Molto interessante, anche se ci ho capito più o meno... zero. 😄 Però ho una domanda: tra i minuti 1:34 e 2:23 si parla di «estendere questa proprietà», sia in riferimento a quella per cui «0 elevato a un qualsiasi numero positivo è pari a 0», sia all'altra per cui «per ogni valore non nullo si ha che questo valore ^0 è pari a 1»... Ok ma, sbaglierò, se nel primo caso si tratta effettivamente di un'estensione (includendo arbitrariamente anche lo 0 che prima era escluso), nel secondo si tratta piuttosto di una semplice applicazione (la proprietà così com'è risponde già al quesito in questione). E qui arrivo alla domanda (che magari sarà molto stupida, ma tant'è: m'è venuta 😉), ovvero: questo fatto non "avvantaggia" in qualche modo la seconda proprietà rispetto alla prima?
Per come la interpreto io, abbiamo in entrambi i casi una proprietà che vale se escludiamo lo zero: 0^x = 0 e x^0 = 1. Quindi senza altre informazioni non saprei quale preferire in quanto in entrambe si tratterebbe di estendere la proprietà al caso x=0. E' vero però che, come dici tu, in uno dei casi manca solo lo zero, mentre nell'altro manca un'intera semiretta di valori. Penso che il quale sia più "naturale" come estensione dipenda molto da una sensazione personale :D
@@mathITA Grazie per la risposta! Mi devo scusare, un po' per i tempi ma soprattutto perché in effetti ho toppato io in quanto, non so come, evidentemente avevo "rimosso" quel «non nullo»... 🤦🏻♂ In sostanza, la mia domanda non aveva alcun senso quindi, di nuovo, mi scuso e ti ringrazio ancora... Saluti. 👋
Grazie! Principalmente leggendo la documentazione. Ho iniziato con animazioni semplici (testo e spostamenti). Andando avanti ho iniziato a provare a fare funzioni, aggiungere dipendenze temporali, e passare alle animazioni 3D.
Salve, da non matematico mi viene difficile capire come un valore preso per convenienza, che contraddice la proprietà delle potenze, possa essere di aiuto alla risoluzione di problemi senza viziarli. E sempre da non matematico mi chiedo: se dare valore 1 aiuta, potrebbero esistere altri numeri oggi sconosciuti a cui si può attribuire il valore di 0^0 per risolvere problemi ancora ignoti? Una sorta di " Deus ex machina " della matematica :-)
Il fatto è che si prende il valore "conveniente" SAPENDO che, appunto, è preso per convenzione. Di solito in matematica lo si fa quando, in un certo ambito, rende tutto più veloce e comodo da scrivere. Ad esempio, a seconda del campo di studio, si definiscono i numeri naturali escludendo o includendo lo zero. Questo perché, se lavorassi in un campo in cui nessun risultato generalizza per zero, è molto più veloce e conveniente (😉) chiamare i numeri naturali quelli da uno in poi, potendo dire "questa proprietà vale per tutti i naturali" invece di dover dire "questa proprietà vale per tutti i naturali eccetto zero". L'importante è esser consapevoli di quale definizione si stia usando. C'è inoltre da ricordare che una convenzione diventa tale quando abbastanza persone la adottano. Nonostante ci sia "un ragionamento" che può portare a dire 0^0 = 42, se non serve e nessuno lo usa, non diventerà mai convenzione. Comunque in genere non si può dire 0^0=1. Bisogna specificare il contesto e perché si pone questo valore. In genere, in tutti gli ambienti che conosco in cui 0^0 appare frequentemente, conviene definirlo come 1. Infine, una cosa su cui devo correggerti (e mi scuso se dal video è passato il messagio sbagliato), ma porre 0^0=1 NON CONTRADDICE nessuna proprietà delle potenze: la proprietà a cui penso ti riferisca è che 0^x = 0 per ogni x>0. Quindi non si applica a x=0 e non c'è nessuna contraddizione. Il fatto è che porre 0^0=1 semplicemente NON ESTENDE la proprietà.
@@mathITA@mathITA diviene una sorta di elemento neutro a quanto o capito. Comunque, l'esempio dei naturali mi è chiaro, ma continuo a fare fatica ad estendere il concetto a 0^0. Se avrà tempo mi piacerebbe vedere un esempio sull'utilità di dare valore 1...anche con un link di riferimento. Mi scuso se non esprimo bene i concetti . Saluti.
Se vuoi c'è una pagina wikipedia (in inglese) dedicata a 0^0, la lascio in coda al commento. Comunque torna comoda ad esempio per definire la produttoria vuota. Come definiamo la sommatoria vuota pari a zero, la produttoria vuota deve essere pari ad uno (per mantenere vere le proprietà induttive visto che uno è l'elemento neutro della moltiplicazione) e porre 0^0 = 1 risolve alcune generalizzazioni. Ci sono altri esempi, come generalizzare il teorema binomiale. Il fatto è che per praticamente ogni campo della matematica il valore più comodo è uno e quindi viene o lasciato indefinito (quando potrebbe causare problemi, come nel caso della funzione x^y del video) o posto pari ad uno. Al contrario, che io sappia, non ci sono casi in cui si usa una convenzione diversa. en.wikipedia.org/wiki/Zero_to_the_power_of_zero
Seguito... , facciamo finta, mi vorrebbe un mese per capire veramente, con precisione quello che hai detto. Però il punto che mi sembra di focalizzare è che, se per convenzione accettiamo il valore di 1, dovremmo sempre dubitare di conclusioni ricavate con questa assunzione, da ciò si deduce che sia meglio considerare come indefinito questo valore. Certo, quando siamo nelle peste perché abbiamo bisogno di tale valore, la tentazione di attribuirgli il valore 1 si fa decisamente forte. Personalmente, sarei tentato di attribuirgli un valore medio compreso fra 0 e 1, cioè 0,5 fidando nel fatto, che così facendo, ogni interpretazione numerica possibile, possa essere meno distante da qualcosa di totalmente erroneo, come invece potrebbe capitarci scegliendo 0 o 1,e ciò perché i valori che sembrano papabili appaiono oscillare appunto fra 0 e 1. Un saluto!
Purtroppo prendere il valore medio tra i due non è una scelta molto saggia. Cerco di spiegare il perché. Immagina ci siano due discipline A e B in cui consideriamo il numero x^y. Nella disciplina A conviene porre 0^0=0, mentre nella disciplina B conviene porre 0^0=1. Questa CONVENIENZA viene dal fatto che le discipline A e B studiano diversi aspetti del numero x^y, e quindi in ognuna tra A e B conviene estendere 0^0 in un certo modo per una questione di generalizzazione. Se decidessimo di fissare, a prescindere, il numero 0^0=[qualcosa] renderemmo la vita più difficile a chi lavora nella disciplina opposta. Fissare 0.5 renderebbe la vita difficile a tutti!! Può sembrare una scusa ma in realtà accade una cosa simile nella realtà: in diverse discipline si usano soltanto i numeri naturali. Alcune proprietà valgono per tutti i numeri naturali tranne zero, altre per tutti i numeri compreso zero. Quello che è accaduto nel corso della storia è che chi studia le proprietà valide anche per zero definisce l'insieme N={0,1,2,3,...}, mentre chi studia le proprietà che non valgono per zero lo definisce come N={1,2,3,...}. Quindi entrambi dicono che le loro proprietà valgono su N, ma ognuno definisce l'insieme in modo diverso. Per questo è importante il contesto.
@@mathITA In effetti il valor medio, calcolato su un insieme di valori infinito, seppure limitato, non so se abbia molto senso, seppure, una diabolica intuizione ci farebbe propendere per un valore ricavato appunto sommando gli estremi dell'intervallo e dividendo per due, che poi questo calcolo sia valido, trattandosi di un insieme appunto costituito da infiniti elementi, non lo so. Non sono matematico, mi piace molto la speculazione matematica ma non posseggo gli strumenti analitici e di costruzione logica rigorosa dei matematici, seppure abbia sempre desiderato questa comprensione profonda. Comunque anche adattare di volta in volta la nostra logica alle condizioni particolari di un certo ambito lascia un profondo amaro in bocca, come la sensazione che ciò che andiamo a trovare sia solo una delle possibili ipotesi, spogliando così queste considerazioni dello splendido abito della certezza matematica. Considerando che 0 alla 0 corrisponde a 0 moltiplicato per 0 0 volte, l'intuito ci porrebbe di fronte a due ipotesi. Moltiplicando ogni numero per 0 si ottiene 0 quindi verrebbe naturale dire 0, però andando a considerare la logica non ha poi molto senso dire moltiplico 0 per 0 0 volte. Come faccio a farlo 0 volte? Semplicemente non lo faccio, è dunque, logicamente, questa operazione è intrinsecamente priva di senso! E questa, in effetti, appare l'unica risposta sensata!
@@riccardoferraretto30 purtroppo la "certezza matematica" è un mito ormai confutato da quasi un secolo: i teoremi dell'incompletezza di Godel ci dicono che nessun sistema matematico (ovvero nessun insieme di assiomi su cui si costruisce l'intera matematica) si può dimostrare essere consistente e completo. Quindi nemmeno la matematica permette di ottenere la verità assoluta (qualunque cosa essa sia)
@@mathITA É interessante, e, allo stesso tempo, frustrante, accorgersi che, all'uomo moderno, anche questa certezza è stata sottratta! Colui che specula si trova così oggi di fronte ad incertezze fisiche, matematiche e, in certo qual modo, anche filosofiche, per non parlare di quelle teologiche, vero tallone di Achille di gran parte dell'umanità da sempre! L'intelletto, col fiato corto, dubita persino di se stesso, una condizione estremamente fragile e critica per indagare la verità, seppure si cerchi almeno una verità parziale, non assoluta. Personalmente confido ancora fortemente nello strumento matematico, l'unico ancora in grado di dare, se non tutte, alcune importanti certezze, oltre ad aprire la porta a mondi fantastici, inesplorati ma consistenti in sé stessi perfino prima dello scoprirne un senso pratico, Basta pensare alla teoria Booleana, viva e completa già oltre un secolo prima dell'avvento dei moderni pc. Questo è, per certi versi, come un aspetto esoterico di questa meravigliosa disciplina! Grazie molte per il bellissimo video e per questa piacevolissima conversazione. ❤️🙏💛💙.
prof, mi basta osservare al minuto 2.03 per fermarla e dirle" si fermi lì e applichi i log ad ambo i membri e lei troverà la risposta che rende inutile andare avanti per arrivare ad una conclusione che geometricamente ed algebricamente non hanno significato.
non capisco perché. Se a 0^0 = 0 applico il logaritmo ad ambo le parti ottengo 0 log(0) = log(0) trovando quindi una forma indefinita a sinistra (0 × infinito) ed un infinito a destra.
Purtroppo no in quanto un'espressione deve o avere un (singolo) valore o non averlo. Non può avere due valori distinti, atrimenti non potresti svolgere operazioni. Per questo nelle conclusioni dico che si può fissare o a zero o ad uno, ma prestando attenzione al fatto che è una convenzione e non un valore ben determinato.
Penso che per lo scopo di excel (principalmente fare calcoli legati alla finanza) abbia senso restituire un errore (o una forma indeterminata) in quanto in finanza non è un valore che ci si aspetta di dover calcolare, ed è quindi frutto spesso di una formulazione errata.
Perciò, il limite sarebbe "qualsiasi valore che noi vogliamo"? No, per favore! Sarebbe una catastrofe matematica...Infatti, così sarebbe insussistente il teorema di unicità del limite... Meglio concludere che non ha senso matematico, cioè: non si può definire, il simbolo su cui si discute così a lungo in questo video...
Infatti il limite "direzionale" È unico una volta fissato un percorso da seguire, e questo valore dipende dalla curva che si segue. Quello che non esiste è il limite "classico" bidimensionale.
Molto interessante, anche se ci ho capito più o meno... zero. 😄
Però ho una domanda: tra i minuti 1:34 e 2:23 si parla di «estendere questa proprietà», sia in riferimento a quella per cui «0 elevato a un qualsiasi numero positivo è pari a 0», sia all'altra per cui «per ogni valore non nullo si ha che questo valore ^0 è pari a 1»... Ok ma, sbaglierò, se nel primo caso si tratta effettivamente di un'estensione (includendo arbitrariamente anche lo 0 che prima era escluso), nel secondo si tratta piuttosto di una semplice applicazione (la proprietà così com'è risponde già al quesito in questione). E qui arrivo alla domanda (che magari sarà molto stupida, ma tant'è: m'è venuta 😉), ovvero: questo fatto non "avvantaggia" in qualche modo la seconda proprietà rispetto alla prima?
Per come la interpreto io, abbiamo in entrambi i casi una proprietà che vale se escludiamo lo zero: 0^x = 0 e x^0 = 1. Quindi senza altre informazioni non saprei quale preferire in quanto in entrambe si tratterebbe di estendere la proprietà al caso x=0.
E' vero però che, come dici tu, in uno dei casi manca solo lo zero, mentre nell'altro manca un'intera semiretta di valori.
Penso che il quale sia più "naturale" come estensione dipenda molto da una sensazione personale :D
@@mathITA Grazie per la risposta! Mi devo scusare, un po' per i tempi ma soprattutto perché in effetti ho toppato io in quanto, non so come, evidentemente avevo "rimosso" quel «non nullo»... 🤦🏻♂ In sostanza, la mia domanda non aveva alcun senso quindi, di nuovo, mi scuso e ti ringrazio ancora... Saluti. 👋
Ottimo video! Direi spaziale!
Grazie ☺️
Bel video e super animazioni! Da dove hai imparato ad utilizzare manim? Solo studiando la documentazione ufficiale oppure anche da RUclips o siti web?
Grazie! Principalmente leggendo la documentazione. Ho iniziato con animazioni semplici (testo e spostamenti). Andando avanti ho iniziato a provare a fare funzioni, aggiungere dipendenze temporali, e passare alle animazioni 3D.
Salve, da non matematico mi viene difficile capire come un valore preso per convenienza, che contraddice la proprietà delle potenze, possa essere di aiuto alla risoluzione di problemi senza viziarli. E sempre da non matematico mi chiedo: se dare valore 1 aiuta, potrebbero esistere altri numeri oggi sconosciuti a cui si può attribuire il valore di 0^0 per risolvere problemi ancora ignoti?
Una sorta di " Deus ex machina " della matematica :-)
Il fatto è che si prende il valore "conveniente" SAPENDO che, appunto, è preso per convenzione.
Di solito in matematica lo si fa quando, in un certo ambito, rende tutto più veloce e comodo da scrivere. Ad esempio, a seconda del campo di studio, si definiscono i numeri naturali escludendo o includendo lo zero. Questo perché, se lavorassi in un campo in cui nessun risultato generalizza per zero, è molto più veloce e conveniente (😉) chiamare i numeri naturali quelli da uno in poi, potendo dire "questa proprietà vale per tutti i naturali" invece di dover dire "questa proprietà vale per tutti i naturali eccetto zero". L'importante è esser consapevoli di quale definizione si stia usando.
C'è inoltre da ricordare che una convenzione diventa tale quando abbastanza persone la adottano. Nonostante ci sia "un ragionamento" che può portare a dire 0^0 = 42, se non serve e nessuno lo usa, non diventerà mai convenzione.
Comunque in genere non si può dire 0^0=1. Bisogna specificare il contesto e perché si pone questo valore.
In genere, in tutti gli ambienti che conosco in cui 0^0 appare frequentemente, conviene definirlo come 1.
Infine, una cosa su cui devo correggerti (e mi scuso se dal video è passato il messagio sbagliato), ma porre 0^0=1 NON CONTRADDICE nessuna proprietà delle potenze: la proprietà a cui penso ti riferisca è che 0^x = 0 per ogni x>0. Quindi non si applica a x=0 e non c'è nessuna contraddizione. Il fatto è che porre 0^0=1 semplicemente NON ESTENDE la proprietà.
@@mathITA@mathITA diviene una sorta di elemento neutro a quanto o capito. Comunque, l'esempio dei naturali mi è chiaro, ma continuo a fare fatica ad estendere il concetto a 0^0. Se avrà tempo mi piacerebbe vedere un esempio sull'utilità di dare valore 1...anche con un link di riferimento. Mi scuso se non esprimo bene i concetti . Saluti.
Se vuoi c'è una pagina wikipedia (in inglese) dedicata a 0^0, la lascio in coda al commento. Comunque torna comoda ad esempio per definire la produttoria vuota. Come definiamo la sommatoria vuota pari a zero, la produttoria vuota deve essere pari ad uno (per mantenere vere le proprietà induttive visto che uno è l'elemento neutro della moltiplicazione) e porre 0^0 = 1 risolve alcune generalizzazioni.
Ci sono altri esempi, come generalizzare il teorema binomiale.
Il fatto è che per praticamente ogni campo della matematica il valore più comodo è uno e quindi viene o lasciato indefinito (quando potrebbe causare problemi, come nel caso della funzione x^y del video) o posto pari ad uno. Al contrario, che io sappia, non ci sono casi in cui si usa una convenzione diversa.
en.wikipedia.org/wiki/Zero_to_the_power_of_zero
Seguito... , facciamo finta, mi vorrebbe un mese per capire veramente, con precisione quello che hai detto. Però il punto che mi sembra di focalizzare è che, se per convenzione accettiamo il valore di 1, dovremmo sempre dubitare di conclusioni ricavate con questa assunzione, da ciò si deduce che sia meglio considerare come indefinito questo valore. Certo, quando siamo nelle peste perché abbiamo bisogno di tale valore, la tentazione di attribuirgli il valore 1 si fa decisamente forte. Personalmente, sarei tentato di attribuirgli un valore medio compreso fra 0 e 1, cioè 0,5 fidando nel fatto, che così facendo, ogni interpretazione numerica possibile, possa essere meno distante da qualcosa di totalmente erroneo, come invece potrebbe capitarci scegliendo 0 o 1,e ciò perché i valori che sembrano papabili appaiono oscillare appunto fra 0 e 1. Un saluto!
Purtroppo prendere il valore medio tra i due non è una scelta molto saggia. Cerco di spiegare il perché. Immagina ci siano due discipline A e B in cui consideriamo il numero x^y. Nella disciplina A conviene porre 0^0=0, mentre nella disciplina B conviene porre 0^0=1. Questa CONVENIENZA viene dal fatto che le discipline A e B studiano diversi aspetti del numero x^y, e quindi in ognuna tra A e B conviene estendere 0^0 in un certo modo per una questione di generalizzazione. Se decidessimo di fissare, a prescindere, il numero 0^0=[qualcosa] renderemmo la vita più difficile a chi lavora nella disciplina opposta. Fissare 0.5 renderebbe la vita difficile a tutti!!
Può sembrare una scusa ma in realtà accade una cosa simile nella realtà: in diverse discipline si usano soltanto i numeri naturali. Alcune proprietà valgono per tutti i numeri naturali tranne zero, altre per tutti i numeri compreso zero. Quello che è accaduto nel corso della storia è che chi studia le proprietà valide anche per zero definisce l'insieme N={0,1,2,3,...}, mentre chi studia le proprietà che non valgono per zero lo definisce come N={1,2,3,...}.
Quindi entrambi dicono che le loro proprietà valgono su N, ma ognuno definisce l'insieme in modo diverso. Per questo è importante il contesto.
@@mathITA In effetti il valor medio, calcolato su un insieme di valori infinito, seppure limitato, non so se abbia molto senso, seppure, una diabolica intuizione ci farebbe propendere per un valore ricavato appunto sommando gli estremi dell'intervallo e dividendo per due, che poi questo calcolo sia valido, trattandosi di un insieme appunto costituito da infiniti elementi, non lo so. Non sono matematico, mi piace molto la speculazione matematica ma non posseggo gli strumenti analitici e di costruzione logica rigorosa dei matematici, seppure abbia sempre desiderato questa comprensione profonda. Comunque anche adattare di volta in volta la nostra logica alle condizioni particolari di un certo ambito lascia un profondo amaro in bocca, come la sensazione che ciò che andiamo a trovare sia solo una delle possibili ipotesi, spogliando così queste considerazioni dello splendido abito della certezza matematica. Considerando che 0 alla 0 corrisponde a 0 moltiplicato per 0 0 volte, l'intuito ci porrebbe di fronte a due ipotesi. Moltiplicando ogni numero per 0 si ottiene 0 quindi verrebbe naturale dire 0, però andando a considerare la logica non ha poi molto senso dire moltiplico 0 per 0 0 volte. Come faccio a farlo 0 volte? Semplicemente non lo faccio, è dunque, logicamente, questa operazione è intrinsecamente priva di senso! E questa, in effetti, appare l'unica risposta sensata!
@@riccardoferraretto30 purtroppo la "certezza matematica" è un mito ormai confutato da quasi un secolo: i teoremi dell'incompletezza di Godel ci dicono che nessun sistema matematico (ovvero nessun insieme di assiomi su cui si costruisce l'intera matematica) si può dimostrare essere consistente e completo. Quindi nemmeno la matematica permette di ottenere la verità assoluta (qualunque cosa essa sia)
@@mathITA É interessante, e, allo stesso tempo, frustrante, accorgersi che, all'uomo moderno, anche questa certezza è stata sottratta! Colui che specula si trova così oggi di fronte ad incertezze fisiche, matematiche e, in certo qual modo, anche filosofiche, per non parlare di quelle teologiche, vero tallone di Achille di gran parte dell'umanità da sempre! L'intelletto, col fiato corto, dubita persino di se stesso, una condizione estremamente fragile e critica per indagare la verità, seppure si cerchi almeno una verità parziale, non assoluta. Personalmente confido ancora fortemente nello strumento matematico, l'unico ancora in grado di dare, se non tutte, alcune importanti certezze, oltre ad aprire la porta a mondi fantastici, inesplorati ma consistenti in sé stessi perfino prima dello scoprirne un senso pratico, Basta pensare alla teoria Booleana, viva e completa già oltre un secolo prima dell'avvento dei moderni pc. Questo è, per certi versi, come un aspetto esoterico di questa meravigliosa disciplina! Grazie molte per il bellissimo video e per questa piacevolissima conversazione. ❤️🙏💛💙.
Bel video! Che software hai usato per le animazioni?
Il manim. Trovi il link in descrizione :)
prof, mi basta osservare al minuto 2.03 per fermarla e dirle" si fermi lì e applichi i log ad ambo i membri e lei troverà la risposta che rende inutile andare avanti per arrivare ad una conclusione che geometricamente ed algebricamente non hanno significato.
non capisco perché. Se a
0^0 = 0
applico il logaritmo ad ambo le parti ottengo
0 log(0) = log(0)
trovando quindi una forma indefinita a sinistra (0 × infinito) ed un infinito a destra.
non puo avere 2 soluzioni 0 e 1?
Purtroppo no in quanto un'espressione deve o avere un (singolo) valore o non averlo. Non può avere due valori distinti, atrimenti non potresti svolgere operazioni.
Per questo nelle conclusioni dico che si può fissare o a zero o ad uno, ma prestando attenzione al fatto che è una convenzione e non un valore ben determinato.
@@mathITA scusa ma ad esempio radice quadrata di 4 non da -2 e +2? che sono due valori distinti e nessuno si sconvolge
@@emilie1977 Non esattamente . La radice di 4 come funzione è 2, ma l'identità x^2-4=0 ha due soluzioni, e sono la radice di 4 e la meno radice di 4
In excel 0^0 segna errore!
Penso che per lo scopo di excel (principalmente fare calcoli legati alla finanza) abbia senso restituire un errore (o una forma indeterminata) in quanto in finanza non è un valore che ci si aspetta di dover calcolare, ed è quindi frutto spesso di una formulazione errata.
Se costruisci su excel la funzione per punti, facendo tendere a 0 la variabile, ti da 1
IL risultato cambia secondo il tipo d'approccio!
Si,è può corretto riferirsi a funzionalìta!
Ok
Niente elevato a niente per me è niente.. non zero..
Perciò, il limite sarebbe "qualsiasi valore che noi vogliamo"? No, per favore! Sarebbe una catastrofe matematica...Infatti, così sarebbe insussistente il teorema di unicità del limite... Meglio concludere che non ha senso matematico, cioè: non si può definire, il simbolo su cui si discute così a lungo in questo video...
Infatti il limite "direzionale" È unico una volta fissato un percorso da seguire, e questo valore dipende dalla curva che si segue. Quello che non esiste è il limite "classico" bidimensionale.
Se introduci il concetto di limite un valore lo ha eccome se lo ha.
Basta appunto calcolarne il limite.