Obwohl ich Ingenieurwissenschaften studiert habe und auch viele Jahre in der Entwicklung gearbeitet habe, muss ich sagen, dass Du diese höheren mathematischen Grundlagen sehr verständlich und gut rüberbringst. So wurde uns das in meiner Schulzeit nicht vermittelt. Weiter so!!!
Seit vielen Jahren nach dem Studium nicht mehr gehört, sehr interessant und erfrischend so anschaulich mit geschichtlichen Bezug mathematische Grundoperationen wieder zu sehen ☺️
Kannst du mal die Herleitung für die Bildung von Stammfunktion (von Potenzen) beleuchten sowie in dem Video wo es um den Hintergrund der Ableitung ( Potenzregel) ging?
Du: was hat man denn von der berechnung einer Steigung einer Funktion oder dem Graphenverlauf... und was hat man von der Flächenberechnung unter der Linie??? also was macht man damit praktisch gesehen... was ist der nächste schritt und was ist außerhalb der dargestellten graphischen funktion der eigentlich berechnete Umpfzzz? ChatGPT: ChatGPT Die Berechnung der Steigung einer Funktion und die Flächenberechnung unter dem Graphen (Integrale) haben praktische Anwendungen in vielen Bereichen der Mathematik, Physik, Technik und Wirtschaft. Beide Konzepte sind zentral für das Verständnis des Verhaltens von Funktionen und helfen dabei, reale Probleme zu lösen. Steigung einer Funktion (Ableitung) Die Steigung einer Funktion beschreibt die Änderungsrate einer Größe in Bezug auf eine andere. Die Ableitung einer Funktion gibt an, wie schnell sich eine Funktion verändert. Praktisch gesehen hilft das in vielen Bereichen: Physik: Wenn man die Position eines Objekts als Funktion der Zeit kennt, beschreibt die Ableitung dieser Funktion die Geschwindigkeit. Eine weitere Ableitung würde die Beschleunigung geben. Beispiel: Die Steigung eines Geschwindigkeit-Zeit-Graphen gibt die Beschleunigung an. Wirtschaft: Die Steigung der Umsatzkurve gibt an, wie schnell der Umsatz steigt oder fällt. Das kann helfen, Wendepunkte oder Maximierungen zu erkennen, um z. B. die beste Preisstrategie zu finden. Optimierung: Mithilfe der Ableitung lassen sich Extrempunkte (Minima und Maxima) von Funktionen bestimmen. Dies ist praktisch, um z. B. den optimalen Gewinn oder die minimalen Kosten in der Wirtschaft zu berechnen. Flächenberechnung unter dem Graphen (Integral) Die Fläche unter dem Graphen (Integral) einer Funktion gibt den gesamten Wert einer Größe über einen bestimmten Zeitraum oder Bereich an. Das Integral beschreibt, wie sich eine Menge im Laufe der Zeit akkumuliert: Physik: Das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit gibt die zurückgelegte Strecke an. Wenn man weiß, wie sich die Geschwindigkeit eines Autos ändert, kann man durch Integration die gesamte Strecke berechnen. Wirtschaft: In der Finanzwelt kann das Integral helfen, den Gesamtwert einer variablen Größe zu berechnen. Zum Beispiel könnte man die gesamte Akkumulation eines Kapitals oder die Summe von Einnahmen über einen bestimmten Zeitraum berechnen. Statistik: Das Integral der Dichtefunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt. Was macht man damit praktisch? Die Steigung und das Integral helfen dabei, Veränderungen zu verstehen und vorherzusagen: Steigung: Hilft, die momentane Änderungsgeschwindigkeit zu erkennen. Integral: Zeigt den Gesamtwert über einen Zeitraum oder eine Distanz. Außerhalb der grafischen Darstellung - Der eigentliche Zweck Die grafische Darstellung ist oft eine Visualisierung eines Problems. Der "eigentlich berechnete Umpfzzz" liegt in der Anwendung der gewonnenen Daten: Geschwindigkeit aus der Steigung, Entfernung oder Akkumulation durch Integration, Optimierung durch Ableitungen. Diese mathematischen Werkzeuge helfen uns also, nicht nur Funktionen auf einem Papier zu zeichnen, sondern reale Phänomene wie Bewegung, Wirtschaftsprozesse, Optimierungen und vieles mehr zu verstehen und zu berechnen. Quintessenz Die Steigung zeigt, wie schnell sich etwas verändert, und das Integral misst die Gesamtmenge einer Veränderung - beide sind praktische Werkzeuge in der realen Welt. Resilienztipp Selbst komplexe Probleme lassen sich Schritt für Schritt angehen. Ein klares Ziel und systematische Herangehensweise bringen dich weiter, auch in schwierigen Situationen!
Hallo zusammen, Frage bzgl der Stammfunktion. Warum ist die stammfunktion so definiert wie sie ist? Also int( x^2)=1/3x^3? Ist es „Zufall“ , dass die stammfunktion immer den Flächeninhalt wiedergibt?
Ok, in 13 min bringt man nicht wirklich viel unter - aber trotzdem überspringst du in der historischen Entwicklung hier wirklich sehr viel. Es gab in den Jahrzehnten vor Newton und Leibniz viele Mathematiker, die bereits Flächen unter Kurven berechneten: Cavalieri, Kepler, Fermat, Descartes, Torricelli, Pascal, Roberval, Saint-Vincent, Barrow, Gregory (und sicher noch mehr) Die wesentliche Leistung von Newton und Leibniz war ja gerade, dass sie eben _nicht_ mehr nur mit diesen unendlichen Summen von unendlich schmalen Rechtecken gearbeitet haben, sondern eben das Konzept der Stammfunktionen als Umkehrung des Ableitens eingeführt haben und bewiesen haben, dass man mit diesen Flächen berechnen kann. (Auch da gab es zwar gewisse Vorarbeiten, aber sie waren eben die ersten, die das wirklich klar herausgearbeitet und dann auch für viele Rechnungen verwendet haben.)
Verstehe ich nicht. Zumindest die Grundzüge (Stammfunktionen zu Polynomfunktionen und Flächenberechnungen damit) sind doch wirklich einfach. Meine Klassen machen bei dem Thema meist die besten Mathe-Noten des ganzen Schuljahres. Ok, wenn man tiefer einsteigt in Methoden wie Partialbruchzerlegung, partielle Integration und Substitution, dann wird's natürlich fast beliebig kompliziert. Aber das wird doch meines Wissens sowieso kaum an Schulen unterrichtet, oder?
@@bjornfeuerbacher5514 Klar, Stammfunktionen von Polynomen zu bilden ist einfach. In Bayern, dessen Lehrpläne ich kenne, gibt es immer noch drei spezielle Integrationsregeln, die Bestandteil des Lehrplans sind. Partialbruchzerlegung, partielle Integration und Substitution in allgemeiner Form gehören aber nicht dazu.
@@berndkru Du meinst wahrscheinlich die bayerischen Gymnasien? An der FOS/BOS im technischen Zweig werden Partialbruchzerlegung, partielle Integration und Substitution unterrichtet.
@@bjornfeuerbacher5514 Ja, ich habe vom Gymnasium gesprochen. Ich habe zwar auch gelegentlich Nachhilfeschüler an der FOS und da kam es im nichttechnischen Zweig nicht vor, am technischen Zweig mag es sein.
endlich mal eine halbwegs brauchbare herleitung wieso zur berechnung die stammfunktion benutzt wird. dafür großes lob! der rest ist leider etwas verwaschen, eine scharfe trennung zwischen beschreibung und berechnung des integrals wäre schön gewesen. bei der beschreibung fehlen infinitesimale strecken und damit die erklärung des dx (übergang von Δx zu dx). das beispiel erscheint rechnerisch auch komplizierter als wenn du es abstrakt beschrieben hättest. über die geschichtlichen abrisse wurde sich ja schon genug geäußert - scheinbar war hier der zeitdruck zu hoch. du kannst ja noch den titel ändern ...
4:23 Mach mal ein Video, wie die Formel für diese Summe der Quadratzahlen hergeleitet wird. Als ich das zum ersten Mal gesehen habe, war ich total fasziniert mit welcher Kreativität Mathematik manchmal verbunden ist.
@@bjornfeuerbacher5514 DAS kannte ich bisher noch nicht :) Danke für diesen Hinweis. Aber viele wissen auch nicht, dass die aufsteigende Summe von ungeraden Zahlen immer eine Quadratzahl ergibt. Also dass man mit Summe n*2-1 immer die Quadratzahl von n erhält (beginnend bei n=1). Also: also für n=5 erhält man die Quadratzahl von 5. 5 hoch 2 ist also 1+3+5+7+9=25. Ergibt sich direkt aus der 1. binomischen Formel. Hatte das als Kind entdeckt als wir Quadratzahlen durchgenommen hatten, aber mein damaliger Mathelehrer hatte mich nur groß angeguckt, als ich es ihm meine "Entdeckung" erzählt hatte. Erst ein paar Jahre später wurde mir klar, dass die binomischen Formeln und der Induktionsbeweis meine "Entdeckung" bestätigen :D
Obwohl ich Ingenieurwissenschaften studiert habe und auch viele Jahre in der Entwicklung gearbeitet habe, muss ich sagen, dass Du diese höheren mathematischen Grundlagen sehr verständlich und gut rüberbringst. So wurde uns das in meiner Schulzeit nicht vermittelt.
Weiter so!!!
Seit vielen Jahren nach dem Studium nicht mehr gehört, sehr interessant und erfrischend so anschaulich mit geschichtlichen Bezug mathematische Grundoperationen wieder zu sehen ☺️
Ich find deine Videos echt geil 🔥🔥🔥🔥mir macht Mathe hobbymäßig sehr spaß
Wenn mein Mathelehrer das Video um 1Uhr Nachts in den Schilkanal stellt dann muss das Video mystisch sein
Die Darstellung und Erklärung sind wirklich anschaulich und leicht verständlich 🌟🌟🌟🌟🌟
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So ein Format hab es bisher nur auf englisch. Nach weiter, lohnt sich bestimmt!
Kannst du mal die Herleitung für die Bildung von Stammfunktion (von Potenzen) beleuchten sowie in dem Video wo es um den Hintergrund der Ableitung ( Potenzregel) ging?
Da passt der Inhalt wohl nicht zum Titel
Du:
was hat man denn von der berechnung einer Steigung einer Funktion oder dem Graphenverlauf... und was hat man von der Flächenberechnung unter der Linie??? also was macht man damit praktisch gesehen... was ist der nächste schritt und was ist außerhalb der dargestellten graphischen funktion der eigentlich berechnete Umpfzzz?
ChatGPT:
ChatGPT
Die Berechnung der Steigung einer Funktion und die Flächenberechnung unter dem Graphen (Integrale) haben praktische Anwendungen in vielen Bereichen der Mathematik, Physik, Technik und Wirtschaft. Beide Konzepte sind zentral für das Verständnis des Verhaltens von Funktionen und helfen dabei, reale Probleme zu lösen.
Steigung einer Funktion (Ableitung)
Die Steigung einer Funktion beschreibt die Änderungsrate einer Größe in Bezug auf eine andere. Die Ableitung einer Funktion gibt an, wie schnell sich eine Funktion verändert. Praktisch gesehen hilft das in vielen Bereichen:
Physik: Wenn man die Position eines Objekts als Funktion der Zeit kennt, beschreibt die Ableitung dieser Funktion die Geschwindigkeit. Eine weitere Ableitung würde die Beschleunigung geben.
Beispiel: Die Steigung eines Geschwindigkeit-Zeit-Graphen gibt die Beschleunigung an.
Wirtschaft: Die Steigung der Umsatzkurve gibt an, wie schnell der Umsatz steigt oder fällt. Das kann helfen, Wendepunkte oder Maximierungen zu erkennen, um z. B. die beste Preisstrategie zu finden.
Optimierung: Mithilfe der Ableitung lassen sich Extrempunkte (Minima und Maxima) von Funktionen bestimmen. Dies ist praktisch, um z. B. den optimalen Gewinn oder die minimalen Kosten in der Wirtschaft zu berechnen.
Flächenberechnung unter dem Graphen (Integral)
Die Fläche unter dem Graphen (Integral) einer Funktion gibt den gesamten Wert einer Größe über einen bestimmten Zeitraum oder Bereich an. Das Integral beschreibt, wie sich eine Menge im Laufe der Zeit akkumuliert:
Physik: Das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit gibt die zurückgelegte Strecke an. Wenn man weiß, wie sich die Geschwindigkeit eines Autos ändert, kann man durch Integration die gesamte Strecke berechnen.
Wirtschaft: In der Finanzwelt kann das Integral helfen, den Gesamtwert einer variablen Größe zu berechnen. Zum Beispiel könnte man die gesamte Akkumulation eines Kapitals oder die Summe von Einnahmen über einen bestimmten Zeitraum berechnen.
Statistik: Das Integral der Dichtefunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt.
Was macht man damit praktisch?
Die Steigung und das Integral helfen dabei, Veränderungen zu verstehen und vorherzusagen:
Steigung: Hilft, die momentane Änderungsgeschwindigkeit zu erkennen.
Integral: Zeigt den Gesamtwert über einen Zeitraum oder eine Distanz.
Außerhalb der grafischen Darstellung - Der eigentliche Zweck
Die grafische Darstellung ist oft eine Visualisierung eines Problems. Der "eigentlich berechnete Umpfzzz" liegt in der Anwendung der gewonnenen Daten:
Geschwindigkeit aus der Steigung,
Entfernung oder Akkumulation durch Integration,
Optimierung durch Ableitungen.
Diese mathematischen Werkzeuge helfen uns also, nicht nur Funktionen auf einem Papier zu zeichnen, sondern reale Phänomene wie Bewegung, Wirtschaftsprozesse, Optimierungen und vieles mehr zu verstehen und zu berechnen.
Quintessenz
Die Steigung zeigt, wie schnell sich etwas verändert, und das Integral misst die Gesamtmenge einer Veränderung - beide sind praktische Werkzeuge in der realen Welt.
Resilienztipp
Selbst komplexe Probleme lassen sich Schritt für Schritt angehen. Ein klares Ziel und systematische Herangehensweise bringen dich weiter, auch in schwierigen Situationen!
Hallo zusammen, Frage bzgl der Stammfunktion.
Warum ist die stammfunktion so definiert wie sie ist?
Also int( x^2)=1/3x^3?
Ist es „Zufall“ , dass die stammfunktion immer den Flächeninhalt wiedergibt?
sehr schöne Hintergrundmusik. Und überhaupt nicht störend!
Wenn jemand nicht zur Habituation von Außenreizen fähig ist (typisch für Migräniker), dann stört die Hintergrundmusik immens!
doch
Ok, in 13 min bringt man nicht wirklich viel unter - aber trotzdem überspringst du in der historischen Entwicklung hier wirklich sehr viel. Es gab in den Jahrzehnten vor Newton und Leibniz viele Mathematiker, die bereits Flächen unter Kurven berechneten: Cavalieri, Kepler, Fermat, Descartes, Torricelli, Pascal, Roberval, Saint-Vincent, Barrow, Gregory (und sicher noch mehr)
Die wesentliche Leistung von Newton und Leibniz war ja gerade, dass sie eben _nicht_ mehr nur mit diesen unendlichen Summen von unendlich schmalen Rechtecken gearbeitet haben, sondern eben das Konzept der Stammfunktionen als Umkehrung des Ableitens eingeführt haben und bewiesen haben, dass man mit diesen Flächen berechnen kann. (Auch da gab es zwar gewisse Vorarbeiten, aber sie waren eben die ersten, die das wirklich klar herausgearbeitet und dann auch für viele Rechnungen verwendet haben.)
Ich hätte gerne noch mehr davon thematisiert, aber das hat die Zeit leider nicht hergegeben. Danke trotzdem für die Ergänzung 🙂
Aber die Geschichte der Mathematik ist eben wichtig für einen guten Mathematik -Unterricht.
Das hier ist viiieeel zu flach
Nicht zu vergessen: Archimedes
@@robertgumpi7235 Archimedes _hatte_ er doch im Video erwähnt!?
Also, meine Schüler würden abfällig grinsen, wenn sie dieses oberflächliche Video ansehen müssten
An der Integralrechnung ist damals unsere gesamte Klasse gescheitert.
Verstehe ich nicht. Zumindest die Grundzüge (Stammfunktionen zu Polynomfunktionen und Flächenberechnungen damit) sind doch wirklich einfach. Meine Klassen machen bei dem Thema meist die besten Mathe-Noten des ganzen Schuljahres.
Ok, wenn man tiefer einsteigt in Methoden wie Partialbruchzerlegung, partielle Integration und Substitution, dann wird's natürlich fast beliebig kompliziert. Aber das wird doch meines Wissens sowieso kaum an Schulen unterrichtet, oder?
@@bjornfeuerbacher5514 Klar, Stammfunktionen von Polynomen zu bilden ist einfach. In Bayern, dessen Lehrpläne ich kenne, gibt es immer noch drei spezielle Integrationsregeln, die Bestandteil des Lehrplans sind. Partialbruchzerlegung, partielle Integration und Substitution in allgemeiner Form gehören aber nicht dazu.
Eine ganze Klasse scheiterte an der Integralrechnung? Entweder ist das maßlos übertrieben oder es war ein unfähiger Lehrer am Werk.
@@berndkru Du meinst wahrscheinlich die bayerischen Gymnasien? An der FOS/BOS im technischen Zweig werden Partialbruchzerlegung, partielle Integration und Substitution unterrichtet.
@@bjornfeuerbacher5514 Ja, ich habe vom Gymnasium gesprochen. Ich habe zwar auch gelegentlich Nachhilfeschüler an der FOS und da kam es im nichttechnischen Zweig nicht vor, am technischen Zweig mag es sein.
Bei Hintergrundmusik kann ich mich nicht auf das Video konzentrieren. Nach 2 Minuten abgeschaltet.
endlich mal eine halbwegs brauchbare herleitung wieso zur berechnung die stammfunktion benutzt wird. dafür großes lob! der rest ist leider etwas verwaschen, eine scharfe trennung zwischen beschreibung und berechnung des integrals wäre schön gewesen. bei der beschreibung fehlen infinitesimale strecken und damit die erklärung des dx (übergang von Δx zu dx). das beispiel erscheint rechnerisch auch komplizierter als wenn du es abstrakt beschrieben hättest. über die geschichtlichen abrisse wurde sich ja schon genug geäußert - scheinbar war hier der zeitdruck zu hoch. du kannst ja noch den titel ändern ...
✔️
Die i erklärung verstehe ich nicht
was soll das laute Gedudel
4:23 Mach mal ein Video, wie die Formel für diese Summe der Quadratzahlen hergeleitet wird. Als ich das zum ersten Mal gesehen habe, war ich total fasziniert mit welcher Kreativität Mathematik manchmal verbunden ist.
Gerne!
Und dann am besten auch noch gleich über den schönen Zusammenhang (1 + 2 + 3 + ...)² = 1³ + 2³ + 3³ + ... reden. :)
@@bjornfeuerbacher5514 DAS kannte ich bisher noch nicht :) Danke für diesen Hinweis.
Aber viele wissen auch nicht, dass die aufsteigende Summe von ungeraden Zahlen immer eine Quadratzahl ergibt. Also dass man mit Summe n*2-1 immer die Quadratzahl von n erhält (beginnend bei n=1). Also: also für n=5 erhält man die Quadratzahl von 5. 5 hoch 2 ist also 1+3+5+7+9=25. Ergibt sich direkt aus der 1. binomischen Formel.
Hatte das als Kind entdeckt als wir Quadratzahlen durchgenommen hatten, aber mein damaliger Mathelehrer hatte mich nur groß angeguckt, als ich es ihm meine "Entdeckung" erzählt hatte. Erst ein paar Jahre später wurde mir klar, dass die binomischen Formeln und der Induktionsbeweis meine "Entdeckung" bestätigen :D
@4:37 Dieser Sprung ist absolut schlecht erklärt
Bitte nicht sprechen von "der" Stammfunktion. Falls es eine gibt, gibt es unendlich viele.
Richtig, das ist alles sowas von oberflächlich!