Уравнение четвертой степени
HTML-код
- Опубликовано: 26 сен 2024
- Решаем уравнение 4-ой степени x^4+x^3-2x^2-3x-3=0
Индивидуальные занятия по Скайпу для школьников, студентов, учителей, репетиторов. ЕГЭ, ОГЭ, высшая математика. Начальный уровень значения не имеет.
Поддержать Проект: donationalerts....
Новая Группа ВКонтакте: volkovv...
Почта: uroki64@mail.ru
Прекрасно. И методом неопределённых коэффициентов тоже можно, но гораздо дольше.
В 5 утра я не нашёл не чего лучше, чем уравнение 4 степени)
Потому что ничего особо лучше и нет)
Правописание частиц и предлогов не- и ни- попробуйте🙂
@@РяхаИгоряхи а вы, пунктуацию)
@@dorentoo 🙂
Вопрос: так пойдёт🙄
Лучше только антропология Дробышевского в 5-30 🍒
Что значит "нам повезло" или "нам не повезло"? Почему нельзя строго его решить универсальной формулой?
Математика так не работает :)
Вернее, математика работает не только так. Хитрости и угадывания позволяют упрощать решения.
Пожалуйста, решайте, формула Феррари в помощь. Правда, она занимает целую страницу текста, и потом ещё корни по всей комплексной плоскости отлавливать, но теоретически можно.
@Иван Пожидаев а в формуле Кордано не надо корни по комплексной плоскости отлавливать?
Сосешь на коленах.саламуналецкум из Тоджикистона бапеш@@koleso1v
Для тех студентов, которые не умеют группировать.
_(Будет очень утомительно.)_
*Решение Феррари*
I. Соотнесем коэффициенты с формулой
x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0
x⁴ + x³ − 2x² − 3x − 3 = 0
II. Подставим их в уравнение резольвенты
y³ − by² + (ac − 4d)y − a²d + 4bd − c² = 0
y³ + 2y² + 9y + 18 = 0
Нам нужно найти КАКОЙ-НИБУДЬ один корень
(здесь по теореме о рациональных корнях
±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18)
(видим, что положительными корни быть не могут)
(перебираем корни −1, −2, −3, −6, −9, −18)
y₁ = −2
III. Подставим в уравнение
x² + ax/2 + y₁/2 = ±√[(a²/4 − b + y₁)x² + (ay₁/2 − c)x + y₁²/4 − d]
x² + x/2 − 1 = ±√(x²/4 + 2x + 4)
Увидим под корнем формулу квадрата суммы
_(она там будет всегда)_
n² + 2nm + m² = (n + m)²
x²/4 + 2x + 4 = (x/2 + 2)²
Преобразуем уравнение и получаем
x² + x/2 − 1 = ±(x/2 + 2)
Получаем 2 уравнения
x² − 3 = 0 и x² + x + 1 = 0
(x² − 3)(x² + x + 1) = 0
Решаем
x² − 3 = 0
x₁,₂ = ±√(3)
и
x² + x + 1 = 0
x₃,₄ = [−1 ± √(−3)] / 2
_(если знаем комплексные числа)_
= [−1 ± i√(3)] / 2 = −½ ± i[√(3)/2]
_(тригонометрический вид)_
= cos(2π/3) ± i sin(2π/3)
_(показательный вид)_
= e^[±i(2π/3)]
Ответ: x₁,₂ = ±√(3), x₃,₄ = e^[±i(2π/3)].
Для студентов, которые не умеют группировать?😅
Мы эти уравнения в 9 классе решаем сейчас
Гений
Большое спасибо! Понятно и просто объяснили👍
Всё подробно, Спасибо за решение.
Большое спасибо. Дочь 9 кл. и я поняли принцип- нужно упрощать уравнение. И Вы привели множество примеров этому процессу в одном уравнении. Так сказать : расширили горизонты.
Первая скобка даёт корни, только из множества комплексных чисел :)
Спасибо большое! Все понятненько стало
Прекрасно !Какой Вы умница. Восхищаюсь!
Большое спасибо очень хорошее объяснение я поставил паузу и решил уравнение оказалось я решил точно также как вы объясняли
Как всегда интересная подача материала. Смотрю все новинки с удовольствием. Благодарю автора и желаю творческих успехов и новых интересных видео! С уважением Татьяна
В 5 утра я не нашёл не чего лучше,чем уравнение 4 степени)
Вопрос к знатокам: можно ли придумать универсальный алгоритм решения таких уравнений, разложив тессеракт, подобно тому, как раскладывали квадрат и куб, придумывая формулы/алгоритмы решения квадратных и кубических уравнений?
Я ожидал, что Валерий будет использовать красивый способ неопределённых коэффициентов.
Понятно, но сама бы не догадалась. Надеюсь, это дело практики
Ну вот ,вот так надо объяснить всё ясно и прикрасно 😃
ПрИкрасно.
Но, всё-равно - красиво.)
(x^2-1)^2-4+x(x^2-3)=0, Дальше (х^2-3)(х^2+1)+х(х^2-3)=0, (х^2-3)(х^2+1+х)=0. Ответ: sqrt(3), -sqrt(3). Интересная задача.
да, а у меня свободный член 24, очень круто и православно
Я после первой строчки Вашего решения группировал так:
x^2-3+x(x^2-3)+x^2(x^2-3). Дальше как у Вас :)
Красавчик, очень помог
Можно ведь его решить методом Феррари.
Плюсы:
1.Не нужно подбирать корни. А что если все корни комплексные числа?
2. Не нужно придумывать никаких группировок, можно все четко по алгоритму и получить результат.
Ну да, но понятие метода займёт побольше времени :)
редко дается уравнение 4й степени с компл. или только иррац. корнями
обычно есть какой-то ключик, чтобы задача не была скучно-формульной
или хотя бы стоит понадеяться на это)
В общем случае получаются совершенно неудобоваримые выражения
Ага, особенно когда у кубической резольвенты окажется три действительных корня, которые надо составлять из двух комплексных частей :)
Спасибо за утреннюю зарядку для мозга .
Спасибо, всё понятно
Очень круто. Красиво!!!!!
Спасибо большое)
Великолепно!
Спасибо, ты меня спас!
Добрый день.
Когда дошли до выражения x^2(x^2 + x + 1) - 3(x^2 + x + 1) = 0 то можно поделить обе части уравнения на эту скобку. Получим сразу х^2 - 3 = 0. И не надо будет париться про дискриминанты.
Отличная задача и решение.
Круто! Большое спасибо
Почему при отрицательном дескреминанте нет корней? А как же комплексные числа?
А где сказано, что мы работаем с комплексными числами. Если бы мы работали с комплексными числами, то в условии нам бы это сказали
Очень интересно!
А есть какая нибудь литература, где можно подобные задачки посмотреть? (Может сборник задач по темам)
Конечно, нет, потому что этот метод называется "попасть пальцем в небо". Существует общее выражение для корней уравнения 4-й степени (формула Феррари), но там застрелиться можно.
Вот честно-не понимаю ничего в этом шараханьи иксов, цыфр... Что мы нашли, глядя на ответ????? Что это? Эти цыфры можно подставлять вместо икса? И если все это прибавить, вычесть, то будет этот самый-ноль? Как в самом уравнении??? Тоесть 1,732 подставить вместо икса, провести банальное сложение, вычетание и получим ноль?
А как быть с уравнением с сумасшедшими коэфициентами, в котором не повезёт с их группировкой?
Было всё понятно, спасибо.
Освежил свои знания
Уравнение x⁴+x³-2x²-3x-3=0 можно решить без метода неопределённых коэффициентов. Для этого его приводим к виду (x²+a)²+b(x+c)+d=0, где a,b,c и d числа, причём а≠0, b≠0, x - переменная. Применяя данные методы, получаем уравнение (x²-1)²+x(x²-3)-4=0. Далее, используя формулу сокращённого умножения и способ группировки, получаем новое уравнение:(x²-3)(x²+x+1)=0; т.е. x⁴+x³-2x²-3x-3=(x²-3)(x²+x+1). Решая 1-ый множитель, находим корни: ±sqrt3, 2-ой множитель не имеет корней(отриц. дискр.). Итак, уравнение x⁴+x³-2x²-3x-3=0 имеет 2 корня: x1=sqrt3; x2=-sqrt3.
Добрый день!
Расскажите о методе неопределенных коэффициентов, пожалуйста. Например, для уравнения: x^4-2sqrt(7)x^2+x+7-sqrt(7)=0
Заранее спасибо)
Метод неопределенных коэффициентов смотрите здесь:
ruclips.net/video/A7shQ2gf7ho/видео.html
Это ж гениально
Не помню,почему первое выражение отрицательное.забыла кое какой смысл.50 лет.как закончила школу.но помогать внукам надо.переносим 1 на другую сторону с минусом.и дальше объяснения если можно
Понятненько
Здорово!
Поясните пожалуйста, почему все-таки пустое множество? Мы в школе учим писать нет корней. Обосновывая тем, что задание решить уравнение, т.е. найти корни, удовлетворяющие равенству, а не найти множество...
Раньше я тоже быстро писала значек, а на курсах профессор пояснил разницу. И что так детей учить нельзя!
Так все-таки это принципиално важно?
Каково ваше мнение?
В задачниках и сборниках в том числе и олимпиадных задач в ответах пишут знак пустого множества, поэтому Вам решать, как писать ответ. По смыслу это означает, что множество решений (корней) равно пустому множеству.
Спасибо!
спасибо, помог
Отлично
Иногда лучше чуть подумать, чем решать это в столбик.
так ты и не решишь
спасибо
Круто!
1минутная пример, а нету у вас потруднее, который нужно думать долго
Спасибо. Я родитель
Спасибо
Крутяк!😀
Напишите программа вуза?И какой факультет? пжста
Я сам решил:) Свернул по произведению выражений: (x^2 - 3)*(x^2 + x + 1) = 0, получил x = +- sqrt(3).
А почему не хотите комплексные корни искать?
Ты просил пару слов в комментах
(x²-6x)²-2(x-3)²=81
Я не понял. Откуда и как вы нашли х^2-3х^2 уже четвертый раз смотрю не понимаю.
У нас есть-2х^,а это то же самое,что(x^- 3x^)
Формула Феррари?
Бальшоя спасіба ви в краткам абйснялі но панятна пасіба ішорас✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨🔥✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨
👍
Из графика очевидно, что уравнение имеет ровно два корня. Следовательно очевидно, что многочлен разлагается на два линейных двучлена и неразлагаемый квадратный трёхчлен.
Уравнение 4-й степени имеет всегда 4 корня, в данном случае, 2 вещественных и 2 комплесно-сопряжённых
@@dmitriys2973 он все верно сказал. Неразлагаемый квадратный трёхчлен и есть два комплексно сопряжённых корня.
Есть ли общий принцип решения уравнений 4-й степени, подобный принципу решения квадратных уравнений?
деление многочленов или неопределённых коэффициентов
есть общий метод Феррари, но он сводится к кубическому уравнению, которое может иметь плохие корни
Интересно, но для уравнения четвёртой степени формула Феррари есть.
Очень сложно. Проверять сразу нужно не только делители, но и их квадратные корни. Тогда сразу все очевидно
Метод Феррари?)))
Круто
Ваше решение тоже интересное. Моё выше.
И какое у тебя?
Добавить и отнять x^2.😁
ВСЕМ ПРИВЕТ. ПРОВЕРКА ДЕЛИТЕЛЕЙ СВ. ЧЛЕНА ЭТО ХОРОШО ,А ДАЛЬШЕ СГРУППИРОВАТЬ ИКС В ЧЕТВ. СТЕПЕНИ,ИКС В КВДРАТЕ И МИНУС ТРИ И ИКС В КУБЕ И МИНУС ТРИ Х...
Можно было сразу предположить, что множители у 3, кроме +_1, +_3, могут быть +_ корень из 3
А я только Горнером умею😅
Я думал методом Феррари решите
Омг не надо
@@mathphys685 :)
идея понятна
а если не повезло?
А можно через теорему Безу решить?
Можно, но предполагать множители свободного члена +_1, +_3, +_ корень из 3
Наталия Ренёва как это?
Микрофон так свести, что больно слушать
А комплексные числа теперь в школе не проходят?
Алексей Камкин в профильных лицеях проходят, в общеобразовательных нет.
А если бы такой метод не прошел?
Несколько слов
Это почти такое же возвратное уравнение?
@@animaaad сорри
@@animaaad за свою глупость
@Иван Пожидаев мне уже отвечали 7 месяцев назад
опять развратное уравнение?
Пара слов
корни плюс минус корень из 3 угадываются за 1 мин, далее деление многочленов. Решается в уме, видео не смотрел. Для 6 летних детей из физматдетсада.
нихрена не понятно не умеет объяснять
Почему-то Вам не понятно, когда остальным, включая меня - всё понятно. Так в ком проблема, в авторе видео, или в Вас, прошу прощения?
Рассуждения, которые предваряют преобразования, неубедительны. Проще признать, что в данном случае мы просто угадываем ход решения. Если идти в поиске решения логичным путём, то следует несомненно нарисовать эскиз графика левой части. (это не сложно сделать). После этого становится очевидным, что левая часть разлагается на два квадратных трёхчлена, у одного из которых отрицательный дискриминант, а у другого положительный. Это существенно продвигает нас на пути к поиску решения. Но угадывать приходится всё равно. Как говорила наша преподаватель Вентцель, задача решается методом внимательного всматривания.
как график поможет разложить левую часть?
Oleg Urbant уравнение решается методом неопределенных коэффициентов без эскизов
И способ совершенно нормальный - метод группировки в действии. По идее, школьник 8-го класса способен решить это. Знания о группировке и о корнях
Спасибо .
@@arthurmolchanov6510.
Спасибо!
👍
а почему нет целых корней? схема Горнера не работает здесь. Почему?
если иррациональние корни тогда не работает?
Почему если коэфф-т старшей степени единица, то мы смотрим делители свободного члена?