ПРОДОЛЖЕНИЕ № 2 (имеются НАЧАЛО и ПРОДОЛЖЕНИЕ № 1) Вернемся к уравнению (3). Левая часть уравнения (3) полностью совпадает с правой частью функции (4). Держа в уме важную информацию из Замечания 3, применим к обеим частям уравнения (3) обратную функция f{-1}, а затем учтем формулу (5) в полученном равенстве: f{-1}(z*e^z)=f{-1}(ln(4)) ⇨{применили формулу (5)}⇨ z=f{-1}(ln(4)). Итак, получили решение уравнения (3): z=f{-1}(ln(4)). (6) Внимательно рассмотрим выражение f{-1}(ln(4)) в правой части (6). Вернемся к формуле (5) и сделаем в ней замену z=ln(y) (Внимание! Эта замена "проста так"/"с неба", а не из уравнения (3) - в данный момент мы работаем лишь с формулой (5), а не с уравнением (3) или (6)): ln(y)=f{-1}(ln(y)*e^(ln(y)))=f{-1}(y*ln(y)). Получили для нас ключевую формулу: f{-1}(y*ln(y))=ln(y). (7) Почему эта формула является для нас ключевой, будет ясно немного позже. А пока вернемся к Замечанию 3. Как следует из Замечания 3, если рассматривается множество [-1/e, +∞), то лишь тогда, когда оказывается справедливым неравенство f{-1}≥-1, многозначная функция f{-1}становится однозначной функцией, а если же рассматривается множество [-1/e, 0), то лишь тогда, когда оказывается справедливым неравенство {-1}≤-1, многозначная функция f{-1}становится однозначной функцией. Давайте, рассмотрим число ln(2). Так как ln(2)≈0.693∊(0, +∞), т.е. это число не находится в опасном интервале (-1/e, 0) (напоминаю еще раз, что именно в этом интервале обратная функция f{-1} является многозначной функцией!), то подставляя в формуле (7) y=2, получим единственный результат (ведь функция f{-1} будет однозначной!): f{-1}(2*ln(2))=ln(2), или, по другому, f{-1}(ln(4))=ln(2). Учтем этот результат в (6): z=f{-1}(ln(4))=ln(2). Итак, мы нашли (нашли "в поте лица", а не угадали!), что z=ln(2). Вернемся к уравнению (3), в котором имеет место замена z=ln(y). Так как z=ln(2), то получаем y=2. Иными словами, мы нашли решение уравнения (2): y=2. Так как уже доказано, что уравнение (2) в поле действительных чисел имеет единственное решение, то мы не будем беспокоиться о том, что кроме найденного решения y=2 вдруг окажутся другие решения. Далее, так как уравнение (2) превращается в исходное уравнение с помощью невырожденного преобразования |x|=y^(1/2), то мы должны подставить найденное значение y=2 в это преобразование: |x|=√2, или, в другом виде, x=±√2. Вот и все! Надеюсь, что кому-то будет полезным изложенное выше, и, тем самым, мною потраченное время и вложенный труд не окажутся напрасными. ---------------------------------------- Шариф Э. Гусейнов (Sharif E. Guseynov) 19 декабря 2024 г., Рига, Латвия
ПРОДОЛЖЕНИЕ № 1 (имеются НАЧАЛО и ПРОДОЛЖЕНИЕ № 2) Итак, исследуем уравнение (2). Прежде всего, разобьем область y>0 определения уравнения (2) на два подмножества - (0, +∞)=(0, 1)∪[1, +∞), и рассмотрим уравнение (2) в каждом из них отдельно. Так как при y∊(0, 1) функция y^y, стоящая в левой части уравнения (2), меньше 1, то мы исключаем из рассмотрения интервал (0, 1). Так как при y∊(0, 1) функция y^y, стоящая в левой части уравнения (2), строго монотонно возрастает (на самом деле, в интервале (0, 1) функция y^y, начиная с некоторого значения, также строго монотонно возрастает, но для эта информация совершенно не нужна по причине того, что для ∀y∊(0, 1) имеет место y^y0. Далее нам понадобится нижеследующее замечательное замечание. Замечание 3 (Очень полезная информация). Введем в рассмотрение следующую функцию: f(z)=z*e^z, z∊ℝ. (4) Поскольку функция (4) строго монотонно убывает на множестве (-∞,-1] и строго монотонно возрастает на множестве [-1, +∞), то она имеет обратную f{-1}. Применим f{-1} как оператор к обеим частям (4): f{-1}(f(z))=f{-1}(z*e^z). Отсюда получаем интересное и весьма важное уравнение: z=f{-1}(z*e^z), z∊[-1/e, +∞). (5) Далее, поскольку функция (4) на множестве (-∞,0) не является одно-однозначной функцией (иначе говоря, не является инъекцией, ибо каждому образу соответствуют ровно два прообраза), то на множестве (-1/e, 0) обратная к ней функция является многозначной функцией (одному прообразу соответствуют ровно два образа), а на множестве (0, +∞) - однозначной функцией. Иначе говоря, обратная функция f{-1} имеет две ветви, причем: • на множестве [-1/e, +∞)=(-1/e, 0)∪(0, +∞) ветвь, в которой f{-1}≥-1 (назовем ее верхней ветвью и обозначим как f{-1; upper}), представляет собой строго возрастающую однозначную функцию (еще раз хочу подчеркнуть, что лишь на множестве (-1/e, 0) имеет место многозначность); • на множестве [-1/e, 0) ветвь, в которой f{-1}≤-1 (назовем ее нижней ветвью и обозначим как f{-1; lower}), представляет собой строго убывающую однозначную функцию. Ясно, что точка -1/e является предельной точкой для обеих ветвей, и в этой точке имеет место условие неразрывности: f{-1; upper}(-1/e+0)=f{-1; lower}(-1/e-0)=-1. Наконец, подчеркнем, что все утверждения, которые были сформулированы в данном замечании, доказывается обычным способом, вполне доступным школьникам старших классов - методом применения производных для исследования функций (выяснение монотонности, нахождения экстремума, и т.п.). Конец Замечания 3.
Какая чушь! Во-первых, x=-sqrt(2) также является решением этого уравнения. Во-вторых, что за выражение "представим, что какой-нибудь а тоже..."? И представить не надо, просто делаем замену x=плюс/минус sqrt(y), где y>0. В третьих, с неба упала что-ли информация, что y^y=2^2 имеет единственное решение? - ведь это уравнение, на самом деле, имеет много решений. В четвёртых, исходное уравнение и уравнение y^y=4 абсолютно равносильны по сложности: раз считать угадывание, что y=2 удовлетворяет уравнению y^y=4 методом, то сразу же можно угадывать, что x=плюс/минус sqrt(2) удовлетворяет исходную уравнению, и выдать это угадывание за методом, и кричать "ура!". Всё, что сказано в этом видео - это полная чушь!
@@19shg67 посмотрите ролики или почитайте что-нибудь на эту тему. Чем отличается возведение в натуральную и действительную степень. Конечно (-3)^2 определено. А вот уравнение (-3)^х = 9 для действительных х не имеет решений даже) момент тонкий, может быть непонятный.
В исходном уравнении функция слева на всей области определения x возрастающая, справа константа. Решение соответственно может быть максимум одно. Тут доказывать нечего. P.S. построил график функции. Я ошибся. При 0
@@oleg.shnyrkov Да, не может быть, и что? Функция x^(x^2) на области определения (0, +оо) всё равно ведь не монотонно возрастающая. Например, у уравнения x^(x^2) = 1/2^(1/4) два решения: x1=1/√2, x2=1/2. )) Функцию у = x^x надо знать В ЛИЦО (то есть график).☝ Тогда с ней ошибок не будет. 😄
1) Возвести обе части уравнения в квадрат, и сделать замену х^2=y: y^y=4. 2) Представить себе график левой части уравнения y^y=4. 3) Увидеть, что при правой части, равной 4, решение только одно. 4) Подобрать это решение: у=2. 5) Значит х = +-√у = +-√2.
совершенно простой пример, автор наворотил ну очень запутаное решение, можно сложнее конечно. Это устный пример - автор в уме добавляет новые переменные? х = 2 если х = корню из 2х в квадрате ( не знаю бывают ли другие варианты) подставляем корень из 2х ......
![Blox Fruits Dragon Rework Update [Full Stream]](http://i.ytimg.com/vi/EqDAp8udhm0/mqdefault.jpg)
Достаточно левую и правую части возвести в квадрат.
Получим
X**x**2**2=2**2 или
X**2**x**2=2**2 отсюда
X**2=2
^ степень
@ananas3070 не суть
И отсюда следует, что x равен плюс-минус корень кв. из 2. Два решения.
@АндрейВолков-ч4ы сразу видно математика, а не любителя.
ПРОДОЛЖЕНИЕ № 2 (имеются НАЧАЛО и ПРОДОЛЖЕНИЕ № 1)
Вернемся к уравнению (3). Левая часть уравнения (3) полностью совпадает с правой частью функции (4). Держа в уме важную информацию из Замечания 3, применим к обеим частям уравнения (3) обратную функция f{-1}, а затем учтем формулу (5) в полученном равенстве:
f{-1}(z*e^z)=f{-1}(ln(4)) ⇨{применили формулу (5)}⇨ z=f{-1}(ln(4)).
Итак, получили решение уравнения (3):
z=f{-1}(ln(4)). (6)
Внимательно рассмотрим выражение f{-1}(ln(4)) в правой части (6). Вернемся к формуле (5) и сделаем в ней замену z=ln(y) (Внимание! Эта замена "проста так"/"с неба", а не из уравнения (3) - в данный момент мы работаем лишь с формулой (5), а не с уравнением (3) или (6)): ln(y)=f{-1}(ln(y)*e^(ln(y)))=f{-1}(y*ln(y)). Получили для нас ключевую формулу:
f{-1}(y*ln(y))=ln(y). (7)
Почему эта формула является для нас ключевой, будет ясно немного позже. А пока вернемся к Замечанию 3. Как следует из Замечания 3, если рассматривается множество [-1/e, +∞), то лишь тогда, когда оказывается справедливым неравенство f{-1}≥-1, многозначная функция f{-1}становится однозначной функцией, а если же рассматривается множество [-1/e, 0), то лишь тогда, когда оказывается справедливым неравенство {-1}≤-1, многозначная функция f{-1}становится однозначной функцией. Давайте, рассмотрим число ln(2). Так как ln(2)≈0.693∊(0, +∞), т.е. это число не находится в опасном интервале (-1/e, 0) (напоминаю еще раз, что именно в этом интервале обратная функция f{-1} является многозначной функцией!), то подставляя в формуле (7) y=2, получим единственный результат (ведь функция f{-1} будет однозначной!): f{-1}(2*ln(2))=ln(2), или, по другому, f{-1}(ln(4))=ln(2). Учтем этот результат в (6): z=f{-1}(ln(4))=ln(2).
Итак, мы нашли (нашли "в поте лица", а не угадали!), что z=ln(2). Вернемся к уравнению (3), в котором имеет место замена z=ln(y). Так как z=ln(2), то получаем y=2. Иными словами, мы нашли решение уравнения (2): y=2. Так как уже доказано, что уравнение (2) в поле действительных чисел имеет единственное решение, то мы не будем беспокоиться о том, что кроме найденного решения y=2 вдруг окажутся другие решения. Далее, так как уравнение (2) превращается в исходное уравнение с помощью невырожденного преобразования |x|=y^(1/2), то мы должны подставить найденное значение y=2 в это преобразование: |x|=√2, или, в другом виде, x=±√2.
Вот и все!
Надеюсь, что кому-то будет полезным изложенное выше, и, тем самым, мною потраченное время и вложенный труд не окажутся напрасными.
----------------------------------------
Шариф Э. Гусейнов (Sharif E. Guseynov)
19 декабря 2024 г., Рига, Латвия
Молодец. Грамотно и, по-своему, красиво.
ПРОДОЛЖЕНИЕ № 1 (имеются НАЧАЛО и ПРОДОЛЖЕНИЕ № 2)
Итак, исследуем уравнение (2). Прежде всего, разобьем область y>0 определения уравнения (2) на два подмножества - (0, +∞)=(0, 1)∪[1, +∞), и рассмотрим уравнение (2) в каждом из них отдельно. Так как при y∊(0, 1) функция y^y, стоящая в левой части уравнения (2), меньше 1, то мы исключаем из рассмотрения интервал (0, 1). Так как при y∊(0, 1) функция y^y, стоящая в левой части уравнения (2), строго монотонно возрастает (на самом деле, в интервале (0, 1) функция y^y, начиная с некоторого значения, также строго монотонно возрастает, но для эта информация совершенно не нужна по причине того, что для ∀y∊(0, 1) имеет место y^y0.
Далее нам понадобится нижеследующее замечательное замечание.
Замечание 3 (Очень полезная информация). Введем в рассмотрение следующую функцию:
f(z)=z*e^z, z∊ℝ. (4)
Поскольку функция (4) строго монотонно убывает на множестве (-∞,-1] и строго монотонно возрастает на множестве [-1, +∞), то она имеет обратную f{-1}. Применим f{-1} как оператор к обеим частям (4): f{-1}(f(z))=f{-1}(z*e^z). Отсюда получаем интересное и весьма важное уравнение:
z=f{-1}(z*e^z), z∊[-1/e, +∞). (5)
Далее, поскольку функция (4) на множестве (-∞,0) не является одно-однозначной функцией (иначе говоря, не является инъекцией, ибо каждому образу соответствуют ровно два прообраза), то на множестве (-1/e, 0) обратная к ней функция является многозначной функцией (одному прообразу соответствуют ровно два образа), а на множестве (0, +∞) - однозначной функцией. Иначе говоря, обратная функция f{-1} имеет две ветви, причем:
• на множестве [-1/e, +∞)=(-1/e, 0)∪(0, +∞) ветвь, в которой f{-1}≥-1 (назовем ее верхней ветвью и обозначим как f{-1; upper}), представляет собой строго возрастающую однозначную функцию (еще раз хочу подчеркнуть, что лишь на множестве (-1/e, 0) имеет место многозначность);
• на множестве [-1/e, 0) ветвь, в которой f{-1}≤-1 (назовем ее нижней ветвью и обозначим как f{-1; lower}), представляет собой строго убывающую однозначную функцию.
Ясно, что точка -1/e является предельной точкой для обеих ветвей, и в этой точке имеет место условие неразрывности: f{-1; upper}(-1/e+0)=f{-1; lower}(-1/e-0)=-1.
Наконец, подчеркнем, что все утверждения, которые были сформулированы в данном замечании, доказывается обычным способом, вполне доступным школьникам старших классов - методом применения производных для исследования функций (выяснение монотонности, нахождения экстремума, и т.п.).
Конец Замечания 3.
Интуитивно: простая формула => простое решение😁. Неплохо, для Устного теста на собеседовании в МФТИ! Решил, меньше минуты.
Да эта задачка решается в уме.
Степень с целым показателем существует и для отрицательного основания!!! Поэтому в ответе еще и минус корень из двух!
Какая чушь! Во-первых, x=-sqrt(2) также является решением этого уравнения. Во-вторых, что за выражение "представим, что какой-нибудь а тоже..."? И представить не надо, просто делаем замену x=плюс/минус sqrt(y), где y>0. В третьих, с неба упала что-ли информация, что y^y=2^2 имеет единственное решение? - ведь это уравнение, на самом деле, имеет много решений. В четвёртых, исходное уравнение и уравнение y^y=4 абсолютно равносильны по сложности: раз считать угадывание, что y=2 удовлетворяет уравнению y^y=4 методом, то сразу же можно угадывать, что x=плюс/минус sqrt(2) удовлетворяет исходную уравнению, и выдать это угадывание за методом, и кричать "ура!". Всё, что сказано в этом видео - это полная чушь!
Операция возведения в действительную степень определена только для положительных чисел
А насчет единственности решения, это да. Стоило на монотонность исследовать функцию
@@shashkart То есть, (-3)^2, (-7)^49, и т.д. не определены?
Можете привести пример когда y^y=4, если y > 0, y не равно 2
@@19shg67 посмотрите ролики или почитайте что-нибудь на эту тему. Чем отличается возведение в натуральную и действительную степень. Конечно (-3)^2 определено. А вот уравнение (-3)^х = 9 для действительных х не имеет решений даже) момент тонкий, может быть непонятный.
Не доказана единственность решения исходного уравнения.
@@paradisedream4869достаточной закончить 9 классов и знать, как выглядит график функции x^x.
В исходном уравнении функция слева на всей области определения x возрастающая, справа константа. Решение соответственно может быть максимум одно. Тут доказывать нечего.
P.S. построил график функции. Я ошибся. При 0
Какой лихой парниша!) Да ведь не возрастающая она на всей области определения. Подумай еще чутка)
@@НоннаВитвицкая он всё правильно написал, основание показательной функции не может быть отрицательным.
@@oleg.shnyrkov Да, не может быть, и что? Функция x^(x^2) на области определения
(0, +оо) всё равно ведь не монотонно возрастающая.
Например, у уравнения x^(x^2) = 1/2^(1/4) два решения: x1=1/√2, x2=1/2. ))
Функцию у = x^x надо знать В ЛИЦО (то есть график).☝ Тогда с ней ошибок не будет. 😄
-sqrt(2) теж є ж рішенням - "професора" теж таке рішення чекають
Теперь докажите единственность доказав монотонность
Естественно
кв. корень из 2, вас же просили устно. РЕШЕНИЕ ВИДНО СРАЗУ
Очень устно решено😂😂😂
Мужик занимается не своим делом.
Let overwrite x²(^x) and √2²(^√2) >>>>> x is equal √2
корень из двух, если устно
Автор, за такое решение на физтехе с тобой бы разговаривать больше не стали
А почему не плюс минус корень из 2?
это второе решение, потому что нельзя извлекать корень из переменной без знака модуля, из-за этого один корень теряется
Oтв. ±V2.
Интересно, и как все это можно было решить устно?!
1) Возвести обе части уравнения в квадрат, и сделать замену х^2=y: y^y=4.
2) Представить себе график левой части уравнения y^y=4.
3) Увидеть, что при правой части, равной 4, решение только одно.
4) Подобрать это решение: у=2.
5) Значит х = +-√у = +-√2.
Легко!
совершенно простой пример, автор наворотил ну очень запутаное решение, можно сложнее конечно. Это устный пример - автор в уме добавляет новые переменные? х = 2 если х = корню из 2х в квадрате ( не знаю бывают ли другие варианты) подставляем корень из 2х ......
Устно корень из двух... Для этого Вуза? 50 лет тому назад, было бы "смишно" 🤣
НОВАЯ ФИЗИЧЕСКИ АДЕКВАТНАЯ МЕЖДИСЦИПЛИНАРНАЯ МАТЕМАТИКА НЕ ДОПУСКАЕТ ПРИСВОЕНИЕ ЕДИНИЦЫ ДЕЛИМЫМ ОБЪЕКТАМ!
x^(x²) = 2
ln(x^(x²)) = ln(2)
x²ln(x) = ln(2)
ln(x)e^(2ln(x)) = ln(2)
2ln(x)e^(2ln(x)) = 2ln(2)
W(2ln(x)e^(2ln(x))) = W(2ln(2))
2ln(x) = W(2ln(2))
ln(x) = W(2ln(2))/2
x = e^(W(2ln(2))/2)
Lambert W function is one key for a right solution Congrats !