Epsilon Delta Kriterium - STETIGKEIT von Funktionen beweisen, Wurzel x Beweis, Beispiel
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- Опубликовано: 8 июл 2024
- Epsilon Delta Kriterium
In diesem Mathe Lernvideo geht es um das epsilon delta Kriterium, das man dazu verwendet, um die Stetigkeit von Funktionen zu beweisen. Ich erkläre Schritt für Schritt an Beispielen wie man beweisen kann, dass die lineare Funktion f(x)=3x und die Wurzelfunktion Wurzel x stetig sind. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Epsilon Delta Kriterium
2:45 Beispiel 1: Stetigkeit lineare Funktion f(x)=3x
5:58 Beispiel 2: Stetigkeit der Wurzelfunktion Wurzel x sqrt(x)
13:21 Bis zum nächsten Video :)
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Ich wollte mich nur mal bedanken. Du wirst so manche nahende Depression eines Mathematikstudenten abwehren. 👍
Eine Frage, Du sprichts die ganze Zeit davon, dass die Wurzel ja größer als 0 ist, aber im allgemeinen hat eine Quadratwurzel doch immer zwei Lösungen (bsp sqrt(4) = 2 und -2 ). Wieso können wir die negative Lösung vernachlässigen?
@@juliusgummersbach6391 Nein, sqrt(4) hat nur die Lösung 2. Was du meinst, ist -sqrt(4). Das hat die Lösung -2. Vermutlich kommst du darauf, dass man eine beliebige Variable quadriert zwei Lösungen hat, da man ja die positive und negative Wurzel ziehen muss.
Ich hatte sehr starke schmerzen, mittlerweile nicht mehr. Du bist meine Ibu 800 ❤️
Ach herrje, das ist ja süß 🥰
Fühl ich
"so, das sagt einem erstmal gar nichts", absolut war, ich wünschte Professoren würden auch endlich mal zu dieser Erkenntnis kommen und nicht davon ausgehen, dass man ein Thema, nur weil sie es formal eingeführt und bewiesen haben auch kann. Auf die Idee da mal ein, zwei Aufgaben vorzurechnen kommen die nie. Aber ist ja verständlich, sonst würde man ja die Dinge die man braucht auch tatsächlich vernünftig beigebracht bekommen, das geht natürlich nicht. Meinen Respekt an Menschen die vor den Zeiten von You Tube studiert haben und sich durch Mathematik Lehrbücher wälzen mussten, in der Hoffnung dort die Erleuchtung zu finden.
Du bist immer meine erste Hilfe für Mathematik für Informatiker. Dank dir habe ich meine erste Klausur bestanden. Ich hoffe auch dass ich die zweite schaffe.
Dein Video hat 4 Minuten gebraucht (wenn man 2x nur 2min), um alle meine Schwierigkeiten mit diesem Thema aus der Welt zu schaffen! Vielen Dank!
Ich muss dir echt ein Kompliment machen! Ich frische durch dich viele Kenntnisse wieder auf. Gebe selbst auch hin und wieder Nachhilfe. Von deiner Strukturiertheit, Ruhe und stimmlich transportieren Geduld schaue ich mir viel ab und gestalte meinen eigenen Unterricht auf diese Art und Weise. Long story short: Du fetzt!
Ich studiere auch gerade Mathematik und das ist einer der Beweismethoden, die ich echt nicht verstanden habe, weil der Professor das echt nur runtergerattert hat und es im Vergleich zu den anderen Methoden deutlich schwieriger ist. Du hast das aber super erklärt und jetzt bin ich sehr zuversichtlich, was die Klausur angeht. Danke!
Genial,, einfach genial,,, lange habe ich noch solch eine Erklärung gesucht, danke Dir!
Cool, das freut mich total, dass ich dir so gut helfen konnte!
Du verstehst es mit Liebe und Verstand den zunächst empfundenen "Irrsinn" dieser konstruierten Beweise zu verstehen😍😍🤩mir ist das alles nicht fremd...zumal ich nicht nur die Aussagenlogik aus der Mathematik kenne sondern auch aus antiker Philosophie🤩🤩🤩🤩aber Du bringst das mega genial an den Menschen...und da ist nichts mehr abstrakt...Du verleihst Mathematik das nötige Leben🤩😘😘😘
Omg danke!! :D Suche seit stunden wie ich zeigen kann das ne Funktion für alle x0 in D stetig ist und jetzt hab ichs endlich geschafft
Cool, das freut mich total! Ja das kenne ich zu gut einfach keine richtigen Informationen zu finden. Aber sehr schön, dass ich dir helfen konnte.
Danke, das war sehr erleuchtend
Danke, es ist immer sehr schön was neues dazu zu lernen😊
Super erklärt vielen Dank!!:)
Was für ein tolles Erklärvideo.
Vielen Dank, war sehr hilfreich!
Super erklärt- vielen Dank :-)
Ein mega Video, vielen Dank fürs Erklären 👍👍👍
Habs endlich verstanden:)
Hey Felix, das freut mich sehr! :)
Danke. Du bist super.
Deine Herangehensweise hat mir sehr weitergeholfen, vielen Dank dir! Daumen hoch!
Super, das freut mich sehr! 😊
Dankeschön für die super Erklärung!
Sehr gerne! ☺️
Verliebt - Physikstudium gerettet
tolles video danke für die hilfe :)
Besser geht nicht! Vielen Dank!
Sehr gerne! Freut mich, dass ich helfen konnte! 😊
Danke! Sehr gutes Video!!:D
Toll , Danke
Wenn meine Uni Profs nur so gut erklären könnte, wär das ein Träumchen…
haha ohgott hab das vor 6 semestern alles machen müssen:D macht sau bock das so aufzufrischen:D wäre ich froh gewesen, wenn ich deine videos damals gehabt hätte.
Freut mich, dass dir das Video zusagt! :) Was hattest du denn studiert bzw. hast du es auch bis zum Ende durchgezogen? 😅
Wünschenwert wären weitere Videos zu diesem Thema-)
ich küss dein herz vallah
Dankeschön 💜
❤️
Du bist die Beste !!
Danke!
Vielen Dank!
Könntest du mal ein Video zum Beweis von Grenzwerten mit der Epsilon-Delta Definition machen?🙃
Nach ettlichen Videos mit demselben Titel endlich mal eins worin auch das behandelt wird was im Titel steht vielen dank dafür.
Danke danke danke!!!
Gerne ☺️
Das ist ja tatsächlich echt einfach 😮
Hallo,
Erstmal vielen lieben Dank für das Video. :)
Ich bin leider mit dem Thema ziemlich überfordert. Mache Mathe im leistungskurs und das Thema kam jetzt bei uns auf. Allerdings behandeln wir das nicht im Zusammenheit mit der Stetigkeit, sondern wir beweisen damit das Grenzverhalten an einer Stelle. Zum Beispiel war eine Aufgabe:
Gegeben ist f mit f(x)=(x² -4)/(x+2)
Beweisen sie mit dem epsilon delta formalismus, dass lim x-> -2 von f(x) = -4 gilt.
In diesem Zuge haben wir die epsilon und die delta Umgebung behandelt. Die habe ich auch ganz gut verstanden. Aber mit diesem allgemeinen Beweis bin ich völlig überfordert. Welche Schritte muss ich in diesem Beweis denn durchlaufen und vor allem warum?
Schonmal vielen Dank für die Hilfe :)
Ich mag deine Videos und finde sie sehr hilfreich :). Dennoch würde ich mir wünschen, dass du dann (sauber) den Beweis einblendest. :)
Liebe Grüße
thänk uu :)
Danke 👍
Wie ist das mit der Stetigkeit von Funktionen die "unterbrochen" sind. Also zb einfach f(x)=3x und der Bereich 3
bei 9:09 müsste es doch "=" Delta/Wurzel(x0) sein, nachdem du die Betragsstriche weggemacht hast, und nicht "
Wir haben eine andere Definition mit x und y sodass man dann |x-y|
Wenn nun Delta unabhängig von x0 ist, dann hat man auch gezeigt, dass die Funktion gleichmäßig stetig ist, oder? Vielen Dank für das tolle Video!☺️
Danke! Das ist ein sehr gutes Video.
Dazu hab ich noch ne Frage. Wie würde man bei
|f(x)-f(x0)| = | x*log(|x|) - x0*log(|x0|)| umformen, damit ich |x-x0| bekomme?
Hey, hast du einen Lösungsweg mittlerweile dazu gefunden? Ich habe derzeit eine sehr ähnliche Aufgaben mit der ich mich beschäftige… vielen Dank im voraus :)
danke für das video, aber warum kann Wurzel von x nicht null sein, im Definitionsbereich ist doch die null miteingeschlossen?
Die wurzel steht unter dem bruch und der Nenner darf nicht Null sein
Danke vielmals für das tolle Video!
Eine Frage aber: Nach dem Berechnen der Abhängigkeit meines Deltas muss der Betrag aus f(x)-f(x_0) ja eigentlich kleiner als das \Epsilon sein. Weswegen ist es jetzt bewiesen, wenn man sein \delta in Abhängigkeit von \Epsilon einsetzt und f(x)-f(x_0)= \Epsilon ist?
MathemaTrick, kann ich mir für x-->Wurzel x nicht die ganze Umformerei sparen, und I Wurzel x - Wurzel x0 I direkt nach Wurzel Delta abschätzen und das dann gleich Epsilon setzen?
Wie wendet man das Epsilon-Delta Kriterium auf abschnittsweise definierte Funktionen an ? Beispielsweise soll die Stetigkeit mithilfe des Epsilon Delta Kriteriums im Punkt 0 bewiesen oder widerlegt werden und folgende Funktion ist gegeben: f(x)= x^2 für x>=0 und -3 für x
In dem Fall macht es Sinn die Grenzwertdefinition zu verwenden. Dann sieht man in diesem Fall der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert sind verschieden für x0 = 0, also ist die Funktion nicht stetig (das ist einfacher).
Das ist aber äquivalent zum epsilon-delta Kriterium, da *nicht* für alle epsilon größer 0 ein delta gefunden werden kann, so dass I f(x) - f(x0) I < epsilon . Denn für x < 0 ist I f(x) - f(x0) I = If(x)I = 3. Also gehts nicht für alle epsilon < 3. Aber wie gesagt, die Grenzwertdefinition zu verwenden ist hier einfacher.
Wieso kann man 3*delta einfach = Epsilon setzen?
Hing ewig an x->x^1/3 für 0 - unendlich für eine Uni-Abgabe, danke fürs Arschretten :D
Warum genau ist es möglich, e und d im letzten Schritt von Beispiel 1 gleichzusetzen?
verdammt das hätte ich mal früher nachschauen sollen... ich bin irgendwie durch ana 1 durchgekommen ohne irgendwas zu kapieren, und jetzt in ana 2 sitz ich da und versteh noch weniger...
Aber so aus interesse, warum kann man beim ersten Fall mit sqrt(x) nicht noch delta/sqrt(x_0)
Hallo könntest du vielleicht Daten und Zufall erklären weil ich bin gerade in Homeschooling und verstehen nix davon🙏💖Danke
👌🏻
9:00 x kann doch auch 0 sein und Wurzel von x damit auch 0. Wäre dann ein "kleiner gleich" nicht angebrachter?
Am Anfang steht ja die Definition vom Kriterium. Dort steht "stetig bei x0" , heißt das die ganzen Beweise sind nur für diese eine Stelle? Oder beweist man damit, dass die ganze Funktion stetig ist? Das muss ich nämlich für meine Klausur können :D
Sehr schönes Video :)
In dem Beispiel ist es für alle x aus dem definitionsbereich Bewiesen, da wir x0 beliebig wählen könnten und der Beweis trotzdem gleichermaßen klappen würde
maximale Ehre
Bei 12:20 könnte man doch auch einfach die Abschätzung machen: √x < x = |x - 0| < delta = epsilon
oder?
Nein, denn wenn x < 1, ist wurzel(x) > x, z. B. wurzel(0.01) = 0.1
@@schr66 stimmmmt danke
Wie sieht es mit dem Epislon Delta Kriterium aus, wenn man da eine Unstetigkeitsstelle beweisen soll? Ich finde leider nur Erklärungen, wie ich die Stetigkeit beweisen soll. Meine Funktion ist allerdings unstetig und Abschnittsweise definiert. Wie gehe ich da vor?
Meine Funktion lautet f(x)= x^2 +1, x>=o und x, x
ist zwar etwas spät, aber da könnte ein Widerspruchsbeweis geeignet sein, wenn du unbedingt das e-d Kriterium anwenden möchtest. Ansonsten wäre auch die Methode mit dem limes bei der Ableitung von rechts gegen x0 und von links gegen x0, du siehst, dass es keinen gemeinsamen Grenzwert gibt => unstetig bei x0.
Wieso ist Wurzelx zwangsläufig kleiner als x? Beispiel: Wurzel von 0,25
9:12 diesen Schritt verstehe ich nicht ganz. Inwiefern ist die Wurzel eines X in diesem Beispiel immer 0?
Bei 9:00, wenn ich die Wurzel ziehe kann die Zahl doch auch negativ sein? Z.b. Wurzel 25 = -5. 1/-5+6 = 1/1 ist ja dann z.B. größer als wenn ich 1/6 habe. Vielleicht habe ich auch einen Denkfehler^^ generell auch später, warum kann man davon ausgehen das Wurzel x immer positiv ist?
Wenn man Wurzel(x) als *Funktion* betrachtet, spricht man immer nur von den positiven Werten. So sieht die Wurzelfunktion ja auch aus, wenn du sie dir mal zeichnen lässt. Bei x=4 nimmt die Wurzelfunktion den Wert 2 an. In *Gleichungen* allerdings ist es so wie du gesagt hast und wie man es immer gelernt hat, dass man immer einen positiven und einen negativen Wert rausbekommt.
@@MathemaTrick danke
Wie genau kann man dann Stetigkeit widerlegen? Findet man nicht immer ein Delta mit dem man die Stetigkeit beweist?
Das Problem ist, dass die meisten Funktionen stetig sind :D
Hallo, das Video hat mir sehr weiter geholfen dankeschön :). Wie könnte man jetzt mit diesem Kriterium erkennen,dass die Funktion nicht stetig ist ?
8:20
Was darf hier bei Delta alles nicht stehen?
Also laut dem Dem Definitionsbereich ist Null inklusiv, das heisst bei der Abschätzung, wo du wurzel von x einfach weggelassen hast , sollte das gesamt Bruch kleiner GLEICH sein und nicht strikt Kleiner , oder ?
Aber das liefert das gleiche Ergebnis , nur um präsizer zu sein.
sqrt(x) kann 0 werden für x = 0 (im Definitionsbereich enthalten) also wird der bruch nicht echt größer sondern größergleich, oder?
ok ich denke das kleinerzeichen ist so gedacht das es noch auf das vorherige bezogen ist weil durch das weglassen des betrags wird es auch nicht größer
Kann mir vielleicht jemand einmal aufschreiben was genau man ab 5:05 hinschreiben muss alles in dem Schritt, den sie nur erklärt? Ich versteh das grad nicht ganz leider, vielen Dank schonmal
Das hab' ich an der Uni in der Anfängervorlesung gehasst wie die Pest.
Ähnlicher Logikbrei wie bei den Hypothesentests in der Statistik.
Die Frage ist wahescheinlich bisschen lost, aber wieso ist die Wurzel aus etwas immer >0? Die Wurzel aus 4 z.B. ist doch ±2 und somit kann die auch negativ sein oder?
Die Frage kommt sehr häufig, da bist du also nicht allein 😊 Die Wurzel(4) ist tatsächlich nur +2. Also wenn du wirklich nur die Wurzel berechnest, erhältst du immer nur das positive Ergebnis. Anders ist es aber, wenn du in einer Gleichung bist. Wenn du sowas wie x²=4 lösen möchtest, erhältst du +Wurzel(4) und -Wurzel(4). Aber Wurzel(4) selbst ist immer nur positiv. Ich erkläre das hier ab Minute 9:50 ruclips.net/video/uqdE-EJLax0/видео.html
@@MathemaTrick Aaahh okay danke!! :)))
Interessant ist eigentlich nur die Stelle x0 = 0 .Dort ist die Funktion √x nur von rechts stetig . Stetigkeit sollte aber doch von beiden Seiten her gelten . Es scheint also nicht ganz klar , ob man sagen kann √x sei bei x = 0 stetig , da ja √x für x
Also ich weiß nicht ob du das liest und wenn, ob es dich jetzt überhaupt interessiert, wahrscheinlich net, aber bei min 8:55 müsste doch dieses zweite "streng kleiner" ein "kleiner gleich" sein, da f ja auch für x=0 definiert ist (f: [0, inf[ -> R), oder nicht?
Ja stimmt, gut aufgepasst! Da müsste dann streng genommen ein „kleiner gleich“ hin.
Da man vorher ja aber schon „streng kleiner“-Abschätzungen gemacht hat, hat diese kleine Änderung keine Auswirkungen auf den weiteren Verlauf der Aufgabe.
An sich super erklärt nur wäre es cool wenn du die Beweise dann auch hinschreiben würdest anstatt nur zu sagen, wie du es tun würdest
Ich versuche seit Stunden zu beweisen, dass f(x)=1 stetig ist, aber irgendwie ergibt das keinen sinn
AHA!
Ich habs gehasst im studium
wieso zur Hölle bist du dann noch hier?
@@christophkrass6929 wer lesen kann ist klar im vorteil - fast 27 jahre. Heute gefällts mir. Sie scheinen ein kleiner duzer zu sein. Wir kennen uns doch gar nich denn ich war noch nie affenwärter im zoo!
@@svenx69 uff, du bist ja hart drauf.
Alter du bist so sexy. Der musste raus😂