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古代エジプトでは、ピラミッド等を建築する際に円周率的な数値が必要になった場合に "22/7=3.142857142857143" という定数を使っていました。
この問題、もはや発想力勝負ですよね。3:28 ここで余弦定理を使う道も見えたから、動画を止めて余弦定理で底辺の長さを求めました。その結果(底辺)^2＝(2-√3)/4までは追いついた。そこから先はちょっと違う方法で解きました。【ここからは私なりの解法】私はここで、2乗を外すことを諦めて「π^2＞3.05^2」を示すことにした。(底辺)^2に144(＝12^2)をかけて、正十二角形の周の長さの2乗を72-36√3とした。ここで√3を近似するときに、1.73で近似すると「36√3＞36×1.73」→「72-36√3＜72-36×1.73」となってしまう。「π^2＞72-36√3」を前提条件としているので、「π^2＞72-36×1.73＞72-36√3」となることを防ぐために、√3を近似するときは実際の値より大きくする。なので、近似値として1.74を使う。これで計算すると、72-36×1.74＝9.36となる。3.05^2＝9.3025なので、「72-36×1.74＞3.05^2」ここまでの過程を並べると、「π^2＞72-36√3＞72-36×1.74＞3.05^2」となり、「π^2＞3.05^2」πと3.05は両方とも正の値なので、2乗を外しても不等号の向きは変わらず、「π＞3.05」となる。
大学受験で綺麗な解き方とかパッと思いつかないことの方が多いからゴリ押し大事ですな
全然発想力じゃないアルキメデスは正九十六角形で円周率を求めた円周率3だと内接正六角形の周と円周が同じになってしまう→じゃあ正十二角形→高校生なら半角の公式、中学生でも15°75°の直角三角形の辺の比で解ける中学生バージョン｛24r/(√6+√2)｝÷2r=3(√6-√2)>3.05ただの計算。同年の阪大の無理数証明や2013年の阪大の3.141
余弦定理
3:33の図を見て、サイン30度しか知らないとしよう無理やり直角三角形と見立てて解けないだろうか1，2，ルート3は知ってるとする無理やり見立てるから半径0.5よりチョイ長いとして0.51で計算する2:1だから0.51の半分が不明な短い辺になるで、12角形だから12をかけると…3.06
強引に引き伸ばした分、さすがに2%マシくらいだろうっことで0.51を選んだ5%マシはやりすぎかもしれないけど、一応計算しよう3.15ってことは円周率は3.06〜3.15の間らへんだなーってまあまあな精度で限定できる
今度は東大1＋1＝２であることを証明せよ、とか、（－1）×（－1）＝１であることを証明せよ、とか出してほしい（かなり難しい）
この問題が伝説扱いされてる理由(1)円周率3問題が騒がれてる最中で東大という国内ネームバリュー(2)問題の低難易度、わかりやすい問題提起(円周率3とかアカン)など(3)東大受験生は合格者正答率が100%近くレベルの問題だが、思ったほど出来が良くなかったらしい。これは東大の「加法定理証明」の問題と同様(4)阪大は無理数証明問題を出した。かなりヒントや誘導が多いが、いかんせん無理数証明という点でどうしても東大より難しくなるし、誘導にあたる小問や数式が難しくなってしまうので、一般人受け悪い(東大と同じ問題提起なのは変わってない。東大と阪大の解答両方が揃って初めて従来の文部省規規定の円周率になる)
ていうか毎年「受験する西暦が素数判定とかを事前にチェックしておく」っての考えると、これ解けなかったのに東大受験とか「よく足切り引っかからなかったな」としか言えん。
東大の有名な数学の問題と言えば、今回挙げたものの他に「加法定理を証明せよ」っていうのもありますね。
sin15°は半角の公式よりも加法定理から出した方が2重根号の取り外しとかもしなくていいから楽な気がするな。
円に内接する正六角形の隣り合う2つの頂点の座標を求め、その2点を結ぶ辺の中点を通り、辺に直交する直線と円の交点を求め、その点と元の点のどちらかの距離を計算すれば正十二角形の一辺が求まります。そうすれば15度の三角関数を求めずとも計算できます。連立2次方程式を解かなければならないので、どちらが楽かはわかりませんが。
この問題は私は高校生の時に授業の時に4通りの方法で解きました。多分、本当に東京大学の受験の現場だったら一瞬驚くとしても確実に満点取らないと受からないと思います。
別解として、前回紹介して頂いたのとは別の、πのマクローリン展開式π＝4(1-1/3+1/5/-1/7…)を使えば、級数項を加えていく毎にπの数値範囲が絞られて行く。これを使えば12項目(-1/23)まで地道に計算したところで、πの範囲は3.058
まぁ、ラマヌジャンの途轍もなく収束の速いπ級数公式を知っていれば、初項計算 (3528/1123) だけで有効数字5桁までπを求められるけど、こういう証明方法は×なのかなぁ…
個人的には、ゆとりへの風刺っていうより、円周率だけ最大で「3」まで省略するくせに、逆に√2や√3は当然のように小数第3位、4位まで使わせるという高校までの数学教育のアンバランスさを皮肉った問題に思える。円周率の問題なのに解くのにπが一切不要っていうところにそれが表れてる
sin15は式変形の手間を考えると最多コスモスコスモス最多のほうが早そうね
円周率3より大きいは中学入試とかでも出そうないい問題ですね。
頻出ですよね
こう言う高レベルの大学や企業が出すユーモアのある問題好き
ゆとり世代の代表「円周率=3」を良い意味で捉えるの素敵
素敵が素数にしか見えなくて｢円周率=3｣を良い意味で捉えるの素数って読んで｢....?まぁ､3は素数だな｡うん｡｣ってなった
まあ実際当時は中学入試しない生徒にも3.14で教えてる塾がほとんどですし、中学入試は3.14か22/7でしたしね。
半角の公式使うより余弦定理の方がスマートじゃないかの
15=45-30を使って加法定理も良いですよね
「目的に応じて３を用いる」…タイヤが六角形の車に乗るのは勘弁して
数IIを履修してた場合、半角の公式で瞬殺。そもそも2003年の「円周率3問題」が出てる時点で釘指してる予備校講師がほとんどのハズ(どこかで円周率の近似値、円周率無理数証明が出ると。案の定、近似値が東大、無理数が阪大で出た。京大はこの頃数学の易化が進んでた時期で2006年まで難化けしなかったが、2007年で急変。2008年は少しマシになったものの2009年は大学への数学で「安易な難化は問題(やりすぎ)」とまで書かれる特に2009年理乙6番は恐らく完答者ゼロのハズ。大学入試問題とすれば1998年の東大ガロア群に近いくらい難しい)
大阪大の入試で円周率をより細かく近似する問題が挑戦枠で出ていましたね、アレはアレで大問丸々エグいことさせていますが
はなおでんがんチャンネルの「悪問倶楽部」という動画でネタになってたのを思い出しました。ruclips.net/video/_x2Mv49mt6k/видео.html
三角比を使わない96角形の証明がみたいな
この動画2.71回見たので高評価押しときました
半径5や17を使う解法も有名ですね。
Sin15 の途中式間違ってますよ。
入試問題には「初めて知ってその時間内に解けたのら即入学を許可！」という問題が存在するけど、実際には膨大な努力で類似の問題の解法を学習したことがあるか否かで決まるんだよなぁ。
国「2003年から小学生は円周率3で履修させる」当然各自から問題・反発が出る2003年東大 円周率が3.05より大きいことを証明せよ(簡単。数IIでできる)。阪大 円周率が無理数であることを証明せよ(誘導つきだが特性上かなり難しい)。導入前に「無理数かつ3より大きいを警告しておく」(当時、中学受験しない小学生でも塾へ行けば3.14のままだった。塾も反発していた。当然中学受験入試問題も「円周率は3.14とせよ」など、3.14や22/7で近似が多かった。そして文部省は次の教育課程チェンジで小学生の円周率3.14、中3理科のイオン復活などもとに戻す。2013年3.141
ぶっちゃけ、この年の阪大の無理数証明(誘導つき)、10年後の無理数&3.141
ありがとうございます。アルキメデスの三角関数を使わないでやったという π の求め方に興味があります。現代のいろんなツールが使えなかったときにどう工夫したのか面白そうにおもいます。動画にするほどではないかもしれませんが… 😀
こういうの見ると何十兆と導かれてる円周率の求め方も気になるよね。同じ方法で延々と細かく計算してるのか、また別の方法で調べてるのか。さて、みんな調べてみよう
正１２角形の辺長求めるには、sin15より、 cosine定理を使って、辺長^2 = 半径^2 + 半径^2 - 2 半径*半径* cos30 で行けたではないでしょうか。
それが一番簡単ですが、そもそもその二等辺三角形は「1:2+√3:√6+√2の直角三角形」で中学生でも解けます。二重根号外しを中学で履修させない文部省の長い歴史があり(慶応高校が文部省の突っ込み食らわないパターンで二重根合外しを出したことあるが)、よく受験前に塾で教えられますし、私立高校は結構出すんですよね、この三角形。
正12角形の辺の長さを求めるなら余弦定理の方が楽かと思います。
これ、加法定理使うだけで一億倍簡単だけど４５ー３０を思いつけるかは別の話だね
4-2√3だよね？
そうですよね！自分がおかしいのかと思ってて安心しました
東京スカイツリーを見れば、スカイツリーからの距離がおおよそわかる方が有用、というか、角度を測るのは難しい。たぶん富士山を見ておおよその距離を測るのは静岡県の東名高速居眠り防止にも最適！
うぽつです＿|＼○＿！！
3.14に近い、3.12や3.13でなく何故3.05より大きいとしたのだろう？とおもったら、計算の途中で3.08が出てくるからなのね！
うん。。。やはり東大には縁が無いことが解った。エンだけにね・・
一発ギャグ：π=22/7>3.05、なんちゃって。
短い入試問題なら「tan1°は有理数か」って究極の奴があるじゃないか
有理数と仮定して加法定理使いまくって矛盾を導く奴だよね。あれもアイデアさえ出れば簡単に解ける問題だよね。
「加法定理が使えそう」っていうことは分かるんだけど、「有理数と仮定して背理法を使おう」って発想には中々至らないんだよね
東大受験生の層より下でもほとんどの人が余弦定理わかるやろ
アップルπ食べたいね
そういうギャグはいらんから
sin15°とcos15°はよく出てくるから覚えちゃう
チャンネル登録したかったけど3回も観るのダルくてやめたw
そもそもゆとり云々言ってるのはせいぜいFランでしょ。東大を受けるような人には関係ないわな。
これ伝説なの？簡単だと思うけど
9:30 で話題になった背景が述べられています。難しさでの伝説であれば1998年後期が有名です。
古代エジプトでは、ピラミッド等を建築する際に円周率的な数値が必要になった場合に "22/7=3.142857142857143" という定数を使っていました。
この問題、もはや発想力勝負ですよね。
3:28 ここで余弦定理を使う道も見えたから、動画を止めて余弦定理で底辺の長さを求めました。
その結果(底辺)^2＝(2-√3)/4までは追いついた。
そこから先はちょっと違う方法で解きました。
【ここからは私なりの解法】
私はここで、2乗を外すことを諦めて「π^2＞3.05^2」を示すことにした。
(底辺)^2に144(＝12^2)をかけて、正十二角形の周の長さの2乗を72-36√3とした。
ここで√3を近似するときに、1.73で近似すると「36√3＞36×1.73」→「72-36√3＜72-36×1.73」となってしまう。「π^2＞72-36√3」を前提条件としているので、「π^2＞72-36×1.73＞72-36√3」となることを防ぐために、√3を近似するときは実際の値より大きくする。なので、近似値として1.74を使う。
これで計算すると、72-36×1.74＝9.36となる。
3.05^2＝9.3025なので、「72-36×1.74＞3.05^2」
ここまでの過程を並べると、「π^2＞72-36√3＞72-36×1.74＞3.05^2」となり、「π^2＞3.05^2」
πと3.05は両方とも正の値なので、2乗を外しても不等号の向きは変わらず、「π＞3.05」となる。
大学受験で綺麗な解き方とかパッと思いつかないことの方が多いからゴリ押し大事ですな
全然発想力じゃない
アルキメデスは正九十六角形で円周率を求めた
円周率3だと内接正六角形の周と円周が同じになってしまう
→じゃあ正十二角形→高校生なら半角の公式、中学生でも15°75°の直角三角形の辺の比で解ける
中学生バージョン
｛24r/(√6+√2)｝÷2r=3(√6-√2)>3.05
ただの計算。同年の阪大の無理数証明や2013年の阪大の3.141
余弦定理
3:33の図を見て、
サイン30度しか知らないとしよう
無理やり直角三角形と見立てて解けないだろうか
1，2，ルート3は知ってるとする
無理やり見立てるから半径0.5よりチョイ長いとして0.51で計算する
2:1だから0.51の半分が不明な短い辺になる
で、12角形だから12をかけると…
3.06
強引に引き伸ばした分、さすがに2%マシくらいだろう
っことで0.51を選んだ
5%マシはやりすぎかもしれないけど、一応計算しよう
3.15
ってことは円周率は3.06〜3.15の間らへんだなー
ってまあまあな精度で限定できる
今度は東大1＋1＝２であることを証明せよ、とか、（－1）×（－1）＝１であることを証明せよ、とか出してほしい（かなり難しい）
この問題が伝説扱いされてる理由
(1)円周率3問題が騒がれてる最中で東大という国内ネームバリュー
(2)問題の低難易度、わかりやすい問題提起(円周率3とかアカン)など
(3)東大受験生は合格者正答率が100%近くレベルの問題だが、思ったほど出来が良くなかったらしい。これは東大の「加法定理証明」の問題と同様
(4)阪大は無理数証明問題を出した。かなりヒントや誘導が多いが、いかんせん無理数証明という点でどうしても東大より難しくなるし、誘導にあたる小問や数式が難しくなってしまうので、一般人受け悪い(東大と同じ問題提起なのは変わってない。東大と阪大の解答両方が揃って初めて従来の文部省規規定の円周率になる)
ていうか毎年「受験する西暦が素数判定とかを事前にチェックしておく」っての考えると、これ解けなかったのに東大受験とか「よく足切り引っかからなかったな」としか言えん。
東大の有名な数学の問題と言えば、今回挙げたものの他に「加法定理を証明せよ」っていうのもありますね。
sin15°は半角の公式よりも加法定理から出した方が2重根号の取り外しとかもしなくていいから楽な気がするな。
円に内接する正六角形の隣り合う2つの頂点の座標を求め、その2点を結ぶ辺の中点を通り、辺に直交する直線と円の交点を求め、その点と元の点のどちらかの距離を計算すれば正十二角形の一辺が求まります。そうすれば15度の三角関数を求めずとも計算できます。連立2次方程式を解かなければならないので、どちらが楽かはわかりませんが。
この問題は私は高校生の時に授業の時に4通りの方法で解きました。多分、本当に東京大学の受験の現場だったら一瞬驚くとしても確実に満点取らないと受からないと思います。
別解として、前回紹介して頂いたのとは別の、πのマクローリン展開式
π＝4(1-1/3+1/5/-1/7…)
を使えば、級数項を加えていく毎にπの数値範囲が絞られて行く。
これを使えば12項目(-1/23)まで地道に計算したところで、πの範囲は
3.058
まぁ、ラマヌジャンの途轍もなく収束の速いπ級数公式を知っていれば、
初項計算 (3528/1123) だけで有効数字5桁までπを求められるけど、
こういう証明方法は×なのかなぁ…
個人的には、ゆとりへの風刺っていうより、円周率だけ最大で「3」まで省略するくせに、
逆に√2や√3は当然のように小数第3位、4位まで使わせるという高校までの数学教育のアンバランスさを皮肉った問題に思える。
円周率の問題なのに解くのにπが一切不要っていうところにそれが表れてる
sin15は式変形の手間を考えると
最多コスモスコスモス最多のほうが早そうね
円周率3より大きいは中学入試とかでも出そうないい問題ですね。
頻出ですよね
こう言う高レベルの大学や企業が出すユーモアのある問題好き
ゆとり世代の代表「円周率=3」を良い意味で捉えるの素敵
素敵が素数にしか見えなくて
｢円周率=3｣を良い意味で捉えるの素数
って読んで
｢....?まぁ､3は素数だな｡うん｡｣ってなった
まあ実際当時は中学入試しない生徒にも3.14で教えてる塾がほとんどですし、中学入試は3.14か22/7でしたしね。
半角の公式使うより余弦定理の方がスマートじゃないかの
15=45-30を使って加法定理も良いですよね
「目的に応じて３を用いる」…タイヤが六角形の車に乗るのは勘弁して
数IIを履修してた場合、半角の公式で瞬殺。
そもそも2003年の「円周率3問題」が出てる時点で釘指してる予備校講師がほとんどのハズ
(どこかで円周率の近似値、円周率無理数証明が出ると。案の定、近似値が東大、無理数が阪大で出た。京大はこの頃数学の易化が進んでた時期で2006年まで難化けしなかったが、2007年で急変。2008年は少しマシになったものの2009年は大学への数学で「安易な難化は問題(やりすぎ)」とまで書かれる特に2009年理乙6番は恐らく完答者ゼロのハズ。大学入試問題とすれば1998年の東大ガロア群に近いくらい難しい)
大阪大の入試で円周率をより細かく近似する問題が挑戦枠で出ていましたね、アレはアレで大問丸々エグいことさせていますが
はなおでんがんチャンネルの「悪問倶楽部」という動画でネタになってたのを思い出しました。ruclips.net/video/_x2Mv49mt6k/видео.html
三角比を使わない96角形の証明がみたいな
この動画2.71回見たので高評価押しときました
半径5や17を使う解法も有名ですね。
Sin15 の途中式間違ってますよ。
入試問題には「初めて知ってその時間内に解けたのら即入学を許可！」という問題が存在するけど、
実際には膨大な努力で類似の問題の解法を学習したことがあるか否かで決まるんだよなぁ。
国「2003年から小学生は円周率3で履修させる」当然各自から問題・反発が出る
2003年
東大 円周率が3.05より大きいことを証明せよ(簡単。数IIでできる)。
阪大 円周率が無理数であることを証明せよ(誘導つきだが特性上かなり難しい)。
導入前に「無理数かつ3より大きいを警告しておく」(当時、中学受験しない小学生でも塾へ行けば3.14のままだった。塾も反発していた。当然中学受験入試問題も「円周率は3.14とせよ」など、3.14や22/7で近似が多かった。
そして文部省は次の教育課程チェンジで小学生の円周率3.14、中3理科のイオン復活などもとに戻す。
2013年3.141
ぶっちゃけ、この年の阪大の無理数証明(誘導つき)、10年後の無理数&3.141
ありがとうございます。アルキメデスの三角関数を使わないでやったという π の求め方に興味があります。現代のいろんなツールが使えなかったときにどう工夫したのか面白そうにおもいます。動画にするほどではないかもしれませんが… 😀
こういうの見ると何十兆と導かれてる円周率の求め方も気になるよね。同じ方法で延々と細かく計算してるのか、また別の方法で調べてるのか。
さて、みんな調べてみよう
正１２角形の辺長求めるには、sin15より、 cosine定理を使って、辺長^2 = 半径^2 + 半径^2 - 2 半径*半径* cos30 で行けたではないでしょうか。
それが一番簡単ですが、そもそもその二等辺三角形は「1:2+√3:√6+√2の直角三角形」で中学生でも解けます。
二重根号外しを中学で履修させない文部省の長い歴史があり(慶応高校が文部省の突っ込み食らわないパターンで二重根合外しを出したことあるが)、よく受験前に塾で教えられますし、私立高校は結構出すんですよね、この三角形。
正12角形の辺の長さを求めるなら余弦定理の方が楽かと思います。
これ、加法定理使うだけで一億倍簡単だけど４５ー３０を思いつけるかは別の話だね
4-2√3だよね？
そうですよね！自分がおかしいのかと思ってて安心しました
東京スカイツリーを見れば、スカイツリーからの距離がおおよそわかる方が有用、というか、角度を測るのは難しい。たぶん富士山を見ておおよその距離を測るのは静岡県の東名高速居眠り防止にも最適！
うぽつです＿|＼○＿！！
3.14に近い、3.12や3.13でなく何故3.05より大きいとしたのだろう？
とおもったら、計算の途中で3.08が出てくるからなのね！
うん。。。やはり東大には縁が無いことが解った。エンだけにね・・
一発ギャグ：π=22/7>3.05、なんちゃって。
短い入試問題なら
「tan1°は有理数か」
って究極の奴があるじゃないか
有理数と仮定して加法定理使いまくって矛盾を導く奴だよね。
あれもアイデアさえ出れば簡単に解ける問題だよね。
「加法定理が使えそう」っていうことは分かるんだけど、「有理数と仮定して背理法を使おう」って発想には中々至らないんだよね
東大受験生の層より下でもほとんどの人が余弦定理わかるやろ
アップルπ食べたいね
そういうギャグはいらんから
sin15°とcos15°はよく出てくるから覚えちゃう
チャンネル登録したかったけど3回も観るのダルくてやめたw
そもそもゆとり云々言ってるのはせいぜいFランでしょ。東大を受けるような人には関係ないわな。
これ伝説なの？簡単だと思うけど
9:30 で話題になった背景が述べられています。難しさでの伝説であれば1998年後期が有名です。