Видео

Of course. The code for the scene is in the pastebin at the end of the comment. Keep in mind that I made this in an old version of manim, so it may need some tweak pastebin.com/jCbtRFHi

Also, the background music is tasty!, dont listen to the salt :)

@@axelhederstedt208 thanks ☺️

Però come fai a definire i quaternioni (o anche solo i complessi) senza definire i reali? È vero che si può interpretare un numero reale come un complesso con componente immaginaria nulla, ma per definire i complessi serve definire prima i reali

@@mathITA avendo fatto Ingegneria Meccatronica ovvero Ingegneria Robotica, ho usato i quaternioni in Robotica e in automazione ovunque, quindi sono un quaterniomane ! 😅 Comunque sia, è coerente anche partire dal caso più generale di insieme numerico (il caso dei nimeri complessi ed ipercomplessi), per arrivare a definire gli insiemi numerici più "particolari" o meno generali, come l'insieme dei nimeri interi, naturali, razionali ed irrazionali. D'altra parte, cominciando dall'insieme dei numeri ipercomplessi, si comincia dal caso più generale e poi si differiscono gli altri insiemi, quindi cominciando a definire l'insieme dei numeri ipercomplessi, quale caso di insieme numerico più generale, mediante semplificazioni si definiscono a cascata gli altri insiemi che sono dei casi particolari. Infatti, la didattica delle scuole elementari è errata, soprattutto in scienze e in matematica/ragionamento logico deduttivo. 😅😆

Io in dottorato ho fatto anche sistemi dinamici in S3 per apprendimento di traiettorie 😅 Però il problema rimane. Puoi INTERPRETARE i reali come quaternioni con parte complessa nulla. Ma non puoi DEFINIRE i quaternioni senza definire i reali prima

@@mathITA io triennale in matematica a Pisa, ingegneria meccatronica campus La Spezia università di Genova e adesso seguo un dottorato in bioingegneria medica. 😉 Comunque il partire dal caso più generale ai casi particolari ha la sua logica.

@@mathITA pensavo che si potesse iniziare con il definire lo spazio vettoriale degli infiniti vettori di R4 (x y z t) definiti dal gruppo (non abeliano) dei quaternioni di Hamilton, in campo Ipercomplesso C che contiene gli altri insiemi numerici visti sempre come spazi vettoriali ...

in che modo i metodi 2 e 3 porrebbero dei "limiti" che il metodo 1 non porrebbe? Tutti e tre i modi possono, potenzialmente, scegliere tutte le corde della circonferenza

@@mathITA Sebbene il problema sia posto in modo ambiguo, comunque indica solo tre elementi. Coerentemente, andrebbe svolto (se possibile) solo con quelli forniti, senza utilizzare presupposti che nascono dall'uso di elementi diversi ed ulteriori, rispetto a quelli indicati. E' ovvio che a seconda di come si scelga di computare le corde, cambi anche la probabilità della misura, ma dato che il problema non fornisce alcun metodo, la prima soluzione, che non introduce altro, secondo me è più coerente rispetto alle altre.

Il problema menziona solo il "scegliere una corda". In che modo il metodo 2 e 3 introducono elementi non posti dal problema? Tutti e tre i metodi si limitano a usare tecniche diverse per scegliere la corda. Nessuno aggiunge ipotesi o condizioni 🤔

@@mathITA Perchè la corda deve correre perpendicolare al raggio, o essere esterna ad una circonferenza (superficie) inscritta? Se non sono "condizioni ulteriori" queste, cosa sarebbero? Senza utilizzare queste ulteriori condizioni, che sono solo un metodo di calcolo, la prima risposta soddisfa già la domanda, quantomeno per come la domanda è stata posta. Se la domanda fosse stata più specifica, indicando il metodo per determinare le corde da considerare, allora avremmo una soluzione univoca.

Tutte le corde sono perpendicolari a un raggio. Lunica differenza tra metodo 1 e metodo 2 è che nel metodo 2 questa proprietà viene usata per scegliere la corda. Così come tutte le corde hanno un punto medio, solo che nel metodo 3 questo viene usato per scegliere la corda. Nessuno dei tre metodi aggiunge alcuna ipotesi al problema. Sono solo tre modi diversi di scegliere una corda

grazie :)

Grazie. Purtroppo è un errore che commettevo abbastanza spesso nei primi video. È da un po' che cerco di impormi di rallentare 😅

Infatti solitamente il piano è accordato esattamente così. Il problema è che nessun intervallo rispetta i rapporti degli intervalli naturali. Ad esempio una quinta dovrebbe avere un rapporto di 3:2=1.5 ma con l'accordatura equabile diventa 2^(7/12) = 1.49830...

@@mathITA forse per far corrispondere gli intervalli dei rapporti naturali con i rapporti di una scala pitagorica si sarebbe dovuto basare il tutto su un numero diverso da 12 semitoni. Magari 16 o 15 o forse 9 ma ho dei dubbi che servirebbe, ci vorrebbe un matematico da nobel per saperlo. E comunque sarebbe decisamente troppo complicato per ripensare il tutto. Grazie per l'attenzione.

@@raffaelefilippi4936 in realtà sappiamo che non sarebbe possibile: ogni radice n-sima di 2 è un numero irrazionale. Quindi non si potrebbe in nessun modo mantenere rapporti interi (ad eccezione dell'ottava)

Credo di capire da dove venga l'intuizione: usare un metodo simile al metodo 3 che restituirebbe una sfera di raggio dimezzato (e, quindi, volume ridotto a 1/8). Ci sono però due problemi: [1] un triangolo equilatero può essere inscritto in infinite circonferenze diverse. Se si considerano sfere, bisogna anche considerare tetraedri regolari [2] un punto interno alla sfera sarà punto medio di infinite corde ma non ne definisce una sola. Ad esempio prendiamo la sfera di raggio 1 e centro l'origine e il punto P=(0,0,1/2). Considera la circonferenza ottenuta intersecano la sfera e il piano z=1/2. Il punto P è il centro di questa circonferenza e ogni diametro sarebbe quindi una possibile corda della sfera

@@mathITA , è sicuro che sia una intuizione , che ha come una specie di assioma, quello che ho scritto precedentemente cioè che FORECAST PROBABILITY IT'S EVER 50% , e da questo posso azzardare che tutte e 3 le dimostrazione del Paradosso di Bertrand , ed anche la 4 , da me proposta , sono corrette...Certo , spiegarlo , non è così "intuitivo" , perchè dire che 1/3 , è uguale a 1/2 , A/4 e V/8 , per i matematici è un'eresia , ma nel campo delle probabilità "previsionali", è possibile...

Non capisco da dove venga questo meme sulla forecast probability

Il meme sulla FORECAST PROBABILITY IT'S EVER 50% , è mio e vuol dire semplicemente quello che è scritto cioè che la FORECAST PROBABILITY , in italiano , la PROBABILITA' "FUTURA" di un evento è sempre al 50% , indipendentemente dalla STATISTIC PROBABILITY

Penso sia una cosa che nasce spontaneamente ad ogni corso di probabilità 😆 Anche io e i miei compagni di corso abbiamo fatto un periodo a dire "o succede o non succede, quindi 50%" mentre studiavamo probabilità, pur non avendo mai visto un meme a rigurado.

@@mathITALa mia e' una risposta , più che una domanda , anzi un assioma, cioè , "FORECAST PROBABILITY IT'S EVER 50% " , vuol dire che le previsione futura è come quella del lancio di una moneta, che può venire o testa o croce , e quindi o è 100% testa e 0% Croce o 100% Croce e 0% Testa, che , come media è 50%..Al Paradosso di Monty Hall , ci sto lavorando da un anno e l'affermazione "Il paradosso di Monty Hall é sbagliato" non è dovuto al risultato , che è , correttamente, 2/3, ma alla dimostrazione che tutti matematici fanno nei loro video...In pratica ,è come a scuola, se ad una funzione complicata, davi il risultato corretto, ma lo argomentavi in modo errato , il voto era comunque negativo...

Grazie ☺️

Grazie 😊

Sì, pur percorrendo percorsi diversi, nel punto più basso hanno la stessa velocità (anche se chiaramente raggiunta in momenti diversi)

Ma che figo 🤩 non me lo ricordavo

Quindi sul fatto di quante cose ci sono da scoprire, in realtà non si possono scoprire.

Poi se sono un infinitesimo non significa che sono pochissimi, i numeri computabili in assoluto sono tantissimi in quanto sono infiniti, non ha senso parlare in relativo, in quanto c'è sempre un insieme in cui esso è un infinitesimo, in effetti l'insieme dei numeri reali è un infinitesimo dell'insieme delle parti dei numeri reali, che a sua volta è un infinitesimo delle parti delle parti dei numeri reali, a sua volta delle parti delle parti delle parti dei numeri reali e così via, quindi non ha senso parlare in realtà sarà sempre un insieme degli insiemi superiori, fermiamoci ai numeri computabili: sono infiniti e questo è l'importante in relativo non pensiamoci proprio avremo sempre degli insiemi superiori.

E nei numeri computabili ci sono anche i numeri normali come per esempio la costante di Champernowne e la costante di Copeland-Erdős ma anche la 0,2468101214161820... Ottenuta concatenando tutti i numeri pari 0,13579111315171921.... Ottenuta concatenando tutti i numeri dispari 0,468910121415161820.... Ottenuta concatenando tutti i numeri composti, cioè i numeri che si scompongono in fattori primi per esempio 4=2² 6=2·3 8=2³ ecc. 0,149162536496481100.... Ottenuta concatenando tutti i quadrati perfetti 0,23567810111213141517... Ottenuta concatenando tutti i quadrati imperfetti cioè quadrati dei numeri irrazionali.

Quindi nel numeri computabili abbiamo comunque i numeri normali.

Purtroppo non cambia nulla

Grazie :) Cercando ho trovato solo due articoli (uno del '95 e uno del '97, li lascio in coda al commento) in cui affrontano l'argomento per l'attrito viscoso con l'aria. Interessante il fatto che aumentando il coefficiente d'attrito, il percorso più breve tende a essere il segmento. Intuitivamente ha senso: più cresce l'attrito viscoso, più tempo la massa viaggerà a velocità terminale, e il percorso più veloce coincide col più breve, visto che la velocità tende a essere costante. www.jstor.org/stable/2974953 www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020746297000267

@@mathITA grazie a voi. La domanda mi è venuta perchè, appunto,con le resistenze il problema si fa molto interessante: man mano che prendono importanza, le irreversibilità tendono a penalizzare percorsi che ne hanno troppe. Però per dipendenze da esponenti >1 (immaginiamo aria in regime turbolento, quindi al quadrato) intuitivamente uno si immagina che convenga stare a velocità costante; solo che questo non è il caso del segmento rettilineo: in qualche misura meglio accelerare al più presto verso la velocità media. Ancor di più dall'altra parte, con un attrito che diminuisce con la velocità (un po' succede sempre, ma in modo molto tenue. Immaginiamo invece proprio che il grave resti "impantanato" se non raggiunge una sufficiente velocità): l'inizio rampa dovrebbe subito togliere il grave dall'impantanamento. D'altra parte ancora, la maggior parte dei casi reali sta in mezzo e, come hai detto tu, la linea più vantaggiosa tende ad avere pendenza costante. Come ben sanno sia un ciclista che uno sciatore: con la resistenza dell'aria, le pendenze costanti sono le più vantaggiose, l'importanza del transitorio di partenza svanisce rapidamente.

grazie anche per i link. Peccato che siano abstract, gli articoli sono a pagamento, avrei provato a togliermi un po' di ruggine analitica. Ma credo che anche il vostro canale ne offra l'occasione, ho visto un sacco di cose interessanti

Ma purtroppo non sempre c'è il prolungamento analitico.

Perché i numeri che "utilizziamo" maggiormente costituiscono un insieme di un infinito più piccolo rispetto all'intero insieme dei reali. Ha senso parlare di cardinalità dell'infinito, in quanto si possono creare insiemi con numero di elementi infinito di qualsiasi cardinalità. Ne ho parlato in un altro mio video tinyurl.com/msudhmm5

Come può avere senso parlarne di cardinalità se non possiamo contarli tutti, l'infinito non ha senso.

In effetti noi usiamo come infinito il limite che tende all'infinito, non l'infinito stesso.

Se guardi il video che ho linkato lo spiego. L'aspetto chiave è che due insiemi hanno lo stesso numero di elementi se e solo esiste una funzione biunivoca tra i due. Ad esempio, l'insieme dei naturali e quello dei soli numeri pari hanno la stessa cardinalità: la funzione biunivoca è f : N → {pari}, f(n) = 2n. Si possono costruire funzioni bi-univoche tra N e Z, tra N e Q, ed anche tra N e computabili. Quindi, questi insiemi infiniti hanno la stessa cardinalità. Al contrario, si può dimostrare che NON può esistere nessuna funzione biunivoca tra N e R. Di conseguenza, la cardinalità di R è strettamente maggiore di quella di N.

@@mathITA Non si può usare l'infinito stesso ma solo il limite che tende all'infinito studiando la teoria dei limiti.

Grazie 😊

Grazie 😊

Lo è, ma è una cosa che accomuna praticamente tutti: alcune interazioni tra frequenze sono (quasi all'unanaimità) più piacevoli di altre. E sono tanto più piacevoli quanto più "semplice" è la frazione che le descrive. Ad esempio due note con un rapporto 2:3 interagiscono più piacevolmente di due con un rapporto 16:15. Si crede che dipenda dal fatto che più la frazione è semplice, più sono i punti in cui le onde hanno i picchi in comune.

Molto molto interessante tutto questo discorso . È un argomento , al confine tra la musica, la poesia, e la matematica che mi ha sempre affascinato

Con gli insiemi infiniti non è così semplice. Puoi avere casi in cui sotto insiemi propri abbiano lo stesso numero di elementi. Secondo me l'esempio più semplice per capirlo si ha quando confronti l'insieme dei numeri naturali con quello dei numeri pari. Se dividi per due ogni numero pari ottieni TUTTI i numeri naturali, quindi i due insiemi hanno lo stesso numero di elementi, perché a OGNI pari puoi associare un naturale.

...

Svaniscono perché con il La a 432hz ottieni che tutti i Do sono potenze di 2 e si semplificano tutti i calcoli

In realtà no. Il problema sta proprio nel fatto che le relazioni tra frequenze nell'accordatura naturale non sono compatibili Al minuto 11:10 porto l'esempio delle terze. Una terza naturale ha frequenza pari a 5/4 la prima. Iterando tre volte salti di terza si arriva alla stessa nota di partenza, ma la frequenza non è esattamente due volte quella di partenza (come dovrebbe essere un'ottava). Tra l'altro, nell'esempio, non parto da nessuna frequenza particolare proprio per dimostrare che è un problema che NON dipende dalla frequenza stessa. Se si pone il LA a 432 Hz, il discorso è identico, l'unica differenza è che tutte le frequenze sono moltiplicate per ⁴³²/₄₄₀, ma le RELAZIONI tra le note non cambiano.