Stetigkeit: Epsilon-Delta-Kriterium sehr ausführlich (Beispiel mit Quotient aus Polynomen)
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- Опубликовано: 6 окт 2024
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Gott segne diesen Mann und seine Familie!
Auch wenn das nichts ausmacht in der Rechnung.
Aber damit es bei den Leuten die das Thema neu eingeführt bekommen nicht zur Verwirrung kommt:
Ja, am Anfang hat er |f(x) - f(x_0)| vertauscht zu |f(x_0) - f(x)|. Macht aber nichts aus.
Haben gerade Epsilon-Delta eingeführt…danke fürs Video, hat mir ein einer Stelle (v.a. das Wählen des Deltas weitergeholfen, manchmal braucht man so Sachen, die man erst einmal vorher irgendwo gesehen haben muss…)!!!
Oh endlich hab ich das verstanden. Vielen Dank. Jetzt frage ich mich nur noch was man am Ende rausbekommen würde, wenn die Funktion nicht stetig ist. Sagen wir man soll eine Funktion, die man sich jetzt nicht unbedingt vorstellen kann auf Stetigkeit überprüfen. Also beginnt man mal mit dem was Sie uns gerade so gut erklärt haben. Aber in welchem Schritt und wie kann ich dann sicher von Unstetigkeit ausgehen? Schonmal vielen Dank für die Antwort 😀 Wünsche noch einen schönen Tag 😀
Danke für das Feedback. Das bekannteste Beispiel einer nicht-stetigen Funktion ist die Dirichlet-Funktion. Diese ist 1, falls x rational und 0 falls x irrational ist. Sie springt also die ganze Zeit zwischen 0 und 1 hin und her. Das Problem hier ist, dass egal wie klein du delta>0 machst, findest du immer x,y mit |x-y|
@@algebraba2911 hallo! Wenn ich x_0=8 habe, kann ich diese Zahl einfach einsetzen überall, wo x_0 steht?
@@Peak865 ja
...
ehrlich gut erklärt und gezeigt
Warum ist bei 3:55 aufeinmal nun |f(xo)-f(x)| und nicht wie vorher |f(x)-f(xo)| ?
Das war leider didaktisch nicht sehr gut von mir, aber tatsächlich ist das der gleiche Ausdruck, da der Abstand zwischen zwei Punkten symmetrisch ist, d.h. |f(x0)-f(x)|=|f(x)-f(x0)|.
Dreieckungleichung bei 09:40? Da gilt doch Gleichheit, oder habe ich da was übersehen?
Welche Stelle meinst du genau? |(x_0+x)(x_0-x)|
Nur wenn man mathematisch völlig unerfahren ist muss man überlegen ,ob diese Funktion überall stetig ist. Für x-> + od. - unendlich
hat man den Grenzwert 1. Es kann also nirgends eine Unstetigkeit auftreten.
als du die 5 rausgezogen hast hätten wir doch schon ein delta bestimmen können, oder nicht? 5 * |x-x0| < 5 * delta^2 und dann gleich epsylon, durch 5 teilen und die wurzel ziehen dann hätte man delta min = {0, wurzel aus epsilon/5} und 0, weil wir in R sind und dort jede wurzel von x >= 0 ist
Mit Quadraten musst du vorsichtigt sein. Hierfür bräuchtest du die Abschätzung 5*|x0^2-x^2|
Ich muss zugeben irgendwie erschließt sich mir das thema nicht
Mittlerweile verstanden? Grundlegend hilft es, wenn man weiß, was überhaupt zu tun ist, also die Arbeitsschritte. Nicht unbedingt warum, sondern nur das Ziel. Das Ziel ist es von |f(x)-f(x_0)|
Es tut mir Leid, dass du Schwierigkeiten mit dem Thema hast. Wenn du dein Problem etwas präziser beschreiben könntest, würde ich noch ein Video machen, in dem ich konkret versuche, auf dein Verständnisproblem einzugehen.
Warum wird der Nenner im Bruch aber beim Minute 16:00 jetzt zum Beispiel ignoriert. Nur weil wir sagen können dass es größer als 16 ist können wir denn dann ignorieren?
Es kommt immer darauf an, was man erreichen möchte. Hier wollen wir einen möglichst einfachen Ausdruck erhalten, den wir abschätzen können und daher machen wir uns zu nutze, dass für einen Bruch a/b =1 ist. Können wir also letztlich a irgendwie abschätzen, dann gilt diese Abschätzung auch für a/b (sofern b>=1).
Die Funktion ist aber nicht gleichmäßig stetig!
Außerdem kann man auch die quadratische Gleichung: delta * ( delta + 2 |x_0|) - epsilon = 0 direkt lösen.
Das ist richtig. Es gibt eben (fast) immer mehrere Wege, eine Aussage zu zeigen :)
von wo kommt aber die definition, dass delta das Minimum von 1 und einer Funktion f(epsilon, x0) ist?
Von wo kommt diese 1?? ich sehe das zum ersten mal? (könnte auch meine schuld sein natürlich)
Kann ich also bei jedem beispiel einfach das Delta als das Minimum von 1 und so einer funktion nehmen?
Ja, man kann delta immer so definieren, dass es ein Minimum aus verschiedenen Ausdrücken ist. Wenn du an die Stetigkeitsaussage denkst, ist diese ja als "Für jedes epsilon>0 existiert ein delta>0...". Es spielt dabei jedoch keine Rolle, wie groß delta genau ist, solange es "seinen Job (passende Abschätzung)" macht.
Es muss auch nicht zwangsläufig eine Konstante dabei sein. Es könnten sogar beide Ausdrücke über die das Minimum gebildet wird von x_0 abhängen. Wie genau man darauf kommt, ist leider sehr unterschiedlich und hängt von der Funktion und den Abschätzungen ab, die gemacht werden. Hier war es halt praktisch delta durch 1 abschätzen zu können (ca. bei 12:35). Wichtig ist nur, durch diese Minimumsbildung darf delta>0 nicht verletzt werden. Sollte delta
Woher weiß man dass Delta kleiner gleich 1 ist
Man kann delta als das Minimum von verschiedenen Ausdrücken definieren. Wichtig ist nur, dass delta am Ende nur von epsilon und x_0 abhängt. Wenn die Abschätzung delta
warum muss man delta = min von 1 und dem Bruch schreiben und nicht nur = dem Bruch?
Das muss man nicht zwangsweise. Aber wenn man in dem Beweis das Gefühl hat, es wäre leichter wenn delta
ab 12:10 wird eine wahl des deltas getroffen, ich weiss aber nicht warum du ein delta zu 1 machen kannst ohne dass das andere delta auch zu 1 wird. Können wir in einem quadratischen Ausdruck immer ein delta beliebig wählen(in deinem Fall 1) und dann das andere delta so wählen dass sich alles so wegkürzt so dass epsilon alleine bleibt?
Du kannst mit Delta relativ beliebig umgehen. Es darf nur nicht von x abhängen, aber sehr wohl von der Stelle x_0 an der wir die Betrachtung durchführen (selbst wenn diese auch beliebig sein sollte). Wenn es dir im Verlauf deiner Überlegungen nützlich erscheint, zu sagen delta sollte kleiner gleich 1 oder 2 oder irgendeinem festen Wert sein, dann kannst du das tun, indem dann eben das Minimum über verschiedene Werte unter denen delta liegen soll nimmst. Damit reden wir letztlich nicht von verschiedenen Deltas, sondern eben von verschiedenen Schranken, die aber dann von EINEM Delta alle erfüllt werden müssen.