frage bei 13:57 würde ich einen Beweis dafür echt cool finden! Aktuell kann ich mir echt nicht vorstellen, dass ein Integral mit Unendlichkeiten von etwas mit e irgendwie irgendwas mit Pi ergibt, aber du kannst immer so gut erklären, weshalb ich mich über so eine Episode echt freuen würde!
Der Ingenieur in mir würde jetzt e = π vorschlagen. Liegt aber tatsächlich an einem kleinen Trick, den man vollziehen muss. Man muss sich das Integral einmal im R^2 anschauen. Dann wird aus exp(-z^2) => exp(-x^2 -y^2) und hier kann man nun in Polarkoordinaten transformieren mit r^2=x^2+y^2 und dem differntial dx dy = r dr dφ und hat dann die Grenzen für φ von 0 bis 2π. Ich hoffe als Erklärung, woher das π kommt reicht es, aber ich habe jetzt wenig Lust die Rechnung in den Kommentaren weiter auszuführen.
Eigentlich immer ganz gut, ich würde nur sagen, 1-2 Beispiele für ganze Zahlen mit der Gamma Funktion um zu zeigen, dass es mit diesen wirklich funktioniert das gleiche Ergebnis wie mit der Fakultät zu bekommen, wäre gut für den Laien um diese Funktion besser zu verstehen
Kann es sein, daß bei 1:40 ein Fehler in der unteren Formel ist und es eigentlich heißen muß Gamma(z)=Integral(t^(z-1) usw.? D.h. in der ersten Klammer auf der linken Seite der Gleichung sollte z stehen und nicht (z+1)??
Auf jeden Fall hat sich dort ein Fehler eingeschlichen, denn wenn z=1/2 ist, wäre z-1=-1/2. Seltsam, dass dies offensichtlich kaum jemanden aufgefallen ist. Das macht diese eigentlich gute Erklärung etwas wertlos.
In der Definition der Gammafunktion bei 1:28 muss stehen Gamma(z) = Integral ..., nicht Gamma(z+1). Der Widerspruch ist dann offensichtlich bei der Berechnung von (1/2)! ab 2:31.
Ja das stört schon ein bisschen das Mathematiker Herz. Außerdem ist das Einsetzen der Grenze Unendlich ziemlich vereinfacht ohne Grenzwert Betrachtung. Die macht er zwar indirekt aber ich glaube das durchblicken einige nicht und verallgemeinern das dann falsch. Trotzdem schönes Video.
Tolle Folge! Gerade das mit dem Substituieren der Limesgrenzen und dem Umwandeln von dt nehme ich davon mit. Das habe ich damals in der Schule/Uni nicht so recht nachvollziehen können. Bei dem Ergebnis wäre ich ja versucht zu sagen, dass Fakultät von (a/b) = ( a mal Wurzel (Pi) )/b ist.
Nach dieser Logik müsste ja 3! = (3/1)! = 3*Wurzel(Pi)/1=3*Wurzel(Pi) sein, was offensichtlich nicht der Fall ist. Das Pi kam ja in dem Beispiel nur durch ein spezielles Integral rein.
Es wäre noch hilfreich zu erwähnen, dass es sich um die Glockenkurve handelt und dass diese Achsensymmetrisch ist. Nur daher kann der Wert für das Integral einfach halbiert werden.
Heya, ich hole gerade zweck Studium viel Mathe nach und habe zu diesem Video eine Frage: 14:15 Wenn z*e^-z² unser f'(x) ist, wie kommen wir dann darauf, dass die Stammfunktion f(x) = -1/2 *e^z² ist? Wenn ich dann f(x) wieder ableite, komme ich auf eine andere Ableitung. Falls es doch stimmen sollte, hole ich nochmal die Ableitungsregeln nach.. Grüße
Die Stammfunktion im Video ist nicht f(z) = -1/2 *e^z², sondern f(z) = -1/2 *e^-z² (mit Minus vor dem z²). Wenn Du das ableitest, dann kommt wegen der eingebetteten Funktion -z² im Exponenten von e die bekannte Kettenregel zum Einsatz (zur Erinnerung: g(h(x))' = g'(h(x)) * h'(x) ), hier: g(x) = -1/2 * e^x, h(x) = -x², also: f'(z) = -1/2 * e^-z² * (-2z) // -2z ist die Ableitung des Exponenten von e = e^-z² * z // das 1/2 und die 2 kürzen sich weg, die zwei Minusse werden zu plus, übrig bleibt das z als Faktor vor dem e^-Term. Und das ist der Ausdruck, von dem wir ausgegangen sind.
@@sterngucker1592 Doch die gibt es, das ist die Fehlerfunktion. Aber sie lässt sich nicht mit elementaren Funktionen darstellen, weswegen sie einen eigenen Namen und ein eigenes Formelzeichen (Phi) bekommen hat. Um die Fläche unter der Gaußglocke zu berechnen, verwendet man einen Trick, um die Stammfunktion gar nicht erst berechnen zu müssen. Dabei erweitert man die 2D-Gaußglocke zu einer kreisrunden 3D-Gaußglocke.
Fakultäten von "Brüchen" war etwas hoch gegriffen. Mit dem Trick kann man nur Fakultäten von Vielfachen von 1/2 berechnen. Das ginge übrigens auch mit diesen Formeln, wo man Gamma von x mit Gamma von minus x multipliziert.
Bei bestimmten Integralen muss das nicht zwingend erfolgen, weil am Ende ja das numerische Ergebnis interessiert. Rücksubstitution ist dann von Interesse, wenn es um unbestimmte Integrale, bzw. die explizite Bestimmung von Stammfunktionen geht. Das ohnehin nicht immer so ohne Weiteres möglich - auch das hier ist ein Beispiel, wo es nicht geht. (e^(-t^2) hat keine mit elementaren Funktionen darstellbare Stammfunktion.)
Im Grunde sehr schön, aber Du hast da schon ein paar Macken drin, die ich Dir in einer Hausarbeit ankreiden würde und die Du korrigieren und ergänzen solltest. Dir fehlen ein paar Differentiale dx und dz ab partieller Integration, was über eine Nachlässigkeit hinausgeht (ist schlicht falsch), anstelle eckiger Klammer hast Du einmal eine runde bei der Intervallschreibweise und Grenzwertbetrachtungen gehören grundsätzlich ausformuliert und hingeschrieben. Auf solche Dinge solltest Du noch achten, dann wird es wirklich gut.
Danke für das tolle Video! Interessieren würde mich, ob man die Fakultäten anderer rationaler Zahlen, z. B. 1,5 oder 3/4 auch auf ähnliche Art und Weise berechnen kann. Sqrt(Pi)/2 ist ungefähr 0,8862 und damit kleiner als 0! und 1!. Das erinnert mich an die Funktion x^x. Diese kann ebenfalls Werte annehmen, die kleiner als 1 sind, obwohl 0^0=1 ist (auch, wenn der Taschenrechner hier Error anzeigen sollte) und 1^1=1 ist. Die Funktion x^x hat ein Minimum bei x=1/e (ungefähr 0,3679), wobei der Funktionswert dann ungefähr 0,6922 beträgt. Interessieren würde mich, ob es für die Fakultät bzw. die Gamma-Funktion ebenfalls einen Minimalwert gibt und wie man diesen berechnen kann.
Nein, man kann nicht einfach unendlich einsetzen. Es kommt auch nichts extrem großes heraus, es ist einfach undefiniert. Aber du hast zumindest am Rande erwähnt, dass das gegen Null geht, fehlt nur die Erwähnung, dass das genau genommen ein Grenzübergang ist. Außerdem noch ein paar kleine Schusselfehler. In der linken Hälfte der Seite fasst du z*z erst zusammen, um es anschließend gleich wieder auseinanderzuziehen. Das geht kürzer. Aber eigentlich will ich gar nicht herummäkeln, denn davon abgesehen hat mir das Video prima gefallen! Bitte sehe das als konstruktive Kritik für weitere spannende Abenteuer.
Was mir fehlt, ist - wie immer - das anschauliche Modell dieser Fragestellung: Der Ansatz 3! wird in folgendem Fußbaltraining benötigt: 3 Kinder sollen 11 Meter trainieren! Dazu darf jedes Kind seine Kumpels im Tor testen, muss dafür aber auch im Tor stehen. Wieviele Schüsse werden aufs Tor abgegeben? Richtig! 6 Elfmeter! So weit so gut! Der n!-Term hat seine unbedingte Daseinsbereichtigung bis hin zur Quantenphysik. Aber wie verhält es sich mit Brüchen? Es gibt keine halben Kinder! Somit erübrigt sich die Frage nach der Anzahl der Torschüsse bzw Quantenverschränkungen. Indes: Euler hatte recht mit seiner Herleitung! Diese ist jedoch mathematisch nur von Nutzen, weil sich damit algebraische Verknüpfungen erstellen lassen. Genau so wie die Algebra mit Komplexen Zahlen. Wie nun diese Verknüpfung von 1/2! x 4! aussieht, davon ist in dem „Wideo“ keine Rede. GENAU DAS wäre doch wesentlich interessanter zu zeigen, als diese narzistische Selbstdarstellung durch das Durchkritzeln der Eulerschen Herleitung!
Ist das nicht diese ominöse Gamma-Funktion? Mal schauen, ob ich mich korrekt erinnere... Oh, nach einer Minute schon beantwortet 🙂 ... naja, ich weiß aber nicht mehr, wie man sie berechnet, also bleibe ich dran! OK, spannend ... das am Ende funktioniert aber nur, wenn die Funktion symmetrisch ist. Vermutlich ist sie es, aber da wäre ein Bild (Funktions-Graph) noch schön gewesen... oder du hättest erwähnen können, dass es eine Variante der berühmte Glockenkurve ist.
Ich würde ja aus dem Bauch heraus behaupten daß man, nur weil man einen Zusammenhang, der für Fakultäten natürlicher Zahlen gilt, auch auf Brüche anwenden kann, das noch lange nicht bedeutet daß die Fakultät eines Bruches ein sinnvoller Ausdruck ist. Es ist einfach nicht definiert... 🤔
Es gibt viele Möglichkeiten, die Fakultät der natürlichen Zahlen auf die reellen Zahlen unter Beibehaltung der Rekursionsformel fortzusetzen. Aber die Gammafunktion ist die mit den schönsten Eigenschaften. Soweit ich weiß, ist sie nicht nur konvex, sondern auch logarithmisch konvex.
und jetzt nur noch beweisen, dass der Flächeninhalt ∫e^-z^2dz von -∞ bis 0 gleich groß ist wie 0 bis +∞ Außerdem müsste man nach Substitution nicht wieder zurück umwandeln?
Ja also ich habe das ganze mal mitgerechnet, ich habe allerdings bei der substitution u = sqrt(t) -> dt = 2sqrt(t) dafür gesorgt dass man eben nicht dieses t^2 in der exponentialfunktion stehen habe. Dann kommt raus mit part. Abl.: 2 [lim(a->inf) [-e^(-t)*t]|(0->a) - [-e^(-t)]|(0->a)] und dann bekäme ich inf-inf. Ich weiss nicht was ich falsch gemacht habe xd
Die Fakultät ist definiert als Produkt alle NATÜRLICHEN Zahlen von 1 bis n. Allerdings mit der Ausnahme, dass für n=0 die Fakultät gleich 1 ist. 1/2 is keine natürliche Zahl, also gibt es keine Fakultät von 1/2.
Die Gammafunktion ist eine Erweiterung der Fakultätsfunktion. Sie liefert für natürliche Zahlen die ursprüngliche Fakultät um 1 verschoben. So ist 3! = Gamm(4) = 6. Die Schreibweise (1/2)! = Gamma( 3/2) ist in diesem Zusammenhang eine durchaus übliche Schreibweise. Darauf hätte man im Video natürlich am Anfang auch hinweisen können.
@@berndkru Aber falls diese Gamma-Funktion für _natürliche Zahlen_ tatsächlich dasselbe Ergebnis liefert wie die Fakultätsfunktion, bedeutet das dann notwendigerweise, daß sie es auch für Brüche tut? Imho nicht.
@@chunkrecords Die Fakultätsfunktion liefert ja nur Werte für natürliche Zahlen und deshalb stellt sich die Frage nicht. Die Gamma-Funktion ist eine echte Erweiterung der Fakultätsfunktion: Das bedeutet, dass sich die Ergebnisse der Fakultätsfunktion durch die Gamma-Funktion nicht verändern und dass bisherige Rechenregeln weiterhin gültig sind - dies betrifft die Regel (n+1)! = n! * (n+1).
@@berndkru Sagen wir, ich hätte eine andere (meinetwegen Zeta-)Funktion, die ebenso funktioniert wie diese Gamma-Funktion, d.h. dieselben Werte ergibt für die Fakultäten, aber für Nicht-natürliche Zahlen andere Werte als die Gamma-Funktion. Würdest du dann sagen, daß diese Zeta-Funktion eine "echte Erweiterung der Fakultätsfunktion" sei? Falls ja: wieso kann dann eine Berechnung von (1/2)! mal das eine, mal das andere Ergebnis liefern? Es kann ja nicht sein, daß fac(0.5) einmal 0.88.. ist, dann aber auch 1.57.. (als Beispiel). Falls nein: welche zusätzlichen Eigenschaften muß eine Funktion mitbringen, damit sie als "echte Erweiterung der Fakultätsfunktion" gelten kann? P.S. Ich hab dazu mal den (wissenschaftlichen) Rechner auf meinem PC konsultiert, und der gibt mir bei der fac(x) raus: 1 : 1 0 : 1 0.5 : ~0.88.. -1 : Ungültige Eingabe -2 : 10000. (mit Nachkommawerten) -0.999999 : 100. (mit Nachkommawerten) Das kommt mir alles sehr komisch vor.
@@chunkrecords Das wäre keine sinnvolle Erweiterung, ich hatte ja noch eine zusätzliche Eigenschaft genannt. Aber auch mit dieser Eigenschaft gibt es mehrere Möglichkeiten zu erweitern. Wenn es unterschiedliche Erweiterungsfunktionen gibt, so kann es natürlich auch unterschiedliche Werte geben, daran ist nichts komisch. Die Gamma Funktion hat in negativen Bereich Definitionslücken und damit sehr extreme Werte in der Nähe der Definitionslücken, aber ich kann die vollständigen Eigenschaften hier nicht alle aufführen. Lies einfach mal den Wikipedia Artikel "Gammafunktion", da ist sie umfangreich beschrieben. Wenn ich Werte der Gammafunktion berechnen will, mache ich das mit WolframAlpha, das ist für mich die Refenrenz bei Berechnungen.
Danke, sehr anschaulich. Nur eine kleine Kritik: Der letzte Schritt, Wurzel(Pi) => 1/2 Wurzel(Pi), gilt nur, wenn das Integral von -Unendlich bis Null denselben Wert hat wie das Integral von Null bis +Unendlich, und das ist der Fall, wenn der Integrand, also e^(-z²) symmetrisch zur y-Achse ist - was zwar zutrifft, aber dann auch erwähnt werden sollte.
Echt wie immer tolles Video. Bezüglich zu der Frage bei 13:57 würde ich einen Beweis dafür echt cool finden! Aktuell kann ich mir echt nicht vorstellen, dass ein Integral mit Unendlichkeiten von etwas mit e irgendwie irgendwas mit Pi ergibt, aber du kannst immer so gut erklären, weshalb ich mich über so eine Episode echt freuen würde!
Die Formeln von Gauß wird verwendet, um die Fläche unter der Gaußglocke zu berechnen. Das ist der Normierungsfaktor für die Normalverteilung.
Der Ingenieur in mir würde jetzt e = π vorschlagen. Liegt aber tatsächlich an einem kleinen Trick, den man vollziehen muss. Man muss sich das Integral einmal im R^2 anschauen. Dann wird aus exp(-z^2) => exp(-x^2 -y^2) und hier kann man nun in Polarkoordinaten transformieren mit r^2=x^2+y^2 und dem differntial dx dy = r dr dφ und hat dann die Grenzen für φ von 0 bis 2π.
Ich hoffe als Erklärung, woher das π kommt reicht es, aber ich habe jetzt wenig Lust die Rechnung in den Kommentaren weiter auszuführen.
Eigentlich immer ganz gut, ich würde nur sagen, 1-2 Beispiele für ganze Zahlen mit der Gamma Funktion um zu zeigen, dass es mit diesen wirklich funktioniert das gleiche Ergebnis wie mit der Fakultät zu bekommen, wäre gut für den Laien um diese Funktion besser zu verstehen
Furchtbar schön! Danke!
Tolles Video!
Kann es sein, daß bei 1:40 ein Fehler in der unteren Formel ist und es eigentlich heißen muß Gamma(z)=Integral(t^(z-1) usw.? D.h. in der ersten Klammer auf der linken Seite der Gleichung sollte z stehen und nicht (z+1)??
Auf jeden Fall hat sich dort ein Fehler eingeschlichen, denn wenn z=1/2 ist, wäre z-1=-1/2. Seltsam, dass dies offensichtlich kaum jemanden aufgefallen ist. Das macht diese eigentlich gute Erklärung etwas wertlos.
In der Definition der Gammafunktion bei 1:28 muss stehen Gamma(z) = Integral ..., nicht Gamma(z+1). Der Widerspruch ist dann offensichtlich bei der Berechnung von (1/2)! ab 2:31.
Mich stört, dass er nach dem Substituieren in den Integralen das Differenzial dz einfach verschusselt hat und nicht hin schreibt.
Ja das stört schon ein bisschen das Mathematiker Herz. Außerdem ist das Einsetzen der Grenze Unendlich ziemlich vereinfacht ohne Grenzwert Betrachtung. Die macht er zwar indirekt aber ich glaube das durchblicken einige nicht und verallgemeinern das dann falsch. Trotzdem schönes Video.
@@qxmkeller ich will ja nicht zuviel herummäkeln. Es ist ja sonst alles in Ordnung
Der "Entwurzeler" verschusselt öfters mal was. Damit muss man halt leben.😸
@@hubertroscher1818 Ich verschussele auch ständig was. Insbesondere Vorzeichen.
@@kalles8789 Deswegen sollte man mit Schussler Salzen vorsichtig sein. 😸
Tolle Folge! Gerade das mit dem Substituieren der Limesgrenzen und dem Umwandeln von dt nehme ich davon mit. Das habe ich damals in der Schule/Uni nicht so recht nachvollziehen können.
Bei dem Ergebnis wäre ich ja versucht zu sagen, dass Fakultät von (a/b) = ( a mal Wurzel (Pi) )/b ist.
Freut mich!
Nach dieser Logik müsste ja 3! = (3/1)! = 3*Wurzel(Pi)/1=3*Wurzel(Pi) sein, was offensichtlich nicht der Fall ist. Das Pi kam ja in dem Beispiel nur durch ein spezielles Integral rein.
Es wäre noch hilfreich zu erwähnen, dass es sich um die Glockenkurve handelt und dass diese Achsensymmetrisch ist. Nur daher kann der Wert für das Integral einfach halbiert werden.
@@Andreas-zn6dq Danke, ich hab mich gefragt warum
Gefällt mir gut - ein paar Ungenauigkeiten (fehlende linke Klammer / fehlende dz), aber chapeau 👌
Heya, ich hole gerade zweck Studium viel Mathe nach und habe zu diesem Video eine Frage:
14:15 Wenn z*e^-z² unser f'(x) ist, wie kommen wir dann darauf, dass die Stammfunktion f(x) = -1/2 *e^z² ist? Wenn ich dann f(x) wieder ableite, komme ich auf eine andere Ableitung. Falls es doch stimmen sollte, hole ich nochmal die Ableitungsregeln nach.. Grüße
Die Stammfunktion im Video ist nicht f(z) = -1/2 *e^z², sondern f(z) = -1/2 *e^-z² (mit Minus vor dem z²). Wenn Du das ableitest, dann kommt wegen der eingebetteten Funktion -z² im Exponenten von e die bekannte Kettenregel zum Einsatz (zur Erinnerung: g(h(x))' = g'(h(x)) * h'(x) ), hier: g(x) = -1/2 * e^x, h(x) = -x², also:
f'(z) = -1/2 * e^-z² * (-2z) // -2z ist die Ableitung des Exponenten von e
= e^-z² * z // das 1/2 und die 2 kürzen sich weg, die zwei Minusse werden zu plus, übrig bleibt das z als Faktor vor dem e^-Term.
Und das ist der Ausdruck, von dem wir ausgegangen sind.
@marsu37de Vielen Dank!
(14:32) Also Ich 'male' die 'Beine' von Pi jewahls in die andere Richtung.
Nice video
Das war ein cooles Video. Könntest du noch aufschlüsseln, wie man die Stammfunktion, bzw. das Integral der Funktion e^-x² findet?
Eine Stammfunktion von e^-x² gibt es nicht.
@@sterngucker1592 Doch die gibt es, das ist die Fehlerfunktion. Aber sie lässt sich nicht mit elementaren Funktionen darstellen, weswegen sie einen eigenen Namen und ein eigenes Formelzeichen (Phi) bekommen hat. Um die Fläche unter der Gaußglocke zu berechnen, verwendet man einen Trick, um die Stammfunktion gar nicht erst berechnen zu müssen. Dabei erweitert man die 2D-Gaußglocke zu einer kreisrunden 3D-Gaußglocke.
Fakultäten von "Brüchen" war etwas hoch gegriffen. Mit dem Trick kann man nur Fakultäten von Vielfachen von 1/2 berechnen. Das ginge übrigens auch mit diesen Formeln, wo man Gamma von x mit Gamma von minus x multipliziert.
was ist mit der Rücksubstitution z² = t? - muss das nicht berücksichtigt werden?
Bei bestimmten Integralen muss das nicht zwingend erfolgen, weil am Ende ja das numerische Ergebnis interessiert. Rücksubstitution ist dann von Interesse, wenn es um unbestimmte Integrale, bzw. die explizite Bestimmung von Stammfunktionen geht. Das ohnehin nicht immer so ohne Weiteres möglich - auch das hier ist ein Beispiel, wo es nicht geht. (e^(-t^2) hat keine mit elementaren Funktionen darstellbare Stammfunktion.)
Im Grunde sehr schön, aber Du hast da schon ein paar Macken drin, die ich Dir in einer Hausarbeit ankreiden würde und die Du korrigieren und ergänzen solltest. Dir fehlen ein paar Differentiale dx und dz ab partieller Integration, was über eine Nachlässigkeit hinausgeht (ist schlicht falsch), anstelle eckiger Klammer hast Du einmal eine runde bei der Intervallschreibweise und Grenzwertbetrachtungen gehören grundsätzlich ausformuliert und hingeschrieben. Auf solche Dinge solltest Du noch achten, dann wird es wirklich gut.
Ich habe jeden einzelnen Schritt verstanden. Aber wenn ich das Ganze selber entwickeln müsste, müsste ich passen. 😉
Links und rechts in einer Gleichung nach unterschiedlichen Variablen ableiten? Das kommt mir spanisch vor.
Wie so oft sind auch hier die Kommentare und die Antworten fast so interessant wie der Artikel selbst.
Danke für das tolle Video! Interessieren würde mich, ob man die Fakultäten anderer rationaler Zahlen, z. B. 1,5 oder 3/4 auch auf ähnliche Art und Weise berechnen kann. Sqrt(Pi)/2 ist ungefähr 0,8862 und damit kleiner als 0! und 1!. Das erinnert mich an die Funktion x^x. Diese kann ebenfalls Werte annehmen, die kleiner als 1 sind, obwohl 0^0=1 ist (auch, wenn der Taschenrechner hier Error anzeigen sollte) und 1^1=1 ist. Die Funktion x^x hat ein Minimum bei x=1/e (ungefähr 0,3679), wobei der Funktionswert dann ungefähr 0,6922 beträgt. Interessieren würde mich, ob es für die Fakultät bzw. die Gamma-Funktion ebenfalls einen Minimalwert gibt und wie man diesen berechnen kann.
de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion
Nein, man kann nicht einfach unendlich einsetzen. Es kommt auch nichts extrem großes heraus, es ist einfach undefiniert. Aber du hast zumindest am Rande erwähnt, dass das gegen Null geht, fehlt nur die Erwähnung, dass das genau genommen ein Grenzübergang ist. Außerdem noch ein paar kleine Schusselfehler. In der linken Hälfte der Seite fasst du z*z erst zusammen, um es anschließend gleich wieder auseinanderzuziehen. Das geht kürzer.
Aber eigentlich will ich gar nicht herummäkeln, denn davon abgesehen hat mir das Video prima gefallen! Bitte sehe das als konstruktive Kritik für weitere spannende Abenteuer.
Um 03.33 Uhr hab ich teilweise noch so mitkommen können. Aber wie man was hätte machen müssen, das ist dann doch zu lange her 😂
Was mir fehlt, ist - wie immer - das anschauliche Modell dieser Fragestellung: Der Ansatz 3! wird in folgendem Fußbaltraining benötigt:
3 Kinder sollen 11 Meter trainieren!
Dazu darf jedes Kind seine Kumpels im Tor testen, muss dafür aber auch im Tor stehen.
Wieviele Schüsse werden aufs Tor abgegeben? Richtig! 6 Elfmeter!
So weit so gut! Der n!-Term hat seine unbedingte Daseinsbereichtigung bis hin zur Quantenphysik.
Aber wie verhält es sich mit Brüchen?
Es gibt keine halben Kinder! Somit erübrigt sich die Frage nach der Anzahl der Torschüsse bzw Quantenverschränkungen.
Indes:
Euler hatte recht mit seiner Herleitung! Diese ist jedoch mathematisch nur von Nutzen, weil sich damit algebraische Verknüpfungen erstellen lassen. Genau so wie die Algebra mit Komplexen Zahlen.
Wie nun diese Verknüpfung von 1/2! x 4! aussieht, davon ist in dem „Wideo“ keine Rede.
GENAU DAS wäre doch wesentlich interessanter zu zeigen, als diese narzistische Selbstdarstellung durch das Durchkritzeln der Eulerschen Herleitung!
Das liefert die Formel nach Stirling und lernt man im Mathematikstudium; 1. oder 2. Semester: n! = Gamma(n) = Wurzel (2*pi*n) * (n/e)^n.
Funktioniert nur mit n->inf
Die Stirlingsche Formel ist eine Näherung, keine Identität.
OK, Gammafunktion nochmal anschauen. Dann halt Substitution, partielle Integration ... feddich.
Erst vereinfachst du z·z zu z², um es wenig später in z·z zu zerlegen.
Ist das nicht diese ominöse Gamma-Funktion? Mal schauen, ob ich mich korrekt erinnere...
Oh, nach einer Minute schon beantwortet 🙂 ... naja, ich weiß aber nicht mehr, wie man sie berechnet, also bleibe ich dran!
OK, spannend ... das am Ende funktioniert aber nur, wenn die Funktion symmetrisch ist. Vermutlich ist sie es, aber da wäre ein Bild (Funktions-Graph) noch schön gewesen... oder du hättest erwähnen können, dass es eine Variante der berühmte Glockenkurve ist.
Ich würde ja aus dem Bauch heraus behaupten daß man, nur weil man einen Zusammenhang, der für Fakultäten natürlicher Zahlen gilt, auch auf Brüche anwenden kann, das noch lange nicht bedeutet daß die Fakultät eines Bruches ein sinnvoller Ausdruck ist. Es ist einfach nicht definiert... 🤔
Es gibt viele Möglichkeiten, die Fakultät der natürlichen Zahlen auf die reellen Zahlen unter Beibehaltung der Rekursionsformel fortzusetzen. Aber die Gammafunktion ist die mit den schönsten Eigenschaften. Soweit ich weiß, ist sie nicht nur konvex, sondern auch logarithmisch konvex.
und jetzt nur noch beweisen, dass der Flächeninhalt ∫e^-z^2dz von -∞ bis 0 gleich groß ist wie 0 bis +∞
Außerdem müsste man nach Substitution nicht wieder zurück umwandeln?
Genau das habe ich mich auch gefragt (Rückumwandlung Substitution)!
Jetzt bitte (wurzel 3)! berechnen.
Kein Problem, (wurzel 3)! = 1.585.... (Näherungslösung)
@berndkru interressant. (wurzel 3)! Ist kleiner als (wurzel 3)?
@@ghlscitel6714 So ist es
Ja also ich habe das ganze mal mitgerechnet, ich habe allerdings bei der substitution u = sqrt(t) -> dt = 2sqrt(t) dafür gesorgt dass man eben nicht dieses t^2 in der exponentialfunktion stehen habe. Dann kommt raus mit part. Abl.: 2 [lim(a->inf) [-e^(-t)*t]|(0->a) - [-e^(-t)]|(0->a)] und dann bekäme ich inf-inf. Ich weiss nicht was ich falsch gemacht habe xd
Also die Subsitution u=sqrt(t) hatte ich ja eigentlich auch gemacht (sqrt(t)=t^1/2) 🤔
@@entwurzler ja ich rechne es nochmal in Ruhe aus, passt perfekt da wir genau jetzt in HM2 (Uni) Integrale behandeln :D
@@entwurzler got it! ich hatte v = u^2 und u' = e^(-u^2) statt deinem Ansatz verwendet! Jetzt machts Sinn!
Je länger Du schreibst, umso kleiner wird Deine Schrift.
nur mathe schwitzer in den kommentaren und ich versteh die hälfte net geil!!!
wo hast du denn Fragen?
Willkommen in meinem Leben
Die Fakultät ist definiert als Produkt alle NATÜRLICHEN Zahlen von 1 bis n. Allerdings mit der Ausnahme, dass für n=0 die Fakultät gleich 1 ist.
1/2 is keine natürliche Zahl, also gibt es keine Fakultät von 1/2.
Die Gammafunktion ist eine Erweiterung der Fakultätsfunktion. Sie liefert für natürliche Zahlen die ursprüngliche Fakultät um 1 verschoben. So ist 3! = Gamm(4) = 6. Die Schreibweise (1/2)! = Gamma( 3/2) ist in diesem Zusammenhang eine durchaus übliche Schreibweise. Darauf hätte man im Video natürlich am Anfang auch hinweisen können.
@@berndkru Aber falls diese Gamma-Funktion für _natürliche Zahlen_ tatsächlich dasselbe Ergebnis liefert wie die Fakultätsfunktion, bedeutet das dann notwendigerweise, daß sie es auch für Brüche tut?
Imho nicht.
@@chunkrecords Die Fakultätsfunktion liefert ja nur Werte für natürliche Zahlen und deshalb stellt sich die Frage nicht. Die Gamma-Funktion ist eine echte Erweiterung der Fakultätsfunktion: Das bedeutet, dass sich die Ergebnisse der Fakultätsfunktion durch die Gamma-Funktion nicht verändern und dass bisherige Rechenregeln weiterhin gültig sind - dies betrifft die Regel (n+1)! = n! * (n+1).
@@berndkru
Sagen wir, ich hätte eine andere (meinetwegen Zeta-)Funktion, die ebenso funktioniert wie diese Gamma-Funktion, d.h. dieselben Werte ergibt für die Fakultäten, aber für Nicht-natürliche Zahlen andere Werte als die Gamma-Funktion.
Würdest du dann sagen, daß diese Zeta-Funktion eine "echte Erweiterung der Fakultätsfunktion" sei?
Falls ja: wieso kann dann eine Berechnung von (1/2)! mal das eine, mal das andere Ergebnis liefern? Es kann ja nicht sein, daß fac(0.5) einmal 0.88.. ist, dann aber auch 1.57.. (als Beispiel).
Falls nein: welche zusätzlichen Eigenschaften muß eine Funktion mitbringen, damit sie als "echte Erweiterung der Fakultätsfunktion" gelten kann?
P.S. Ich hab dazu mal den (wissenschaftlichen) Rechner auf meinem PC konsultiert, und der gibt mir bei der fac(x) raus:
1 : 1
0 : 1
0.5 : ~0.88..
-1 : Ungültige Eingabe
-2 : 10000. (mit Nachkommawerten)
-0.999999 : 100. (mit Nachkommawerten)
Das kommt mir alles sehr komisch vor.
@@chunkrecords Das wäre keine sinnvolle Erweiterung, ich hatte ja noch eine zusätzliche Eigenschaft genannt. Aber auch mit dieser Eigenschaft gibt es mehrere Möglichkeiten zu erweitern. Wenn es unterschiedliche Erweiterungsfunktionen gibt, so kann es natürlich auch unterschiedliche Werte geben, daran ist nichts komisch. Die Gamma Funktion hat in negativen Bereich Definitionslücken und damit sehr extreme Werte in der Nähe der Definitionslücken, aber ich kann die vollständigen Eigenschaften hier nicht alle aufführen. Lies einfach mal den Wikipedia Artikel "Gammafunktion", da ist sie umfangreich beschrieben. Wenn ich Werte der Gammafunktion berechnen will, mache ich das mit WolframAlpha, das ist für mich die Refenrenz bei Berechnungen.
Verstehe nichts 😢
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