Решу, используя матан. Для иллюстрации идеи возьмём уравнение sin x = x. Очевидно, что x = 0 - корень. Докажем его единственность. Из графических построений очевидно, что для образования второго пересечения необходимо, что бы наклон sin x в некотором интервале был больше наклона x. Для определения наклона возьмём производные: для x это 1, для sin x это cos x, который не больше 1. Следовательно sin x "не может догнать" x, поскольку скорость его роста не больше, чем у x. Следовательно пересечение единственное. Для sin( sin x) производная (cos(sin x))(cos x) - произведение косинусов, верхняя оценка максимума которого также не превышает 1. Следовательно 0 - единственный корень. Отрицательные x считаю равносильными из-за не чёткости исходной функции.
хорошо. но слегка громоздко и не сразу понятно лучше сразу взять производную и получится кос(синх)=1 а данное соблюдается только если син(синх)=0, максимально быстрое решение, конечно стоит доказать единственность, но это стоит сделать уже после
Играясь с микрокалькулятором "Электроника МК-51" путем многократного нажимания на кнопку sin, получал такой же результат. Там ещё интересное бывает при аналогичном эксперименте с кнопкой cos. Можно бы ещё ролик про cos(cos(x))=0.
Здравствуйте! У меня сегодня была контрольная работа по разложению на множители многочлена и там было одно задание, с которым никто не справился. Его условие: (2*x^2-x-4)/2x+18, Помогите решить, пожалуйста.
Могу предложить такое решение. Решение x = 0 очевидно. Докажем, что других решений нет. Для этого воспользуемся оценкой sin x < x, если x ∈ (0; π/2). Действительно, sin x - это половина хорды единичной окружности, стягивающей дугу, половина которой равна x, а хорда всегда меньше стягиваемой ею дуги. Далее скажем, что все возможные решения исходного уравнения, очевидно, лежат на отрезке [-1; 1]. Рассмотрим его часть (0; 1] ⊂ (0; π/2), и применим на нём указанную оценку. На этом промежутке функция sin возрастает, причём sin x также принадлежит указанному промежутку. Значит, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение синуса, т.е. от неравенства sin x < x можно перейти к неравенству sin(sin x) < sin x, но sin x < x, значит, sin(sin x) < x. Это противоречит исходному уравнению sin(sin x) = x, значит, на промежутке (0; 1] решений нет. Далее заметим, что функция f(x) = sin(sin x) нечётная: sin(sin(-x)) = sin(-sin x) = -sin(sin x), а это значит, что на промежутке [-1; 0) тоже нет решений. Действительно, если бы здесь было решение x₀: f(x₀) = 0, то было бы верно f(-x₀) = -f(x₀) = 0, т.е. -x₀ - тоже решение. Но -x₀ ∈ (0; 1], а было доказано, что на этом промежутке решений нет. Следовательно x = 0 - единственное решение.
После разбора ОДЗ можно взять asin от обеих частей неравенства. Геометрическим построением довольно наглядно можно показать неравенство asin(x)>=x>=sin(x) в области от 0 до 1, и наоборот в области от -1 до 0, рассматривая дуги и высоты. Тогда равенство достигается тоько в точке x=0. мне кажется, такой ход рассуждений будет более нагляден школьнику.
Спасибо за понятное решение.
Оо, функциональные уравнения. Может вы запишете плейлист по ним?
Только это не функциональное уравнение, а алгебраическое
@@Solenye разве не трансцендентное? Если мне не изменяет память, алгебраическое - это полином
@@Rot9711 алгебраическое подразумевает "не дифференциальное"
Всё гениальное просто!
Вариант «старого зубрилы»: по определению синуса ( на тригонометрической окружности) : |sin(x)|
Для продвинутых, синус - сжимающее отображение, потому решение единственное, а в силу нечетности - это ноль.
Неплохо!
Отлично спасибо
Красиво, но! Самое главное - это понять с какой стороны начать. И вот это то понимание самый красивый момент - момент истины. Спасибо!
Решу, используя матан.
Для иллюстрации идеи возьмём уравнение sin x = x. Очевидно, что x = 0 - корень. Докажем его единственность. Из графических построений очевидно, что для образования второго пересечения необходимо, что бы наклон sin x в некотором интервале был больше наклона x. Для определения наклона возьмём производные: для x это 1, для sin x это cos x, который не больше 1. Следовательно sin x "не может догнать" x, поскольку скорость его роста не больше, чем у x. Следовательно пересечение единственное.
Для sin( sin x) производная (cos(sin x))(cos x) - произведение косинусов, верхняя оценка максимума которого также не превышает 1. Следовательно 0 - единственный корень. Отрицательные x считаю равносильными из-за не чёткости исходной функции.
Супер!
Символично, что видео длится 3 минуты 14 секунд)
Число ПИ!
Нет смысла привлекать производную, если есть простые решения, доступные меньшему возрасту. Это известный факт, что |sinx|
Не обязательно возрастание. Нужна просто строгая монотонность.
Видео длится 3:14
Благодарю за информацию
Число ПИ!
Видео не про пи
Было бы плохо, если бы оно длилось 1:618
Круто!
Какой замечательный преподаватель!!!! Жаль у моего сына такого не будет!!! Вы с какого города?
Быстро и понятно
Что может быть лучше анализа?
хорошо. но слегка громоздко и не сразу понятно
лучше сразу взять производную и получится кос(синх)=1 а данное соблюдается только если син(синх)=0, максимально быстрое решение, конечно стоит доказать единственность, но это стоит сделать уже после
Отсылка на прошлое видео)
А какая у вас программа в видео на который вы решаете примеры и задачи?
Паинт.
А не проще было через arcsin решить?
Симпатично
Играясь с микрокалькулятором "Электроника МК-51" путем многократного нажимания на кнопку sin, получал такой же результат.
Там ещё интересное бывает при аналогичном эксперименте с кнопкой cos.
Можно бы ещё ролик про cos(cos(x))=0.
Ответ: решений нет
-1
@@liveDM5 а, виноват: cos(cos(x))=cos(x). На калькуляторе бесконечро жмешь cos, а на индикаторе мигает одно и то же число. Вот так задачка ставится.
И заодно еще раз повторили Эф от Эф от Икс! 👍👍👍
Здравствуйте! У меня сегодня была контрольная работа по разложению на множители многочлена и там было одно задание, с которым никто не справился. Его условие:
(2*x^2-x-4)/2x+18,
Помогите решить, пожалуйста.
Для разложения на множители многочлена нужен многочлен, а у Вас его нет. С уважением, Лидий.
@@ЛидийКлещельский-ь3х да, когда я пришёл на занятие нам сказали, что там была опечатка! Обожаю свою учительницу математики!
Для знающих лимиты Sin(x)=х при х стремящимся к 0 вот и все решение х=0
Помниться давненько при поступлении в ВУЗ было задание сравнить, что больше Sin(Cos(x)) или Cos(Sin(x)). Я вообще не понял как это решить
sin(x)=x - тривиально. А cos(x)=x вообще можно решить аналитически? )))
А где же методы султанова?
А я смотрю вы ценитель)
сложная задача так и не понял доказательства возрастания… просто сказали раз она на отрезке значит всё норм и всё
Переписал как sin(x)=arcsin(x), построил графики y=sin(x), у=arcsin(x), один выше чем y=x, второй ниже, так что единственный ответ x=0.
Решение х = 0 определяется мгновенно. На самом деле предложенный алгоритм не самый понимаемый.
Да, видел на прошлом уроке это доказательство, действительно:
sin(sin0)=0 sin0=0 и sin0=0
Ну ладно. Синус 0 равен единице. Но синус единицы не равен нулю. Что не так?
Это если подставить вместо х ноль
sin0=0
Могу предложить такое решение.
Решение x = 0 очевидно. Докажем, что других решений нет. Для этого воспользуемся оценкой sin x < x, если x ∈ (0; π/2). Действительно, sin x - это половина хорды единичной окружности, стягивающей дугу, половина которой равна x, а хорда всегда меньше стягиваемой ею дуги. Далее скажем, что все возможные решения исходного уравнения, очевидно, лежат на отрезке [-1; 1]. Рассмотрим его часть (0; 1] ⊂ (0; π/2), и применим на нём указанную оценку. На этом промежутке функция sin возрастает, причём sin x также принадлежит указанному промежутку. Значит, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение синуса, т.е. от неравенства sin x < x можно перейти к неравенству sin(sin x) < sin x, но sin x < x, значит, sin(sin x) < x. Это противоречит исходному уравнению sin(sin x) = x, значит, на промежутке (0; 1] решений нет.
Далее заметим, что функция f(x) = sin(sin x) нечётная: sin(sin(-x)) = sin(-sin x) = -sin(sin x), а это значит, что на промежутке [-1; 0) тоже нет решений. Действительно, если бы здесь было решение x₀: f(x₀) = 0, то было бы верно f(-x₀) = -f(x₀) = 0, т.е. -x₀ - тоже решение. Но -x₀ ∈ (0; 1], а было доказано, что на этом промежутке решений нет. Следовательно x = 0 - единственное решение.
После разбора ОДЗ можно взять asin от обеих частей неравенства. Геометрическим построением довольно наглядно можно показать неравенство asin(x)>=x>=sin(x) в области от 0 до 1, и наоборот в области от -1 до 0, рассматривая дуги и высоты. Тогда равенство достигается тоько в точке x=0. мне кажется, такой ход рассуждений будет более нагляден школьнику.
Я конечно слава кому-нибудь школу закончил до ЕГЭ, но "а что так можно было"? Я имею ввиду фразу найдем методом подбора.
Надо найти все корни уравнения и доказать что других нет, а как вы это делать будете всем глубоко по боку. Да и это совсем не егэшная задача
Ждём видео, которое длится 16:18.)
Число Фибоначи
Да уж. Автор может диктором уже работать. Две страницы за пару минут прочитал. Да ещё чтобы хоть кто-то понял))). Спасибо!
Я за 30 секунд понял что ответ 0
И, че?
В жизни где применять?
Хм, так можно вообще не учиться, ничего не даст. Лучше работать уборщиком и зарабатывать на жизнь
Я первый
Не, ну это элементарно, может, вы решите cos(cos x)=x или sin(sin x)=cos(cos x) ?