Ci sono tanti diversi tipi di numeri. Ma noi ne usiamo pochissimi!
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- Опубликовано: 26 июн 2024
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Nel video di oggi faremo una catalogazione dei numeri reali, vedendo in quante "categorie" possiamo dividerli. Dai naturali agli interi, e continuando a salire fino agli algebrici ed ai costruibili.
Ognuna di queste nomenclature ha un significato ben definito, ed oggi studieremo proprio questo.
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▲ Parti ▲
00:00 - Introduzione
01:02 - Parte 1: le categorie più semplici
03:57 - Parte 2: insiemi più complessi
09:53 - Parte 3: quanti numeri abbiamo appena descritto?
11:46 - Parte 4: normalità
14:37 - Parte 5: conclusione
▲ Audio e Video ▲
Wintergatan (musiche): / wintergatan
Manim (motore grafico): github.com/3b1b/manim
▲ Links e Fonti ▲
[1] • Come Si Conta L'Iinfinito
[2] www.youmath.it/lezioni/algebr...
[3] it.wikipedia.org/wiki/Numero_...
[4] it.wikipedia.org/wiki/Assiomi...
[5] it.wikipedia.org/wiki/Numero_...
[6] www.youmath.it/scuola-primari...
[7] it.wikipedia.org/wiki/Numero_...
[8] www.youmath.it/lezioni/algebr...
[9] www.mauitaui.org/i-numeri-raz...
[10] www.bitman.name/math/article/2....
[11] it.wikipedia.org/wiki/Costruz...
[12] it.wikipedia.org/wiki/Numero_...
[13] it.wikipedia.org/wiki/Numero_...
[14] it.wikipedia.org/wiki/Dimostr...
[15] www.researchgate.net/publicat...
[16] www.bitman.name/math/article/3....
[17] it.wikipedia.org/wiki/Costant....
[18] it.wikipedia.org/wiki/Numero_...
[19] www.barscienza.it/il-%cf%80-f...
[20] it.wikipedia.org/wiki/Costant...
[21] it.wikipedia.org/wiki/Costant...
![the Four, the Fourier, and the Fouriest [#SoME3]](/img/1.gif)
Complimenti!! Video con un "vestito elegante" dal contenuto bellissimo.
Grazie 😊
Un'altro numero che conosciamo poiché computabile anche se è trascendente e qui si crea ambiguità poiché si chiama anche esso omega, è la costante omega di Lambert, infatti c'è un procedimento ricorsivo per calcolarlo è la soluzione all'equazione
x•e^x=1
Si può calcolare in vari modi primo come
x_(n+1)=e^(-x_(n))
Oppure come
x_(n+1)=
=(1+x_(n))/(1+e^(-x_(n)))
Il secondo converge più rapidamente ha convergenza quadratica mentre il primo lineare.
Il primo si può migliorare per esempio con il metodo di Steffensen-Aitken
Ma in realtà la costante omega di Lambert si può calcolare anche con il metodo di Newton-Raphson anche esso convergenza quadratica.
Grazi
Se non ricordo male da più di trent'anni fa quando avevo studiato queste cose, si dimostra che aleph_1 è uguale a 2 elevato alla aleph_0 che a sua volta rappresenta la cardinalità dell'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi dei numeri naturali (o di qualsiasi insieme avente cardinalità aleph_0)
In tutto ciò la cosa più affascinante e controintuitiva è che i numeri naturali siano "tanti quanti" i razionali.
Ancora più "strano" è che la cardinalità di Q e di N² sia la stessa.
A prima vista uno penserebbe ogni elemento di Q è per costruzione rappresentato da infinite di N, quindi la cardinalità di Q dovrebbe essere addirittura minore di quella di N² dato che una coppia ordinata di N rappresenta un unico numero Q, ma infine coppie di N collassano nello stesso Q.
Evidentemente la funzione biiettiva da considerare è un'altra.
Una volta sapevo anche quale... Forse c'entra qualcosa il metodo della diagonale di Cantor, ma sono passati troppi anni e i miei ricordi se ne sono andati insieme ai miei capelli
due elevato a aleph_0 e' un abuso di notazione (come scrivere 2^[infinito]) che viene dal come si indica l'insieme potenza. Visto che per insiemi finiti l'insieme potenza ha 2^n elementi, si usa la notazione 2^[insieme] per indicare l'insieme potenza. La notazione giusta e' che
| 2 ^ N | = aleph_1, quando |N| = aleph_0.
Per i razionali, la funzione biiettiva e' una sorta di "camminata" su N^2.
Se vuoi conoscere piu' dettagli, parlo dei diversi tipi di infinito nel mio primo video: ruclips.net/video/FGk4bhjsDhg/видео.html
Qui ci siamo limitati all'insieme dei numeri reali. Il sovrainsieme dei reali è quello dei numeri complessi. Anche numeri complessi hanno i loro sovrainsiemi. Se pensiamo a QUATERNIONI, OTTETTI e SEDENIONI. Questi sono ipercomplessi.
assolutamente corretto. Infatti menziono il fatto che in questo video mi concentro sui reali quando parlo degli algebrici.
mi piacerebbe vedere un video più dettagliati su questo tipo di suddivisione degli insieme numeri i
Le matrici sono una branca della matematica che consente di semplificare le operazioni sui vettori in quanto se si deve definire una base di uno spazio oppure un sottospazio di esso, si applicano le matrici per semplificare il lavoro, in quanto ci basta definire per esempio la base canonica che è quella più semplice e poi costruire la matrice di cambio di base, in modo da semplificare i calcoli, rendendolo algebrico, però con le matrici, sfruttando il classico prodotto riga per colonna.
I numeri reali hanno un soprainsieme che sono i numeri complessi, ma i numeri hanno anche i soprainsiemi che sono i quaternioni, ottetti, sedicioni, fino hai quaternioni c'è una crescita diretta con le matrici, cioè i quaternioni possono essere descritti come sottoinsieme delle matrici, gli ottetti no, poiché il prodotto non è associativo, mentre quello tra matrici sì, il fatto che i quaternioni può essere descritti come un sottoinsieme delle matrici e che è vero che il prodotto tra quaternioni non è commutativo ma non lo è manco quello delle matrici o meglio in generale non lo è, quindi non implica l'impossibilità di esprimere come sottoinsieme di matrici, per gli ottetti purtroppo non si può quindi la questione si complica moltissimo, diventa davvero ipercomplesso.
Un numero non computabile è un numero in cui non esiste una successione convergente che lo genera
1+2+3+4+5+...
Questa successione è divergente ma per questo abbiamo il prolungamento analitico
2^s·π^(s-1)sin(πs/2)Γ(1-s)ζ(1-s)
Ma purtroppo non sempre c'è il prolungamento analitico.
Il più piccolo degli insiemi è quello dei naturali. Ma anche l'insieme N si può dividere in due categorie. Come sottoinsiemi ci potrebbe stare l'insieme dei numeri pari. Ma i due sottoinsiemi quello dei pari e quello dei dispari sono disgiunti, voglio dire non si intersecano.
e' vero, ma e' di poca utilita' usare solo i pari. Anche l'insieme che contiene solo il numero 7 e' piu' piccolo, ma ha poca utilita' :)
@@mathITA vorrai dire l'insieme che contiene i multipli di 7. Siccome il 7 non è un elemento assorbente come lo 0 quindi prendo in considerazione anche 14; 21; 35; 49; 84; 98; 112; 189; 399; 700; 1001 e così via. E alcuni multipli di 7 sono pari, quindi si interseca con i multipli di 2. Anche l'insieme dei numeri "tondi", voglio dire che terminano con almeno uno zero è un'intersezione con i numeri pari ed i multipli di 5. Sempre parlando di sottoinsiemi, quello dei numeri pari ha altri sottoinsiemi come quello dei multipli di 4. E l'insieme dei multipli di 4 a sua volta ha quello dei multipli di 8 e così via aumentando la potenza di 2. Stessa cosa l'insieme dei multipli di 9 è un sottoinsieme dei multipli di 3, perché i multipli di 9 hanno come radice numerica esclusivamente 9 mentre un multiplo di 3 può avere 3;6;9. Stessa cosa i multipli di 1000 sono un sottoinsieme di quelli di 100 a loro volta sottoinsieme di 10. Allora anche l'insieme dei multipli di 7 ha come sottoinsieme i multipli di 49.
Ma, in tutto questo i numeri reali dove e come si collocano? No perchè i numeri reali sono dotati della caratteristica della completezza del campo, un aspetto, mi sembra, per un matematico, particolarmente importante e, il motivo del fatto che, normalmente, in analisi matematica, utilizziamo proprio il corpo dei numeri reali per eseguire tutte le nostre operazioni e considerazioni anche di tipo grafico oltre che logico. Un grazie anticipato per ogni risposta che vorrai dare. Un saluto.
Ciao. Fino ai costruibili stiamo ancora parlando di sottoinsiemi dei numeri reali.
Andando avanti invece smettiamo di avere una distinzione netta: i numeri algebrici possono essere sia reali che complessi (ad esempio, la soluzione a x² + 1= 0 è un numero algebrico, ma non un numero reale). Quindi dagli algebrici in poi stiamo guardando sottoinsiemi dei numeri complessi.
La completezza dei reali è, come dici tu, fondamentale in tantissime dimostrazioni. Lo scopo del video era però far notare che nonostante in genere si lavori coi numeri reali, quelli che incontriamo di solito sono pochissimi (ad esempio conosciamo solo due trascendentali: π ed e). Nelle dimostrazioni le proprietà di completezza e densità sono fondamentali, ma nell'uso quotidiano, abbiamo bisogno di "pochissimi" numeri.
Come faccio a capire se un numero come 3*√(2) -1 è un numero costruibile? Cioè quali sono le operazioni concesse per restare dentro l'insieme?
Nel link [12] e gli altri che lascio nel commento trovi qualche informazione aggiuntiva. Comunque, in genere, tutte le somme, divisioni, moltiplicazioni, differenze e estrazioni di radici quadrate si possono fare con riga e compasso. Ma, ad esempio, le radici più grandi (cubice, quartiche, ...) non sono costruibili.
Altri esempi li trovi qui:
it.frwiki.wiki/wiki/Nombre_constructible
www.bitman.name/math/article/264#:~:text=Sono%20i%20numeri%20corrispondenti%20a,%E2%80%9D%20o%20%E2%80%9Cnumeri%20euclidei%E2%80%9D.
EDIT: le radici quartiche SONO costruibili, così come tutte le radici del tipo potenza di due (quadrate, quarte, ottave, etc.). Per farlo, basta continuare a costruire radici quadrate una dopo l'altra.
Grazie mille .
E ho un altro dubbio.
Se i numeri costruibili sono la Distanza fra 2 punti, vuol dire che comprendono solo parte dei numeri razzionali (quella positiva). Pero; l'insieme dei numeri razzionali è compreso interamente nei numeri costruibili (stesso discorso con i numeri interi). Perché?
@@terter3033 per i numeri negativi puoi intuire la logica in questo modo : un segmento verso destra è positivo, uno verso sinistra è negativo. In questo modo puoi sottrarre i numeri
@@mathITA in realtà il secondo teorema di Euclide permette di costruire, con riga e compasso, radici quarte, ottave o, in generale, con indice uguale ad una potenza di 2..radici terze, quinte ecc., invece, non sono costruibili
L insieme dei numeri normali invece che cardinalità ha? aleph0 o aleph1?
aleph_1 [link], dimostrato nel 1909 da Borel. E la trovo una cosa incredibile: nonostante conosciamo solo due numeri normali (e sappiamo esserlo perché costruiti apposta), questi costituiscono "la maggior parte" dei numeri reali.
[link] mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html
@@mathITAmi sembra, ragionando al volo e senza aver approfondito e perciò mi scuso se dico una sciocchezza, che per dire che i numeri normali siano "la maggior parte" dei reali, occorrerebbe PRIMA dimostrare che la cardinalità dei reali che non sono normali sia strettamente inferiore a quella dei normali.
@@francescocalzolari9193 è un'ottima osservazione!
Ma il fatto che sia l'intero insieme dei reali che l'insieme dei normali abbia cardinalità aleph_1 implica che i soli normali sono già tanti quanti tutti i reali. Potrebbe essere che i non normali siano altrettanti.
Onestamente non lo so. Non so neanche se esistano numeri non-normali al di fuori dei computabili 🤔
Con le matrici è molto utile il prodotto di Kronecker in cui le proprietà valgono se i cofficienti appartengono l'insieme è un campo, ma si può estendere anche ad un corpo, come per esempio i quaternioni rendendolo come sottoinsieme di matrici in questo caso ci risentiamo ad un campo e possiamo applicare le proprietà però no da ottetti in su, il prodotto di Kronecker, può essere utile per semplificare le equazioni matriciali, per esempio AXB e si deve trovare la X noto A e B si applica la vettorizzazione e la proprietà
vec(AXB)=(Bᵀ⊗A)vec(X)
e da qui si risolve il sistema e si trova vec X che si può facilmente invertire per poi trovare X.
e i trascendenti che fune hanno fatto?
Minuto 8.04 : I trascendenti sono definiti come numeri NON algebrici
@@mathITA Ehm, appunto, nel disegno non ci sono. Forse era poco utile disegnare l'insieme? Cmq io un bel insieme finale con scritto reali ce lo avrei messo.
@Francesco Smerilli come non si sono irrazionali, non costruibili, non computabili, etc. Lo schema rappresenta solo gli insiemi numerici definiti in modo "classico" e non come "quelli che non sono [...]". Inserire tutti gli insiemi complementari sarebbe stato confusionario
@@mathITA ok, allora i reali possono essere definiti
La convergenza dei due numeri normali che ha appena citato è molto rapida poiché se mi interessano solo 10 cifre decimali mi fermo in 10-11 iterate ho detto 10-11 poiché se vogliamo un'approssimazione sia per diffetto se la cifra successiva sia {0,1,2,3,4} e per eccesso se la cifra successiva è {5,6,7,8,9} su eccesso ho incluso anche il 5 in quanto è maggiore di 50 500 e così via maggiore e non maggiore o uguale in quanto è irrazionale e quindi non ci saranno mai tutti 0 ma le iterate sono poche la convergenza è esponenziale infatti converge a 10ⁿ anzi ancora di più in quanto dopo le cifre aumentano poiché quando esce 10 ne ho 2, 100 ne ho 3 ecc. Quindi molto rapida. Ottimo.
Ma perché se Q ha |N|1 i comoutabili hanno meno elementi?? Non è un controsenso??
E i numeri iperreali?
Come dico nel video, mi sono concentrato solo sui sottinsiemi dei reali. Nonostante, ad esempio, l'insieme dei numeri algebrici contenga anche alcuni complessi.
In futuro spero di riuscire a trattare anche insiemi numerici diversi (quaternioni/ottonioni, p-adici, iperreali, etc.)
Un altro numero computabile sempre con lo stesso algoritmo la concatenazione è
0,149162536496481100121144169...
Ottenuto dalla concatenazione di n quadrati perfetti.
Questo però non so se è normale ma gli altri due lo sono infatti se un numero è dispari, basta aggiungere per esempio uno zero per renderlo pari e contiene il numero cercato infatti è il numero troncando l'ultima cifra es. 127 è dispari, 1270 e se tronco l'ultima cifra ottengo 127. La stessa cosa posso farlo con quelli dispari aggiungendo per esempio l'uno e da quello troncando l'uno.
Ho dimostrato che questo numero concatenando i quadrati perfetti è normale in quanto se al numero aggiungo n zeri più ne metto più il doppio del numero più uno la somma interferisce solo su gli zeri e non sul numero stesso per esempio
45 se aggiungo sei zeri
Come sappiamo il doppio di un numero da 0 a 49 più uno è minore di 100 se il numero è più grande di 49 il doppio di un numero da 0 a 499 è minore di 1000 e così via in quanto il doppio di 50 è 100 il doppio di 500 è mille e 99 non è il doppio di un numero intero in quanto è dispari lo stesso lo non lo è 999 per la stessa ragione. E se faccio il quadrato gli zeri raddoppiano. E se raddoppiano prima o poi si allontanano 45000000 posso prendere 45000 che il doppio più uno è minore di 100000
Sappiamo che 45000 il doppio da cui se un numero anche avente aggiunto n zeri non sia un quadrato perfetto lo posso ottenere facendo la parte intera della radice quadrata, poi aggiungendo uno e lo sviluppo del quadrato di binomio che per definizione è un quadrato perfetto ha il numero stesso più altri numeri dopo in quanto è minore del quadrato radice quadrata più uno e maggiore del quadrato della radice quadrata della parte intera, quindi avrà il numero appena cercato se poi considero un numero maggiore di zeri ne ottengo di più per la stessa ragione.
Una prova che tutti i numeri irrazionali sono normali c'è, il risultato è falso, cioè c'è un controesempio che lo ha visualizzato a video con solo zero e uno.
Il controesempio però mostra che NON TUTTI gli irrazionali sono normali
I numeri non computazionali sono irriconoscibili non si possono conoscere, in quanto non c'è nessun modo per generarli
Quindi sul fatto di quante cose ci sono da scoprire, in realtà non si possono scoprire.
Poi se sono un infinitesimo non significa che sono pochissimi, i numeri computabili in assoluto sono tantissimi in quanto sono infiniti, non ha senso parlare in relativo, in quanto c'è sempre un insieme in cui esso è un infinitesimo, in effetti l'insieme dei numeri reali è un infinitesimo dell'insieme delle parti dei numeri reali, che a sua volta è un infinitesimo delle parti delle parti dei numeri reali, a sua volta delle parti delle parti delle parti dei numeri reali e così via, quindi non ha senso parlare in realtà sarà sempre un insieme degli insiemi superiori, fermiamoci ai numeri computabili: sono infiniti e questo è l'importante in relativo non pensiamoci proprio avremo sempre degli insiemi superiori.
E nei numeri computabili ci sono anche i numeri normali come per esempio la costante di Champernowne e la costante di Copeland-Erdős ma anche la
0,2468101214161820... Ottenuta concatenando tutti i numeri pari
0,13579111315171921....
Ottenuta concatenando tutti i numeri dispari
0,468910121415161820....
Ottenuta concatenando tutti i numeri composti, cioè i numeri che si scompongono in fattori primi per esempio 4=2² 6=2·3 8=2³ ecc.
0,149162536496481100....
Ottenuta concatenando tutti i quadrati perfetti
0,23567810111213141517...
Ottenuta concatenando tutti i quadrati imperfetti cioè quadrati dei numeri irrazionali.
Quindi nel numeri computabili abbiamo comunque i numeri normali.
I numeri non computabili sono un pasticcio non si possono conoscere, i numeri computabili sono tutti i numeri che possiamo conoscere, negli insiemi infiniti la cardinalità non ha senso, l'infinito è una cosa senza fine non si può contare, in quanto non c'è una fine, l'infinito è pura illusione nella realtà non esiste. L'insieme dei numeri è una quantità che tende all'infinito, infatti l'infinito lo abbiamo studiato solo nei limiti e da nessuna altra parte, in quanto l'infinito è una cosa che non esiste, è pura illusione, quando parliamo dell' unità immaginaria, la usiamo in quanto esso hanno delle applicazioni in effetti un numero complesso lo posso esprimere ma l'infinito e così come tutti i numeri non computabili, non si possono esprimere i numeri complessi purché computabili si possono esprimere basta separate le due componenti parte reale e parte immaginaria, ma le parti sono finite sono per l'appunto due, per quanto riguarda i quaternioni purché computabili, abbiamo anche esso un'applicazione vengono spesso usati nella robotica, computer grafica, ecc. i quaternioni sono molto utili per fare le rotazioni intorno ad un asse ma comunque anche nei quaternioni le parti sono finite sono in questo caso 4, cioè i numeri reali ha cardinalità 1 i numeri reali si possono chiamare unarioni, i numeri complessi hanno cardinalità 2 si possono cambiare binarioni e poi i quaternioni, ottetti, seducioni ecc. cardinalità 4, 8, 16, ecc. trovo poi anche altre applicazioni su queste altre due magari definirli con un commutatore, anticommutatore, ecc.
Perché ne usiamo pochissimi quanto poi sono infiniti e per quanto riguarda infinito, riguarda una quantità molto elevata, in quanto è una quantità che non finisce mai e non ha senso parlarne di cardinalità. Uno spazio di dimensione infinita non ha alcun senso parlarne, in quanto non possiamo esprimere infiniti vettori con infinite componenti linearmente indipendenti. Infatti tutte le manipolazioni algebriche si usano nella matematica del finito, in quella dell'infinito non c'è modo di dare il valore esatto. In effetti Pi greco non si possono dare tutte le cifre decimali ma solo un algoritmo finito di passi per approssimarlo, più cifre diamo più è preciso il numero, la precisione desiderata è indispensabile per l'accuratezza del numero.
Perché i numeri che "utilizziamo" maggiormente costituiscono un insieme di un infinito più piccolo rispetto all'intero insieme dei reali. Ha senso parlare di cardinalità dell'infinito, in quanto si possono creare insiemi con numero di elementi infinito di qualsiasi cardinalità. Ne ho parlato in un altro mio video tinyurl.com/msudhmm5
Come può avere senso parlarne di cardinalità se non possiamo contarli tutti, l'infinito non ha senso.
In effetti noi usiamo come infinito il limite che tende all'infinito, non l'infinito stesso.
Se guardi il video che ho linkato lo spiego.
L'aspetto chiave è che due insiemi hanno lo stesso numero di elementi se e solo esiste una funzione biunivoca tra i due. Ad esempio, l'insieme dei naturali e quello dei soli numeri pari hanno la stessa cardinalità: la funzione biunivoca è f : N → {pari}, f(n) = 2n.
Si possono costruire funzioni bi-univoche tra N e Z, tra N e Q, ed anche tra N e computabili. Quindi, questi insiemi infiniti hanno la stessa cardinalità.
Al contrario, si può dimostrare che NON può esistere nessuna funzione biunivoca tra N e R. Di conseguenza, la cardinalità di R è strettamente maggiore di quella di N.
@@mathITA Non si può usare l'infinito stesso ma solo il limite che tende all'infinito studiando la teoria dei limiti.
Io conosco altri due numeri normali e computabili
0,246810121413182022242628303234363840....
0,13579131517192123252729313335373941....
Nel primo numero sono stati concatenati tutti i numeri pari nel secondo quelli dispari.
Questi non li conoscevo 😍
Sono normali in quanto togliendo l'ultima cifra ottengono tutti i numeri, per esempio tutti i numeri di telefono, quelli sui libri ecc.
E sono computabili in quanto abbiamo un'algoritmo per costruirli concatenando tutti i numeri pari per il primo, quelli dispari per il secondo.
Qual è la dimostrazione che l'insieme dei numeri computabili sono tanti quanti i numeri naturali, quanto poi non è così ovvio, dato che sembra fare lo stesso gioco dei numeri reali, provando ad elencare tutti gli algoritmi, applicando il metodo diagonale di Cantor, sembra mancarne uno, come potrebbe essere numerabile
Algoritmo 1=0,245365
Algoritmo 2=0,134446
Algoritmo 3=0,126665
Algoritmo 4=0,121111
Algoritmo 5=0,993454
Algoritmo 6=0,842524
Dalla diagonale otteniamo
0,236154
Se è pari metto 1 se è dispari metto 0 ottengo
0,101001
Che non è in elenco poiché almeno uno è diverso infatti l'elemento sulla diagonale, c'è l'hanno tutti e questo è diverso in quanto se è pari è 1 che è dispari e se è dispari è 0 che è pari, quindi non concordano e quindi a me sembra non numerabile.
E' spiegato brevemente sulla pagina wiki dei numeri computabili [wik].
"While the set of real numbers is uncountable, the set of computable numbers is classically countable and thus almost all real numbers are not computable."
L'idea è che poiché ogni computabile è definito da un algoritmo FINITO, allora ad ognuno si può associare un numero naturale. L'errore nel tuo ragionamento è che elencando i numeri "Cantor-style" stai considerando anche i numeri non computabili.
[wik] en.wikipedia.org/wiki/Computable_number#Not_computably_enumerable
@@mathITA E quali sono visto che i numeri che ho elencato sono i generati da un algoritmo quindi computabili
Non vedi che c'è
Algoritmo 1
Algoritmo 2
Algoritmo 3
Algoritmo 4
Ecc.
I numeri computabili sono infiniti e la precisione la scelgo io, la posso scegliere grande quanto mi pare non c'è un limite, quindi da dove li ho elencati i numeri non compatibili visto che tutto è generato da un algoritmo, ho elencato nessun numero non computabile, poiché per definizione i numeri generati da un algoritmo sono computabili.
Un po' come i due numeri naturali che hai elencato e gli altri due che ho elencato io
Basti pensare che il confronto è computabile infatti riguarda la logistica binaria che può assumere solo vero o falso, vedere se un numero è pari o dispari è computabili basta applicare il resto della divisione per 2 e vedere se è 0 oppure 1 in informatica il resto della divisione, si chiama modulo e l'operatore modulo è indicato spesso con il simbolo percentuale % e l'estrazione di cifre è computabile, basta applicare il quoziente ed il resto della divisione per 10, il quoziente è nient'altro che la parte intera della divisione che in informatica si usa con l'operatore di casting cioè con l'operatore di cast in questo caso casting in int, dopo averlo castato ad int si può applicare il resto della divisione nel caso delle cifre decimali si può applicare la moltiplicazione per una potenza di 10 ma equivalentemente la divisione per 10 con una potenza di 10 con esponente negativo, che sono proprio le cifre decimali la concatenazione è computabile un po' come lo sono anche i due numeri normali che hai elencato e i tre che ho elencati io due che so che sono normali e uno che non lo so ma comunque computabile, quindi una volta generato un tot di algoritmi a partire da essi ne posso generare altri estraendo le cifre e concatenandole come è possibile che ho elencato anche numeri non computabili
@@bernysaudino668 vedila così: a ogni numero computabile puoi associare un (e non necessariamente un solo) algoritmo, ovvero una macchina di Turing. Questo significa che la cardinalità dell'insieme dei computabili è minore o uguale a quella dell'insieme delle macchine di Turing. E quest'ultimo è numerabile [cs.stackexchange.com/questions/10780/why-is-this-true-there-are-countably-many-turing-machines]. Di conseguenza anche l'insieme dei numeri computabili lo è.
@@mathITA ma da dove che non vedo nessuna dimostrazione tu prima hai detto che ad ogni numero computabile è associato un algoritmo finito ma da dove lo vedi finito, la precisione la scelgo io, più la scelgo grande più è grande il numero di iterazioni e se faccio il limite per n tendente ad infinito il risultato approssimato tende al risultato esatto è nient'altro che il teorema della convergenza, quindi se voglio la precisione assoluta cioè il risultato esatto l'algoritmo è infinito quindi come posso associare intuitivamente la funzione biunivoca da tutti i numeri computabili ai numeri naturali, posso capire le coppie poiché elencando la prima componente per righe e la seconda per colonne lavorando in diagonale che forma dei triangoli ottengo un numero finito di valori in quanto al primo ne ottengo 1 al secondo ne ottengo 2 al terzo ne ottengo 3 ecc. all'ennesimo ne ottengo n quindi ne ottengo un numero finito di elementi e li posso mettere in fila un po' come posso mettere in fila i numeri naturali con prefisso a e quelli con prefisso b mettendo sui pari in numeri naturali con prefisso a e sui dispari quelli con prefisso b ovviamente non è l'unico modo potrei fare anche il contrario come anche le coppie potrei per esempio usare il metodo alternante mettere in fila la prima riga nei numeri naturali in cui ne prendo uno sì ed uno no, la seconda riga uno sì ed uno no dei numeri naturali rimasti e così via alla fine ne elenco tutti. Ma come faccio ad elencare tutti i numeri computabili non è così ovvio in quanto ne vediamo tanti fitti densi e apparentemente molti di più e poi non è così ovvio se è dato da un numero finito di elementi allora sono tanti quanti esso da dove la questa dimostrazione, c'è la dimostrazione che se ad ogni numero naturale associo un numero finito di valori allora è numerabile basta metterli in fila sul primo di numeri naturali quelli zero sul secondo gruppo quelli di uno sul terzo gruppo quelli di tre ecc. sull'ennesimo gruppo quelli di n alla fine li elenco tutti ma non è così ovvio che una funzione sia dato da un numero finito di elementi allora è numerabile serve la dimostrazione.
Un numero reale r é un quaternione di Hamilton con parte reale diversa da zero e le altre tre componenti nulle: r = (x, 0, 0, 0).
Un numero complesso c è un quaternione con parte reale diversa da zero e la prima componente immaginaria diversa da zero e le altre due nulle: c = (x, y, 0, 0).
Un quaternione h é un quaternione con tutte e 4 le componenti diverse da zero: h = (x, y, z, w). 😅
Un vettore generico v dello spazio vettoriale di V di R3 é un quaternione con parte reale nulla e parte immaginaria non nulla: v = (0, x, y, z).
Essendo:
• Un quaternione h dello spazio Ipercomplesso H, un numero del tipo h = x + iy + jz + kz, con i,j,k unità immaginarie complesse definite come i^2 = -1, j^2 = -1, k^2=-1;
• Un numero complesso c un numero del tipo: c = x + iy, con x parte reale e iy parte immaginaria, con i^2 = -1; ovvero essendo un numero complesso c visto come un quaternione avente parte reale diversa da zero e parte immaginaria con la prima componente diversa da zero e le altre due componenti nulle.
In poche parole, si puó iniziare a definire i numeri dal caso piú generale definito da un numero h (quaternione di Hamilton) di un campo Ipercomplesso H e via via, a scalare come casi particolari, definire i numeri complessi c del campo complesso C ed i numeri reali r del campo reale R.
Poi dai numeri reali r di R si definiscono gli altri campi numerici dei numeri razionali, irrazionali, interi, naturali ... 🤔😉
Però come fai a definire i quaternioni (o anche solo i complessi) senza definire i reali? È vero che si può interpretare un numero reale come un complesso con componente immaginaria nulla, ma per definire i complessi serve definire prima i reali
@@mathITA avendo fatto Ingegneria Meccatronica ovvero Ingegneria Robotica, ho usato i quaternioni in Robotica e in automazione ovunque, quindi sono un quaterniomane ! 😅
Comunque sia, è coerente anche partire dal caso più generale di insieme numerico (il caso dei nimeri complessi ed ipercomplessi), per arrivare a definire gli insiemi numerici più "particolari" o meno generali, come l'insieme dei nimeri interi, naturali, razionali ed irrazionali. D'altra parte, cominciando dall'insieme dei numeri ipercomplessi, si comincia dal caso più generale e poi si differiscono gli altri insiemi, quindi cominciando a definire l'insieme dei numeri ipercomplessi, quale caso di insieme numerico più generale, mediante semplificazioni si definiscono a cascata gli altri insiemi che sono dei casi particolari.
Infatti, la didattica delle scuole elementari è errata, soprattutto in scienze e in matematica/ragionamento logico deduttivo. 😅😆
Io in dottorato ho fatto anche sistemi dinamici in S3 per apprendimento di traiettorie 😅
Però il problema rimane. Puoi INTERPRETARE i reali come quaternioni con parte complessa nulla. Ma non puoi DEFINIRE i quaternioni senza definire i reali prima
@@mathITA io triennale in matematica a Pisa, ingegneria meccatronica campus La Spezia università di Genova e adesso seguo un dottorato in bioingegneria medica. 😉
Comunque il partire dal caso più generale ai casi particolari ha la sua logica.
@@mathITA pensavo che si potesse iniziare con il definire lo spazio vettoriale degli infiniti vettori di R4 (x y z t) definiti dal gruppo (non abeliano) dei quaternioni di Hamilton, in campo Ipercomplesso C che contiene gli altri insiemi numerici visti sempre come spazi vettoriali ...