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合同式わからない人向け因数分解すると、(n−1)n(n+1)(n²+1)となるから、n≦2より、連続する3数であるから6の倍数である。(n=1だと、n-1=0となり不適)ここで、全ての整数を5k、5k+1、5k+2、5k+3、5k+4、5k+5 (5(k+1))と置くと、n=5k+2、5k+3のとき以外(n-1)n(n+1)のうちに5の倍数が含まれることが分かるつまり、(n-1)n(n+1)で、30の倍数を満たしているしたがってn=5k+2、5k+3においてn²+1が5の倍数であることを示せば良い。n=5k+2のときn²+1=25k²+20k+5=5(5k²+4k+1)n=5k+3のときn²+1=25k²+30k+10=5(5k²+6k+2)以上より、2以上の全ての整数において与式が、30の倍数であることを示せた
あおぶたLOVEついったー お疲れ様です^^b
新高1なのですが中学数学並の知識でも解けるのおもしろいですね
Palette Palette ボクも新高一です！
私はこの解き方です。
俺もこれ。ただし、(5k±2)^2 +1 とまとめて評価してみたよ～。
冒頭のあいさつで下からちょこっと出てくる手が狂おしいほど好き
5個の連続積つくるやつ綺麗
n連続積がn!の倍数であることは自明ということで使っても良いのですか？
大丈夫だと思います
因数分解すると、連続３整数の積が作れることから6の倍数といえる。5を法とした合同式で考えるとどの剰余に対しても0と合同であることから5の倍数である。ゆえに5かつ6の倍数がいえ、5と6は互いに素であることから、5×6＝30の倍数 Q.E.D
俺もそのやり方でした
自分も同じです
僕もそれですね。
私もこれでやりました！
n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1) =(n-1)n(n+1)(n^2+1)これで連続3整数がでてきますね
因数分解しか思いつかなかった、、、
2番目エレガントすぎる
この問題に感動しました
これは30を法としてn≡k(k=-14,-13,…,15)を考えれば楽勝ですね(棒)
ほほほうほう💛
ひぇっ……
フェルマーの小定理でも、ぱっと見で5の倍数であることがわかりますね
見てるだけでプラチカ解けるようになりました！ありがとうございます
合同式を独学で勉強したてなので剰余分類の方針は「ふむふむ」くらいにしかなれませんでしたが（自分の実力不足）、２つめの方針の連続積に着目する解法は「おっふ…」となるくらい美しかったです。自分も動画で演習積んでその域に達したいです。
n²+1を合同式で5の倍数であることを証明するというのを思いつかなかったのでまだまだ数弱(それはそう)
何気にn≧2となっていますが，一般的に0はmの倍数には含めないのでしょうか?今まで2の倍数であることと偶数であることは同じ意味かと思っていましたが倍数というのは正の整数に限られるのでしょうか?
通常であれば含めます。n≧2という条件は不要ですが、原文のままつけておきました。
後者の解き方好きww
俺の学校そのmodってとこ飛ばしたからあんまり理解できない悲しい
学習指導要領外だからしょうがないね…
多項式の余りについて1 剰余分類合同式を使うと楽 偶数乗を作ってあげると合同式を使う際にプラマイ一度に考えることが出来る2 連続積の形をつくる連続するnコの整数はn!の倍数であることを利用
n^5-n=(n^2+1)(n-1)n(n+1) ---※連続3整数の席は3!の倍数だから、※は6の倍数。[1]n≡0(mod5)のとき、 n≡0(mod5) ←良い書き方わからん[1]n≡1(mod5)のとき、 n-1≡0(mod5)[2]n≡2(mod5)のとき、 n^2+1≡5≡0(mod5)[3]n=3(mod5)のとき、 n^2+1≡10≡0(mod5)[4]n≡4(mod5)のとき、 n+1≡0(mod5)[1]から[4]より、※は5の倍数。以上から、※は5の倍数かつ6の倍数すなわち30の倍数。qedまだ動画見てないけどどうですか、、？(始めて書いてみたけど打つの面倒臭い、、)
いちいち(mod○)書くのめんどくさいときは、場合分けの前に「以下、○を法とする」って書くといいですよ！
新しい動画と思ってついクリックして、そのまま、最後まで見てしまいました。😂
前々から思ってた事ですが、この手の問題、n^5－nが30の倍数であることを証明せよ、と言われれば証明するのは大した事ではないですが、出題者の立場に立って、ある式がある数の倍数になってるものを探して出題しようとすると、どうすればいいんでしょうか？適当な式を作って、何かの倍数になってないか調べるか、ある数を決めて、その数の倍数になってる式を作るのか。
@Not Punctual ご返信ありがとうございます。n^5－nというこの問題は恐らく、仰る通りn^4－1にフェルマーの小定理を適用して、nが5の倍数ではないときに5で割りきれるので、nを掛けたn^5－nは5で割りきれるという発想でやってるんだと思います。そうすると残りの6はやはり、因数分解して3連続数の積を因数に持つ事を確認して、30で割りきれるとしなきゃいけないワケですよね？n^13－nの場合も、n^12－1は、nが13の倍数じゃない時に13で割りきれる所までは、フェルマーで行けますが、残りの部分はどうするのか。実際、n^13－nは、78どころか更に35で割れるんで、2730で割りきれるんですが、そういうのはやっぱり調べないと、すぐには分からないですよね？結構大変ですね。
連続積すごい
5乗すると１の位が元に戻るので10の倍数が確定ですね。３で割ったあまりも不変のようなので終わりですね。
2つ目の因数分解（？）、美しいです。 下記、mod使わない・2つめの分解できない方へ場合分けによる解き方。ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーn^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)(n-1)n(n+1) があるのでｎがいくらであっても必ず2の倍数・3の倍数。・・・①なのであとは全体が5の倍数であると示せばよい。この時、ｎが5の倍数（n=5kと置く・kは整数）だと因数にｎがあるので全体は5の倍数になる・・・②ｎが5の倍数±1（n=5k±1と置く）だと因数にｎ+1とｎ-1があるので全体は5の倍数になる・・・③ｎが5の倍数±2（n=5k±2と置く）の場合、n^2+1＝25k^2±20k+4+1=5(5k^2±4k+1)よって全体は5の倍数になる・・・④①②③④によりn^5-nは2の倍数かつ3の倍数かつ5の倍数つまり、n^5-nは2以上の全ての整数に置いて30の倍数となる。証明終了ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーn=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4と置いても（多少計算が面倒だが）同じように解ける。①②③まではそう難しくないんじゃないでしょうか。
うわ、あおぶたLOVEついったーさんがまさにn=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4で解いてました。重なってすみません。数学的な回答としてはあちらが正しいです。ただ、「なぜnを5ｋ（略）と置くの？それが思いつくの？」とツッコむ方がいらっしゃいそうなので上のコメントは置いておきます。
合同式で秒
剰余分類って初めて知った 連続積で詰まったら使ってみよう
昔電卓で遊んでた時に奇跡的に発見したやつw(５乗したら1の位戻ってる？は？ってなった)
これ自力で解けた時嬉しかったな...
②綺麗
この問題を数学的帰納法で解くと大変ですね。
すげえええ！連続積感動した！
わいが受験した年の熊大の第1問もこれみたいな問題やったなぁ連続積を見ると積分を感じるなぁ
連続積を見ると積分を感じるとはどういうことですかー？
x^2やx^3の積分を区分求積法で考えてください。連続積の階差を用いると積分・極限・級数が繋がって面白いですよ。cf.)k^2=k(k+1)-k=(k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1))/3-(k(k+1)-(k-1)k)/2Σk^2=Σ(k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1))/3-Σ(k(k+1)-(k-1)k)/2=n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2k^3=k(k+1)(k+2)-3k^2-2k=k(k+1)(k+2)-3k(k+1)-3k(以下省略)
因数分解してn(n-1)(n+1)(n²+1)連続数n個の自然数はn!の倍数なのでn(n-1)(n+1)は3!＝6の倍数.更に、n＝5m+1のときn-1＝5mとなるので、n(n-1)(n+1)(n²+1)は30の倍数.n＝5m+2のときn²+1＝25m²+10m+5となるので、n(n-1)(n+1)(n²+1)は30の倍数.n＝5m+3のときn²+1＝25m²+10m+10となるので、n(n-1)(n+1)(n²+1)は30の倍数.n＝5m+4のときn+1＝5m+5となるので、n(n-1)(n+1)(n²+1)は30の倍数.n＝5mのときn＝5mとなるので、n(n-1)(n+1)(n²+1)は30の倍数.よって全ての自然数nに対しn(n-1)(n+1)(n²+1)は30の倍数.
アキトさんもっとエレガントで惚れた
2つ目の解みたいに連続する5積にする発想なかったんで自分もこの解法が思いつきました
黄金騎士エレガントですよね。連続する3つの積があったので使えるなとは感じましたが、自ら連続する5つの積を作り出すのは頭にありませんでした>
夢で見た！！
n個の積がn!の倍数だというのは自明として扱っていいものなんですか？
高校の教科書には連続3整数が6の倍数であることは書いてありますが、連続n整数については少し微妙ですね。
まあ自明では無いだろうけど、この問題を解くに当たっては特段証明する必要は無いんじゃないかな。球の面積を求める問題で面積の公式を一々証明しないようなもんだと思ってくれれば。
皆さん丁寧な回答ありがとうございました！Takuro Matsumotoさんの証明を解答作成のときの参考にします！
n≧2が無くてもn^5-nは30の倍数となるのにわざわざ不要な条件を付けているのは、数学的帰納法で回答することを考慮しているのでしょうかね。もしくは0や負の倍数を倍数であると考えられなくてもよいと判断したのか...。
やっぱ因数分解の方が美しいと感じる
千葉大の問題でnが奇数で、n⁵-nが240の倍数である事を証明する問題をやった事がありました！それでは(n-1)(n+1)が8の倍数になる事を利用したんですが、意外と奇数に絞られないで、30の倍数である事を証明する方が難しかったです。２番目の解法好きです〜！
連続するnコの積がn！の倍数って証明なしで使ってもいいのですかね？？
大学の二次で合同式を使って解いたらダメだと思うのですが。。。どうなのでしょうか？
受験生の時のこの手の問題問題集で解いた。けど分からなかった。
連続するnこの整数の積がn!になる証明についてなんですが二項係数使うのってどうですかね
連続3数の積で6の倍数&n=k+(0,1,2,3,4)とした時5の倍数しか出てこんかった...受験終わってからというもの物理しかやってなかったのもあるけど酷すぎる(；▽；)
フェルマーの小定理n^p≡n , mod pより、n^5≡n^4≡n^3≡n^2≡n, mod 2n^5≡n^3≡n, mod 3n^5≡n, mod5が成り立つので、n^5≡n, mod30
整数マスターになりたいので例え火の中水の中草の中森の中土の中雲の中だろうとAKITOさんについていきます！！
平手 スカートの中までついていこうぜ！俺もいく！
一瞬で5の倍数とわかり(∵フェルマーの小定理)あとは連続3整数とわかる形にするだけ(直ちに変形可能)
熊本大でも出題があったような…
重箱の隅を突くようなことを言わせてもらえば、n≧2の定義も証明でちゃんと使用すべきではないでしょうか。(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)はn=±1, ±2の時は0になるので、必ずしも30の倍数とは言えない5(n-1)n(n+1)はn=±1の時は0になるので、必ずしも30の倍数とは言えないn≧2の時は前者の式は0か30の倍数、後者の式は必ず30の倍数になるので、必ず30の倍数になる
0は30の倍数ですよ。
０は30の倍数でしょ。
n≧2となっていることには、大して意味は無いのですか？どなたか、教えていただけると嬉しいです。
そーしないと30の倍数にならないからだと思います
r y 返信ありがとうございます。0は30の倍数なので、n=1であっても大丈夫では、思いました。
このシリーズ見たら大将になれますか？僕は青キジがいいです
全く同じ問題が試験に出ました笑
親の顔より見た30の倍数証明
もっと親の顔を見てください
もっと親の倍数証明を見ろ
これって帰納法でできないですか？
「n^5-nは30の倍数」 ①(1)n=1のときn^5-n=0は30の倍数。よって①は成り立つ。(2)n=kで①が成り立つとするとk^5-kは30の倍数。これをk^5-k≡0(mod 30) ②と略記することにする。n=k+1のとき(k+1)^5-(k+1)=(k^5-k)+(5k^4+10k^3+10k^2+5k)ここで5k^4+10k^3+10k^2+5k=5k(k^3+2k^2+2k+1)=5k(k+1)(k^2+k+1)=5k(k+1)(k^2+2k-k+1)=5{k^2(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)} ③となるがk-1,k,k+1,k+2の４つの数の中には２の倍数が２個あり、また３の倍数が少なくとも１個ある。２と３は互いに素なので、中カッコの中は2×3=6の倍数となり、③は5×2×3=30の倍数であることがわかる。すなわち②とあわせて(k+1)^5-(k+1)≡0(mod 30)となりn=k+1のときも①が成り立つ。(1)(2)より①はすべての自然数nについて成り立つ。
AKITOさんが受験数学で言ってるように帰納法は漸化式が作れるときに有効になる証明法です．今回の場合，an=n^5-nとして漸化式を作ると，an+1=an+Σ{l=1}{5}5Ck・n^{5-k}-1となり，定数項の部分が複雑な多項式になってしまいます．したがって今回の場合に帰納法を適用しても，結局n^5-nの代わりに複雑な多項式が30の倍数になることを動画内でやっていた方法で示さなくてはならないので帰納法を用いても証明できるが、遠回しになってしまい帰納法の恩恵がありません．ゆえに今回の問題では帰納法は不適となるのです．長文失礼しました．
ここの視聴者ならこの問題よりも弘前の読み方を間違えてる人の方が多そうw
こうぜんくらい読めるわ低脳おつ
@@安田敬助 草ァ！
鋭い
今の子って高校でmodやるのか…2009年入学の自分は高校では勉強していなかったし大学でも出てこなかったから②の解き方しかできないや。
modあんま使わないから逆に連続積しか頭になかった
数学的帰納法で出来ないのかな？
6の倍数かつ5の倍数を示せばいい。与式を因数分解すると、(n-1)n(n+1)(n+1)^2になり、連続した3つの整数があるから6の倍数である。次は、5の倍数を示すのに数学的帰納法を使う。与式にn=2を代入すると、5の倍数になるから成立。n=kのとき成り立つ、つまりk^5-k=30mすなわちk^5=30m+k…①が成り立つと仮定（mは整数）。①より、n=k+1のとき、与式に代入して、(k+1)^5-(k+1)=5(6m+k^4+2k^3+2k^2+k)よって、n=k+1のときも成り立つから、題意は示された。
J.S. Bach ありがとうございます！5の倍数と6の倍数である事を示すのですね。
帰納法で行けないですか？
解けます！
因数分解して (n-1)n(n+1)(n^2+1)。6の倍数は一目。n=5p-1, 5p, 5p+1 の時は5の倍数は明らか。n=5p-2, 5p+2 の時は、n^2+1=(5p±2)^2+1=25pp±20p+4+1=5(5pp±4p+1)より5の倍数が確認できる。ん？ 合同式って何？
ほう。n^2+1=(n^2-4)+5 = (n-2)(n+2)+5 だと？これは渋い。
最近忙しいのかな？
これcanpasでやったわ
毎回この挨拶するの？笑
数学的帰納法でやろうとした時5(k⁴+2k³+2k²+k+m)が出てきて、かっこの中をどうやって6の倍数と言おうか悩みました
数1ですか？
AKITOさんだから冒頭のボケにファボ１００！(たくみさんなら０！)
たくみさんはファボ0ですよ。
弘前大学(ひろまえ大学)だと思ってた
いちこめ？！
合同式わからない人向け
因数分解すると、(n−1)n(n+1)(n²+1)
となるから、n≦2より、連続する3数であるから6の倍数である。
(n=1だと、n-1=0となり不適)
ここで、全ての整数を5k、5k+1、5k+2、5k+3、5k+4、5k+5 (5(k+1))
と置くと、n=5k+2、5k+3のとき以外
(n-1)n(n+1)のうちに5の倍数が含まれることが分かる
つまり、(n-1)n(n+1)で、30の倍数を満たしている
したがってn=5k+2、5k+3において
n²+1が5の倍数であることを示せば良い。
n=5k+2のとき
n²+1=25k²+20k+5=5(5k²+4k+1)
n=5k+3のとき
n²+1=25k²+30k+10=5(5k²+6k+2)
以上より、2以上の全ての整数において
与式が、30の倍数であることを示せた
あおぶたLOVEついったー お疲れ様です^^b
新高1なのですが中学数学並の知識でも解けるのおもしろいですね
Palette Palette ボクも新高一です！
私はこの解き方です。
俺もこれ。ただし、(5k±2)^2 +1 とまとめて評価してみたよ～。
冒頭のあいさつで下からちょこっと出てくる手が狂おしいほど好き
5個の連続積つくるやつ綺麗
n連続積がn!の倍数であることは自明ということで使っても良いのですか？
大丈夫だと思います
因数分解すると、連続３整数の積が作れることから6の倍数といえる。
5を法とした合同式で考えるとどの剰余に対しても0と合同であることから5の倍数である。
ゆえに5かつ6の倍数がいえ、5と6は互いに素であることから、5×6＝30の倍数 Q.E.D
俺もそのやり方でした
自分も同じです
僕もそれですね。
私もこれでやりました！
n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)
=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
これで連続3整数がでてきますね
因数分解しか思いつかなかった、、、
2番目エレガントすぎる
この問題に感動しました
これは30を法としてn≡k(k=-14,-13,…,15)を考えれば楽勝ですね(棒)
ほほほうほう💛
ひぇっ……
フェルマーの小定理でも、ぱっと見で5の倍数であることがわかりますね
見てるだけでプラチカ解けるようになりました！ありがとうございます
合同式を独学で勉強したてなので剰余分類の方針は「ふむふむ」くらいにしかなれませんでしたが（自分の実力不足）、２つめの方針の連続積に着目する解法は「おっふ…」となるくらい美しかったです。自分も動画で演習積んでその域に達したいです。
n²+1を合同式で5の倍数であることを証明するというのを思いつかなかったのでまだまだ数弱(それはそう)
何気にn≧2となっていますが，一般的に0はmの倍数には含めないのでしょうか?
今まで2の倍数であることと偶数であることは同じ意味かと思っていましたが
倍数というのは正の整数に限られるのでしょうか?
通常であれば含めます。
n≧2という条件は不要ですが、
原文のままつけておきました。
後者の解き方好きww
俺の学校そのmodってとこ飛ばしたからあんまり理解できない悲しい
学習指導要領外だからしょうがないね…
多項式の余りについて
1 剰余分類
合同式を使うと楽 偶数乗を作ってあげると合同式を使う際にプラマイ一度に考えることが出来る
2 連続積の形をつくる
連続するnコの整数はn!の倍数であることを利用
n^5-n=(n^2+1)(n-1)n(n+1) ---※
連続3整数の席は3!の倍数だから、※は6の倍数。
[1]n≡0(mod5)のとき、
n≡0(mod5) ←良い書き方わからん
[1]n≡1(mod5)のとき、
n-1≡0(mod5)
[2]n≡2(mod5)のとき、
n^2+1≡5≡0(mod5)
[3]n=3(mod5)のとき、
n^2+1≡10≡0(mod5)
[4]n≡4(mod5)のとき、
n+1≡0(mod5)
[1]から[4]より、※は5の倍数。
以上から、※は5の倍数かつ6の倍数すなわち30の倍数。qed
まだ動画見てないけどどうですか、、？
(始めて書いてみたけど打つの面倒臭い、、)
いちいち(mod○)書くのめんどくさいときは、場合分けの前に「以下、○を法とする」って書くといいですよ！
新しい動画と思ってついクリックして、そのまま、最後まで見てしまいました。😂
前々から思ってた事ですが、この手の問題、n^5－nが30の倍数であることを証明せよ、と言われれば証明するのは大した事ではないですが、出題者の立場に立って、ある式がある数の倍数になってるものを探して出題しようとすると、どうすればいいんでしょうか？適当な式を作って、何かの倍数になってないか調べるか、ある数を決めて、その数の倍数になってる式を作るのか。
@Not Punctual ご返信ありがとうございます。
n^5－nというこの問題は恐らく、仰る通りn^4－1にフェルマーの小定理を適用して、nが5の倍数ではないときに5で割りきれるので、nを掛けたn^5－nは5で割りきれるという発想でやってるんだと思います。そうすると残りの6はやはり、因数分解して3連続数の積を因数に持つ事を確認して、30で割りきれるとしなきゃいけないワケですよね？n^13－nの場合も、n^12－1は、nが13の倍数じゃない時に13で割りきれる所までは、フェルマーで行けますが、残りの部分はどうするのか。実際、n^13－nは、78どころか更に35で割れるんで、2730で割りきれるんですが、そういうのはやっぱり調べないと、すぐには分からないですよね？結構大変ですね。
連続積すごい
5乗すると１の位が元に戻るので10の倍数が確定ですね。３で割ったあまりも不変のようなので終わりですね。
2つ目の因数分解（？）、美しいです。
下記、mod使わない・2つめの分解できない方へ場合分けによる解き方。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
(n-1)n(n+1) があるのでｎがいくらであっても必ず2の倍数・3の倍数。・・・①
なのであとは全体が5の倍数であると示せばよい。
この時、ｎが5の倍数（n=5kと置く・kは整数）だと因数にｎがあるので全体は5の倍数になる・・・②
ｎが5の倍数±1（n=5k±1と置く）だと因数にｎ+1とｎ-1があるので全体は5の倍数になる
・・・③
ｎが5の倍数±2（n=5k±2と置く）の場合、n^2+1＝25k^2±20k+4+1=5(5k^2±4k+1)よって全体は5の倍数になる・・・④
①②③④によりn^5-nは2の倍数かつ3の倍数かつ5の倍数
つまり、n^5-nは2以上の全ての整数に置いて30の倍数となる。証明終了
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
n=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4と置いても（多少計算が面倒だが）同じように解ける。
①②③まではそう難しくないんじゃないでしょうか。
うわ、あおぶたLOVEついったーさんがまさにn=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4で解いてました。重なってすみません。
数学的な回答としてはあちらが正しいです。ただ、「なぜnを5ｋ（略）と置くの？それが思いつくの？」とツッコむ方がいらっしゃいそうなので上のコメントは置いておきます。
合同式で秒
剰余分類って初めて知った
連続積で詰まったら使ってみよう
昔電卓で遊んでた時に奇跡的に発見したやつw
(５乗したら1の位戻ってる？は？ってなった)
これ自力で解けた時嬉しかったな...
②綺麗
この問題を数学的帰納法で解くと大変ですね。
すげえええ！連続積感動した！
わいが受験した年の熊大の第1問もこれみたいな問題やったなぁ
連続積を見ると積分を感じるなぁ
連続積を見ると積分を感じるとはどういうことですかー？
x^2やx^3の積分を区分求積法で考えてください。
連続積の階差を用いると積分・極限・級数が繋がって面白いですよ。
cf.)
k^2=k(k+1)-k=(k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1))/3-(k(k+1)-(k-1)k)/2
Σk^2=Σ(k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1))/3-Σ(k(k+1)-(k-1)k)/2
=n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2
k^3=k(k+1)(k+2)-3k^2-2k=k(k+1)(k+2)-3k(k+1)-3k
(以下省略)
因数分解して
n(n-1)(n+1)(n²+1)
連続数n個の自然数はn!の倍数なのでn(n-1)(n+1)は3!＝6の倍数.
更に、n＝5m+1のとき
n-1＝5mとなるので、n(n-1)(n+1)(n²+1)は30の倍数.
n＝5m+2のとき
n²+1＝25m²+10m+5となるので、n(n-1)(n+1)(n²+1)は30の倍数.
n＝5m+3のとき
n²+1＝25m²+10m+10となるので、n(n-1)(n+1)(n²+1)は30の倍数.
n＝5m+4のとき
n+1＝5m+5となるので、n(n-1)(n+1)(n²+1)は30の倍数.
n＝5mのとき
n＝5mとなるので、n(n-1)(n+1)(n²+1)は30の倍数.
よって全ての自然数nに対しn(n-1)(n+1)(n²+1)は30の倍数.
アキトさんもっとエレガントで惚れた
2つ目の解みたいに連続する5積にする発想なかったんで自分もこの解法が思いつきました
黄金騎士
エレガントですよね。
連続する3つの積があったので使えるなとは感じましたが、自ら連続する5つの積を作り出すのは頭にありませんでした>
夢で見た！！
n個の積がn!の倍数だというのは自明として扱っていいものなんですか？
高校の教科書には連続3整数が6の倍数であることは書いてありますが、連続n整数については少し微妙ですね。
まあ自明では無いだろうけど、この問題を解くに当たっては特段証明する必要は無いんじゃないかな。
球の面積を求める問題で面積の公式を一々証明しないようなもんだと思ってくれれば。
皆さん丁寧な回答ありがとうございました！Takuro Matsumotoさんの証明を解答作成のときの参考にします！
n≧2が無くてもn^5-nは30の倍数となるのにわざわざ不要な条件を付けているのは、数学的帰納法で回答することを考慮しているのでしょうかね。もしくは0や負の倍数を倍数であると考えられなくてもよいと判断したのか...。
やっぱ因数分解の方が美しいと感じる
千葉大の問題でnが奇数で、n⁵-nが240の倍数である事を証明する問題をやった事がありました！
それでは(n-1)(n+1)が8の倍数になる事を利用したんですが、意外と奇数に絞られないで、30の倍数である事を証明する方が難しかったです。
２番目の解法好きです〜！
連続するnコの積がn！の倍数って証明なしで使ってもいいのですかね？？
大学の二次で合同式を使って解いたらダメだと思うのですが。。。
どうなのでしょうか？
受験生の時のこの手の問題
問題集で解いた。けど分からなかった。
連続するnこの整数の積がn!になる証明についてなんですが二項係数使うのってどうですかね
連続3数の積で6の倍数&n=k+(0,1,2,3,4)とした時5の倍数しか出てこんかった...
受験終わってからというもの物理しかやってなかったのもあるけど酷すぎる(；▽；)
フェルマーの小定理
n^p≡n , mod pより、
n^5≡n^4≡n^3≡n^2≡n, mod 2
n^5≡n^3≡n, mod 3
n^5≡n, mod5
が成り立つので、
n^5≡n, mod30
整数マスターになりたいので
例え火の中水の中草の中森の中土の中雲の中だろうとAKITOさんについていきます！！
平手 スカートの中までついていこうぜ！俺もいく！
一瞬で5の倍数とわかり(∵フェルマーの小定理)あとは連続3整数とわかる形にするだけ(直ちに変形可能)
熊本大でも出題があったような…
重箱の隅を突くようなことを言わせてもらえば、n≧2の定義も証明でちゃんと使用すべきではないでしょうか。
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)はn=±1, ±2の時は0になるので、必ずしも30の倍数とは言えない
5(n-1)n(n+1)はn=±1の時は0になるので、必ずしも30の倍数とは言えない
n≧2の時は前者の式は0か30の倍数、後者の式は必ず30の倍数になるので、必ず30の倍数になる
0は30の倍数ですよ。
０は30の倍数でしょ。
n≧2となっていることには、大して意味は無いのですか？どなたか、教えていただけると嬉しいです。
そーしないと30の倍数にならないからだと思います
r y 返信ありがとうございます。
0は30の倍数なので、n=1であっても大丈夫では、思いました。
このシリーズ見たら大将になれますか？僕は青キジがいいです
全く同じ問題が試験に出ました笑
親の顔より見た30の倍数証明
もっと親の顔を見てください
もっと親の倍数証明を見ろ
これって帰納法でできないですか？
「n^5-nは30の倍数」 ①
(1)n=1のときn^5-n=0は30の倍数。
よって①は成り立つ。
(2)n=kで①が成り立つとするとk^5-kは30の倍数。
これをk^5-k≡0(mod 30) ②と略記することにする。
n=k+1のとき
(k+1)^5-(k+1)=(k^5-k)+(5k^4+10k^3+10k^2+5k)
ここで
5k^4+10k^3+10k^2+5k
=5k(k^3+2k^2+2k+1)
=5k(k+1)(k^2+k+1)
=5k(k+1)(k^2+2k-k+1)
=5{k^2(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)} ③
となるがk-1,k,k+1,k+2の４つの数の中には２の倍数が２個あり、また３の倍数が少なくとも１個ある。
２と３は互いに素なので、中カッコの中は2×3=6の倍数となり、③は5×2×3=30の倍数であることがわかる。
すなわち②とあわせて
(k+1)^5-(k+1)≡0(mod 30)
となりn=k+1のときも①が成り立つ。
(1)(2)より①はすべての自然数nについて成り立つ。
AKITOさんが受験数学で言ってるように帰納法は漸化式が作れるときに有効になる証明法です．
今回の場合，an=n^5-nとして漸化式を作ると，an+1=an+Σ{l=1}{5}5Ck・n^{5-k}-1となり，定数項の部分が複雑な多項式になってしまいます．
したがって今回の場合に帰納法を適用しても，結局n^5-nの代わりに複雑な多項式が30の倍数になることを動画内でやっていた方法で示さなくてはならないので帰納法を用いても証明できるが、遠回しになってしまい帰納法の恩恵がありません．ゆえに今回の問題では帰納法は不適となるのです．長文失礼しました．
ここの視聴者ならこの問題よりも弘前の読み方を間違えてる人の方が多そうw
こうぜんくらい読めるわ低脳おつ
@@安田敬助 草ァ！
鋭い
今の子って高校でmodやるのか…2009年入学の自分は高校では勉強していなかったし大学でも出てこなかったから②の解き方しかできないや。
modあんま使わないから逆に連続積しか頭になかった
数学的帰納法で出来ないのかな？
6の倍数かつ5の倍数を示せばいい。
与式を因数分解すると、(n-1)n(n+1)(n+1)^2
になり、連続した3つの整数があるから6の倍数である。
次は、5の倍数を示すのに数学的帰納法を使う。
与式にn=2を代入すると、5の倍数になるから成立。
n=kのとき成り立つ、つまり
k^5-k=30mすなわちk^5=30m+k…①
が成り立つと仮定（mは整数）。
①より、n=k+1のとき、与式に代入して、
(k+1)^5-(k+1)=5(6m+k^4+2k^3+2k^2+k)
よって、n=k+1のときも成り立つから、題意は示された。
J.S. Bach ありがとうございます！5の倍数と6の倍数である事を示すのですね。
帰納法で行けないですか？
解けます！
因数分解して (n-1)n(n+1)(n^2+1)。
6の倍数は一目。
n=5p-1, 5p, 5p+1 の時は5の倍数は明らか。
n=5p-2, 5p+2 の時は、n^2+1=(5p±2)^2+1=25pp±20p+4+1=5(5pp±4p+1)より5の倍数が確認できる。
ん？ 合同式って何？
ほう。n^2+1=(n^2-4)+5 = (n-2)(n+2)+5 だと？
これは渋い。
最近忙しいのかな？
これcanpasでやったわ
毎回この挨拶するの？笑
数学的帰納法でやろうとした時
5(k⁴+2k³+2k²+k+m)が出てきて、かっこの中をどうやって6の倍数と言おうか悩みました
数1ですか？
AKITOさんだから冒頭のボケにファボ１００！(たくみさんなら０！)
たくみさんはファボ0ですよ。
弘前大学(ひろまえ大学)だと思ってた
いちこめ？！