한 문자에 대한 이차방정식으로 간단히 풀 수 있습니다. xy=15에서 y=15/x, y²=225/x² 이때 y²을 x²-y²=16에 대입하면 x²-(225/x²)-16=0 x²=t라 두고 t에 대한 이차방정식으로 정리하면 t²-16t-225=0 (t+9)(t-25)=(x²+9)(x²-25)=0 x=±5 or ±3i 해를 각각 xy=15에 대입하면 x=5 -> y=3, x+y=8 x=-5 -> y=-3, x+y=-8 x=3i -> y=-5i, x+y=-2i x=-3i -> y=5i, x+y=2i 답: x+y=±8 or x+y=±2i
xy=15 라길래 처음엔 서로 곱해서 15 나오는건 3이랑 5 밖에 없으니 그거 둘을 더한 값인 8 아닌가 했었는데 밑에 나같은 놈을 저격한건지 응 아니에요 보고 얌전히 식 써서 다시 풀어봤습니다ㅋㅋㅋ 이거 생각보다 어렵네요ㅋㅋㅋㅋ고등학교 졸업한지 10년 다되가서 머리가 굳은건지 푸는데 좀 힘들었습니다ㅋㅋㅋ 댓글들을 보니 다양한 식들이 있던데 다들 굉장하시네요
제가 잘못 푼 것일 수 있지만, 위의 영상대로 x+y의 값을 구한 후, y=15/x---ㄱ x²-y²=16에 ㄱ 대입 x²-225/x²=16 x²-16x²-225=0 x = -3i or 3i 등등---ㄴ ㄴ을 ㄱ에 대입해 각 x의 값에 대응되는 y값과 x+y의 값을 구하고, x,y를 근으로 하는 이차방적식을 근과 계수의 관계로 세우면, t^2 - (x+y)t + 15 = 0, t=x or y t= [x+y+-√{(x+y)²-225}]/2=x or y (실제 연산 시, 짝수 근의 공식 사용) 각 x의 값과 그에 대응되는 y의 값을 대입해서 성립하는 x,y의 값을 구해보면 x=+-5, y=+-3으로 x+y=+-8 이 나오지 않나요?
풀이과정에서 4번째줄에서 5번째줄로 넘어가는 계산과정을 좀 더 간략히 하자면 (x²+y²)²-30²=16² 이므로 직각삼각형의 빗변이 (x²+y²) 밑변과 높이가 30,16과 같은 말이고, 닮음을 이용한 계산에 의해 15²+8²=17² 따라서 이의 두배인 34가 빗변이되므로 (x²+y²)² = 34² 이하생략
대충 xy=15니까 y=15/x, y²=225/x²이므로 x²-225/x²=t-225/t=16, t²-16t-225=0이라는 2차방정식꼴로 정리할 수 있습니다. 이 방정식의 해는 8+-sqrt(64+225)=8+-sqrt(289)이므로 t=8+-sqrt(289), x=+-sqrt(8+-sqrt(289))입니다. 또는 x²-y²=(x+y)(x+y)이므로 제곱하면 (x²+y²+2xy)(x²+y²-2xy)꼴로 정리되므로 xy값을 이용하면 x²+y²에 대한 2차방정식을 만들 수 있고 이걸 풀면 (x+y)²=x²+y²+2xy라는 것을 이용해 x+y를 구할 수 있습니다.
x^2=y^2+16 x^2y^2=225 y^2(y^2+16)=225 y^4+16y^2-225=0 (y^2-9)(y^2+25)=0 y=3 or y=-3 or y=5i or y=-5i x=5 or x=-5 or x=3i or x=-3i (x, y)=(5, 3) or (-5, -3) or (3i, -5i) or (-3i, 5i) x+y=8 or -8 or -2i or 2i
chatgpt 에 물어보니 아래와 같이 그대로 풀어 버리네요.. x^2 - y^2 = 16 xy = 15 먼저 y에 대한 방정식 2를 풀 수 있습니다. y = 15/x 이제 y에 대한 이 식을 방정식 1로 대체할 수 있습니다. x^2 - (15/x)^2 = 16 방정식 1을 단순화합니다. x^2 - 225/x^2 = 16 x^2를 곱하여 분수를 제거합니다. x^4 - 225 = 16x^2 방정식 재정렬: x^4 - 16x^2 - 225 = 0 이제 이 이차 방정식을 x^2로 풀 수 있습니다. u = x^2라고 하자: u^2 - 16u - 225 = 0 다음은 인수분해할 수 있는 이차 방정식입니다. (u - 25)(u + 9) = 0 따라서 u = 25 또는 u = -9입니다. u = x^2이므로 두 가지 가능성이 있습니다. x^2 = 25 x = ±5 x^2 = -9 이 방정식에는 실해가 없지만 복잡한 해가 있습니다. x = ±3i(여기서 i는 허수 단위임). 이제 x에 대한 잠재적 값이 있으므로 방정식 2를 사용하여 y의 해당 값을 찾아보겠습니다. x = 5인 경우: y = 15/5 = 3 x = -5인 경우: y = 15/(-5) = -3 x = 3i인 경우: y = 15/(3i) = -5i x = -3i인 경우: y = 15/(-3i) = 5i 이제 각 경우에 대한 합계 x + y를 찾을 수 있습니다. (x = 5, y = 3): x + y = 5 + 3 = 8 (x = -5, y = -3): x + y = -5 + (-3) = -8 (x = 3i, y = -5i): x + y = 3i + (-5i) = -2i (x = -3i, y = 5i): x + y = -3i + 5i = 2i 따라서 x + y의 가능한 값은 x와 y의 값에 따라 8, -8, -2i, 2i입니다. 이 연립방정식을 차근차근 풀어봅시다. 주어진 방정식: x^2 - y^2 = 16 xy = 15 먼저 y에 대한 방정식 2를 풀 수 있습니다. y = 15/x 이제 y에 대한 이 식을 방정식 1로 대체할 수 있습니다. x^2 - (15/x)^2 = 16 방정식 1을 단순화합니다. x^2 - 225/x^2 = 16 x^2를 곱하여 분수를 제거합니다. x^4 - 225 = 16x^2 방정식 재정렬: x^4 - 16x^2 - 225 = 0 이제 이 이차 방정식을 x^2로 풀 수 있습니다. u = x^2라고 하자: u^2 - 16u - 225 = 0 다음은 인수분해할 수 있는 이차 방정식입니다. (u - 25)(u + 9) = 0 따라서 u = 25 또는 u = -9입니다. u = x^2이므로 두 가지 가능성이 있습니다. x^2 = 25 x = ±5 x^2 = -9 이 방정식에는 실해가 없지만 복잡한 해가 있습니다. x = ±3i(여기서 i는 허수 단위임). 이제 x에 대한 잠재적 값이 있으므로 방정식 2를 사용하여 y의 해당 값을 찾아보겠습니다. x = 5인 경우: y = 15/5 = 3 x = -5인 경우: y = 15/(-5) = -3 x = 3i인 경우: y = 15/(3i) = -5i x = -3i인 경우: y = 15/(-3i) = 5i 이제 각 경우에 대한 합계 x + y를 찾을 수 있습니다. (x = 5, y = 3): x + y = 5 + 3 = 8 (x = -5, y = -3): x + y = -5 + (-3) = -8 (x = 3i, y = -5i): x + y = 3i + (-5i) = -2i (x = -3i, y = 5i): x + y = -3i + 5i = 2i 따라서 x + y의 가능한 값은 x와 y의 값에 따라 8, -8, -2i, 2i입니다. 이 연립방정식을 차근차근 풀어봅시다. 주어진 방정식: x^2 - y^2 = 16 xy = 15 먼저 y에 대한 방정식 2를 풀 수 있습니다. y = 15/x 이제 y에 대한 이 식을 방정식 1로 대체할 수 있습니다. x^2 - (15/x)^2 = 16 방정식 1을 단순화합니다. x^2 - 225/x^2 = 16 x^2를 곱하여 분수를 제거합니다. x^4 - 225 = 16x^2 방정식 재정렬: x^4 - 16x^2 - 225 = 0 이제 이 이차 방정식을 x^2로 풀 수 있습니다. u = x^2라고 하자: u^2 - 16u - 225 = 0 다음은 인수분해할 수 있는 이차 방정식입니다. (u - 25)(u + 9) = 0 따라서 u = 25 또는 u = -9입니다. u = x^2이므로 두 가지 가능성이 있습니다. x^2 = 25 x = ±5 x^2 = -9 이 방정식에는 실해가 없지만 복잡한 해가 있습니다. x = ±3i(여기서 i는 허수 단위임). 이제 x에 대한 잠재적 값이 있으므로 방정식 2를 사용하여 y의 해당 값을 찾아보겠습니다. x = 5인 경우: y = 15/5 = 3 x = -5인 경우: y = 15/(-5) = -3 x = 3i인 경우: y = 15/(3i) = -5i x = -3i인 경우: y = 15/(-3i) = 5i 이제 각 경우에 대한 합계 x + y를 찾을 수 있습니다. (x = 5, y = 3): x + y = 5 + 3 = 8 (x = -5, y = -3): x + y = -5 + (-3) = -8 (x = 3i, y = -5i): x + y = 3i + (-5i) = -2i (x = -3i, y = 5i): x + y = -3i + 5i = 2i 따라서 x + y의 가능한 값은 x와 y의 값에 따라 8, -8, -2i, 2i입니다. 이 연립방정식을 차근차근 풀어봅시다. 주어진 방정식: x^2 - y^2 = 16 xy = 15 먼저 y에 대한 방정식 2를 풀 수 있습니다. y = 15/x 이제 y에 대한 이 식을 방정식 1로 대체할 수 있습니다. x^2 - (15/x)^2 = 16 방정식 1을 단순화합니다. x^2 - 225/x^2 = 16 x^2를 곱하여 분수를 제거합니다. x^4 - 225 = 16x^2 방정식 재정렬: x^4 - 16x^2 - 225 = 0 이제 이 이차 방정식을 x^2로 풀 수 있습니다. u = x^2라고 하자: u^2 - 16u - 225 = 0 다음은 인수분해할 수 있는 이차 방정식입니다. (u - 25)(u + 9) = 0 따라서 u = 25 또는 u = -9입니다. u = x^2이므로 두 가지 가능성이 있습니다. x^2 = 25 x = ±5 x^2 = -9 이 방정식에는 실해가 없지만 복잡한 해가 있습니다. x = ±3i(여기서 i는 허수 단위임). 이제 x에 대한 잠재적 값이 있으므로 방정식 2를 사용하여 y의 해당 값을 찾아보겠습니다. x = 5인 경우: y = 15/5 = 3 x = -5인 경우: y = 15/(-5) = -3 x = 3i인 경우: y = 15/(3i) = -5i x = -3i인 경우: y = 15/(-3i) = 5i 이제 각 경우에 대한 합계 x + y를 찾을 수 있습니다. (x = 5, y = 3): x + y = 5 + 3 = 8 (x = -5, y = -3): x + y = -5 + (-3) = -8 (x = 3i, y = -5i): x + y = 3i + (-5i) = -2i (x = -3i, y = 5i): x + y = -3i
이차방정식 두개의 연립방정식이 해가 네 쌍까지 나올 수 있는 이유는 문자 하나를 소거하려면 대입법을 사용해야하고 이를 이용하면 사차방정식의 형태로 나오기 때문입니다. 혹은 인수분해가 되는 이차식이 포함된 경우 인수분해를 해서 대입을 했을 때 일차식 두개를 대입할 수 있기 때문에 이차식 두개가 다시 나오게 되는거죠. 중근이 있다면 해가 4쌍보다 적게 나오겠지만 중근이 없다면 네쌍까지 나올 수 있습니다. 이는 고등학교 1학년 1학기에 배우는 내용인데 대학교에선 아무래도 다루진 않겠죠😊
사실 본 풀이는 (x+y)(x-y)=16 이라는 식의 양변을 제곱하는 과정에서 무연근의 등장 가능성이 있기 때문에 {(x+y)(x-y)= -16일 가능성} 비슷한 유형에서 같은 풀이방식을 사용한다면 틀릴 가능성이 존재하는 다소 위험한 풀이입니다. 수학에서 새로운 풀이를 찾는 것도 중요하나 올림피아드 같은 대회에서는 안정적이면서도 기초적인, 미지수를 하나로 줄이는 방법을 사용하는 것이 맞다고 봅니다.
전 주어진 두 식 보고 바로 x+jy의 제곱꼴로 생각해서, 16+30j의 제곱근을 찾았습니다. 이때 16+30j의 절댓값이 34이므로 (피타고라스 수 8,15,17 이용) x^2+y^2=34이고, 이것과 주어진 조건식 중 하나를 연립하면 (5,3)또는 (-5,-3)을 얻을수 있습니다.
(x+yi)^2=(x^2-y^2)+2xyi=16+30i=(5+3i)^2 와 (x-yi)^2=(x^2-y^2)-2xyi=16-30i=(5-3i)^2 로부터 x+yi=+-(5+3i) x-yi=+-(5-3i) 를 얻고 x+yi=+-(5+3i) y+xi=(x-yi)i=+-(5-3i)i=+-(3+5i) 를 얻을 수 있습니다. 이 두 식을 서로 더하여 (1+i)(x+y)=(x+yi)+(y+xi) 으로부터 가능한 x+y값은 +-8과 +-2i뿐임을 확인 할 수 있습니다. 그리고 각각의 경우에 대한 x,y의 존재성도 쉽게 보일 수 있고요.
@@cakemath 사차방정식을 전개하면 x⁴ - 16x² - 225 = 0이 나오는데 여기에 x²를 K로 치환해서 K² - 16K - 225 = 0, 여기서 K를 풀면 (K -25)(K+9) = 0, K = 25 / -9가 나와서 x = ±5 or ±3i, => y = ±3, ±5i가 나와서 x + y = ±8 or ±2i 이렇게 나오는 풀이가 더 쉬울것 같네요.!
x²-y² = 16 의 좌항을 (x+y)(x-y) 로 바꾸고 각각 x+y = a, x-y = b 로 놓고 a+b = 2x로 놔서 a, b를 갖고 곱해보고 루트 씌워보고 해봤는데 뭔갈 잘못했는지 식이 전개가 되는 듯하다가 마지막엔 그냥 똑같은 x²-y² = 16 원점으로 돌아와버리네요 ㅋㅋ 그냥 각각에 대해서 제곱을 다 때려야 하는군요. 고등학교 졸업한 게 워낙 오래전이라~
그냥 y =it로 두고 x^2 + t^2 = 16 xt = -15i 연립해서 (x + t)^2 = 16 - 30i (x - t)^2 = 16 + 30i 그러면 x-t = 3i + 5 x+t = -3i + 5 x = -3i t = 5 y = 5i 또는 x= 5 t= -3i y= 3 하면 답은 2i or 8 로 끝인가요. 아니면 xy가 실수니까 x와 y의 완전 실수이거나 완전 허수이거나 해야하니 1) x = a, y=b 5^2-3^2 a = 5 y = 3 2) x = ai, y = bi (-3i)^2 - (5i)^2 a=-3, b=5 제곱있으니까 x+y= +-2i or +-8 25-9=16 만보이면 풀리네요😊 일단 보기전에 풀어봅니다.
복소수 루트씌우기 귀찮으니 울프람알파를 돌리면 x+iy+x-iy=10,6i,-10,-6i의 4가지 즉 x가 5,-5,3i,-3i가 나오고 이때 y는 3,-3,-5i,5i 즉 x+y는 8,-8,-2i,2i가 나오니 푸는데 성공은 하신것 같네요. 다만 sqrt(16+30i)를 어떻게 구하느냐에서 막히신듯합니다
현역 허수 고3의 풀이 몇 가지입니다 1. xy=15, x^2 - y^2 =16이라는 점에서 x와 y가 0이 아니므로 y=15/x로 놓고 풀 수 있습니다. 그럼 x^4-16x^2-225=0이 되는데, 225=3^2x5^2이므로 인수분해해주면 (X^2-25)(x^2+9)=0이 됩니다. 실수는 사칙연산에 대해 닫혀 있으므로 x=±3i을 근으로 선택합니다. (x,y)=(3i,-5i) 또는 (x,y)=(-3i,5i)이므로 x+y의 값은 ±2i입니다. 2. x=r1EXP(ai), y=r2EXP(bi)라고 하면, xy=r1r2EXP(ai+bi)이므로, a+b=2π이므로, x=r1(cosa+isina), y=r2(cosa-isina)이므로, x+y=(r1+r2)cosa+(r1-r2)isina, x-y=(r1-r2)cosa+(r1+r2)isina입니다. 편의상 r1+r2=c, r1-r2=d라고 두겠습니다. x^2-y^2=(ccosa+disina)(dcosa+cisina)이므로, 이는 cdcos^2a+id^2sinacosa+ic^2sinacosa-cdsin^2a입니다. 그런데 저 값은 실수이므로 c^2+d^2=0 또는 sinacosa=0이여야 합니다. 그런데 c와 d는 실수이고, r1r2=15이므로 c^2+d^2=0이 될 수 없습니다. 따라서 sinacosa=0입니다. 그런데 sina=0이면 x가 복소수라는 조건에 위배되므로 cosa=0입니다. 자연스럽게 cosb=0이며, (sina,sinb)=(1,-1) 또는 (sina,sinb)=(-1,1)입니다. 따라서 (x,y)=(r1i,-r2i) 또는 (x,y)=(-r1i,r2i)이므로, x^2-y^2=(r2)^2-(r1)^2=16입니다. 여기서 |r2|=5, |r1|=3임을 직관적으로 알 수 있습니다. 따라서 (x,y)=(3i,-5i) 또는 (x,y)=(-3i,5i)이므로 x+y=±2i입니다.
저 같으면 x²-y²=16이고 xy=15이니 (x+y)(x-y)=16, 우리가 원하는 답이 x,y 각각이 아닌 x+y 값이니 x+y를 A로 치환 A(x-y)=16, 즉 A=16/(x-y) 여기서 우리는 xy값을 실수형태로 알고 있기에 x-y를 제곱해서 약간 손을 봐주는 방식을 활용하면 x+y형태로 변신시킬 방법이 있다. x-y의 제곱은 x²-2xy+y², 여기에 4xy를 더해주고 빼주고를 활용하면 x²+2xy+y²-4xy, xy=15이니 x²+2xy+y²-60=(x+y) ²-60 x+y를 A로 치환하기로 했으니 A²-60, 즉 x-y의 제곱이 A²-60이니 A=16/(x-y)에 양변을 제곱하면 A²=256/A²-60 한쪽으로 정리하면 A⁴-60A²-256=0 인수분해하면 (A²-64)(A²+4)=0 A²=64 or-4 A=±8 or ±2i, x,y값이 복소수라 했으니 답은 ±2i
![Shenseea - Dating Szn (Options) [Official Music Video]](http://i.ytimg.com/vi/eUePmZFIXUg/mqdefault.jpg)
두 쌍곡선의 교점, 대칭성이용 발견하기쉬운 (5.3)이용 나머지 90도 회전변환 3번 (-3i, 5i) (-5,-3) (3i, -5i)찾기 그래프상 교점아닌부분은 허수처리
오 기하와 복소평면을 이용해서 간단하게 풀어버리셨네요😊
x+y=t로 두면, x^2-y^2=16이므로 x-y=16/t, (단 t≠0), ⓐ(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=x^2+y^2+30=t^2, ⓑ(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=x^2+y^2-30=256/t^2, ⓐ에 의해 x^2+y^2= t^2-30, ⓑ에 의해 x^2+y^2=256/t^2+30, 즉 t^2-30=256/t^2+30, 각 변의 식에 t^2을 곱하고 우변의 식을 좌변의 식으로 넘기면 t^4-60t^2-256=0, (t^2-64)(t^2+4)=0, t^2=64or-4, t=±8or±2i, t=x+y이므로 x+y=±8or±2i
저는 x^2-y^2를 제곱하는 발상은 하지 못했고, 눈에 익은 x+y의 제곱식과 x-y의 제곱식, 그 두 식의 관계를 중점으로 xy를 대입하여 풀었네요.
오 이것도 좋은 풀이입니다😊아이디어를 쓰기보다 관계에 기본을 두고 접근하는 게 훨씬 접근이 편하죠👍
똑같다
한 문자에 대한 이차방정식으로 간단히 풀 수 있습니다.
xy=15에서 y=15/x, y²=225/x²
이때 y²을 x²-y²=16에 대입하면
x²-(225/x²)-16=0
x²=t라 두고 t에 대한 이차방정식으로 정리하면
t²-16t-225=0
(t+9)(t-25)=(x²+9)(x²-25)=0
x=±5 or ±3i
해를 각각 xy=15에 대입하면
x=5 -> y=3, x+y=8
x=-5 -> y=-3, x+y=-8
x=3i -> y=-5i, x+y=-2i
x=-3i -> y=5i, x+y=2i
답: x+y=±8 or x+y=±2i
보통 다 이렇게 풀듯여 댓글도 다 똑같넹 여기 영상의 풀이가 색다름
저도 똑같이 풀었는데 영상 풀이가 다르군요.. 오히려 영상 풀이가 생각도 어렵고 쉽지 않은듯. 누구한테 가르쳐 줘야 한다면 이 방법이 손쉬울거 같네요
나도 이렇게 풀것 같은데 마지막 x 4번 대입하는 시간이 더걸린다는것
x+y 물어봣으니 영상이 속도는 빠를듯
성지순례 왓습니다 돈주새요
여긴 성지가 아닙니다
저는 x^2-y^2=16 식을 바로 인수분해해서 (x-y)(x+y)=16으로 바꾼후
양변을 제곱하여 (x-y)^2(x+y)^2=256
좋은 풀이 써주셔서 감사해요! 이렇게 다양한 풀이를 해주시는 것 또한 저의 재미인거 같아요 ㅎㅎ제가 여러 생각들을 보면서 배우고 있습니다!😊
수학에 재미를 알려주는 귀중한 영상인 것 같네요. 이렇게 좋은 영상 올려주셔서 감사합니다.
감사합니다😊 앞으로 재미있는 문제 많이 찾아오겠습니다!
잼네요 저두
xy=15 이므로 y=15/x, 따라서 x^2-y^2=16, x^2-225/x^2=16, x≠0이므로 x^2으로 나누어 정리하면 x^4-16x^2-225=0. x^2=X로 치환하고 X에 대해 근의 공식을 적용하면 X=25, -9. x가 복소수 이므로 X=-9, 따라서 x^2=-9, x=-3i, 3i. 준 식에서 y=15/x이므로 y=5i,-5i. x와 y를 변변 더하면 x+y= ±2i
이렇게 풀었습니다!
복소수는 허수와 실수를 모두 포함하는 것이기에 x가 복소수이므로 허수가 된다는 것은 맞지 않아요
@@li-vw5rz맞죠
xy=15 라길래 처음엔 서로 곱해서 15 나오는건 3이랑 5 밖에 없으니 그거 둘을 더한 값인 8 아닌가 했었는데 밑에 나같은 놈을 저격한건지 응 아니에요 보고 얌전히 식 써서 다시 풀어봤습니다ㅋㅋㅋ
이거 생각보다 어렵네요ㅋㅋㅋㅋ고등학교 졸업한지 10년 다되가서 머리가 굳은건지 푸는데 좀 힘들었습니다ㅋㅋㅋ
댓글들을 보니 다양한 식들이 있던데 다들 굉장하시네요
😅이게 딱 봤을 때 직관적으로 답이 하나는 보이는데 4개를 다 찾으려면 과정이 조금 필요한 문제죠 ㅎㅎ
xy = 15, x+y = a라 하면
x,y는 t²-at+15=0의 두 근이 된다.
x²-y²=16에서 x-y=16/a (x+y/=0)
t에 관한 이차방정식의 두근의 차를 이용
sqrt(a²-60) = 16/a or -16/a
풀면 됩니다..
치환과 근과 계수와의 관계를 이용하셨군요😊👍
X+y=t로 놓고 t²=x²+y²+30, x²-y²=16이거 연립해서 x=+-루트t²/2-7 이거 xy=15대입해서 t²에 관해서 풀다보면 방정식 t⁴-60t²-256=0 나오고 이거 풀면 허수 조건에 의해 t=+-2i 나옴
제가 잘못 푼 것일 수 있지만, 위의 영상대로 x+y의 값을 구한 후,
y=15/x---ㄱ
x²-y²=16에 ㄱ 대입
x²-225/x²=16
x²-16x²-225=0
x = -3i or 3i 등등---ㄴ
ㄴ을 ㄱ에 대입해 각 x의 값에 대응되는 y값과 x+y의 값을 구하고,
x,y를 근으로 하는 이차방적식을 근과 계수의 관계로 세우면,
t^2 - (x+y)t + 15 = 0, t=x or y
t= [x+y+-√{(x+y)²-225}]/2=x or y (실제 연산 시, 짝수 근의 공식 사용)
각 x의 값과 그에 대응되는 y의 값을 대입해서 성립하는 x,y의 값을 구해보면
x=+-5, y=+-3으로 x+y=+-8 이 나오지 않나요?
그냥 xy를 y에 대해 정리한 다음 첫번째 식에 대입해서 정리하면
X⁴-4²x²-15²=0
(X²-25)(x²+9) =0
따라서 X=5, -5, 3i, -3i
Y=3, -3, -5i, 5i
즉 x+y=8, -8, -2i, 2i
(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = t^2 - 60
(x^2-y^2)^2 = (x+y)^2 * (x-y)^2 = t^2(t^2-60) = 16^2
t^4 - 60t^2 - 256 = (t^2 - 64)(t^2 + 4)=0
t = 8,-8,2i,-2i
이거 그냥 x=(15/y)로 바꾼 다음에 대입해서 풀면 되는 간단한 문제긴 한 듯 하네요
x^2-y^2=16, xy=15 -> x^2y^2=225 ->x^2(x^2-16)=225 ->x^2=25 , -9
x is in C-R -> x = 3i , y=-5i or x=-3i , y=5i => (x+y)=2i, -2i
풀이과정에서 4번째줄에서 5번째줄로 넘어가는 계산과정을 좀 더 간략히 하자면
(x²+y²)²-30²=16² 이므로
직각삼각형의 빗변이 (x²+y²)
밑변과 높이가 30,16과 같은 말이고,
닮음을 이용한 계산에 의해
15²+8²=17² 따라서 이의 두배인 34가 빗변이되므로
(x²+y²)² = 34²
이하생략
x^2 - (15/x)^2 = 16. x^2=t에 대한 이차 방정식으로 쓸 수 있다. t^2 - 16t - 225 = 0. t=8 +- 17 =25, -9 . x=+-5, y= +-3; x=+-3i, y=-+5i; 따라서 x+y= +-2, -+2i .
맞아요 복이차식 풀이도 간편하고 좋죠😊
x^2 = y^2 + 16 으로 놓고
x^2*y^2=225에 y에 관한 복이차식으로 정리해서 풀었네요 ㅋㅋㅋ
수능이랑 수리논술때 습관이 남아있네요 부호실수 적게 늘 +인곳으로 대입하고
분모로 넣는, 나눗셈을 최대한 피하는 연산 ㅋㅋㅋ
이런게 늘 조건따지기 까다롭고 실수하기쉬워서 함정으로 많았었죠
x+y=k
k×루트(k²-60) = 16
k⁴-60k²-256=0
(k²-64)(k²+4) = 0
k=±8,±2i
이게 제일 간단한 풀이같네요
복이차식으로 바로 인수분해 해버리셨군요😊👍
대충 xy=15니까 y=15/x, y²=225/x²이므로 x²-225/x²=t-225/t=16, t²-16t-225=0이라는 2차방정식꼴로 정리할 수 있습니다. 이 방정식의 해는 8+-sqrt(64+225)=8+-sqrt(289)이므로 t=8+-sqrt(289), x=+-sqrt(8+-sqrt(289))입니다.
또는 x²-y²=(x+y)(x+y)이므로 제곱하면 (x²+y²+2xy)(x²+y²-2xy)꼴로 정리되므로 xy값을 이용하면 x²+y²에 대한 2차방정식을 만들 수 있고 이걸 풀면 (x+y)²=x²+y²+2xy라는 것을 이용해 x+y를 구할 수 있습니다.
아 9-25=-16이네요 x=+-3i or +-5가 되겠군요
영상에서 언급된 풀이 두 개가 제 풀이와 같네요 사람 아이디어가 크게 다르지 않나봅니다😂
그러게요 ㅎㅎ 정확히 똑같네요😮
xy=15를 제곱식에 대입해서 복이차식 인수분해가 좀더 간단해보이네요
좋은 의견 감사합니다😊
선생님, 절대 강의 중단하지 마시고 계속 해주세요.
감사합니다! 개인적인 사정이 있어서 몇달 못올렸습니다😅이제 곧 다시 올릴 예정입니다!
전 그냥 y=15/x 대입해서 x^2-(15/x)^2 =16 하고 양변 x^2 곱해서 4차방정식으로 풀었어용
그것도 좋은 풀이죠😊사차방정식 치고는 간단하게 풀리기는 하죠 ㅎㅎ
x²+(yi)²=16
x²×(yi)²=-225
x²=a,(yi)²=b라 하면
a+b=16
ab=-225
즉 a,b는 t²-16t-225=0의 두 근이다
오 근과 계수와의 관계를 이용하셨군요😊
x^2=y^2+16
x^2y^2=225
y^2(y^2+16)=225
y^4+16y^2-225=0
(y^2-9)(y^2+25)=0
y=3 or y=-3 or y=5i or y=-5i
x=5 or x=-5 or x=3i or x=-3i
(x, y)=(5, 3) or (-5, -3) or (3i, -5i) or (-3i, 5i)
x+y=8 or -8 or -2i or 2i
chatgpt 에 물어보니 아래와 같이 그대로 풀어 버리네요..
x^2 - y^2 = 16
xy = 15
먼저 y에 대한 방정식 2를 풀 수 있습니다.
y = 15/x
이제 y에 대한 이 식을 방정식 1로 대체할 수 있습니다.
x^2 - (15/x)^2 = 16
방정식 1을 단순화합니다.
x^2 - 225/x^2 = 16
x^2를 곱하여 분수를 제거합니다.
x^4 - 225 = 16x^2
방정식 재정렬:
x^4 - 16x^2 - 225 = 0
이제 이 이차 방정식을 x^2로 풀 수 있습니다. u = x^2라고 하자:
u^2 - 16u - 225 = 0
다음은 인수분해할 수 있는 이차 방정식입니다.
(u - 25)(u + 9) = 0
따라서 u = 25 또는 u = -9입니다.
u = x^2이므로 두 가지 가능성이 있습니다.
x^2 = 25
x = ±5
x^2 = -9
이 방정식에는 실해가 없지만 복잡한 해가 있습니다. x = ±3i(여기서 i는 허수 단위임).
이제 x에 대한 잠재적 값이 있으므로 방정식 2를 사용하여 y의 해당 값을 찾아보겠습니다.
x = 5인 경우:
y = 15/5 = 3
x = -5인 경우:
y = 15/(-5) = -3
x = 3i인 경우:
y = 15/(3i) = -5i
x = -3i인 경우:
y = 15/(-3i) = 5i
이제 각 경우에 대한 합계 x + y를 찾을 수 있습니다.
(x = 5, y = 3): x + y = 5 + 3 = 8
(x = -5, y = -3): x + y = -5 + (-3) = -8
(x = 3i, y = -5i): x + y = 3i + (-5i) = -2i
(x = -3i, y = 5i): x + y = -3i + 5i = 2i
따라서 x + y의 가능한 값은 x와 y의 값에 따라 8, -8, -2i, 2i입니다. 이 연립방정식을 차근차근 풀어봅시다.
주어진 방정식:
x^2 - y^2 = 16
xy = 15
먼저 y에 대한 방정식 2를 풀 수 있습니다.
y = 15/x
이제 y에 대한 이 식을 방정식 1로 대체할 수 있습니다.
x^2 - (15/x)^2 = 16
방정식 1을 단순화합니다.
x^2 - 225/x^2 = 16
x^2를 곱하여 분수를 제거합니다.
x^4 - 225 = 16x^2
방정식 재정렬:
x^4 - 16x^2 - 225 = 0
이제 이 이차 방정식을 x^2로 풀 수 있습니다. u = x^2라고 하자:
u^2 - 16u - 225 = 0
다음은 인수분해할 수 있는 이차 방정식입니다.
(u - 25)(u + 9) = 0
따라서 u = 25 또는 u = -9입니다.
u = x^2이므로 두 가지 가능성이 있습니다.
x^2 = 25
x = ±5
x^2 = -9
이 방정식에는 실해가 없지만 복잡한 해가 있습니다. x = ±3i(여기서 i는 허수 단위임).
이제 x에 대한 잠재적 값이 있으므로 방정식 2를 사용하여 y의 해당 값을 찾아보겠습니다.
x = 5인 경우:
y = 15/5 = 3
x = -5인 경우:
y = 15/(-5) = -3
x = 3i인 경우:
y = 15/(3i) = -5i
x = -3i인 경우:
y = 15/(-3i) = 5i
이제 각 경우에 대한 합계 x + y를 찾을 수 있습니다.
(x = 5, y = 3): x + y = 5 + 3 = 8
(x = -5, y = -3): x + y = -5 + (-3) = -8
(x = 3i, y = -5i): x + y = 3i + (-5i) = -2i
(x = -3i, y = 5i): x + y = -3i + 5i = 2i
따라서 x + y의 가능한 값은 x와 y의 값에 따라 8, -8, -2i, 2i입니다. 이 연립방정식을 차근차근 풀어봅시다.
주어진 방정식:
x^2 - y^2 = 16
xy = 15
먼저 y에 대한 방정식 2를 풀 수 있습니다.
y = 15/x
이제 y에 대한 이 식을 방정식 1로 대체할 수 있습니다.
x^2 - (15/x)^2 = 16
방정식 1을 단순화합니다.
x^2 - 225/x^2 = 16
x^2를 곱하여 분수를 제거합니다.
x^4 - 225 = 16x^2
방정식 재정렬:
x^4 - 16x^2 - 225 = 0
이제 이 이차 방정식을 x^2로 풀 수 있습니다. u = x^2라고 하자:
u^2 - 16u - 225 = 0
다음은 인수분해할 수 있는 이차 방정식입니다.
(u - 25)(u + 9) = 0
따라서 u = 25 또는 u = -9입니다.
u = x^2이므로 두 가지 가능성이 있습니다.
x^2 = 25
x = ±5
x^2 = -9
이 방정식에는 실해가 없지만 복잡한 해가 있습니다. x = ±3i(여기서 i는 허수 단위임).
이제 x에 대한 잠재적 값이 있으므로 방정식 2를 사용하여 y의 해당 값을 찾아보겠습니다.
x = 5인 경우:
y = 15/5 = 3
x = -5인 경우:
y = 15/(-5) = -3
x = 3i인 경우:
y = 15/(3i) = -5i
x = -3i인 경우:
y = 15/(-3i) = 5i
이제 각 경우에 대한 합계 x + y를 찾을 수 있습니다.
(x = 5, y = 3): x + y = 5 + 3 = 8
(x = -5, y = -3): x + y = -5 + (-3) = -8
(x = 3i, y = -5i): x + y = 3i + (-5i) = -2i
(x = -3i, y = 5i): x + y = -3i + 5i = 2i
따라서 x + y의 가능한 값은 x와 y의 값에 따라 8, -8, -2i, 2i입니다. 이 연립방정식을 차근차근 풀어봅시다.
주어진 방정식:
x^2 - y^2 = 16
xy = 15
먼저 y에 대한 방정식 2를 풀 수 있습니다.
y = 15/x
이제 y에 대한 이 식을 방정식 1로 대체할 수 있습니다.
x^2 - (15/x)^2 = 16
방정식 1을 단순화합니다.
x^2 - 225/x^2 = 16
x^2를 곱하여 분수를 제거합니다.
x^4 - 225 = 16x^2
방정식 재정렬:
x^4 - 16x^2 - 225 = 0
이제 이 이차 방정식을 x^2로 풀 수 있습니다. u = x^2라고 하자:
u^2 - 16u - 225 = 0
다음은 인수분해할 수 있는 이차 방정식입니다.
(u - 25)(u + 9) = 0
따라서 u = 25 또는 u = -9입니다.
u = x^2이므로 두 가지 가능성이 있습니다.
x^2 = 25
x = ±5
x^2 = -9
이 방정식에는 실해가 없지만 복잡한 해가 있습니다. x = ±3i(여기서 i는 허수 단위임).
이제 x에 대한 잠재적 값이 있으므로 방정식 2를 사용하여 y의 해당 값을 찾아보겠습니다.
x = 5인 경우:
y = 15/5 = 3
x = -5인 경우:
y = 15/(-5) = -3
x = 3i인 경우:
y = 15/(3i) = -5i
x = -3i인 경우:
y = 15/(-3i) = 5i
이제 각 경우에 대한 합계 x + y를 찾을 수 있습니다.
(x = 5, y = 3): x + y = 5 + 3 = 8
(x = -5, y = -3): x + y = -5 + (-3) = -8
(x = 3i, y = -5i): x + y = 3i + (-5i) = -2i
(x = -3i, y = 5i): x + y = -3i
왜 같은 내용이 4번이나 복붙돼있나요
걍 지나가는 평범한 수학 좋아하는 고딩인데 썸네일 보고 풀다 다 풀고 답 맞는지 볼려는데 저랑 풀이하고 답도 같으시네요 ㅋㅋ 유익한 영상 잘 보고 갑니다
오 감사합니다!! 앞으로 좋은 결과 있길 바랄게요😊
두개가 복소수니까 xy곱해도 i제곱 형태가 나올거고 x^2 y^2도 i제곱 형태로 나올거임 그냥 x를 ai y를 bi로 바꾸고 a와 b의 자연수를 때려 맞추면 더 빨리 풀듯요.
여기서 a+bi 꼴로 x가 나온다면 xy의 곱이 저렇게[ 자연수로 예쁘게 떨어지지 않겠죠. 그래서 ai라는 간단한 꼴이라고 유추 할 수 있다고 봅니다.
다들 자명하게 x,y가 0이 아니라 생각하고 y=15/x 혹은 x=15/y 라 두고 푸는 사람도 있는 것 같은데 이렇게 미지수로 나눌 때는 꼭 왜 x,혹은 y가 0이 아닌지 정말 간단하게라도 설명해줘야한다
0으로 나눌 수는 없으니... 서술형이었으면 바로 감점요소
그쵸 'xy=15이므로 x,y는 0이 아니다' 를 명시하고 써야합니다
좋은 말씀 감사합니다! 다음에 영상 만들 때 나누는 경우가 있으면 꼭 언급할게요😊
이정도 문제는 올림피아드 수준이 절대 안됩니다. 쉬운 문제예요.
올림피아드 문제는 맞는거 같아요. 대상 학년이 낮을 뿐이겠죠😊
@@cakemath난이도는 수능수학 준킬러가 훨씬 높네요 😅😅
올림피아드라고 올리는건 어그로긴 함
뭐 유튜브니까
@@laaileciel8240저분은 난이도로써의 평가를 내렸을 뿐입니다. 꼭 어그로니 그런 발언은 삼가해주시길 바랍니다
옛날 올림피아드 문제 중에는 쉬운것들도 있는데 그런것일수 있음
이차식이 두개이면 4개의 근이 나온다는건 무슨 정리에 의한 결론인가요?
학부 수학(복소해석 등)은 다 공부했는데, 그 부분이 잘 이해가 안가네요 0:34
이차방정식 두개의 연립방정식이 해가 네 쌍까지 나올 수 있는 이유는 문자 하나를 소거하려면 대입법을 사용해야하고 이를 이용하면 사차방정식의 형태로 나오기 때문입니다. 혹은 인수분해가 되는 이차식이 포함된 경우 인수분해를 해서 대입을 했을 때 일차식 두개를 대입할 수 있기 때문에 이차식 두개가 다시 나오게 되는거죠. 중근이 있다면 해가 4쌍보다 적게 나오겠지만 중근이 없다면 네쌍까지 나올 수 있습니다. 이는 고등학교 1학년 1학기에 배우는 내용인데 대학교에선 아무래도 다루진 않겠죠😊
@@cakemath 아, 말씀하신대로면 두번째 식의 y=15/x를 위에 대입하면 위의 식을 4차식으로 변형할 수 있어서 대수학의 기본정리에 의해 근이 4개가 되겠네요. 알겠습니다 감사합니다
딱 시간 때우기로 재밌었다! 앞으로도 문제 많이 올려줘 ㅋㅋ
난 졸업한지 한참 된 아저씨라 4차 방정식으로 풀었는데,
이렇게 풀수도 있구나...
전혀 생각 못했네
졸업하신지 한참 되셨는데 푸신거 자체가 대단하신거죠😊👍
사실 본 풀이는 (x+y)(x-y)=16 이라는 식의 양변을 제곱하는 과정에서 무연근의 등장 가능성이 있기 때문에 {(x+y)(x-y)= -16일 가능성} 비슷한 유형에서 같은 풀이방식을 사용한다면 틀릴 가능성이 존재하는 다소 위험한 풀이입니다.
수학에서 새로운 풀이를 찾는 것도 중요하나 올림피아드 같은 대회에서는 안정적이면서도 기초적인, 미지수를 하나로 줄이는 방법을 사용하는 것이 맞다고 봅니다.
좋은 말씀 감사합니다! 좀 더 깊이 생각하고 만들겠습니다!
전 주어진 두 식 보고 바로 x+jy의 제곱꼴로 생각해서, 16+30j의 제곱근을 찾았습니다.
이때 16+30j의 절댓값이 34이므로 (피타고라스 수 8,15,17 이용) x^2+y^2=34이고, 이것과 주어진 조건식 중 하나를 연립하면 (5,3)또는 (-5,-3)을 얻을수 있습니다.
추가적으로 허근은 x^2+y^2을 -34로 놓고 연립하면 풀립니다
고1 심화과정이네요. 복이차식 인수분해로 접근하는 것도 좋을것 같은데요? ^^
네 맞습니다 ㅎㅎ 사차방정식이지만 복이차식이라 간단하게 풀리죠😊
(x+yi)^2=(x^2-y^2)+2xyi=16+30i=(5+3i)^2
와
(x-yi)^2=(x^2-y^2)-2xyi=16-30i=(5-3i)^2
로부터
x+yi=+-(5+3i)
x-yi=+-(5-3i)
를 얻고
x+yi=+-(5+3i)
y+xi=(x-yi)i=+-(5-3i)i=+-(3+5i)
를 얻을 수 있습니다.
이 두 식을 서로 더하여
(1+i)(x+y)=(x+yi)+(y+xi)
으로부터 가능한 x+y값은 +-8과 +-2i뿐임을 확인 할 수 있습니다. 그리고 각각의 경우에 대한 x,y의 존재성도 쉽게 보일 수 있고요.
오 깔끔한 풀이 감사합니다😊
첫번째식에 y=15/x라고 넣고 4차방정식 풀었는데 케잌님 풀이가 나은거 같네요!
더 나은 풀이라기보다 식을 정리하는 과정이 좀 새로운 방법인거 같아요. 사실 가장 쉬운 풀이는 대입법을 사용해서 사차방정식을 푸는거죠😊
@@cakemath 사차방정식을 전개하면
x⁴ - 16x² - 225 = 0이 나오는데
여기에 x²를 K로 치환해서
K² - 16K - 225 = 0,
여기서 K를 풀면 (K -25)(K+9) = 0,
K = 25 / -9가 나와서
x = ±5 or ±3i,
=> y = ±3, ±5i가 나와서
x + y = ±8 or ±2i 이렇게 나오는 풀이가 더 쉬울것 같네요.!
x²=y²+16
x²y²=225
y⁴+16y²-225=0
y²=t
t²+16t-225=0
t=-8+_17
t=9or-25
y=+-3or+-5i
x×(-5i)=15 x=3i
y=-5i
y가+5i일경우x=-3i
+-2i
저는 xy=15 양변제곱후에 y제곱을 x제곱에 대한식으로 대입해서
x에 대한 복이차식만들어서 풀었고
마지막에 xy곱이 양수가 되는걸 고려해서 풀었어요 처음에 제곱을 했기 때문에..
사차방정식을 이용한 풀이가 사실 가장 쉬운 풀이이죠😊👍
x²-y² = 16 의 좌항을 (x+y)(x-y) 로 바꾸고 각각 x+y = a, x-y = b 로 놓고 a+b = 2x로 놔서 a, b를 갖고 곱해보고 루트 씌워보고 해봤는데 뭔갈 잘못했는지 식이 전개가 되는 듯하다가 마지막엔 그냥 똑같은 x²-y² = 16 원점으로 돌아와버리네요 ㅋㅋ 그냥 각각에 대해서 제곱을 다 때려야 하는군요. 고등학교 졸업한 게 워낙 오래전이라~
사실 교과과정에서 많이 다루지 않는 풀이방식이긴 합니다. 루트나 절댓값이 없는 상태에서는 양변을 제곱한다는 생각을 하기가 어렵긴하죠😊
그냥 y =it로 두고
x^2 + t^2 = 16
xt = -15i
연립해서
(x + t)^2 = 16 - 30i
(x - t)^2 = 16 + 30i
그러면
x-t = 3i + 5
x+t = -3i + 5
x = -3i
t = 5
y = 5i
또는
x= 5
t= -3i
y= 3
하면 답은 2i or 8 로 끝인가요.
아니면 xy가 실수니까 x와 y의 완전 실수이거나
완전 허수이거나 해야하니
1) x = a, y=b
5^2-3^2
a = 5 y = 3
2) x = ai, y = bi
(-3i)^2 - (5i)^2
a=-3, b=5
제곱있으니까
x+y= +-2i or +-8
25-9=16 만보이면 풀리네요😊
일단 보기전에 풀어봅니다.
영상보니까 y=it로 두는게 훨씬편하네요😊
오 좋은 풀이입니다😊👍
지나가는 문과입니다
15?
15하면 젤먼저 떠오른 구구단이 3x5
거꾸로 5x3으로 넣으니까 바로 답이나옴
찍어서 맞춤
난 문과니까ㅋ
답이 1개가 아닌데여
ㅎㅎ답이 복소수라거서 4쌍이 나옵니다😊
음... xy가 15라면 x와 y는 켤레복소수로 a±bi 로 쓸 수 있지 않을까는 생각을 했었거든요. 그런데 그렇게 풀어보니 답이 안나오던데... 어디가 문제였을까요?
(x+y)^2(x-y)^2 = (x+y)^2{(x+y)^2-4xy}으로 가는게 더 쇼트컷 같은데 이건 어때요?
오 이렇게 하면 x+y를 보존한 채로 이차방정식을 바로 만들어버릴 수 있겠네요😊
어제 풀던 사람인데 다른 풀이로 오늘 풀어봤습니다
x를 사차방정식으로 유도하고
근의공식을 사용해서
x 와 y 를 구하면됩니다 ㄷ
맞습니다 ㅎㅎ복이차식이니 이차방정식의 근의 공식으로도 충분하죠😊
일단 풀었는데 답이 4개 나오는게 맞나요 이거? (x, y) = (5, 3), (-5, -3), (3i, -5i), (-3i, 5i) 순서쌍 4쌍이 나오고 합은 8, -8, 2i, -2i 로 4가지가 나옵니다.
x²+y²=34i or -34i가 될 수는 없는 건가요?
걍 이차방적식으로 푸니까 x=5,y=3 이던데 답이 여러개가 나올수 있나요?
x,y가 복소수라는 조건을 잊으셨네요.
x,y가 복소수라는 조건을 잊으셨네요
처음: 쉽누
다 풀고: ㅈㄴ 쉽누 이딴게 올림피아드?
복소수 조건 보고: ㅅㅂ?
x + y = A라고 하면
x - y = sqrt((x + y)^2 - 4xy) = sqrt(A^2 - 4×15)
x^2-y^2 = 16 이므로
(x + y)(x - y) = 16 = A × sqrt(A^2 - 60)
양변을 제곱하면
16^2 = A^2 × (A^2 - 60)
A^2 = B라고 하고 전개하면
256 = B^2 - 60B
(B - 64)(B + 4) = 0
B = -4 or B = 64
A^2 = -4 or A^2 = 64
따라서 A = +- 2i or A = +- 8
x+y=t
(x^2-y^2)^2=256
t^2×(t^2-60)=256
t^4-60×t^2-256=0
(t^2-64)(t^2+4)=0
t= 8 or-8 or 2i or -2i
썸네일만 뚫어져라 보고 푸는데에 성공한게 아까워서 써봅니다ㅋㅋ
처음엔 x,y가 허수라고 잘못 읽어서 2i, -2i만 답인줄 알았네요
깔끔한 풀이 감사합니다!!😊
(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy=16+30i, x+iy=rt(16+30i), (x-iy)^2=x^2-y^2-2ixy=16-30i, x-iy=rt(16-30i) 이렇게 해서 풀었는데 답이 다르게 나오네요 어디가 잘못된 걸까요
rt(16+30i)의 값이 2개가 나오고
rt(16-30i)의 값이 2개가 나오는데
좌표평면에 그려보면 x+y가 4개나오는것까진 맞는것같은데요.
다만 값이얼만지는 계산을 안해봤는데
복소수 루트씌우기 귀찮으니 울프람알파를 돌리면
x+iy+x-iy=10,6i,-10,-6i의 4가지
즉 x가 5,-5,3i,-3i가 나오고
이때 y는 3,-3,-5i,5i
즉 x+y는 8,-8,-2i,2i가 나오니 푸는데 성공은 하신것 같네요.
다만 sqrt(16+30i)를 어떻게 구하느냐에서 막히신듯합니다
실수도 복소수니까 (x,y) 가 (5,3)도 되지 않나요?
물론 됩니다😊마지막에 구한 x+y=8이 (5,3)입니다!
순간 이건줄
x2-y2=(x-y)2+2xy=(x+y)2-2xy=(x+y)2-30=16 x+y=루트46
근데 생각해보니까 x=a+bi y=c+di 풀이는 어떤가요? (a,b,c,d는 실수)
그러면 미지수의 갯수가 더 많아져서 복잡해질 것 같네요😅
아름다운 문제네요
글죠. 이 문제 지나가면서 몇번 봤는데 쉬워보여서 지나쳤다가 막상 해보니 재밌어서 가져왔어요😊
첫 식 xy로 나누고 x/y치환해서 이차방정식 구하해서 나온 값과 두번째식 연립?
그것도 좋은 방법입니다😊
두 복소수의 곱이 정수라는 건 두 복소수는 유리수라는것이다
두 복소수가 꼭 유리수는 아닐 수도 있습니다😅
예를 들어 1-i와1+i를 곱하면 2가 되죠😊
복소수때문에...
이미 풀어본 문제인데 저하고 같은 방법이네요
오 준희님도 같은 방법으로 푸셨군요😊
빡쳐서 걍 대충 X=5,Y=3 풀이과정없이 찾아냈는데 음수들도 답이 되네요
존나 천재인듯- 남 푸는 거 보는 거 개꿀잼
천재까진 아니지만 재미있게 봐주셔서 감사해요😊
5 3
ㅡ5 ㅡ3
5i ㅡ3i
3i ㅡ5i
이게 떠오르면 반칙인가?
고등학교 때 수학 재밌었는데 재미나네요 ㅎㅎ
현역 허수 고3의 풀이 몇 가지입니다
1. xy=15, x^2 - y^2 =16이라는 점에서 x와 y가 0이 아니므로 y=15/x로 놓고 풀 수 있습니다. 그럼 x^4-16x^2-225=0이 되는데, 225=3^2x5^2이므로 인수분해해주면 (X^2-25)(x^2+9)=0이 됩니다. 실수는 사칙연산에 대해 닫혀 있으므로 x=±3i을 근으로 선택합니다. (x,y)=(3i,-5i) 또는 (x,y)=(-3i,5i)이므로 x+y의 값은 ±2i입니다.
2. x=r1EXP(ai), y=r2EXP(bi)라고 하면, xy=r1r2EXP(ai+bi)이므로, a+b=2π이므로, x=r1(cosa+isina), y=r2(cosa-isina)이므로, x+y=(r1+r2)cosa+(r1-r2)isina, x-y=(r1-r2)cosa+(r1+r2)isina입니다. 편의상 r1+r2=c, r1-r2=d라고 두겠습니다. x^2-y^2=(ccosa+disina)(dcosa+cisina)이므로, 이는 cdcos^2a+id^2sinacosa+ic^2sinacosa-cdsin^2a입니다. 그런데 저 값은 실수이므로 c^2+d^2=0 또는 sinacosa=0이여야 합니다. 그런데 c와 d는 실수이고, r1r2=15이므로 c^2+d^2=0이 될 수 없습니다. 따라서 sinacosa=0입니다. 그런데 sina=0이면 x가 복소수라는 조건에 위배되므로 cosa=0입니다. 자연스럽게 cosb=0이며, (sina,sinb)=(1,-1) 또는 (sina,sinb)=(-1,1)입니다. 따라서 (x,y)=(r1i,-r2i) 또는 (x,y)=(-r1i,r2i)이므로, x^2-y^2=(r2)^2-(r1)^2=16입니다. 여기서 |r2|=5, |r1|=3임을 직관적으로 알 수 있습니다. 따라서 (x,y)=(3i,-5i) 또는 (x,y)=(-3i,5i)이므로 x+y=±2i입니다.
오 상세한 풀이 너무 감사합니다😊
헐 저랑 완전 같은 방법으로 푸셨네용 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
오 ㅋㅋㅋ제곱하는 생각을 하기가 쉽지 않은데 완전히 같은 방법이라니! 반갑습니다😊
@@cakemathxy의 합과 차를 제곱합으로 표현했는데 근호가 나오길래 제곱해서 풀었더니 절로 사차식이 되더군요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
저도 같은 방법으로 풀었습니다
어렵다고 해서 못풀줄 알았는데 조금만 끄적여도 바로 나와서 뭐지 했네요 ㅋㅋㅋ
x=-3i, y=5i 인 경우랑 x=3i, y=-5i인 경우이군요.
맞습니다😊이거 영상 올리고 각각의 해 허수쪽에서 언급 안했어서 후회했는데 이렇게 정리 해주시니 감사합니다😊
양변을 왜 제곱해야하는지 그 이유를 찾아내야 하는게 문제의 포인트인데....단순히 양변을 제곱해보자 라고 주입식 풀이는 아쉽네여
저 같으면
x²-y²=16이고 xy=15이니
(x+y)(x-y)=16, 우리가 원하는 답이 x,y 각각이 아닌 x+y 값이니 x+y를 A로 치환
A(x-y)=16, 즉 A=16/(x-y)
여기서 우리는 xy값을 실수형태로 알고 있기에
x-y를 제곱해서 약간 손을 봐주는 방식을 활용하면 x+y형태로 변신시킬 방법이 있다.
x-y의 제곱은 x²-2xy+y², 여기에 4xy를 더해주고 빼주고를 활용하면
x²+2xy+y²-4xy, xy=15이니
x²+2xy+y²-60=(x+y) ²-60
x+y를 A로 치환하기로 했으니
A²-60, 즉 x-y의 제곱이 A²-60이니
A=16/(x-y)에 양변을 제곱하면
A²=256/A²-60
한쪽으로 정리하면 A⁴-60A²-256=0
인수분해하면 (A²-64)(A²+4)=0
A²=64 or-4
A=±8 or ±2i, x,y값이 복소수라 했으니 답은 ±2i
풀이방식은 동일하나 학생들에게 단순한 풀이 방식을 주입하는게 아니라 왜 이렇게 해야하는지 깨닳게 하는게 중요해보여서 길게 적어봤습니다.
문제도 왜 이런지 풀이가 더 중요한 경시대회문제이기도 하고요
맞습니다! 제곱을 한 이유는 xy를 이끌어내기 위함인데 이를 언급을 안했었네요! 좋은 의견 감사합니다😊
암산으로 풀어볼려고 했는데 정답이 복소수라는걸 보고 바로포기
암산으로 실수해는 바로 나오기는 하죠😊
저 남아공 사는데 올림피아드 정말 어려워요
제곱 깔끔하네욧
영상 봐주셔서 감사합니다😊
지나가는 문과입니다. 지나가겠습니다
지나가다가 한번씩 풀어주세요😊
문이과 공통영역입니다.ㅋㅋㅋㅋㅋ
@@전투불패문과인데 허수를 모르겠어용ㅠ
@@HJ-ul4ip허수시네요
±1
근데 복소수표기를 빼야하는거 아닌가요??
복소수 표기가 있어야 답을 네 쌍으로 구할 수 있습니다! 보통 언급이 없으면 실수 범위에서 생각하니까요😊
16,15 갖고 위에 두 식으로 개쉽게 풀 수 있는데 댓 왜게 다 어렵게 푸냐
걍 x=5 y=3두고 정답은 8이다 이러고있었는데ㅋㅋㅋㅋ
2i,-2i,8,-8
정답!!
뭔가 정상수님이 싫어할거같네요
정상수님이 수학 선생님이신가요?😅
@@cakemath 반말하지마라 라고.... 있는...
@@맞춰봐라-z9o 아 ㅋㅋㅋ원래 중간에 존댓말로 영상 찍었었는데 기존 구독자분들이 반말로 해달라고 하셔서…😅계속 반말을 쓰고 있습니다!
반말로 신나게풀다가 댓글 부탁할때 갑존말은 뭐지? ㅎㅎㅎ
부탁은 정중하게 해야하니까요😊
지나가던 3!학년 입네다 지나가겠습네다.
또 와주세요😊
재밌네
재미있게 봐주셔서 감사합니다😊
실수도 복소수 아닌가요?
실수도 복소수죠 😊 그래서 답이 네 개입니다!
X=5 y=3 끝 장답은 8
답이 네개입니다😊
낮은 학년의 올림피아드 문제 같은 느낌이 든다
맞습니다😊
보자마자 해가 보이던데
정수도 복소수아닌가요
정수도 복소수죠😊 그래서 답이 총 네개입니다!
이거는 중딩도 풀겠네
5랑 3이유
근이 총 4쌍이 나오게 됩니다😊
아 재밌다
5,3?
-5, -3
지저스퍼킹지니어스;
하핫😊
x+y=a로 치환해서 고1때 배운 곱셈공식을 쓰면 끝
x-y=(a^2-60)^0.5로
-응 쉬워요~~-
와 나 나름 중상위 권이였는데 모르겠어 풀이가 ㅋㅋㅋㅋㅋ x^2+y^2=+-34 이부분 와이???
sqrt(1156)이 34이기 때문입니다😊
@@cakemath 아 기억 났네여 ㅋ 재밌네여 그 소수의 곲 ㅋ 감사 합니다.
개쉬운데?
쉽죠?😊
왜 아무한테 반말이야