МАТРИЧНОЕ БЕЗУМИЕ ИЗ ВЫШКИ!!! | ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

[@Profimatika_vyshmat]

Как Вам данный предел, сразу заметили связь с Фибоначчи или нет?)

[@nbasked]

несложно заметить, что ...

[@spaceshine909]

С превьюшкой и названием - сразу 🥸

[@alfal4239]

Заметили и ещё кое-что, поэтому без безумия:
1. a(n)*c(n) = b(n)^2 + (-1)^n - определитель исходной матрицы равен (-1)
2. c(n) = a(n) + b(n) - это получаем по индукции
После исключения b(n) находим нужный предел как больший корень
уравнения t^2 - 3t +1 = 0

[@alexeidubrovin5234]

Кто поопытней сразу увидит что здесь используется матричная конструкция для генерации чисел Фибоначчи начиная с 6 члена, так как на компьютере есть алгоритм для матриц соответствующий и возводить в степень быстрее, чем перебирать числа Фибоначчи, то и программисты должны этот трюк знать)

[@prog8123]

Тем самым задача решается за 1 минуту. Правда без строгого оформления.

[@hehedron8605]

заметим что

[@Geun-Wang_Nam]

Вернулся домой после пары по дискретке, где преполша пыталась объяснить перемножение матриц, но я ничего не понял. Как только тебя услышал, так сразу всё понял. Респект.

[@OlegLomakin756]

У меня на кружке в вузе была такая задача на семинаре )
За задачу лайк, за не строгое доказательство без индукции дизреспект
Если хотите, могу вам тоже покидать задач с олимпиад с моего вуза, там тоже есть прикольные

[@pronaxavagaming3524]

ДРУЖИЩЕ! Я ТОЖЕ ВЫВЕЛ ФОРМУЛУ НАХОЖДЕНИЯ N-ГО ЧЛЕНА РЯДА ФИБОНАЧИ! И, кстати, не только это ;)
Например, это очень плотно связанно с n-ной степенью числа φ :)
Если будет интересно, пиши ответ, я вывел ещё много-много формул по математике на разные темы🎉😊

[@kiki_van_gog]

Бл, сижу СЛАУ решаю методом крамера и матричными исчислениями, ужас, как сложно, не могу, как интересно, спасибо за ролик, чтобы отвлечься

[@covid0668]

Макс, го в следующем видосе интересные пределы разберешь?

[@forgetuses6318]

Есть же стандартный способ решения: симметричная матрица => диагонализируемая: A = S^-1 * B * S, где B - диагональная. A^n = (S^-1 B S)^n = S^-1 B * S * S^-1 * B *... * B * S = S^-1 * B^n * S. Найти S и B может каждый (задача на собственные числа и вектора), диагональную матрицу возвести в степень - тоже.

[@vp_arth]

А если решение очевидно, так как знаком со степенями матрицы ((0 1) (1 1)), можно решение не расписывать. Или не засчитают?
В видео всё равно всё на чуйке)

[@babyizanyat]

Напомнило задачку по проге, где надо с помощью как раз этой матрицы посчитать n-ое число Фибоначчи, там конечно матрица дана, и основная сложность в написании рекурсивной функции возведения матрицы в степень, короче я думаю твой подписчик увлекается программированием лол

[@silendil]

золотое сечение наиболее известно как 1.618, так что с точностью до второго знака скорее 1.62 будет

[@Matematicus_original]

11:43 - было отличное место для интеграции курса😅

[@Homomorph]

Дельта бета Альфа штрих...😂

[@TheCktulhu]

С самого начала было подозрения что в матрице числа фибоначчи.

[@kislyak_andrei]

15:06 там, где ты поставил обратно 5, должна быть не 5, а 8)) 😊

[@dlitvinov28]

лайк, у кого кашка увеличивается. репост, у кого горшочек варит

[@pavelkatkov5930]

Жалко что в названии видео спойлер. Айфон хорошо😂

[@andreiantonov7303]

Внезапно o1-preview решила эту задачу.
To solve this problem, we'll analyze the asymptotic behavior of (A_n) and (C_n) as (n \to \infty) by leveraging the eigenvalues and eigenvectors of the given matrix.
Step 1: Find Eigenvalues of the Matrix
Given the matrix:
[
M = \begin{bmatrix} 5 & 8 \ 8 & 13 \end{bmatrix}
]
The characteristic equation is:
[
\det(M - \lambda I) = 0
]
So:
[
(5 - \lambda)(13 - \lambda) - (8)(8) = 0
]
Simplify:
[
(65 - 18\lambda + \lambda^2) - 64 = 0 \
\lambda^2 - 18\lambda + 1 = 0
]
Solve for (\lambda):
[
\lambda = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4}}{2} = \frac{18 \pm 8\sqrt{5}}{2} = 9 \pm 4\sqrt{5}
]
So the eigenvalues are:
[
\lambda_1 = 9 + 4\sqrt{5}, \quad \lambda_2 = 9 - 4\sqrt{5}
]
Step 2: Find Eigenvectors Corresponding to Eigenvalues
For (\lambda_1 = 9 + 4\sqrt{5}), solving ((M - \lambda_1 I)v = 0) yields the eigenvector:
[
v_1 = \begin{bmatrix} 1 \ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}
]
Similarly, for (\lambda_2 = 9 - 4\sqrt{5}), the eigenvector is:
[
v_2 = \begin{bmatrix} 1 \ \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}
]
Step 3: Express (M^n) Using Eigen Decomposition
Since (M) is symmetric and diagonalizable:
[
M^n = P D^n P^{-1}
]
where (D) is the diagonal matrix of eigenvalues and (P) is the matrix of eigenvectors.
However, for large (n), the term involving the largest eigenvalue dominates. So, we approximate:
[
M^n \approx \lambda_1^n \frac{v_1 v_1^\top}{|v_1|^2}
]
Step 4: Calculate (\frac{C_n}{A_n})
Compute (\frac{C_n}{A_n}) using the approximation:
[
M^n \approx \lambda_1^n \left( \frac{v_1 v_1^\top}{|v_1|^2}
ight)
]
Since (A_n) is the (1,1) entry and (C_n) is the (2,2) entry of (M^n):
[
A_n \approx \lambda_1^n \frac{(v_1)_1^2}{|v_1|^2}, \quad C_n \approx \lambda_1^n \frac{(v_1)_2^2}{|v_1|^2}
]
So:
[
\frac{C_n}{A_n} \approx \frac{(v_1)_2^2}{(v_1)_1^2} = \left( \frac{(1 + \sqrt{5})/2}{1}
ight)^2 = \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
ight)^2 = \frac{(1 + \sqrt{5})^2}{4}
]
Compute numerator:
[
(1 + \sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}
]
Thus:
[
\frac{C_n}{A_n} \approx \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{(6 + 2\sqrt{5})/2}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}
]
Therefore, the limit is:
[
\lim_{n \to \infty} \frac{C_n}{A_n} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}
]
Answer: An explicit expression: limit Cₙ⁄Aₙ → (3 + √5) ÷ 2; that is, Cₙ⁄Aₙ → (3 + √5)/2.

[@lim0n4k2]

А что за программа в которой вы решаете задания?

[@Profimatika_vyshmat]

GoodNotes

[@SegantChe]

круто

[@bambu4ina434]

что я узнал за это видео: автор подписан на познякова

[@Profimatika_vyshmat]

@@bambu4ina434 Профиматика. Подписаться