Просто достраиваем до прямоугольника со сторонами 12 + 9 = 21 и 3. Часть прямоугольника выпирает за пределы квадрата. Диагональ прямоугольника - это диагональ квадрата. Квадрат этой диагонали равен 21² + 3² = 441 + 9 = 450, а квадрат стороны квадрата - вдвое меньше, т.е. 225. Значит, сама сторона 15. Даже нет необходимости возиться с корнями.
Очень простое решение. Я никакой не эксперт, а простой инженер. Решил задачу следующим образом: Я предположил, если у нас в центре имеются два прямых угла, то я могу в целом построить квадрат с сторонами 3х3. Исходя из этого получаем что расстояние до этого квадрата с двух разных линий по 9 (12-3). Исходя из этого получаем что квадрат находиться четко по центру нашего квадрата. Исходя из этого я понимаю что я могу отзеркалить (дорисовать) наши имеющиеся линии. Исходя из чего получаем две имеющиеся стороны 12(9+3) и 9 и прямой угол между ними. Далее по теореме Пифагора => корень из 144+81=225=15. Поправьте если не прав.
Тоже я инженер, тоже так решил. А если знать про соотношение сторон в египетском треугольнике (5:4:3), то и Пифагора можно не тревожить). А потом в SolidWorks построил для проверки, сходится)
Хорошо наши инженеры решают задачи из параллельной вселенной, не догоняя что в нашей, там не может быть прямых углов, как на рисунке. Чем больше угол отклонения диагонали от центра, тем меньше те углы, а если без отклонения, то есть по Центру, то их вообще нет это будет одна прямая
@@АлексейДемин-ю2т Всё верно решено, размеры есть, можете проверить графически. Отрезок 12 (или 9) не биссектриса и имеет в данном случае угол примерно 36,9 гр.
У меня ответ тоже получился 15, но решение было куда сложнее: я первым делом провёл диагональ квадрата, она пересекает отрезок "3", и пересекает 2 параллельных отрезка: "12" и "9". Получается, имеем 2 подобных прямоугольных треугольника. Исходя из подобия треугольников утверждаем, что отношение катетов друг к другу у обоих этих треугольников равны. А также мы знаем, что сумма длин маленьких катетов обоих наших треугольников равна 3, т. е., мы можем выразить один катет через другой: получаем уравнение, решаем его и находим оба малых катета. Дальше по теореме Пифагора вычисляем гипотенузы (а это 2 отрезка диагонали квадрата), складываем эти гипотенузы и уже с помощью этой суммы находим сторону квадрата - опять же по теореме Пифагора.
Мне 71лет. По алгебре в 10 мне выводили 2 по геометрии 4 .решил так.прямой угол 9;3;сторону 3 продолжил на 9 единиц,,;сторону9 продолжил на 3 единицы образовав развернутый угол со стороной 12 единиц.из окончания развернутого угла опустил линию параллельную известному отрезку 3 до пересечения со стороной 12,продолжил этот отрезок на 9 единиц в противоположном направлении. Образуется квадрат со стороной 3 единицы.квадрат с неизвестной стороной разбит на центральный квадрат со стороной 3 единицы и 4 прямоугольных треугольника с катетами 9 и 12 единиц.квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:81+144=225, x =15.не знаю прав я или нет?
@@wictor1999 я привел свои оценки в пример не из обиды на преподавателя,они объективны.в том возрасте я испытывал острый недостаток в витамине"Р" по определению русского профессора Савельева,и с-токсикозе.результатом этого и была"параша" .мой пример показателен,действительно что-то слабоваты современные школьники.в дальнейшем у меня два диплома профильные среднее и высшее образование правда не техническое.
Мне одному кажется,что если углы между сторонами 12 и 3; и сторонами 9 и 3 прямые,то эти прямые параллельны;а в квадрате между двумя противоположными углами можно построить прямую и только одну?? Если так,то условия задачи являются некорректными))
@@DaryaMKWu в квадрате диагональ. Как она может разорваться на два отезка, между которыми еще и некий кусочек с углами по 90 градусов!? Если так, то диагональ не придёт в углы квадрата. Ну или придёт только в один 🤗
Сразу на ум пришли вектора, мысленно переносимся в систему координат где ось X совпадает с отрезком длиной 12, в результате получается что правый верхний угол относительно левого нижнего угла имеет координаты (21;3) квадрат длины этого вектора L² = 21² + 3² = 450 и этот же самый вектор является гипотенузой двух треугольников, дальше по теореме Пифагора находим длину стороны X = √(L²/2) = 15
Углы,образованные отрезками не могут быть пямыми…т.к.прямые углы получатся от пересечения диагоналей.А в данном сслучае если один угол будет равен 90 градусов,то другой угол будет меньше 90 градусов.
Отрезки 12 и 9 параллельны можно достроить эти отрезки дальше и отрезок длиной 3 провести по середине. т.е. получится 2 отрезка по 10.5 если провести диагональ квадрата, то она пересечёт новый отрезок 3 через его центр, потому как получились подобные треугольники с одинаковыми катетами и углом между ними (значит эти 2 треугольника равны) получается половина диагонали квадрата 1.5² + 10,5² = 112,5 значит вся длина диагонали 2 корней из 112.5 ну или 2x² = 4 * 112.5 x = 15
Чтобы в уме решить уменьшил все размеры на 3. Получается Прямоугольник 7х1. Его диагональ √50 и ровна диагонали квадрата. 2а^2=50 а=5 И не забываем умножить обратно на 3. Ответ: х=15
С чего вы взяли, что диагональ квадрата = корень из 50? Там грубо говоря получится 4 1 3. 4+3=7 что равняется корню из 49. С чего эта единица залезает к этим 49? Это подгонка решения под ответ.
Во-первых, вы прям мистер подробность, я смотрю.) Решение верное, однако спорное и без доказательств. Просто "я так чувствую". Обычно, когда такие моменты доказательств на олимпиадах пропускаются, даже верно решённой задачей ставят минус пол балла. Во-вторых, зачем решать в уме? Я извиняюсь, но не судьба просто листочек взять? Вроде так удобнее, да и шанс ошибиться/общитаться меньше... Ну да ладно. Дело каждого
Решил довольно быстро и немного другим способом: тоже провел диогональ, но её длину получил как сумму гипотенуз (мелкие катеты треугольников имеют соотношение как и большие из-за подобности ), а дальше также получил сторону квадрата равную 15-ти. Моё решение в лоб и менее изящное и требует на одну итерацию больше (нахождение двух гипотенуз вместо одной сразу).
А мне, как кажется, провести перпендикуляр одновременно к двум отрезкам, выходящих из противоположных вершин одного квадрата, просто невозможно! Ибо это отрезки расходящиеся! Вывод: Не верите, а вы попробуйте сами провести...!
Решил более длинным способом, через тригонометрию. Если угол между нижним основанием квадрата и отрезком 12 равен α, тогда из равенства сторон квадрата следует уравнение: 12sinα + 9sinα + 3cosα = 12cosα + 9cosα - 3 sinα. Отсюда tgα=3/4, соответственно sinα=3/5; cosα=4/5. Подставив эти значения в любую часть первого уравнения получаем x=15.
@@The14Some1 Если задача была дана в графической форме, как на обложке к видео, то не возможно доказать, что внешняя фигура - квадрат. А значит нужно искать решения для ромба. Для ромба получается множество решений от корня из 117 до бесконечности, в которое входит и решение для частного случая. Когда Х=15, ромб оказывается квадратом.
Проводим диагональ с нижнего левого угла в верхний правый, получаем диагональ, пересеченную отрезком длиной 3 И 2 прямоугольных треугольника - 9, часть от 3 и часть диагонали - 1й треугольник, 12, часть от 3 и часть диагонали - 2й треугольник. Причём треугольники подобные т.к. У них смежные углы Отрезок 3 у нас делится диагональю на 2 части - пусть это будет y и 3-y Т.к. Треугольники подобные - То у/9 = (3-у)/12 12/9у = 3-у 21/9у = 3 У =27/21 = 9/7 Тогда 3-у =12/7 По теореме Пифагора находим части диагонали: Корень (81+81/49) Корень (144 + 144/49) Х= сумма этих выражений делить на корень из 2.
Если достроить аналогичные отрезки из 2х оставшихся углов, получится треугольники со сторонами 12 , 9 и х. Т.е. это египетские треугольники со сторонами 3, 4, 5 с коэффициентом 3, значит сторона х равна 15.
Ещё проще. В этом зигзаге отрезки длиной 9 и 12 параллельны. Вот вдоль них и сдвинем этот зигзаг, например, вправо вверх на 9. В результате у нас получится просто прямоугольный треугольник со сторонами 3 и 21, гипотенуза которого равна диагонали квадрата. Эта гипотенуза мгновенно вычисляется по теореме Пифагора - 15 корней из 2. Теперь осталось вспомнить, что диагональ квадрата ровно в корень из 2 раз длиннее стороны квадрата...
Это простая задача, не олимпиадная. Решение сводится к определению гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 9 и 12 по теореме Пифагора. Делаем дополнительное построение, на отрезке 12 отмеряем 3 и достраиваем до квадрата в центре со стороной 3. Видим центральную симметрию, проводим аналогию с двумя другими вершинами квадрата, Получаем 4 прямоугольных треугольника со сторонами 9 и 12 и маленький квадрат 3*3 в центре большого. Ответ: 15
Почему так сложно? У нас есть диагональ, разбитая на отрезки 12 и 9. О второй диагонали мы знаем, что есть маленький отрезок в 3, при этом один из оставшихся отрезков чуть длиннее, чем другой. Поскольку у нас кввдрат и прямые углы, значения остаются те же - 12 для отрезка побольше и 9 для отрезка поменьше. Поскольку угол прямой, мы можем высчитать х по формуле: а² + b² = x². 81 + 144 = 225. Корень из 225 - 15.
Мне одному кажется что две линии проведённые из противоположных углов квадрата могут быть одновременно перпендикулярны одной линии только если из провести в центр не зависимо от их длины?
не знаю, может я совсем тупой, но задание абсурдно. У квадрата все углы по 90 градусов и два отрезка выходящие из углов не могут быть соединены перемычкой под углом 90 градусов, это прямая если это куб, а в плоскости это не возможно. Отрезки 12 и 9 должны не из угла выходить, а примыкать к противоположным сторонам, тогда это будет правильно.
Начните с рисования "лесенки" 12-3-9, потом соедините её начало и конец - получите диагональ будущего квадрата. Очевидно, ни одна из сторон 12 и 9 не будет лежать на этой диагонали иди быть ей параллельна. Имея диагональ можно без проблем построить квадрат вокруг неё
объясните мне тупому как можно из углов квадрата провести 2 линии навстречу друг другу, которые соединяются перпендикуляром 3. Из этого следует, что эти линии параллельны. Но в квадрате такое не возможно это одна и та же линия, которая проходит через центр и является диагональю, следовательно сторона х будет равна 14,85 и никак не 15.
@@darmovoz очень даже возможно. Нижняя сторона квадрата, отрезок 12 и правый нижний угол квадрата составляют египетский треугольник 15-12-9. Отрезок 3 лежит на продолжении стороны 9 этого треугольника
450 так и остается под корнем, в следующем выражении квадрат гипотенузы будет равен 450, далее 450/2=225, корень из 225=15. Мне кажется действие с разложением корня лишнее.
Можно даже без Пифагора решить - достраиваем в центре квадрат 3х3 от его вершин достраиваем треугольники к углам большого квадрата доказываем подобие 4 треугольников - потом считаем площадь 4 треугольников и квадрата в центре суммируем и берем из нее корень.
Провёл диагональ квадрата, которая разделила 3-х сантиметровый отрезок на отрезки _а и (3-а)._ Составил два уравнения: одно - исходя из подобия треугольников, а второе - по теореме Пифагора. Всё получилось, однако авторское решение проще и наглядней.
Аналогично сначала нашёл точку, которой делит диагональ отрезок 3. Просто из подобия треугольников (один угол прямой, второй угол у треугольников равен как вертикальный). Вычислений много, особенно когда посчитал гипотенузы этих треугольников и начинаешь суммировать 2 части диагонали.
Решал менее наглядным способом, введя угол a между любой из двух параллельных линий и горизонталью, тогда x = 21 cos(a) - 3 sin(a) = 21 sin(a) + 3 cos(a) => tg(a) = 3/4, cos(a) = 4/5, sin(a) = 3/5, x = 15
Т. К. Все отрезки смежны под прямым углом, можна разделить самый длинный на две части 3 и 9. В итоге выйдет два равных отрезка по 9 и квадрат 3 на 3 с центром совпадающим центру большого квадрата. Так фигура делится на четыре равных прямоугольных треугольника. X=√9²+12²
Я по принципе симметрии разделила весь большой квадрат на 4 прямоугольных треугольника с катетами 12 и 9, в центре остаётся квадрат 3х3. Считаем площадь квадрата через мелкие фигуры: 4*0,5*12*9+9=225. Значит, сторона квадрата 15.
Вообще в условии задачи изначально заложена ошибка, что там дальше решать. Если это квадрат, то углы, обозначенные прямыми, таковыми быть не могут. Странная задача.
По представленному чертежу задача решения не имеет, так как два условия противоречат друг другу: стороны равны и то как пересекаются типа диагонали в данном параллелограмме. Если изначально это ромб( квадрат частный случай ромба) , то построить внутри него данный чертёж из двух разных прямоугольников у вас никогда не получиться. Если же исходить из внутреннего чертежа прямоугольных треугольников, то у нас будет не ромб, то бишь квадрат, а параллелограмм - у которого стороны не равны.
Вы где увидели что отрезки выходят из углов квадрата под углом 45°? Точно также как и в этой задаче можно взять отрезки длиной 7 и 8 из углов и отрезок длиной 15 соединяющий их и перпендикулярный к каждому из них. Подсказка, первые отрезки будут совпадать с верхней и нижней сторонами квадрата, а средний соединит их.
А может ли существовать такая фигура внутри четырехугольника с прямыми углами. Если углы прямые длинные прямые никогда не пересекутся. Пятый постулат Евклида.
Учёбу закончил давно. Ни одного уравнения и теоремы в голове не осталось. Решил тупо, линейкой и углом от тетрадки😀начертил отрезки 12-3-9 под углами 90. соединил крайние точки диагональю, померял 21,2 разделил 10,6. начертил вторую диагональ, соединил вершины, померял линейкой 15. досмотрел видос, сравнил с ответом автора. Удивился нахрена такое сложное (для меня) решение. Довольный что попал в 14% школьников допил бокал пива, пошел деградировать дальше😉
Вообще ничего не решал. Разделил 9 и 12 на 3, получилось 3 и 4. А дальше к бабке не ходи, что третья сторона 5 ( по условиям задачи, умножаем на три, получаем 15) Египетский треугольник и т.д.
Я ничего не решал, школу забыл давно....пивка попил ,видос глянул ,только подумал ,что сейчас у меня 2 высших образования - норм работа, и всё думаю, когда вся эта лабуда мне пригодится то?😂
Не знаю как в Чехии, но у нас из разновидностей линейки можно только самую обычную пронести в олимпиаду, но если ловко уметь чертить то думаю одного его достаточной)
Можно сократить на извлечение корней - площадь квадрата - это x^2 или диагональ в квадрате и пополам. ну или квадрат гипотенузы в треугольниках в квадрате = 2 квадрата стороны. Сильно удобнее и быстре считать в уме.
Прикол в том, что либо это не квадрат, а просто прямоугольник. Либо углы в середине не равны 90 градусам. Они должны быть чуть меньше 90,что бы это было реально. Ведь это взаимоисключающие условия. Жаль что никто не заметил
Задача решается гораздо проще и буквально за минуту. Даже не придется искать никакой гипотенузы. Итак, у нас есть некая ломанная (12-3-9) из одного угла (нижнего левого) в другой угол (верхний правый). Если же общая фигура - квадрат, то аналогичная ломаная будет верна и для другой пары его углов (верхний левый - нижний правый). И вот, как только вы эту вторую ломаную нанесете на рисунок, вы увидите: 1. В центре вашего большого квадрата (сторону которого необходимо найти) нарисовался маленький квадрат со стороной, равной 3. 2. Из углов маленького квадрата (со стороной "3") в углы большого (сторона которого "Х") под углом 90 град. расходятся отрезки, равные "9". 3. Искомая сторона "Х" является гипотенузой, а катеты, соответственно "9" и "9+3". 4. 9 в квадрате + 12 в квадрате = Х в квадрате. Следовательно, Х=15. Всё.
Я конечно понимаю, что я ещё школьник, но читаю комментарии взрослых людей и удивляюсь, ведь если просто, немного подумать, то можно понять, что это не капельки не квадрат, два отрезка идут из противоположных углов, а значит между ними физически нельзя поставить перпендикулярный отрезок, для этого они должны быть параллельными, что в квадрате физически невозможно
Как только провела гипотенузы маленьких треугольничков, сразу захотелось отдельно перерисовать четырехугольник и работать с ним - попробовать найти его диагональ, которая по совместительству является еще и диагональю квадрата.
Сдвинул перемычку вниз-влево так, чтобы отрезки были одинакоаыми (понятно, что они лежат на параллельных прямых, так что двигать перемычку можем куда угодно). Проводим диагональ квадрата, получаем два треугольника со сторонами 3/2 = 1.5 и (12+9)/2 = 10.5. Диагональ этих треугольников -- половина диагонали квадрата, далее работает теорема Пифагора. Считать не очень удобно из-за дробных значений. По сути -- это то же решение, что и у автора ролика (только он двигал перемычку не к середине квадрата, а к краю). У него, безусловно, намного изящнее и решается в уме.
Нужно просто дорисовать перпендикуляр (отрезок 3) в нижний правый угол квадрата и обозначим его как y. Тогда через теорему Пифагора будет система из двух уравнений 12^2+y^2=x^2 и 9^2+(3+у)^2=х^2. От первого уравнения отнимем второе и получим 6у=54. То есть дорисованая сторона у=9. Подставляем в первое уравнение, находим х. 144+81=х^2. То есть сторона квадрата равна √225=15. Ответ: 15
Можно решить через векторы. a=12, b=3, c=9. Обозначим точки на концах отрезков A,B,C и D. Угол между отрезком длиной 12 и горизонталью обозначим alfa. Получим векторы: AB=a*cos(alfa)*i+a*sin(alfa), BC=-b*sin(alfa)*i+b*cos(alfa)*j, CD=c*cos(alfa)*i+c*sin(alfa)*j. Где, i, j - единичные векторы. Суммируя эти вектора получим диагональ квадрата AD=((a+c)*cos(alfa)-b*sin(alfa))*i+((a+c)*sin(alfa)+b*cos(alfa))*j Умножаем вектор сам на себя (возводим в квадрат) AD*AD= ((a+c)*cos(alfa)-b*sin(alfa))^2+((a+c)*sin(alfa)+b*cos(alfa))^2 Первое и второе слагаемые представляют собой квадрат разности и квадрат суммы соответственно, раскрывая их и применяя основное тригонометрическое тождество (sin^2+cos^2=1) получаем: AD*AD=(a+c)^2+b^2. С другой стороны AD*AD= 2*(x^2) Откуда получаем x=sqrt(((a+c)^2+b^2)/2)
Ну, диагональ можно нарисовать достаточно точно... Но вот длина у неё будет не целочисленная, и построить линейкой полноценный квадрат по его диагонали может быть не так уж и легко.. :) Ещё и с достаточной точностью.
@@АлександрПлавин Ну, мой ответ тоже полушуточный :) В данном случае сторона квадрата - 15, весьма целое число. При аккуратном построении, наверное, можно даже весьма точно и линейкой отмерить, чего в случае, например, тестов было бы достаточно, т.к. необходимо было бы выбрать один из нескольких вариантов ответа, один из которых был бы 15.
интересные выводы из этой задачи - возьмём кв. с известным размером - так у него отрезок ( назовём его 3 ) не зависит от длинн отрезков 12 и 9 и зависит только от угла из которого они выходят из вершины кв. , отношение отр. 12 к 9 в этом кв. так же пропорциональны этому углу , получается зная угол и сторону кв. можем определить размеры всех отрезков 3 , 9 и 12 , и наоборот !
X=3*(7*cos(arctg(4/3)) +sin(arctg(4/3)))=15, получилась эта формула, если сначала определить угол поворота этой ломаной линии от горизонта, угол соответственно равен arctg(4/3)
Продолжаем отрезок 9 до 12. Опускаем перпендикуляр на отрезок 12. Получили квадрат 3+3. Углы малого квадрата соединяем с углами большого квадрата. Получаем прямоугольные треугольники со сторонами 9+12. Далее теорема Пифагора. Ответ 15.
До момента гипотенузы 15 √2 шла таким же путем. А далее формула диагонали квадрата d=x √2, где вместо d подставляем значение гипотенузы 15 √2 и по формуле сразу видно что сторона квадрата равна 15
Немного глиняное решение я придумал, но все равно поделюсь. Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 3 и 12. Она равна 3√17. Обозначим угол против большего катета за α и посчитаем его. α = arccos(1/√17) α = arcsin(12/3√17) Рассмотрим треугольник со сторонами 3√17, 9 и третьей стороной равной диагонали квадрата. Найдем косинус угла лежащего против неизвестной стороны. cos(α + 90°) = cos(arccos(1/√17))cos90°- sin(arcsin(12/3√17))sin90° = -12/3√17. По теореме косинусов найдем диагональ, получаем, что диагональ равна 15√2, потом так же доводим решение и получаем ответ 15.
Спросоня. Девять продлеваем на 6, а 12 на 3. С опусканием высот. Получаем прямоугольник со сторонами 3 и 9. Его середина - середина большого квадрата. А это отступы от вершин 1,5 и 4,5 для перпендикуляров из сторон пересекающихся в середине. Половина гипотенузы равно= корень((15-4.5)^2+1.5^2)=корень(450/4)=15*корень(2)/2. Вся гипотенуза равна х*корень(2). х*корень(2)=15*корень(2). х=15.
Это тоже самое что и пролонгировать 9 на 3. Квадратик в центре. А значит половина гипотенузы это корень из ((12-1,5)^2+1,5^2). Но я пролонгировал аж до прямоугольника по другим причинам сделав лишний ход немного. 😏🤫
Надо продолжить отрезок 9 см на 3 сантиметра, а на отрезке 12 см поставить точку на 3 см короче, соединить нужные точки, т.о. образуется в центре квадрата ХхХ (со сторонами Х), квадратик 3х3 см, врубив логику и продолжив стороны квадратика 3х3 упрёмся в 2 других угла квадрата ХхХ. Образуется такая звёздочка которая нас не интересует, нас интересуют четыре одинаковых треугольника со сторонами 9, 12 , Х и прямым углом. Ну и 9в квадрате + 12 в квадрате и из этого взять корень = 15
а если отрезки были бы не 9,12, а 10,11 - как до такого построения дойти? предположу что достроить до точки симметрии на 10.5 какими бы ни были отрезки, а потом по 1.5 от нее во все стороны? Довольно прям не очевидно, или все равно можно прийти минуя оригинальное решение?
Я немного иначе решил задачу. У меня получилось Х=15,025)) Я в середине построил квадратик со сторонами 3. В итоге у меня получилось два одинаковых прямоугольных треугольника по бокам от квадрата. Сам квадрат имеет стороны 3 и 3, а треугольники 3 и 9. Потом провел медианы у прямоугольных треугольников, нашел их по теореме Пифагора, сложил обе медианы которые равны между собой и сторону маленького квадрата(3). И считал что это и есть диагональ большого квадрата. Не уверен что медианы треугольников и отрезок маленького квадратика равный его стороне, который делит его пополам и соединяет медианы этих прямоугольных треугольников лежат на одной прямой и вместе составляют диагональ большого треугольника. Поскольку считал на калькуляторе с округлением ответ получился 15,025. Но не понятно из-за чего эта погрешность получилась. Из-за округления ли из-за того что сам подход не верный.
Сразу захотелось провести диагональ. Дальше немного помучился с подобными прямоугольными треугольниками, которые относятся как 4:3, нашел диагональ, поделил на кор из 2 и получил 15)
Я тут один кто думает что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны? И с такими условиями это не квадрат а прямоугольник, так как нельзя из одной точки проложить на прямую 2 отрезка под прямым углом
@@alexstegostoma кто они совпадают? Углы? Я о том что они могут быть не 45. Чего нельзя сделать с квадратом? Провести параллельные линии под одним и тем же углом к другим параллельным, составляющим стороны квадрата?
Спасибо за задачу. Я решил через построение квадрата со сторонами = 3, продлив отрезок = 9-и. На пересечении диагоналей маленького квадрата лежит и центр большого. Из этого пересечения построил перпендикуляр к одному из отрезков, а также отрезок к углу большого квадрата. Получил прямоугольный треугольник с катетами 10.5 и 1.5 = (3:2). Нашел гипотенузу, удвоенный квадрат которой равен квадрату искомой стороны.
Люблю "стряхнуть пыль на чердаке"... Поэтому остановил видео на 45й секунде (как раз когда стало автор завершил чертить условие) и потянулся за листом бумаги. но - не успел... Смотрим внимательно. Отрезки 12 и 9 в сумме фактически представляют собой катет прямоугольного треугольника. Второй катет - отрезок 3. Корень квадратный из суммы 21 в квадрате и 3 в квадрате даст нам гипотенузу этого треугольника (которая по совместительству" есть диагональю квадрата со стороной Х). 21 - это 3 х 7. 3 в квадрате умноженное на 7 в квадрате плюс 3 в квадрате: 3 в квадрате выносим за скобки, получаем 3 в квадрате х (7 в квадрате + 1 в квадрате). То есть 3 в квадрате х 50. Или 3 в квадрате х (2 х 5 в квадрате). А собственно гипотенуза будет равна 3 х 5 х корень из 2. "Пифагоровы штаны" дают нам искомый Х: диагональ разделить на корень из 2. То есть (15 х корень из 2) разделить на корень из 2. Заметьте: не утруждая себя листанием Брадиса или добыванием корней на калькуляторе, мы "в уме" получили ответ - сторона квадрата равняется 15. PS: Жаль, что в комменты нельзя вставлять иллюстрации - такая симпатюля в GIMP'е получилась... ==Апдейт после досмотра видео== А куда ты денешься от "Пифагоровых штанов"...
@@notgigachad, ну тут уже писали, что главное заметить треугольник 9, 12, 15. А он практически сразу бросился в глаза. Ну а дальше взять 4 таких треугольника и расположить их правильным образом, и сразу увидим данный рисунок.
через тригу посчитал: пусть угол напротив 9 в треугольнике с катетами 3 и 9 мы назовем A, тогда tg(A)=9/3=3 => cos(pi/2+A)=-3/sqrt(10) (по триг.формулам), а B=pi/2+A (назовем его B) - это как раз угол между 12 и гипотенузой(она по пифагору равна sqrt(90)) нашего треугольника, ну а далее по теореме косинусов: наша гипотенуза- 2x^2 = 12^2+90+2*12*sqrt(90)*3/sqrt(10)=450 => x=15
Я решил так. Если внешняя фигура- квадрат, то строится аналогичная конструкция из других углов. Получается внутри квадрат со сторонами 3. И прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12 и гипотенузой в искомый Х. Ответ тот же- 15.
0:53 задача с лесенкой) получается диагональ квадрата, поэтому сразу приравниваем сумму квадратов сторон квадрата и сумму составляющих этой лестницы: x²+x²=(12+9)²+3² 2x²=21²+3² 2x²=(3*7)²+3² 2x²=3²*(7²+1) 2x²=9*50 2x²=450 x²=225 x=15
Сходу попробую решить. Значения 12 и 9 по отдельсти в принципе не важны, т.к. эти отрезки можно продолжить дальше и получить дае параллельные прямые с равными длинными и с перемычкой длиной 3 между ними. Понятно, что задача инвариантна к положению этой перемычки. В таком случае давайте сместим перемычку за квадрат, так, чтобы она касалась его нижнего левого угла. Образуется длинный прямоугольный треугольник совместно с диагональю квадрата со сторонами 3, (9+12)=21 и х*sqrt(2). Ну и по теореме Пифагора возведем все в квадрат и приравняем, получим, что х^2 = (9+441)/2 = 225. Или х = 15.
Эту задачу можно решить гораздо проще, ведь недаром в условии 12-3=9. Надо построить прямоугольный треугольник с катетами 12 и 9. А потом приставить к этому треугольнику такой же треугольник катет на катет. то есть катету с длинной 12, приставим катет с длиной 9. 12-9 как раз будет 3, то ест средный отрезокю (к сожалению не могу всатвить риссунок) Получим ту же ломанную, что и в задаче. и даже не надо вычилять диагональ квадрата. и так очевидно, что сторона квадрата 15, то есть, это будет гипотенуза прямоугольного треугольника с катетамы 12 и 9.
Остроумно, но с точки зрения геометрии не верно. Если из условия задачи очевиден ответ, то задача скорее всего в его обосновании. Нет ни теорем, ни аксиом позволяющих произвольно подставлять треугольники друг к другу и делать на этом основании выводы)
Не читайте, что вам там ответили - ваше решение безусловно лучшее. Кстати, его можно "замкнуть" - сложить из 4 треугольников со сторонами 9,12,15 и квадрата со стороной 3 квадрат со стороной 15. В этой задачке есть такой тупейший лобовой способ - опустить перпендикуляры из концов отрезка 3 на противоположные стороны. Тогда x = 9sin(α)+12sin(α)-3cos(α); x = 9cos(α)+12cos(α)+3sin(α); α - угол отрезков с одной из сторон (при выборе другой стороны меняются местами косинус и синус). Отсюда tg(α)=4/3; sin(α)=4/5; cos(α)=3/5; если подставить, x = 15; Я всю эту байду написал, чтобы было видно, что там получаются "египетские" треугольники. Ваше решение автоматически строит квадрат на основе такого треугольника. Прекрасная находка.
@@constantinfedorov2307 спасибо за теплый отзыв. Что касается моему решению, ведь никто не запрещает в геометрии строить дополнительные линии и фигуры. Ещё раз спасибо!
@@constantinfedorov2307 Согласен, решение верное, но не согласен, что его можно замкнуть на 4 треугольника, сомкнув на 4 треугольника мы не получим квадрат, попробуйте представить, надеюсь вы со мной согласны. Разница сторон будет равна 6.
@@Scretch235 прочтите внимательнее ☺"его можно "замкнуть" - сложить из 4 треугольников со сторонами 9,12,15 и квадрата со стороной 3 квадрат со стороной 15."
я как сказанно на второй минуте, сразу же дорисовал зеленые линии и с помощью них таки пришёл к ответу: конструкция внутри квадрата это трапеция(отрезки длин 9 и 12 параллельны, так как оба перпендикулярны отрезку длины 3), с помощью теоремы Пифагора можно найти зеленые линии они же боковые стороны трапеции(это корни из 90 и 153), и тогда мы уже имеем длины всех сторон трапеции и одну из диагоналей, а надо найти другую, ну явно же есть какая-то формула для ее(диагонали) нахождения, погуглив я нашел эту формулу: d1^2 + d2^2 = 2*a*b + c^2 + d^2 где d1 и d2 диагонали, a и b основания, а c и d боковые стороны тогда: x+3^2=2*12*9+90+153 ,где x -- квадрат диагонали, решив уравнение, находим x=450, тогда по теореме Пифагора: 450 = 2*a^2 где a есть искомая длина стороны квадрата, она равна 15
Решил так. Короткий катет подвинул в центр квадрата. Общая длина 12+9 осталась равной 10.5+10.5. Биссектриса квадрата делит короткий катет поровну на 1.5 и 1.5. Находим гипотенузу треугольника 1.5**2+10.5**2=√112.5 Эта гипотенуза является катетом прямоугольного треугольника с искомой гипотезой. х**2=√112.5**2+√112.5**2 х=√225
Условия задачи некорректны! Если отрезок 3 под прямыми углами к 12 и 9, то это значит что 9 и 12 параллельны и не могут выходить из диагонально противоположных углов квадрата
Если продлить обе линии до пересечения с катетами, то они будут равны по 21, образуют параллелограмм с вы сотой 3, а его гипотенуза будет равна гипотенузе квадрата. Отсюда 21×21+ 3х3 = 450, 450:2 =225,0 это сторона одного квадрата , а корень из него равен 15.. Ответ совпал.
Это НЕ квадрат, а прямоугольник. Ты не построишь такую фигуру с внутренними ПРЯМЫМИ углами и ВНЕШНИМ квадратом. И эти "учителя" у нас в школах учат? Поражают 1,3 инвалидов, которые не замечают, что рисунок НЕ правильный.
Достроим наш квадрат. Верхнюю часть перекинем и пристроим с права. Получим прямоугольный "треуголник" с ломанными сторонами. Если сломанные стороны "выпрямим" прямоугольниками 9*3. То получим прямоуголный треугольник состоронами 12+9-3=18 и 12+9+3=24. Жиагональ этого треугольника =2х. Ну и по теореме Пифагора (2х)^2=18^2+24^2=324±576=900. 2х=30 Х=15
Сначала, через подобие треугольников нашёл точку пересечения диагонали квадрата со стороной равной 3, потом нашёл длины отрезной от углов квадрата до этой точки, сложил их, получил длину диагонали, и затем, по теореме косинусов, разделил на корень из 2:) сложнее, но результат тот же
Можно просто провести диагональ, разбить сторону 3 на x и 3-x, рассмотреть подобные прямоугольные треугольники, откуда получим значение x... Дальше проще...
Есть другое решение. Если перечертить рисунок с соблюдением пропорций известных размеров, то сразу станет видно, что центральный отрезок, равный 3, можно продолжить в правый нижний угол. Величину нового отрезка обозначаем за а. Записываем систему из двух уравнений Пифагора: 1) 9^2+(3+а)^2=х^2; 2) а^2+12^2=х^2. Приравниваем друг к другу, выбрасывая иксы. Тогда а=9. Отсюда 9^2+(3+9)^2=х^2. Ну и находим х.
Ну и что-то весёленькое. - Вращаем ломаную внутри квадрата относительно центра, например, вправо. До занятия следующих вершин. Очевидно что верхняя внутренняя точка прямого угла заняла место нижней. При повороье на 90. Внутренний квадратик со стороной 3 прокрутился тоже на 90. Значит изначально из нижней точки прямоугольной к правому нижнему углу квадрата линия к 12 есть высота равная 9. Х=15 как гипотенуза. Снова достаточно показать что квадратик в центре при пролонгации 9 на 3,и опускании перпендикуляра на 12, расположен в центре. Это может быть даже проще чем прохождение через две его вершины каждой из прямых исходящих из вершин большого квадрата. Однако многих смущает вращение как элемент.
Меня вращение не смущает. Но некоторые зеркалят, не понимая, что внутрений квадратик 3х3 повернут не на 45° и при зеркалке углы не попадают друг в друга.
Прошел12, и, не сворачивая, проскакал еще 9 (они параллельны). А уж потом завернул за прямой угол на 3, и пришел в ту же точку. Дальше 2 Пифагора с равными гипотенузами: ((12+9)*2+3*2)/2 и извлекаем корешок. Итого: 21*2+9=450 (квадрат гипотенуз), лупим пополам ( у квадрата все стороны равны), остается 225 на квадрат катета, и выкапываем квадратный корень. Итого:15 на сторону. Вот такой квадратик получился!)))😀
я считал угол прямоугольного треугольника со сторонами 12-3-и отрезок соединящий нижний левый угол и другой конец отрезка 3 (один из двух отрезков которые в начале нарисовали), к полученному углу прибавляем 90°, получаем что известны две стороны треугольника и угол между ними, противоположная сторона угла и есть та самая искомая диагональ, далее применяем теорему косинусов и вычисляем диагональ.
Я долго искал этот комментарий. Тоже сижу и думаю, как из противоположных углов квадрата можно провести две параллельные прямые, если диагонали квадрата пересекаются под прямым углом?
Пошел длинным путем, также провел диагональ, через тангенс одинаковых углов маленьких треугольников нашел длину прилежащих катетов, дальше по теореме Пифагора нашел гипотенузы маленьких треугольников, а потом и сторону квадрата также по этой же теореме. Тоже получил правильный ответ.
Я просто посчитал гипотенузу х прямоугольного треугольника, где один катет равен 9, другой 12. х = √9² + 12² х = 15 не ожидал что получу правильный ответ))
@@АлександрБаутин-е4ы Почему? Я так же считал. Это вытекает из симметрии квадрата. Если проведём такой же зигзаг из левого верхнего угла в правый нижний, то получим два треугольника со сторонами 9 и 12.
@@alexeyterentev1828 Да не, всё правильно. Я просто не смотрел видео, а по картинке совсем не очевидно, что внешняя фигура квадрат, а не ромб. В общем, если задача на олимпиаде была дана как на картинке, то это жесть. Для ромба получается множество решений от корня из 117 до бесконечности.
Вычисление корня из 450 - лишнее действие, т.к. вычисляем длину стороны, а не диагонали-гипотенузы. Так же, как и выносить отрезки за рамки квадрата - лишнее. Переносим отрезок 3 в вершину квадрата и рисуем прямую через отрезок 12 до этой вершины. А дальше арифметика. Да, момент озарения был приятным))
Плёвая задачка. Всего-то нужно достроить экватор, нашу звездную систему, Млечный Путь, Ланиакею и показать насколько не важна жизнь и эта задача. Ответ обязательно получится 15. Чистая математика
Одна строка. Рисуем в центре квадратик со стороной три. Под углом 45 градусов соединяя с вершинами. Немного поворачиваем к имеющейся диспозиции. Линии от вершин большого проходят через четыре точки изначально. А здесь - через 2. Это справедливо эквивалентно для всех вершин. Значит линия из правого угла большого снизу проходит через две точки. Она равна 9. x=корень(12^2+9^2)=15. Рисуйте поточнее. - Я тормознул сначала и с другими аномальными методами. Неплохо, но недостаточно. 😏
Как могло получиться так, чтобы две параллельные линии, выходящие из противоположных вершин квадрата, были смещены? Почему они не сходятся в одной точке? Разве такое может быть?
Easy. Внутренний "зигзаг" достраиваем до прямоугольника со сторонами 3 и (9+12). Диагональ прямоугольника (обоз. "a"), так же будет являться диагональю квадрата. По теореме Пифагора а^2=3^2+21^2 a^2=450 Перейдем к квадрату, по тому же Пифагору а^2=x^2+x^2, т.е. 2*x^2=450 x^2=225 x=15
обозначим нижний конец отрезка 12 - "А", угол между отрезками 12 и 3 - "В", угол между отрезками 3 и 9 - "С", Верний конец отрезка 9 - "Д". Сперва зацепился за то, что 9+3=12. пришла в голову такая мысль, а что если от отрезок СВ продолжить вниз и поставить на полученной прямой точку Е, так, чтобы СЕ=12. Тогда ВЕ=9. Т.к. отрезки 12 и 3 перпендикулярны, то АВ перпендикулярен СЕ, значит угол АВЕ=90гр. Таким образом треугольники АВЕ и ЕСД равны (у обоих катеты равны 9 и 12). Значит гипотенузы АЕ и ЕД тоже равны друг другу. Т.к. АД - это диагональ нашего квадрата, то АЕ=Х=ЕД или 12*12+9*9=Х*Х -> 144+81=225 -> X=корень из 225 =15
Что бы решить в уме, пришлось напрячься! А решал «через огороды»! Сначала представил что можно дорисовать со стороны линии 12 квадрат со сторонами 3х3. Тогда получается слева снизу такой же прямоугольник, что справа сверху катеты 9х3. Если всё одинакова, тогда диагональ большого искомого квадрата со сторонами Х будет проходить через центр малого квадрата со сторонами 3х3. Тогда диагональ искомого квадрата это сумма двух гипотенуз одинаковых прямоугольных треугольников со сторонами 9+1.5 и 1,5. (Где 1,5 это расстояние от центра до сторон малого квадрата) Далее арифметика; 2Х^2=4(10,5^2+1,5^2) Х^2=2*112,5 Х=225^1/2 Х=15 Это очень загоно, но я решал так!
Задача красивая. Надо достроить квадрат со стороной 3, линия 9 продлится и станет 12, а 12 после пересечения со стороной 3 станет 9. Равенство углов и сторон даст нам замечательную возможность достроить две линии из верхнего левого угла большого квадрата и правого нижнего. Нетрудно доказать, что они тоже будут 9 и 12 и совпадут со сторонами центрального прямоугольника. А сторона большого квадрата станет основанием каждого из прямоугольных треугольников с катетами 9 и 12. Вот и Пифагорова тройка: 9, 12, 15. Все, х=15.
Забавно конечно, но, здесь отрезок длина которого равняется 3 присутствует для отвлечения внимания. В итоге если проекционно сопоставить отрезки то 12 и 9 будут являться диагональю и соответственно гипотенузой одновременно 2-х треугольников. То есть 12+9 При этом 12 в кв = 144, 9 в кв =81 сумма = 225, корень суммы = 15 144+81=225 ✓225=15
Почти таким же. Пошёл напролом через первый способ на которых ты намекал. Диагональ проходит через середину перпендикуляра. Каждый малый катет выходит по 1,5. Нашёл гиппотенузу каждого треугольника, сложил. Получил диагональ. Ну а дальше по теорема Пифагора с одинаковыми катетами. В принципе ответ не сильно отличается
Просто достраиваем до прямоугольника со сторонами 12 + 9 = 21 и 3. Часть прямоугольника выпирает за пределы квадрата. Диагональ прямоугольника - это диагональ квадрата. Квадрат этой диагонали равен 21² + 3² = 441 + 9 = 450, а квадрат стороны квадрата - вдвое меньше, т.е. 225. Значит, сама сторона 15. Даже нет необходимости возиться с корнями.
Саша молодец.
А почему диагональ прямоугольника именно диагональ квадрата?
@@vitalikkarpov потому что вершины квадрата, из которых проведены отрезки, будут противолежащими вершинами прямоугольника
+
Аналогичным способом решил.
Очень простое решение. Я никакой не эксперт, а простой инженер. Решил задачу следующим образом: Я предположил, если у нас в центре имеются два прямых угла, то я могу в целом построить квадрат с сторонами 3х3. Исходя из этого получаем что расстояние до этого квадрата с двух разных линий по 9 (12-3). Исходя из этого получаем что квадрат находиться четко по центру нашего квадрата. Исходя из этого я понимаю что я могу отзеркалить (дорисовать) наши имеющиеся линии. Исходя из чего получаем две имеющиеся стороны 12(9+3) и 9 и прямой угол между ними. Далее по теореме Пифагора => корень из 144+81=225=15. Поправьте если не прав.
А у меня 11 классов и я так же решил)))
Тоже я инженер, тоже так решил. А если знать про соотношение сторон в египетском треугольнике (5:4:3), то и Пифагора можно не тревожить).
А потом в SolidWorks построил для проверки, сходится)
@@iluhster8255 Держу в курсе 5,4,3 - пифагорова тройка
Хорошо наши инженеры решают задачи из параллельной вселенной, не догоняя что в нашей, там не может быть прямых углов, как на рисунке. Чем больше угол отклонения диагонали от центра, тем меньше те углы, а если без отклонения, то есть по Центру, то их вообще нет это будет одна прямая
_Поправьте если не прав._
Поправлю.
_я могу отзеркалить_
надо не зеркалить, а повернуть отрезок, длиной 9 на 90°
получим катеты 12 и 9
Начнём с того, что два прямых угла (на ломаной линии внутри квадрата), возможны только в прямоугольнике с разными сторонами (но не в квадрате).
У меня в первую очередь возникла эта мысль, условие задачи изначально не корректно
Что скажет автор?
С чего бы? Тут углы, хоть и близки к 45°, это не биссектрисы
@@АлексейДемин-ю2т а в условиях задачи сказано, что там угол 45°?
@@АлексейДемин-ю2т Всё верно решено, размеры есть, можете проверить графически. Отрезок 12 (или 9) не биссектриса и имеет в данном случае угол примерно 36,9 гр.
У меня ответ тоже получился 15, но решение было куда сложнее: я первым делом провёл диагональ квадрата, она пересекает отрезок "3", и пересекает 2 параллельных отрезка: "12" и "9". Получается, имеем 2 подобных прямоугольных треугольника. Исходя из подобия треугольников утверждаем, что отношение катетов друг к другу у обоих этих треугольников равны. А также мы знаем, что сумма длин маленьких катетов обоих наших треугольников равна 3, т. е., мы можем выразить один катет через другой: получаем уравнение, решаем его и находим оба малых катета. Дальше по теореме Пифагора вычисляем гипотенузы (а это 2 отрезка диагонали квадрата), складываем эти гипотенузы и уже с помощью этой суммы находим сторону квадрата - опять же по теореме Пифагора.
Мне 71лет. По алгебре в 10 мне выводили 2 по геометрии 4 .решил так.прямой угол 9;3;сторону 3 продолжил на 9 единиц,,;сторону9 продолжил на 3 единицы образовав развернутый угол со стороной 12 единиц.из окончания развернутого угла опустил линию параллельную известному отрезку 3 до пересечения со стороной 12,продолжил этот отрезок на 9 единиц в противоположном направлении. Образуется квадрат со стороной 3 единицы.квадрат с неизвестной стороной разбит на центральный квадрат со стороной 3 единицы и 4 прямоугольных треугольника с катетами 9 и 12 единиц.квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:81+144=225, x =15.не знаю прав я или нет?
Недооценили Вас в школе - отличное решение!
Двв в те времена , сегодня твердая четверка .
@@wictor1999 я привел свои оценки в пример не из обиды на преподавателя,они объективны.в том возрасте я испытывал острый недостаток в витамине"Р" по определению русского профессора Савельева,и с-токсикозе.результатом этого и была"параша" .мой пример показателен,действительно что-то слабоваты современные школьники.в дальнейшем у меня два диплома профильные среднее и высшее образование правда не техническое.
Нет. Не верно
@@АлександрБаутин-е4ы в чем ошибка?
Спасибо. Такие видео помогают мозгам не закисать окончательно.
Мне одному кажется,что если углы между сторонами 12 и 3; и сторонами 9 и 3 прямые,то эти прямые параллельны;а в квадрате между двумя противоположными углами можно построить прямую и только одну??
Если так,то условия задачи являются некорректными))
Интересно, почему 86% этого не видят? 😂 😂 😂
Несколько раз прочитала ваш комментарий, однако так и не нашла противоречия в условии, поясните, пожалуйста
@@DaryaMKWu в квадрате диагональ. Как она может разорваться на два отезка, между которыми еще и некий кусочек с углами по 90 градусов!? Если так, то диагональ не придёт в углы квадрата. Ну или придёт только в один 🤗
@@Life-ww3ib Но ведь отрезок 3 см не параллелен другой диагонали. Соответственно и отрезки из вершин КВАДРАТА не являются частью диагонали.
Сразу на ум пришли вектора, мысленно переносимся в систему координат где ось X совпадает с отрезком длиной 12, в результате получается что правый верхний угол относительно левого нижнего угла имеет координаты (21;3) квадрат длины этого вектора L² = 21² + 3² = 450 и этот же самый вектор является гипотенузой двух треугольников, дальше по теореме Пифагора находим длину стороны X = √(L²/2) = 15
Все, включая автора видео относятся к 86% не правильно решившим эту задачу
Смена системы координат - как то более оригинально звучит супротив построения прямоугольника (короче по словам)
@@АлександрБаутин-е4ы ..IMHO, так и есть)
Углы,образованные отрезками не могут быть пямыми…т.к.прямые углы получатся от пересечения диагоналей.А в данном сслучае если один угол будет равен 90 градусов,то другой угол будет меньше 90 градусов.
Отрезки 12 и 9 параллельны
можно достроить эти отрезки дальше и отрезок длиной 3 провести по середине. т.е. получится 2 отрезка по 10.5
если провести диагональ квадрата, то она пересечёт новый отрезок 3 через его центр, потому как получились подобные треугольники с одинаковыми катетами и углом между ними (значит эти 2 треугольника равны)
получается половина диагонали квадрата
1.5² + 10,5² = 112,5
значит вся длина диагонали 2 корней из 112.5
ну или 2x² = 4 * 112.5
x = 15
Я тоже так решил, считаю его наиболее простым.
Примерно также только провел две диагонали и тогда через середину квадрата отрезок 3
Наиболее простое решение
Чтобы в уме решить уменьшил все размеры на 3.
Получается Прямоугольник 7х1.
Его диагональ √50 и ровна диагонали квадрата.
2а^2=50
а=5
И не забываем умножить обратно на 3.
Ответ: х=15
С чего вы взяли, что диагональ квадрата = корень из 50?
Там грубо говоря получится 4 1 3. 4+3=7 что равняется корню из 49.
С чего эта единица залезает к этим 49?
Это подгонка решения под ответ.
не "на" 3 а "в" 3
Во-первых, вы прям мистер подробность, я смотрю.) Решение верное, однако спорное и без доказательств. Просто "я так чувствую". Обычно, когда такие моменты доказательств на олимпиадах пропускаются, даже верно решённой задачей ставят минус пол балла.
Во-вторых, зачем решать в уме? Я извиняюсь, но не судьба просто листочек взять? Вроде так удобнее, да и шанс ошибиться/общитаться меньше...
Ну да ладно. Дело каждого
@@ІгорУхань до слёз🤣🤣🤣🤣👍
@@arongry5205 все там верно решено
Решил довольно быстро и немного другим способом: тоже провел диогональ, но её длину получил как сумму гипотенуз (мелкие катеты треугольников имеют соотношение как и большие из-за подобности ), а дальше также получил сторону квадрата равную 15-ти. Моё решение в лоб и менее изящное и требует на одну итерацию больше (нахождение двух гипотенуз вместо одной сразу).
Я тоже так решил, только мне понадобилось вначале правильно нарисовать, т.к. авторский рисунок немного сбивает с толку "кривыми" прямыми углами )
А мне, как кажется, провести перпендикуляр одновременно к двум отрезкам, выходящих из противоположных вершин одного квадрата, просто невозможно! Ибо это отрезки расходящиеся!
Вывод: Не верите, а вы попробуйте сами провести...!
Решил более длинным способом, через тригонометрию. Если угол между нижним основанием квадрата и отрезком 12 равен α, тогда из равенства сторон квадрата следует уравнение:
12sinα + 9sinα + 3cosα = 12cosα + 9cosα - 3 sinα. Отсюда tgα=3/4, соответственно sinα=3/5; cosα=4/5. Подставив эти значения в любую часть первого уравнения получаем x=15.
класс
Этот способ решения напомнил мне анекдот про гинеколога в автосервисе )
Вы как и все прочие, включая автора видео решили эту задачу не правильно
@@АлександрБаутин-е4ы интриуете :)
@@The14Some1 Если задача была дана в графической форме, как на обложке к видео, то не возможно доказать, что внешняя фигура - квадрат.
А значит нужно искать решения для ромба. Для ромба получается множество решений от корня из 117 до бесконечности, в которое входит и решение для частного случая. Когда Х=15, ромб оказывается квадратом.
Проводим диагональ с нижнего левого угла в верхний правый, получаем диагональ, пересеченную отрезком длиной 3
И 2 прямоугольных треугольника - 9, часть от 3 и часть диагонали - 1й треугольник, 12, часть от 3 и часть диагонали - 2й треугольник.
Причём треугольники подобные т.к. У них смежные углы
Отрезок 3 у нас делится диагональю на 2 части - пусть это будет y и 3-y
Т.к. Треугольники подобные -
То
у/9 = (3-у)/12
12/9у = 3-у
21/9у = 3
У =27/21 = 9/7
Тогда 3-у =12/7
По теореме Пифагора находим части диагонали:
Корень (81+81/49)
Корень (144 + 144/49)
Х= сумма этих выражений делить на корень из 2.
Если достроить аналогичные отрезки из 2х оставшихся углов, получится треугольники со сторонами 12 , 9 и х. Т.е. это египетские треугольники со сторонами 3, 4, 5 с коэффициентом 3, значит сторона х равна 15.
Я сделал аналогично. 2 катета 12 и 9 соответственно и сумма их квадратов 225. Мне показалось это самым простым решением.
Ещё проще. В этом зигзаге отрезки длиной 9 и 12 параллельны. Вот вдоль них и сдвинем этот зигзаг, например, вправо вверх на 9. В результате у нас получится просто прямоугольный треугольник со сторонами 3 и 21, гипотенуза которого равна диагонали квадрата. Эта гипотенуза мгновенно вычисляется по теореме Пифагора - 15 корней из 2. Теперь осталось вспомнить, что диагональ квадрата ровно в корень из 2 раз длиннее стороны квадрата...
Это простая задача, не олимпиадная.
Решение сводится к определению гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 9 и 12 по теореме Пифагора.
Делаем дополнительное построение, на отрезке 12 отмеряем 3 и достраиваем до квадрата в центре со стороной 3. Видим центральную симметрию, проводим аналогию с двумя другими вершинами квадрата, Получаем 4 прямоугольных треугольника со сторонами 9 и 12 и маленький квадрат 3*3 в центре большого. Ответ: 15
Ч тоже так решил.
После того как нарисовали я через пол минуты решил, не вижу ничего сложно в этом
Вы учли, что на картинке ромб, а не квадрат?
@@АлександрБаутин-е4ы
В условии задачи квадрат. А картинка - набросок, сделанный от руки.
@@nestorivanovic1477 скукотища тогда
Почему так сложно? У нас есть диагональ, разбитая на отрезки 12 и 9. О второй диагонали мы знаем, что есть маленький отрезок в 3, при этом один из оставшихся отрезков чуть длиннее, чем другой. Поскольку у нас кввдрат и прямые углы, значения остаются те же - 12 для отрезка побольше и 9 для отрезка поменьше. Поскольку угол прямой, мы можем высчитать х по формуле: а² + b² = x². 81 + 144 = 225. Корень из 225 - 15.
Мне одному кажется что две линии проведённые из противоположных углов квадрата могут быть одновременно перпендикулярны одной линии только если из провести в центр не зависимо от их длины?
Сначала тоже так посчитал, но попробуй построить квадрат и затем начни чертить данное условие, сам всё поймёшь)
Там все нормально
не знаю, может я совсем тупой, но задание абсурдно. У квадрата все углы по 90 градусов и два отрезка выходящие из углов не могут быть соединены перемычкой под углом 90 градусов, это прямая если это куб, а в плоскости это не возможно. Отрезки 12 и 9 должны не из угла выходить, а примыкать к противоположным сторонам, тогда это будет правильно.
Начните с рисования "лесенки" 12-3-9, потом соедините её начало и конец - получите диагональ будущего квадрата. Очевидно, ни одна из сторон 12 и 9 не будет лежать на этой диагонали иди быть ей параллельна. Имея диагональ можно без проблем построить квадрат вокруг неё
объясните мне тупому как можно из углов квадрата провести 2 линии навстречу друг другу, которые соединяются перпендикуляром 3. Из этого следует, что эти линии параллельны. Но в квадрате такое не возможно это одна и та же линия, которая проходит через центр и является диагональю, следовательно сторона х будет равна 14,85 и никак не 15.
Ни одна из этих линий не является диагональю квадрата
@@evgenychernyaev их в принципе невозможно провести из углов квадрата параллельно друг другу.
@@darmovoz очень даже возможно. Нижняя сторона квадрата, отрезок 12 и правый нижний угол квадрата составляют египетский треугольник 15-12-9. Отрезок 3 лежит на продолжении стороны 9 этого треугольника
450 так и остается под корнем, в следующем выражении квадрат гипотенузы будет равен 450, далее 450/2=225, корень из 225=15. Мне кажется действие с разложением корня лишнее.
да, мне тоже показалось, что он усложнил задачу
Можно даже без Пифагора решить - достраиваем в центре квадрат 3х3 от его вершин достраиваем треугольники к углам большого квадрата доказываем подобие 4 треугольников - потом считаем площадь 4 треугольников и квадрата в центре суммируем и берем из нее корень.
Провёл диагональ квадрата, которая разделила 3-х сантиметровый отрезок на отрезки _а и (3-а)._
Составил два уравнения: одно - исходя из подобия треугольников, а второе - по теореме Пифагора.
Всё получилось, однако авторское решение проще и наглядней.
Sergey Vens, Красава, я так же сделал))
И я
И я, но это похоже нерациональный способ.
Аналогично сначала нашёл точку, которой делит диагональ отрезок 3. Просто из подобия треугольников (один угол прямой, второй угол у треугольников равен как вертикальный). Вычислений много, особенно когда посчитал гипотенузы этих треугольников и начинаешь суммировать 2 части диагонали.
Решил по Вашему примеру, еще до предложения автором, и не досмотрел ролик до конца, не интересно было. задачка 6го класса советской школы
Решал менее наглядным способом, введя угол a между любой из двух параллельных линий и горизонталью, тогда x = 21 cos(a) - 3 sin(a) = 21 sin(a) + 3 cos(a) => tg(a) = 3/4, cos(a) = 4/5, sin(a) = 3/5, x = 15
Т. К. Все отрезки смежны под прямым углом, можна разделить самый длинный на две части 3 и 9. В итоге выйдет два равных отрезка по 9 и квадрат 3 на 3 с центром совпадающим центру большого квадрата. Так фигура делится на четыре равных прямоугольных треугольника.
X=√9²+12²
харош
Я так же решил. Лайк.
Это невозможное построение рисунка, не может быть прямого угла между отрезками если они приходят из углов квадрата, либо это не квадрат
Я по принципе симметрии разделила весь большой квадрат на 4 прямоугольных треугольника с катетами 12 и 9, в центре остаётся квадрат 3х3. Считаем площадь квадрата через мелкие фигуры: 4*0,5*12*9+9=225. Значит, сторона квадрата 15.
Вообще в условии задачи изначально заложена ошибка, что там дальше решать. Если это квадрат, то углы, обозначенные прямыми, таковыми быть не могут. Странная задача.
По представленному чертежу задача решения не имеет, так как два условия противоречат друг другу: стороны равны и то как пересекаются типа диагонали в данном параллелограмме. Если изначально это ромб( квадрат частный случай ромба) , то построить внутри него данный чертёж из двух разных прямоугольников у вас никогда не получиться. Если же исходить из внутреннего чертежа прямоугольных треугольников, то у нас будет не ромб, то бишь квадрат, а параллелограмм - у которого стороны не равны.
Вы где увидели что отрезки выходят из углов квадрата под углом 45°?
Точно также как и в этой задаче можно взять отрезки длиной 7 и 8 из углов и отрезок длиной 15 соединяющий их и перпендикулярный к каждому из них.
Подсказка, первые отрезки будут совпадать с верхней и нижней сторонами квадрата, а средний соединит их.
Проводим линию от угла квадрата до края отрезка 3. Получаем два равных треугольника по углу и двум сторонам. Находим его гипотенузу 9×9+12×12= 15
Разве прямые кглы могут образоваться при таком условии задачи?
Вот именно, что нет. Я тоже не понимаю.
@@veo600 получился прямоугольник 24 доли на 18 долей
конечно, это же чешский квадрат
А может ли существовать такая фигура внутри четырехугольника с прямыми углами. Если углы прямые длинные прямые никогда не пересекутся. Пятый постулат Евклида.
Ух ты, Евклида еще никто не приплетал. Вы лучше про него "углам" и "длинным прямым" расскажите, а то они, видимо, не в курсе.
Учёбу закончил давно. Ни одного уравнения и теоремы в голове не осталось. Решил тупо, линейкой и углом от тетрадки😀начертил отрезки 12-3-9 под углами 90. соединил крайние точки диагональю, померял 21,2 разделил 10,6. начертил вторую диагональ, соединил вершины, померял линейкой 15. досмотрел видос, сравнил с ответом автора. Удивился нахрена такое сложное (для меня) решение. Довольный что попал в 14% школьников допил бокал пива, пошел деградировать дальше😉
Вообще ничего не решал. Разделил 9 и 12 на 3, получилось 3 и 4. А дальше к бабке не ходи, что третья сторона 5 ( по условиям задачи, умножаем на три, получаем 15) Египетский треугольник и т.д.
Я ничего не решал, школу забыл давно....пивка попил ,видос глянул ,только подумал ,что сейчас у меня 2 высших образования - норм работа, и всё думаю, когда вся эта лабуда мне пригодится то?😂
В жизни тупо "тетрадка" может оказаться футбольным полем и весом в сотни тонн, уже не так "тупо" померить придётся.
Не знаю как в Чехии, но у нас из разновидностей линейки можно только самую обычную пронести в олимпиаду, но если ловко уметь чертить то думаю одного его достаточной)
@@АфанасийСтепанов-н2ф а она уже пригодилась. Пригодилась, научив более и менее логически мыслить и обучаться)
Можно сократить на извлечение корней - площадь квадрата - это x^2 или диагональ в квадрате и пополам. ну или квадрат гипотенузы в треугольниках в квадрате = 2 квадрата стороны. Сильно удобнее и быстре считать в уме.
Прикол в том, что либо это не квадрат, а просто прямоугольник. Либо углы в середине не равны 90 градусам. Они должны быть чуть меньше 90,что бы это было реально. Ведь это взаимоисключающие условия. Жаль что никто не заметил
Забыли добавить - "либо у вас нелады с геометрией".
Никто не заметил потому что вы пишете какие то странные вещи. Такое условие возможно в квадрате без проблем.
Задача решается гораздо проще и буквально за минуту. Даже не придется искать никакой гипотенузы.
Итак, у нас есть некая ломанная (12-3-9) из одного угла (нижнего левого) в другой угол (верхний правый). Если же общая фигура - квадрат, то аналогичная ломаная будет верна и для другой пары его углов (верхний левый - нижний правый). И вот, как только вы эту вторую ломаную нанесете на рисунок, вы увидите:
1. В центре вашего большого квадрата (сторону которого необходимо найти) нарисовался маленький квадрат со стороной, равной 3.
2. Из углов маленького квадрата (со стороной "3") в углы большого (сторона которого "Х") под углом 90 град. расходятся отрезки, равные "9".
3. Искомая сторона "Х" является гипотенузой, а катеты, соответственно "9" и "9+3".
4. 9 в квадрате + 12 в квадрате = Х в квадрате. Следовательно, Х=15.
Всё.
Мне бросилось в глаза что 9+3=12
Достроил квадрат со стороной 3 в центре. Образовался прямоугольный треугольник со сторонами 12, 9 и x. 144+81=225=15²
👍
Также решил
Только надо доказать, что треугольник прямоугольный со стороной 9. После построения квадрата 3 на 3 в центре дальнейшие заключения не приведены.
Я конечно понимаю, что я ещё школьник, но читаю комментарии взрослых людей и удивляюсь, ведь если просто, немного подумать, то можно понять, что это не капельки не квадрат, два отрезка идут из противоположных углов, а значит между ними физически нельзя поставить перпендикулярный отрезок, для этого они должны быть параллельными, что в квадрате физически невозможно
Максимум такая ситуация была бы возможна с прямоугольником со сторонами x и x+3
Как только провела гипотенузы маленьких треугольничков, сразу захотелось отдельно перерисовать четырехугольник и работать с ним - попробовать найти его диагональ, которая по совместительству является еще и диагональю квадрата.
С чего вы взяли, что перед вами квадрат?
@@АлександрБаутин-е4ы в условии дано
@@ІгорУхань Если на олимпиаде задача была дана в графическом виде, то в ней нет такого условия.
@@АлександрБаутин-е4ытогда она становится абсолютно другой задачей
Сдвинул перемычку вниз-влево так, чтобы отрезки были одинакоаыми (понятно, что они лежат на параллельных прямых, так что двигать перемычку можем куда угодно). Проводим диагональ квадрата, получаем два треугольника со сторонами 3/2 = 1.5 и (12+9)/2 = 10.5. Диагональ этих треугольников -- половина диагонали квадрата, далее работает теорема Пифагора.
Считать не очень удобно из-за дробных значений. По сути -- это то же решение, что и у автора ролика (только он двигал перемычку не к середине квадрата, а к краю). У него, безусловно, намного изящнее и решается в уме.
Нужно просто дорисовать перпендикуляр (отрезок 3) в нижний правый угол квадрата и обозначим его как y. Тогда через теорему Пифагора будет система из двух уравнений 12^2+y^2=x^2 и 9^2+(3+у)^2=х^2. От первого уравнения отнимем второе и получим 6у=54. То есть дорисованая сторона у=9. Подставляем в первое уравнение, находим х. 144+81=х^2. То есть сторона квадрата равна √225=15. Ответ: 15
А на каком основании продолжение отрезка 3 будет пересекаться с вершиной квадрата?
Можно решить через векторы.
a=12, b=3, c=9. Обозначим точки на концах отрезков A,B,C и D. Угол между отрезком длиной 12 и горизонталью обозначим alfa. Получим векторы:
AB=a*cos(alfa)*i+a*sin(alfa),
BC=-b*sin(alfa)*i+b*cos(alfa)*j,
CD=c*cos(alfa)*i+c*sin(alfa)*j.
Где, i, j - единичные векторы.
Суммируя эти вектора получим диагональ квадрата
AD=((a+c)*cos(alfa)-b*sin(alfa))*i+((a+c)*sin(alfa)+b*cos(alfa))*j
Умножаем вектор сам на себя (возводим в квадрат)
AD*AD= ((a+c)*cos(alfa)-b*sin(alfa))^2+((a+c)*sin(alfa)+b*cos(alfa))^2
Первое и второе слагаемые представляют собой квадрат разности и квадрат суммы соответственно, раскрывая их и применяя основное тригонометрическое тождество (sin^2+cos^2=1) получаем:
AD*AD=(a+c)^2+b^2.
С другой стороны
AD*AD= 2*(x^2)
Откуда получаем
x=sqrt(((a+c)^2+b^2)/2)
Круто! Вместо геометрии векторная алгебра. Как метод решения наверно полезно знать.
Делаем ещё проще. Берём линейку, рисуем и меряем. А то корни, квадраты....)))))
Ваш результат не будет точным, потому что будет зависеть от погрешности измерения.
@@АлександрПлавин это была шутка
Ну, диагональ можно нарисовать достаточно точно... Но вот длина у неё будет не целочисленная, и построить линейкой полноценный квадрат по его диагонали может быть не так уж и легко.. :) Ещё и с достаточной точностью.
@@shUVSxIEMl что есть достаточная точность? У нас есть конкретные цифры в задаче, поэтому должен быть конкретный ответ, а не приблизительный.
@@АлександрПлавин Ну, мой ответ тоже полушуточный :) В данном случае сторона квадрата - 15, весьма целое число. При аккуратном построении, наверное, можно даже весьма точно и линейкой отмерить, чего в случае, например, тестов было бы достаточно, т.к. необходимо было бы выбрать один из нескольких вариантов ответа, один из которых был бы 15.
интересные выводы из этой задачи - возьмём кв. с известным размером - так у него отрезок ( назовём его 3 ) не зависит от длинн отрезков 12 и 9 и зависит только от угла из которого они выходят из вершины кв. , отношение отр. 12 к 9 в этом кв. так же пропорциональны этому углу , получается зная угол и сторону кв. можем определить размеры всех отрезков 3 , 9 и 12 , и наоборот !
Если две прямые пепендикулярны третьей, то они параллельны. Как они могут при этом заходит в симметричные углы квадрата одновременно?
это за пределами вашего понимания)
Очень просто. Построй с соблюдением пропорций фигуру, и станет понятно, как.
могут, квадрат то чешский)
X=3*(7*cos(arctg(4/3)) +sin(arctg(4/3)))=15, получилась эта формула, если сначала определить угол поворота этой ломаной линии от горизонта, угол соответственно равен arctg(4/3)
Не дай Бог…
Продолжаем отрезок 9 до 12. Опускаем перпендикуляр на отрезок 12. Получили квадрат 3+3. Углы малого квадрата соединяем с углами большого квадрата. Получаем прямоугольные треугольники со сторонами 9+12. Далее теорема Пифагора. Ответ 15.
Так же развязала:)
Отрезки не параллельны же.
Нужно доказать, что достроенные лучи перпендикулярны имеющимся.
Плюс совсем неочевидно, что длина отрезков на достроенных лучах равна 9.
@@umkamax Доказательство перпендикулярности прямых лежит в условии задачи.
До момента гипотенузы 15 √2 шла таким же путем. А далее формула диагонали квадрата d=x √2, где вместо d подставляем значение гипотенузы 15 √2 и по формуле сразу видно что сторона квадрата равна 15
Немного глиняное решение я придумал, но все равно поделюсь.
Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 3 и 12. Она равна 3√17. Обозначим угол против большего катета за α и посчитаем его.
α = arccos(1/√17)
α = arcsin(12/3√17)
Рассмотрим треугольник со сторонами 3√17, 9 и третьей стороной равной диагонали квадрата.
Найдем косинус угла лежащего против неизвестной стороны.
cos(α + 90°) = cos(arccos(1/√17))cos90°- sin(arcsin(12/3√17))sin90° = -12/3√17.
По теореме косинусов найдем диагональ, получаем, что диагональ равна 15√2, потом так же доводим решение и получаем ответ 15.
Боюсь что теперь люди не знают что такое арксинус и аркосинус, а катангенс это чуть ли не матерное слово.
Спросоня. Девять продлеваем на 6, а 12 на 3. С опусканием высот. Получаем прямоугольник со сторонами 3 и 9. Его середина - середина большого квадрата. А это отступы от вершин 1,5 и 4,5 для перпендикуляров из сторон пересекающихся в середине. Половина гипотенузы равно= корень((15-4.5)^2+1.5^2)=корень(450/4)=15*корень(2)/2.
Вся гипотенуза равна х*корень(2). х*корень(2)=15*корень(2). х=15.
Это тоже самое что и пролонгировать 9 на 3. Квадратик в центре. А значит половина гипотенузы это корень из ((12-1,5)^2+1,5^2). Но я пролонгировал аж до прямоугольника по другим причинам сделав лишний ход немного. 😏🤫
Надо продолжить отрезок 9 см на 3 сантиметра, а на отрезке 12 см поставить точку на 3 см короче, соединить нужные точки, т.о. образуется в центре квадрата ХхХ (со сторонами Х), квадратик 3х3 см, врубив логику и продолжив стороны квадратика 3х3 упрёмся в 2 других угла квадрата ХхХ. Образуется такая звёздочка которая нас не интересует, нас интересуют четыре одинаковых треугольника со сторонами 9, 12 , Х и прямым углом. Ну и 9в квадрате + 12 в квадрате и из этого взять корень = 15
так же решил
Такой же метод пришел в голову - красиво, хоть и менее очевидно)
Такое же решение
а я уже думал что я один такой))) решение проще предложенного)
а если отрезки были бы не 9,12, а 10,11 - как до такого построения дойти? предположу что достроить до точки симметрии на 10.5 какими бы ни были отрезки, а потом по 1.5 от нее во все стороны? Довольно прям не очевидно, или все равно можно прийти минуя оригинальное решение?
Я немного иначе решил задачу. У меня получилось Х=15,025)) Я в середине построил квадратик со сторонами 3. В итоге у меня получилось два одинаковых прямоугольных треугольника по бокам от квадрата. Сам квадрат имеет стороны 3 и 3, а треугольники 3 и 9. Потом провел медианы у прямоугольных треугольников, нашел их по теореме Пифагора, сложил обе медианы которые равны между собой и сторону маленького квадрата(3). И считал что это и есть диагональ большого квадрата. Не уверен что медианы треугольников и отрезок маленького квадратика равный его стороне, который делит его пополам и соединяет медианы этих прямоугольных треугольников лежат на одной прямой и вместе составляют диагональ большого треугольника. Поскольку считал на калькуляторе с округлением ответ получился 15,025. Но не понятно из-за чего эта погрешность получилась. Из-за округления ли из-за того что сам подход не верный.
Сразу захотелось провести диагональ. Дальше немного помучился с подобными прямоугольными треугольниками, которые относятся как 4:3, нашел диагональ, поделил на кор из 2 и получил 15)
Решал также, до прямоугольника не додумался бы просто потому что решение с диагональю пришло секунд за 10 и не настолько сложное чтобы выдумывать.
Я тоже так решал, не догадался из 2х треугольников сделать один. Показалось немного громоздко.
И я так же. Заняло не более 5 минут
у квадрата все стороны равны,поэтому отрезки 12,3 и 9 противоречат начальному условию,лишь диагонали в квадрате пересекаются под прямым углом
Отрезки 12 и 9 не выходят в 45⁰ из угла квадрата, поэтому всё верно
Я тут один кто думает что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны? И с такими условиями это не квадрат а прямоугольник, так как нельзя из одной точки проложить на прямую 2 отрезка под прямым углом
Из какой точки к какой прямой в ходе рассуждения отложено два перпендикулярных отрезка?
@Triam Не один.
О какой точке идёт речь, лучи из противоположных углов квадрата всегда параллельны если углы их наклона к противоположным сторонам равны
@@alexstegostoma кто они совпадают? Углы? Я о том что они могут быть не 45. Чего нельзя сделать с квадратом? Провести параллельные линии под одним и тем же углом к другим параллельным, составляющим стороны квадрата?
@@mikhailkravchenko8143 извиняюсь - смотрел ночью и прощелкал то, что отрезки неравной длины...
Просто провести диагональ, по Пифагору найти её длину, а потом снова по Пифагору найти сторону квадрата, простейшая же
А ну вот, там собсна так и решают..
Спасибо за задачу.
Я решил через построение квадрата со сторонами = 3, продлив отрезок = 9-и. На пересечении диагоналей маленького квадрата лежит и центр большого. Из этого пересечения построил перпендикуляр к одному из отрезков, а также отрезок к углу большого квадрата. Получил прямоугольный треугольник с катетами 10.5 и 1.5 = (3:2). Нашел гипотенузу, удвоенный квадрат которой равен квадрату искомой стороны.
И я так решила
А почему центр квадрата со стороной 3 совпадает с центром большого квадрата?
Я решил через приложенный угол …. Сложно конечно но зато чспомнио
Одно из простейших 'в лоб'. Интересны свойства фигур в целом. Это упрощает...
Люблю "стряхнуть пыль на чердаке"...
Поэтому остановил видео на 45й секунде (как раз когда стало автор завершил чертить условие) и потянулся за листом бумаги. но - не успел...
Смотрим внимательно. Отрезки 12 и 9 в сумме фактически представляют собой катет прямоугольного треугольника. Второй катет - отрезок 3. Корень квадратный из суммы 21 в квадрате и 3 в квадрате даст нам гипотенузу этого треугольника (которая по совместительству" есть диагональю квадрата со стороной Х). 21 - это 3 х 7. 3 в квадрате умноженное на 7 в квадрате плюс 3 в квадрате: 3 в квадрате выносим за скобки, получаем 3 в квадрате х (7 в квадрате + 1 в квадрате). То есть 3 в квадрате х 50. Или 3 в квадрате х (2 х 5 в квадрате). А собственно гипотенуза будет равна 3 х 5 х корень из 2.
"Пифагоровы штаны" дают нам искомый Х: диагональ разделить на корень из 2. То есть (15 х корень из 2) разделить на корень из 2.
Заметьте: не утруждая себя листанием Брадиса или добыванием корней на калькуляторе, мы "в уме" получили ответ - сторона квадрата равняется 15.
PS: Жаль, что в комменты нельзя вставлять иллюстрации - такая симпатюля в GIMP'е получилась...
==Апдейт после досмотра видео==
А куда ты денешься от "Пифагоровых штанов"...
Элементарная задача уровня 7 класса. не выше. Решается в уме за 5 минут
Так-то да. Но я что-то не смог решить с помощью информации для 7-ого класса. Зная Т.Пиф. можно легко решить это уравнение.
@@notgigachad, ну тут уже писали, что главное заметить треугольник 9, 12, 15. А он практически сразу бросился в глаза. Ну а дальше взять 4 таких треугольника и расположить их правильным образом, и сразу увидим данный рисунок.
через тригу посчитал: пусть угол напротив 9 в треугольнике с катетами 3 и 9 мы назовем A, тогда tg(A)=9/3=3 => cos(pi/2+A)=-3/sqrt(10) (по триг.формулам), а B=pi/2+A (назовем его B) - это как раз угол между 12 и гипотенузой(она по пифагору равна sqrt(90)) нашего треугольника, ну а далее по теореме косинусов: наша гипотенуза- 2x^2 = 12^2+90+2*12*sqrt(90)*3/sqrt(10)=450 => x=15
Я решил так. Если внешняя фигура- квадрат, то строится аналогичная конструкция из других углов. Получается внутри квадрат со сторонами 3. И прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12 и гипотенузой в искомый Х. Ответ тот же- 15.
А как вы пришли к выводу, что внешняя фигура крадрат? Ведь картинка весьма толсто намекает, что перед вами ромб.
@@АлександрБаутин-е4ы на пятой секунде прозвучало слово квадрат.
@@andriismirnov6814 Посмотрев видео, вы лишили себя чудной головоломки с ромбом)))) 😆😆😆
@@АлександрБаутин-е4ы в общем да, угол не обозначен
@@Hecondsand Как же всё таки хорошо, когда аватарка, никнейм и содержание постов органично гармонируют друг с другом
0:53 задача с лесенкой) получается диагональ квадрата, поэтому сразу приравниваем сумму квадратов сторон квадрата и сумму составляющих этой лестницы:
x²+x²=(12+9)²+3²
2x²=21²+3²
2x²=(3*7)²+3²
2x²=3²*(7²+1)
2x²=9*50
2x²=450
x²=225
x=15
Сходу попробую решить. Значения 12 и 9 по отдельсти в принципе не важны, т.к. эти отрезки можно продолжить дальше и получить дае параллельные прямые с равными длинными и с перемычкой длиной 3 между ними. Понятно, что задача инвариантна к положению этой перемычки. В таком случае давайте сместим перемычку за квадрат, так, чтобы она касалась его нижнего левого угла. Образуется длинный прямоугольный треугольник совместно с диагональю квадрата со сторонами 3, (9+12)=21 и х*sqrt(2). Ну и по теореме Пифагора возведем все в квадрат и приравняем, получим, что х^2 = (9+441)/2 = 225. Или х = 15.
Супер, классное решение
Юрий Орлов, "сходу" - лол))) понтовик хренов, насколько же ты жалок)
@@mikhailmalyshev5338 ну "жалок" как раз не он.
@Сергей кайфуешь от этого запаха?
А можно так провести. Что бы 12,3,9 и прямые углы. Мне кажется линии в углы не зайдут.
А вы попробуйте, если "не зайдут", тогда решать тем более не стоит.
Эту задачу можно решить гораздо проще, ведь недаром в условии 12-3=9. Надо построить прямоугольный треугольник с катетами 12 и 9. А потом приставить к этому треугольнику такой же треугольник катет на катет. то есть катету с длинной 12, приставим катет с длиной 9. 12-9 как раз будет 3, то ест средный отрезокю (к сожалению не могу всатвить риссунок)
Получим ту же ломанную, что и в задаче. и даже не надо вычилять диагональ квадрата. и так очевидно, что сторона квадрата 15, то есть, это будет гипотенуза прямоугольного треугольника с катетамы 12 и 9.
Остроумно, но с точки зрения геометрии не верно. Если из условия задачи очевиден ответ, то задача скорее всего в его обосновании.
Нет ни теорем, ни аксиом позволяющих произвольно подставлять треугольники друг к другу и делать на этом основании выводы)
Не читайте, что вам там ответили - ваше решение безусловно лучшее.
Кстати, его можно "замкнуть" - сложить из 4 треугольников со сторонами 9,12,15 и квадрата со стороной 3 квадрат со стороной 15.
В этой задачке есть такой тупейший лобовой способ - опустить перпендикуляры из концов отрезка 3 на противоположные стороны. Тогда x = 9sin(α)+12sin(α)-3cos(α); x = 9cos(α)+12cos(α)+3sin(α); α - угол отрезков с одной из сторон (при выборе другой стороны меняются местами косинус и синус). Отсюда tg(α)=4/3; sin(α)=4/5; cos(α)=3/5; если подставить, x = 15;
Я всю эту байду написал, чтобы было видно, что там получаются "египетские" треугольники. Ваше решение автоматически строит квадрат на основе такого треугольника. Прекрасная находка.
@@constantinfedorov2307 спасибо за теплый отзыв. Что касается моему решению, ведь никто не запрещает в геометрии строить дополнительные линии и фигуры.
Ещё раз спасибо!
@@constantinfedorov2307 Согласен, решение верное, но не согласен, что его можно замкнуть на 4 треугольника, сомкнув на 4 треугольника мы не получим квадрат, попробуйте представить, надеюсь вы со мной согласны. Разница сторон будет равна 6.
@@Scretch235 прочтите внимательнее ☺"его можно "замкнуть" - сложить из 4 треугольников со сторонами 9,12,15 и квадрата со стороной 3 квадрат со стороной 15."
я как сказанно на второй минуте, сразу же дорисовал зеленые линии и с помощью них таки пришёл к ответу: конструкция внутри квадрата это трапеция(отрезки длин 9 и 12 параллельны, так как оба перпендикулярны отрезку длины 3), с помощью теоремы Пифагора можно найти зеленые линии они же боковые стороны трапеции(это корни из 90 и 153), и тогда мы уже имеем длины всех сторон трапеции и одну из диагоналей, а надо найти другую, ну явно же есть какая-то формула для ее(диагонали) нахождения, погуглив я нашел эту формулу:
d1^2 + d2^2 = 2*a*b + c^2 + d^2
где d1 и d2 диагонали, a и b основания, а c и d боковые стороны
тогда:
x+3^2=2*12*9+90+153
,где x -- квадрат диагонали, решив уравнение, находим x=450, тогда по теореме Пифагора:
450 = 2*a^2
где a есть искомая длина стороны квадрата, она равна 15
Фу, слава богу без интегралов обошлось.
@@ЮрийВасюков-х6х ну это то решение, которое пришло первым мне в голову
Я никак не могу понять, а как в центре между 9 и 3 и между 12 и 3 получились прямые углы, если это квадрат?
а что мешает? отрезки 12 и 9 не под 45 градусов ведь в квадрате проведены
Решил так.
Короткий катет подвинул в центр квадрата. Общая длина 12+9 осталась равной 10.5+10.5.
Биссектриса квадрата делит короткий катет поровну на 1.5 и 1.5. Находим гипотенузу треугольника 1.5**2+10.5**2=√112.5
Эта гипотенуза является катетом прямоугольного треугольника с искомой гипотезой.
х**2=√112.5**2+√112.5**2
х=√225
Условия задачи некорректны! Если отрезок 3 под прямыми углами к 12 и 9, то это значит что 9 и 12 параллельны и не могут выходить из диагонально противоположных углов квадрата
А если всю конструкцию чуть провернуть по часовой стрелке?
Ясно же было сказано что из углов квадрата выходит отрезок и входит. Тоже сразу заметил некоорректность условия
Вот хоть кто-то написал что-то адекватное!!! Меня сразу смутило условие задачи. А все кинулись решать её. Я даже не стал дальше смотреть решение.
В квадрате прямые углы между отрезками выходящими с углов возможно только между диагоналями
Если продлить обе линии до пересечения с катетами, то они будут равны по 21, образуют параллелограмм с вы сотой 3, а его гипотенуза будет равна гипотенузе квадрата. Отсюда 21×21+ 3х3 = 450, 450:2 =225,0 это сторона одного квадрата , а корень из него равен 15.. Ответ совпал.
Это НЕ квадрат, а прямоугольник. Ты не построишь такую фигуру с внутренними ПРЯМЫМИ углами и ВНЕШНИМ квадратом.
И эти "учителя" у нас в школах учат?
Поражают 1,3 инвалидов, которые не замечают, что рисунок НЕ правильный.
"И эти "учителя" у нас в школах учат?" - судя по вашему комментарию, чему вас можно научить?
Достроим наш квадрат.
Верхнюю часть перекинем и пристроим с права.
Получим прямоугольный "треуголник" с ломанными сторонами.
Если сломанные стороны "выпрямим" прямоугольниками 9*3.
То получим прямоуголный треугольник состоронами 12+9-3=18 и 12+9+3=24.
Жиагональ этого треугольника =2х.
Ну и по теореме Пифагора
(2х)^2=18^2+24^2=324±576=900.
2х=30
Х=15
если там два угла 90 градусов то никак в два угла квадрата две линии эти не попадут.
это за пределами вашего понимания)
Из двух противоположных углов квадрата невозможно провести параллельные прямые, и уж тем более соединить их перпендикуляром
Согласен,это- блуд в геометрии.
Сначала, через подобие треугольников нашёл точку пересечения диагонали квадрата со стороной равной 3, потом нашёл длины отрезной от углов квадрата до этой точки, сложил их, получил длину диагонали, и затем, по теореме косинусов, разделил на корень из 2:) сложнее, но результат тот же
Я так же решил. Не сложнее.
ЗЫ. Сомневаюсь, что кто-то стал строить треугольники, как показал автор в самом начале.
Можно просто провести диагональ, разбить сторону 3 на x и 3-x, рассмотреть подобные прямоугольные треугольники, откуда получим значение x...
Дальше проще...
Есть другое решение. Если перечертить рисунок с соблюдением пропорций известных размеров, то сразу станет видно, что центральный отрезок, равный 3, можно продолжить в правый нижний угол. Величину нового отрезка обозначаем за а. Записываем систему из двух уравнений Пифагора: 1) 9^2+(3+а)^2=х^2; 2) а^2+12^2=х^2. Приравниваем друг к другу, выбрасывая иксы. Тогда а=9. Отсюда 9^2+(3+9)^2=х^2. Ну и находим х.
В математике так нельзя. Сначала нужно доказать, что этот отрезок придет ровно в угол.
Ну и что-то весёленькое.
- Вращаем ломаную внутри квадрата относительно центра, например, вправо. До занятия следующих вершин. Очевидно что верхняя внутренняя точка прямого угла заняла место нижней. При повороье на 90. Внутренний квадратик со стороной 3 прокрутился тоже на 90. Значит изначально из нижней точки прямоугольной к правому нижнему углу квадрата линия к 12 есть высота равная 9. Х=15 как гипотенуза. Снова достаточно показать что квадратик в центре при пролонгации 9 на 3,и опускании перпендикуляра на 12, расположен в центре. Это может быть даже проще чем прохождение через две его вершины каждой из прямых исходящих из вершин большого квадрата. Однако многих смущает вращение как элемент.
Меня вращение не смущает.
Но некоторые зеркалят, не понимая, что внутрений квадратик 3х3 повернут не на 45° и при зеркалке углы не попадают друг в друга.
Правильно решил секунд за 20.
А помог мне в этом просмотренный однажды ролик Бориса Трушина. Тоже про лестницу и прямоугольный треугольник
То же самое, Борис рулит.
Прошел12, и, не сворачивая, проскакал еще 9 (они параллельны). А уж потом завернул за прямой угол на 3, и пришел в ту же точку. Дальше 2 Пифагора с равными гипотенузами: ((12+9)*2+3*2)/2 и извлекаем корешок. Итого: 21*2+9=450 (квадрат гипотенуз), лупим пополам ( у квадрата все стороны равны), остается 225 на квадрат катета, и выкапываем квадратный корень. Итого:15 на сторону. Вот такой квадратик получился!)))😀
Как две переллельные прямые из углов квадрата выходят? Непонятно. Они должны совпадать и не может быть между ними 3 еденицы.
может
я считал угол прямоугольного треугольника со сторонами 12-3-и отрезок соединящий нижний левый угол и другой конец отрезка 3 (один из двух отрезков которые в начале нарисовали), к полученному углу прибавляем 90°, получаем что известны две стороны треугольника и угол между ними, противоположная сторона угла и есть та самая искомая диагональ, далее применяем теорему косинусов и вычисляем диагональ.
а это реально возможно, что бы они были прямоугольные?!
Я долго искал этот комментарий. Тоже сижу и думаю, как из противоположных углов квадрата можно провести две параллельные прямые, если диагонали квадрата пересекаются под прямым углом?
Пошел длинным путем, также провел диагональ, через тангенс одинаковых углов маленьких треугольников нашел длину прилежащих катетов, дальше по теореме Пифагора нашел гипотенузы маленьких треугольников, а потом и сторону квадрата также по этой же теореме. Тоже получил правильный ответ.
Я просто посчитал гипотенузу х прямоугольного треугольника, где один катет равен 9, другой 12.
х = √9² + 12²
х = 15
не ожидал что получу правильный ответ))
Не правильно
@@АлександрБаутин-е4ы Почему? Я так же считал. Это вытекает из симметрии квадрата. Если проведём такой же зигзаг из левого верхнего угла в правый нижний, то получим два треугольника со сторонами 9 и 12.
@@alexeyterentev1828 Да не, всё правильно.
Я просто не смотрел видео, а по картинке совсем не очевидно, что внешняя фигура квадрат, а не ромб. В общем, если задача на олимпиаде была дана как на картинке, то это жесть. Для ромба получается множество решений от корня из 117 до бесконечности.
@@АлександрБаутин-е4ы значит можно выдать два ответа
Вычисление корня из 450 - лишнее действие, т.к. вычисляем длину стороны, а не диагонали-гипотенузы. Так же, как и выносить отрезки за рамки квадрата - лишнее. Переносим отрезок 3 в вершину квадрата и рисуем прямую через отрезок 12 до этой вершины. А дальше арифметика. Да, момент озарения был приятным))
Плёвая задачка. Всего-то нужно достроить экватор, нашу звездную систему, Млечный Путь, Ланиакею и показать насколько не важна жизнь и эта задача. Ответ обязательно получится 15. Чистая математика
ну вообще-то в ваших расчетах получается 42.
@@alk2345 Ну так 42 подели на 3 (Млечный Путь, Экватор и нашу звездную систему) и добавь Ланиакею (1) x = 42\3 + 1 и выйдет x = 15!
@@Liero2007 Даже если прибавить полотенце, все равно будет 42
Одна строка.
Рисуем в центре квадратик со стороной три. Под углом 45 градусов соединяя с вершинами. Немного поворачиваем к имеющейся диспозиции. Линии от вершин большого проходят через четыре точки изначально. А здесь - через 2. Это справедливо эквивалентно для всех вершин. Значит линия из правого угла большого снизу проходит через две точки. Она равна 9.
x=корень(12^2+9^2)=15.
Рисуйте поточнее.
- Я тормознул сначала и с другими аномальными методами.
Неплохо, но недостаточно. 😏
Как могло получиться так, чтобы две параллельные линии, выходящие из противоположных вершин квадрата, были смещены? Почему они не сходятся в одной точке? Разве такое может быть?
Конечно. Представьте на плоскости даны две точки. Через них можно провести сколько угодно параллельных прямых.
Easy.
Внутренний "зигзаг" достраиваем до прямоугольника со сторонами
3 и (9+12).
Диагональ прямоугольника (обоз. "a"), так же будет являться диагональю квадрата.
По теореме Пифагора а^2=3^2+21^2 a^2=450
Перейдем к квадрату, по тому же Пифагору а^2=x^2+x^2, т.е. 2*x^2=450 x^2=225
x=15
обозначим нижний конец отрезка 12 - "А", угол между отрезками 12 и 3 - "В", угол между отрезками 3 и 9 - "С", Верний конец отрезка 9 - "Д". Сперва зацепился за то, что 9+3=12. пришла в голову такая мысль, а что если от отрезок СВ продолжить вниз и поставить на полученной прямой точку Е, так, чтобы СЕ=12. Тогда ВЕ=9. Т.к. отрезки 12 и 3 перпендикулярны, то АВ перпендикулярен СЕ, значит угол АВЕ=90гр. Таким образом треугольники АВЕ и ЕСД равны (у обоих катеты равны 9 и 12). Значит гипотенузы АЕ и ЕД тоже равны друг другу. Т.к. АД - это диагональ нашего квадрата, то АЕ=Х=ЕД или 12*12+9*9=Х*Х -> 144+81=225 -> X=корень из 225 =15
В задаче не сказано, что диагональ будет делить основание 3см по полам, соответсвенно, без доказательства, задача решена неверно, оценка 2
@@proofman7637 так она и не делит основание пополам, а в соотношении 3:4
Что бы решить в уме, пришлось напрячься! А решал «через огороды»!
Сначала представил что можно дорисовать со стороны линии 12 квадрат со сторонами 3х3. Тогда получается слева снизу такой же прямоугольник, что справа сверху катеты 9х3. Если всё одинакова, тогда диагональ большого искомого квадрата со сторонами Х будет проходить через центр малого квадрата со сторонами 3х3.
Тогда диагональ искомого квадрата это сумма двух гипотенуз одинаковых прямоугольных треугольников со сторонами 9+1.5 и 1,5. (Где 1,5 это расстояние от центра до сторон малого квадрата)
Далее арифметика;
2Х^2=4(10,5^2+1,5^2)
Х^2=2*112,5
Х=225^1/2
Х=15
Это очень загоно, но я решал так!
Задача красивая.
Надо достроить квадрат со стороной 3, линия 9 продлится и станет 12, а 12 после пересечения со стороной 3 станет 9.
Равенство углов и сторон даст нам замечательную возможность достроить две линии из верхнего левого угла большого квадрата и правого нижнего. Нетрудно доказать, что они тоже будут 9 и 12 и совпадут со сторонами центрального прямоугольника. А сторона большого квадрата станет основанием каждого из прямоугольных треугольников с катетами 9 и 12. Вот и Пифагорова тройка: 9, 12, 15.
Все, х=15.
Вот-вот.
Забавно конечно, но, здесь отрезок длина которого равняется 3 присутствует для отвлечения внимания. В итоге если проекционно сопоставить отрезки то 12 и 9 будут являться диагональю и соответственно гипотенузой одновременно 2-х треугольников. То есть 12+9
При этом 12 в кв = 144, 9 в кв =81 сумма = 225, корень суммы = 15
144+81=225
✓225=15
Бредятина.
У отрезка длиною 3, по отношению к отрезкам 9 и 12, не может быть 90°, соответственно это не квадрат.
Почти таким же. Пошёл напролом через первый способ на которых ты намекал. Диагональ проходит через середину перпендикуляра. Каждый малый катет выходит по 1,5. Нашёл гиппотенузу каждого треугольника, сложил. Получил диагональ. Ну а дальше по теорема Пифагора с одинаковыми катетами. В принципе ответ не сильно отличается
Пошел этим же путем и ответ получился 14,69, что вполне округляется до 15. А может более точный ответ все-таки не 15, а 14,69? ;-)
а теперь нарисуй квадрат 15х15 и попробуй в нём из противоположных углов провести параллельные отрезки 9 и 12
@@AEGLXATTAB я не округлял и шаманил в калькуляторе. Вышло чуть больше 15
А мне кажется - невозможно построить два таких отрезка с прямыми углами в квадрате именно...
А я вот взял и построил с соблюдением пропорций. Всё прекрасно вписывается в квадрат со стороной 15.