Stetigkeit von Funktionen (Epsilon-Delta-Definition)
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- Опубликовано: 23 июл 2024
- Eine Funktion ist stetig, wenn man sie malen kann ohne den Stift abzusetzen? Guter Anfang. In diesem Video lernst du die aktuell am häufigsten verwendete Definition, die Epsilon-Delta-Definition, der Stetigkeit kennen, sowie einen coolen Trick, um in Sekunden die Stetigkeit in einem Punkt rechnerisch zu überprüfen.
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Inhalt:
0:00 Wie kannst du dir Stetigkeit vorstellen?
0:41 Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit
1:11 Beispiel: stetige/unstetige Funktion
2:23 Einfacher Trick für Stetigkeit (Herleitung)
3:57 Überprüfung an den Beispielen
4:37 Zusammenfassung
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Warum #MathePeter:
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Für die Uni bist du der beste Mathe-Kanal den es gibt!
Zwar traurig, dass ich erst jetzt (2.MA Semester) das Epsilon-Delta-Kriterium verstanden habe, aber ich danke dir, dass es zumindest noch passiert ist. :D
Besser spät als nie 😄
Cool dass du trotzdem noch drüber nachdenkst, obwohl du damit ja schon ne Weile durch bist!
Alles gut ich bin im 4. und habs jetzt verstanden erst hahah ich wusste bis heute nichts von dieser Äquivalenz
@Bastian 111 bester Mann😂 wo studierst du eigentlich bro?
@Bastian 111 bwoah bei mir auch,und jetzt kommt der Klausur in 10 Tage....
Du bist einfach ein Held
vielen Dank für deine ganzen tollen Videos. mach weiter so :))
2:01 OH MEIN GOTT
Danke für diese Erklärung!
mindestens so gut wie die Videos von Daniel Jung und TheSimpleMaths!
Ich finde ihn besser da er mehr ins Detail geht
Vergleiche MathePeter nicht mit SimpleMaths. Da sind Welten dazwischen ;)
Dein Ernst? Wie kannst du ihn bitte mit solchen Deppen wie SimpleClub vergleichen?
@@felixgrote8839 So siehts aus, ich hab keine Ahnung wie deren Kanäle so groß werden konnten. Für die Schule sind die sicher in Ordnung, aber für die Uni braucht es Daniel Jung und MathePeter.
Top Video wie immer!
Sehr schönes video, danke dir!
Du erklärst unfassbar gut, danke!!!
Das Video ist super 👍
Vielen dank Peter
Die Generation die in der Schule simple club und Daniel jung geguckt haben, sind im Studium angekommen und dein kanal wird bestimmt viral gehen 😅
Haha vielen Dank. Ich hoffe es 😄
Ich gehe nicht in meine Mathe Vorlesungen. Deine Videos erklären die Themen eh viel besser
Sehr verständlich erklärt, Danke!
bester mann!
you deserve viele likes.
DANKE DANKE DANKE
größter ehrenmann
Schönes Video Peter ! ,was ist dein Background ?
Schön zu wissen, dass das eigentlich voll easy ist😂
Ich liebe dich!
❤️
Tolles Video! - Danke Peter :D
Darf man fragen was du studiert hast? :) Ich gebe mir Fahrzeug Motoren Technik ^^
Voll gut, bleib dran! Habe größten Respekt vor Ingenieuren. Ich selbst hab Mathe studiert, werde aber noch meinen Master dran hängen, wenn ich mit den Videos gut voran komme :)
@@MathePeter stark 💪 viel Erfolg dabei
Danke dir auch! Sag Bescheid, wenn ich irgendwo weiter helfen kann oder wenn du mal im Studium coole Anwendungen von Mathe findest, die dich begeistern. Bin selbst immer auf der Suche nach spannenden Anwendungen.
@@MathePeter gerne - mach ich!
Warum setzt man immer beim Testen auf Stetigkeit den genauen x Wert ein und keinen kleineren Wert als x? Untersucht man bei mehrteiligen Funktion auch die Definitions Lücken oder nur Übergangs Stellen?
Weil du unendlich nah ran gehen willst an den x-Wert. Wenn du einen kleineren oder größeren einsetzt, ist das kein Grenzwert mehr.
Warum macht man zwei mal stetig diffbar bzw. wozu soll das gut sein?
In Beziehung zu interpolierenden Splines verstehe ich die zwei mal stetige Differenzierbarkeit nicht.
Wäre dankbar, wenn du mir da weiter hilfst.
Meistens wird das gefordert, weil in der Berechnung oder dem Beweis die entsprechende Ableitung gebraucht wird. Manchmal reichen aber auch schwächere Bedingungen. Dann wird es oft aus Faulheit trotzdem gefordert, weil es in der Anwendung darauf nicht so genau ankommt. Was so besonders ist an z.B. "zwei mal stetig differenzierbar": Man kann die Funktion 2 mal ableiten und diese 2. Ableitung ist dann sogar noch stetig! Je nachdem, was man damit anstellen will, sind die Voraussetzungen wichtig.
wie würde ich denn f(x) = e^-1/x^2 auf stetigkeit untersuchen und ggf stetig ergänzen ?
Gibt nur eine Unstetigkeit und zwar dort, wo du durch Null teilst; bei x=0. Der Grenzwert von links und rechts gegen die Null ergibt f(0)="e^(-∞)"=0. Das ist die stetige Fortsetzung. Allerdings Vorsicht! Im Reellen scheint es eine hebbare Singularität zu sein, weil du mit f(0)=0 scheinbar stetig fortsetzen kannst. Im Komplexen ist das allerdings eine Wesentliche Singularität, denn wenn du dich aus der Richtung z=i*y an die Null annäherst (i=wurzel(-1)), dann schießt die Funktion bis in die Unendlichkeit: ruclips.net/video/UC_ZTbDVWTM/видео.html
Klär also erst mal ab, ob das eine reelle oder eine komplexe Funktion ist.
Ehre
Wie bestimmt man, denn den links bzw. rechtsseitigen Grenzwert, durch einsetzten einer unendlich hohen negativen und positiven Zahl? Weil bei uns war zum Beispiel in einer Aufgabe nur gefordert, die Stetigkeit der jeweiligen Funktionen zu beweisen. Dürfte ich dich auch fragen, wie man die Funktionsgrenzwerte in den jeweiligen fehlenden Stellen des Definitonsbereichs von Funktionen berechnen kann? :S Und vielen Dank für deine sehr hilfreichen Videos!
Der Grenzwert von unendlich hohen negativen und positiven Zahlen, also die Grenzwerte x -> ∞ und x -> -∞, können nur einseitig berechnet werden, weil man sich ja der Unendlichkeit nicht von "oben" und der -Unendlichkeit nicht von "unten" annähern kann. Ansonsten hab ich dir mal alle Fälle von Grenzwerten hier in diesem Video zusammengefasst: ruclips.net/video/GJsmOANPJlQ/видео.html
@@MathePeter Ok, vielen Dank für die schnelle Antwort habe mir das Video auch angeschaut :D Die Frage die sich bei mir stellt ist, wenn ich die Stetigkeit einer Funktion beweisen möchte und die Formel, die du auch in deinem Video erklärt hast mit f(x)-(x0)=0 benutze und beide gleichstelle, wie komme ich dann zum Ergebnis, muss ich für f(x0) beliebige Werte einsetzen? Also das klingt vielleicht einfach dumm, aber ich habe ja auf beiden Seiten das gleiche stehen, das eine mit x0? Tut mir echt leid, aber ich habe das Thema noch nicht so ganz verstanden. Habe mir die Vorlesungsfolien nochmal mehrmals angeschaut und auch schon paar Videos auf RUclips :(
@@Zugo99 Willst du die Stetigkeit der gesamten Funktion rausfinden oder nur die Stetigkeit in einem einzelnen Punkt x0?
@@MathePeter Also uns wurde zum Beispiel in der Aufgabe eine gesamte Funktion mit dem jeweiligen Definitionsbereich angegeben und die Aufgabe war es dann von der Funktion die Stetigkeit zu beweisen. Eine der Funktionen lautet zum Beispiel : (x^2-9)(4-x^2)/x^2+x-6 mit dem Definitionsbereich, dass alle Reellen Zahlen bis auf die -3 und 2 zugelassen sind. Ich habe da bis jetzt die Funktion zusammengefasst, indem ich die binomischen Formeln benutzt habe, aber ich weiß nicht so genau wie man dabei die Stetigkeit beweisen soll. Ein Punkt x0 oder des Ähnlichen war nicht gegeben.
Ok ich fasse kurz zusammen, damit es übersichtlich bleibt. Gegeben ist die Funktion f(x)=(x^2-9)(4-x^2)/(x^2+x-6) und die Aufgabe ist: Überprüfe die Funktion f auf Stetigkeit, richtig? Die Funktion ist überall stetig, wo sie definiert ist.
In deiner Vorlesung wurde wahrscheinlich bewiesen, dass Polynome, Wurzeln, Betragsfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmus, sin, cos,... alle stetige Funktionen sind. Außerdem wurde dann auch bewiesen, dass die Summe, Differenz, Multiplikation, Division (außer durch 0) und Verkettung stetiger Funktionen weiterhin stetig bleibt. Das hinzuschreiben, reicht in der Regel für den Nachweis.
Edit: Ehrlich gesagt glaub ich in deiner Aufgabe steht noch etwas, weil sonst ist die Frage viel zu einfach beantwortet.
was ist mit dem x0+/- gemeint zb wenn ich den wert x0=1 habe muss ich dann -1 und 1 einsetzen oder wie?
Nein. Das bedeutet nur, dass du dich einmal von der Minus Seite aus an x0 annäherst und einmal von der Plus Seite aus. Das sind die Bezeichnungen für den links- und rechtsseitigen Grenzwert.
@@MathePeter okay dankee
Eine Frage hätte ich noch, wenn eine Funktion stetig ist, dann ist sie doch automatisch auch Lipschitz also man kann einen reellen Faktor finden, dem Epsilon und Sigma mal Faktor gleichsetzt. Ich verstehe nicht ganz den Sinn hinter Lipschitz oder wann eine Fuktion zwar stetig aber nicht Lipschitz sein kann.
Umgedreht: Wenn eine Funktion Lipschitzstetig ist, dann ist sie auch stetig. Lipschitzstetigkeit kannst du dir so vorstellen, dass der Anstieg aller Sekanten beschränkt ist, was zB bei f(x)=1/x nicht der Fall ist.
Hallo ich soll untersuchen ob eine Funktion in ganz R stetig ist, wie mach ich das denn dann?
Jede Grundfunktion (x,x^2,x^3,...,wurzel(x),e^x,ln(x),sin(x),cos(x),1/x,...) ist auf ihrem Definitionsbereich stetig. Summe, Differenz, Produkt, Quotient (außer durch 0) und jegliche Verkettung stetiger Funktionen bleibt eine stetige Funktion. Diese Begründung schreibt du auf. Für die Untersuchung in einzelnen Punkten (z.B. der Übergangspunkt in geteilten Funktionen) kannst du die Rechnung aus diesem Video benutzen :)
@@MathePeter Ja super, ich habe das nämlich auch in etwa so begründet. Es ging um die sogenannte Sigmoid Funktion. Das ganze hat die Form eines Quotienten.
Der Zähler des Quotienten ist 1( also eine lineare Funktion und damit stetig ) und der Nenner ist
1+e^-x(also eine exponentionale Funktion und damit auch stetig) und damit ist die ganze Funktion als Verkettung stetiger Funktionen ebenfalls stetig
Genau so hätte ich es auch gemacht! :)
Woher weiß man welche Punkte man Stetigkeit prüfen soll? Nur sprungstellen und definitions Lücken oder?
Meist wird der Punkt vorgegeben, den man untersuchen soll. Ansonsten ist ja nahezu jede Funktion stetig, die man sich spontan ausdenken kann. Interessant wirds nur bei abschnittsweise definierten Funktionen. Da sollte dann der Übergangspunkt untersucht werden.
@@MathePeter OK, aber was ist dann die zu untersuchende Stelle bei einer bruch Funktion, die definitions Lücke?
Ja genau.
Edit: Wenn der Nenner einer Funktion Null wird, ist die Funktion dort nicht stetig, das braucht man nicht mal untersuchen. Die Stelle bzgl. Stetigkeit zu untersuchen macht nur dann Sinn, wenn für diesen Punkt ein anderer Funktionswert definiert ist. Dann bist du aber wieder bei "abschnittsweise definierte Funktion".
Ich hab eine weitere frage, wie untersuche ich die Stetigkeit einer Funktion in einem Intervall [a,b]?
In deiner Vorlesung wurde wahrscheinlich bewiesen, dass Polynome, Wurzeln, Betragsfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmus, sin, cos,... alle stetige Funktionen sind. Außerdem wurde dann auch bewiesen, dass die Summe, Differenz, Multiplikation, Division (außer durch 0) und Verkettung stetiger Funktionen weiterhin stetig bleibt. Das hinzuschreiben, reicht in der Regel für den Nachweis.
@@MathePeter Vielen lieben Dank, dass du mir in dieser Hinsicht hilfst und solche tollen Videos veröffentlichst. Verstehe ich es richtig, dass man nur Stückweise definierte Funktionen auf Stetigkeit zu untersuchen braucht?
Danke dir! :)
Theoretisch kann eine Funktion auch nur in einem einzelnen Punkt definiert sein, dann ist sie nach der Definition ebenfalls stetig. Generell kannst du dir merken: Es gibt bei Funktionen nur 3 Arten von Unstetigkeiten. Polstelle, Lücke und Sprungstelle.
@@MathePeter Nur nochmal für mich zum Verständnis es würde beispielsweise bei f(x) = xlnx-ax ; xe(1;10) als Stetigkeitsnachweis ausreichen zu schreiben: Die folgende Funktion ist stetig, da sie eine Verkettung stetiger Funktionen (Logarithmus + Lineare Funktion) darstellt?
@@andrekothen7029 Genau :)
Wie bestimmt man den Grenzwert von links und rechts? Mich verwirrt das beidseitige...
Dann schau dir am besten mein Video dazu an: ruclips.net/video/GJsmOANPJlQ/видео.html
Ignorier einfach die Seite von der du kommst und setz einfach nur die Zahl in den Term ein. Wenn ein schönes Ergebnis rauskommt, war die Richtung egal. Nur wenn du durch "0" teilst, dann ist wichtig, ob durch "+0" oder durch "-0".
Hey
du meintest ja für die Stetigkeit mittels Folgenkriterium muss man ALLE Folgen betrachten, die gegen x0 konvergieren. Jetzt wollte ich wissen ob das analog auch für einen Grenzwert der Fall ist. Also wenn man den Grenzwert in x0 wissen will, muss man auch ALLE Folgen betrachten die gegen x0 konvergieren?
Bspw für die Funktion
f(x) = (3x (x-2))/x-2
würde das dann konkret bedeuten, dass die Folgen xn = 2 - 1/n und xn = 2 + 1/n NICHT ausreichen um zu sagen/beweisen, dass der Grenzwert= 6 ist?
Wenn die Funktion stetig ist im Punkt x0, dann ist es für den Grenzwert ja egal von welcher Seite aus man sich annähert. Kommt immer das gleiche bei raus.
@@MathePeter und wenn ich nicht weiß ob sie in x0 stetig ist? Wenn ich eine Definitonslücke habe zb. Dann kann es ja einmal sein, dass sie hebbar ist und einmal das die Funktion dort ins unendliche abhaut. Dann reicht es nicht nur eine Folge von x-Werten zu betrachten? Oder vlt doch?🤔
Wenn du nicht weißt, ob die Funktion in dem Punkt stetig ist, müsstest du ALLE Folgen betrachten, die gegen x0 konvergieren. Das könnte sich als etwas kompliziert gestalten.
wenn man kein x0 gegeben hat kann man sich dann eins raussuchen oder muss man mit x0 rechnen ?
Wenn ein x0 gegeben ist, heißt das ja nur, dass die Stetigkeit in diesem einen Punkt gesucht ist. Wenn kein x0 gegeben ist, dann ist die Stetigkeit in jedem Punkt gesucht. Dann muss man allgemein mit der Definition arbeiten.
@@MathePeter danke schön ^^
Wenn man Stetigkeit mittels Folgenkriterium in der Stelle x0 beweisen will, ist es doch egal wie die Folge aussieht solange sie nur gegen x0 konvergiert oder?
Mittels Folgenkriterium muss man ALLE Folgen betrachten, die gegen x0 konvergieren. Das machts im allgemeinen schwieriger. Wenn du allerdings nur eine Folge, die gegen x0 konvergiert, finden kannst, bei der das Kriterium versagt, dann ist die Funktion unstetig. Also Unstetigkeit lässt sich mit dem Kriterium ausgezeichnet nachweisen.
@@MathePeter verstehe. Und wie ist das mit dem Grenzwert? Also wenn man eine Grenzwertbetrachtung einer Funktion x-->x0 mittels einer Folge machen will. Ist es da egal welche Folge solange sie nur gegen x0 konvergiert? Wenn ich also nur wissen will wie der Grenzwert f(x0) lautet
Wenn die Funktion in x0 stetig ist, dann ist es egal welche Folge man nimmt.
@@MathePeter und wenn es in x0 ein hebbare Lücke gibt ist es auch egal welche Folge oder?
In dem Fall ist die Funktion ja nicht definiert an der Lücke, darum geht auch hier nicht das Vertauschen von limes und Funktionsanweisung.
Wähle ich Delta und Epsilon immer mit 0?
Was genau meinst du "mit Null wählen"?
@@MathePeter Ich glaube die Frage kommt aus der gleichmäßigen Stetigkeit, bei der ja geschaut wird, ob der Graph des Rechteck, mit Delta * Epsilon, zur Seite oder auch nach oben oder unten verlässt. Da ist dann ja die Gleichmäßigkeit der Stetigkeit abhängig von dem Rechteck, also auch von dem gewählten Epsilon und Delta.
Offen bleibt jedoch, warum man Epsilon als "alle Epsilon > 0" beschreibt, anstatt zu sagen, dass der Limes von f(x) mit x -> x0 = f(x0) sein soll.
5 geht nicht, da Epsilon auch 1 sein kann und 1 geht dann nicht weil Epsilon auch 0,1 sein kann oder wie? Aber da steht doch für alle Epsilon gilt. Somit gilt es doch auch für alle.
Ja genau, für alle Epsilon lässt sich ein entsprechendes Delta finden, um die Differenz zu rechtfertigen.
Man könnte ja theoretisch die Stetigkeit auch mittels Folgekriterium beweisen
Ja genau! Dazu wird es auch noch ein Video geben :)
@@MathePeter über ein Video zum Folgenkriterium mit Beispielen würde ich mich auch sehr freuen :-)
Bin ich der einziger, der kein Bild sieht ?
Sollte eigentlich funktionieren. Probiers noch mal.