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ヨ〇ノリといいAKITOさんといい東大教育系RUclipsrはボケに関して謎の感性を持っているようだ…
問題よりも寸劇の方がネタ切れ間近
2:00 今回の見どころ
実はその気になれば中学生でも解けるような問題です。例えばですが12345678×3245677の値は計算するのが大変ですが、１の位だけならお互いの１の位の積8×7=56より6とアッサリわかります。特に1の位が6の数は6×6=36(１の位は6)36×6=216(1の位は6)...要するに1の位が6の数を何回かけようが1の位は6です。これを利用していいならこの問題は楽勝です。証明n≧2の時、2^(2^n)=(2^4)^p=16^p (p=2^(n-2)となる自然数)ここで、16は1の位が6なので何回かけようが1の位は6より16^pの1の位は6である。よって、1の位が6の数から6を引いた与式の１の位は0。すなわち、与式は１０の倍数である。（証明終）その他先生が言っていない別解としてx^n-1の因数分解を利用すると言う方法もあります。証明(2^(2^n)=16^pに変形する場所までは同じ)16^p-6は明らかに偶数より与式が10の倍数である事を示すには16^p-6が5の倍数である事を示しても良い。16^p-6=16^p-1-5=(16-1){16^(p-1)+16^(p-2)+...+16^1+1}-5=15{16^(p-1)+16^(p-2)+...+16^1+1}-515{16^(p-1)+16^(p-2)+...+16^1+1},5共に5の倍数なので与式は5の倍数。以上より与式は10の倍数。（証明終）
@かたやさや 冒頭で「中学生でも出来る」と言ってしまったのであえて合同式は使いませんでしたが、合同式なら任意の自然数nでa≡6(mod10)→a^n≡6(mod10)でいいですね。確かにmodは計算を楽に出来ますが、その一方で過信は禁物なんですよねぇ...理由は２つあってその①modだけに頼ると連続するn個の数の積はn!などの公式は逆に手間がかかる。例えば、n^3-nは(n-1)n(n+1)と連続する3つの整数の積に変換出来るので6(=3!)倍数という情報がすぐにわかりますが、合同式しか知らないとn≡0,1,2,...,5(mod6)と計算する必要があって面倒です。こういうパターンは「面倒」なだけであって理論上答えは出るのでいいですが、次のパターンは最悪答えすら求められません。その② 不等式を使う証明と致命的に相性が悪い合同式はあくまで倍数問題と相性がいいだけで不等式だと役立たずになる局面が多いです。例えば、nを自然数として√(n^2+1)は自然数にならない事を示せだと不等式ならn^2
ポケットじゃない方 tizeki hyakuni さんの1つめの証明でご指摘されたことが書いてありますよ！
ポケットじゃない方 まあまあ怒らないでも笑
n≥2 ならば 2^n は4の倍数だから、これを 4m と置けば mod5 で 2^2^n-6=2^4m-6=16^m-6≡1^m-1=0
最初一人で座って喋ってんの想像したら草
シリーズ#14になり、整数問題の世界が楽しくなって来ました。詰め将棋な、アキト選手の戦い方がお気に入りです。
5分で振り返る"整数マスターに俺はなる"AKITO)整数マスターに、俺はなるっ！A)整数マスターに、俺はなるっ！👍A)整数マスターに、俺はなるぅ✊A)整・数・マスターにぃ、俺はなるぅ⤴︎A)整数ﾏｽﾀ-に俺はなる✊A)整⤴︎数⤵︎マスターに、おらはなる⤵︎✊A)あ、あの、せせっ、整数マスターに僕はなりたいんです…お母さん)なぁに？整数マスターになりたいだって？馬鹿なこと言ってないでさっさと勉強しなさいよ。A)はぃ…A)母さん、やっぱり俺、整数マスターの夢、諦め切れないよ。母)私も少し言い過ぎたわね。あんたがそこまで言うんだったら頑張ってみなさい？でもぉ、お父さんにはちゃんと言うんだよ？A)うん、わかった！ありがとう、お母さん！A)親父…大事な話があるんだ。俺、整数マスターになろうと思ってるんだ。親父)ん"ん……。認めん。A)親父、どうして、整数マスターの道を認めてくれないんだ？お母さんだって応援するって言ってくれたんだよ？父)ん"ん……。あいつには…勝てん。A)親父が言ってたあいつって誰なんだろう…？でも、挑戦もする前に無理と言われても、納得できないよ。ナレーション)こうしてAKITOは親父には内緒で整数マスターへの道を進めることにした。お兄さん)坊や、一体君は何者なんだい？A)僕？AKITO。整数マスターになりたいんだっ兄)ふっはっは。そうかい、頑張り給へ。A)ところで、お兄さんは？兄)私かい？あいつだ。A)あいつ？あいつって…まさか…あの、あいつなの？兄)ふっはっは。そーだっ。
こうやってみるとちゃんとストーリー性あって草
2^mの一の位は2,4,8,6,2,4,8,6・・・とループする。一方、指数m=2^nはnが2以上の時4の倍数であるから2^(2^n)の一の位は6である。よって6を引くと10の倍数である。(証明終)
僕もそれでやりました！
俺もそれで証明した。
法って感じ！
帰納法と合同式でゴリ押しました
お兄さんって感じの喋り方じゃなくて草
問題はどこから選んでますか？これと全く同じ問題を河合塾の夏期講習で見ました。もしあきとさんが自分で選んでるとしたら、その道のプロと同じ感覚を持ってることに繋がりますね…流石です…
シンプルでかつ自分がいいと思った問題を探して選んでいます！
AKITOの特異点 やっぱり自分で選んでるんですね、、！
学習院大学の過去問は触ったことあったから解き方はすぐ分かったけど…こんなスマートに解けるのかよ…
１年ぶりに見返したが完全に忘れてる・・・復習が必要合成数で割った余り→法の分解 2^n=2^((n-1)+1)に分解余りの周期性に注目
整数マスターってあいつって呼ばれるほど伝説になったのか...
自分でやってみたけど意外と出来て嬉しいwこれ解いてったら結構簡単に256^n -2 （nは3以上）に出来るからこれMOD10だと6になるしnが2の時は普通に10で割れるからで良いですかね？
本編ちょっとよく分かんなくて1から見直してきた
簡単じゃないか！まず2をくくり出して 2(2^(2^n-1)-3) で、n≧2 より、2^n≧4 より、2^n-1≧3 となって外側の(2^(2^n-1)-3)が整数が確認された。よって2の倍数である。次に与式をmod5して、2^(2^n) mod 5 -1 となって、これが5の倍数であるとき、2^(2^n)mod5 -1 = 0 から 2^(2^n)mod5 = 1 を示せばよい。 ーーー①n=2のとき 2^(2^2)=16n=3のとき 2^(2^3)=256n=4のとき 2^(2^4)=65536ふむ。2^(2^n) = 2^(2^(n-2+2)) = 2^(2^2 * 2^(n-2))= 2^(4*2^(n-2)) = (2^4)^(2^(n-2) = 16^(2^(n-2)) これと n≧2において、これは16^m ただしmは自然数に「含まれる」事がわかった。二項定理。(15+1)^m= m_C_0*15^m + m_C_1 * 15^(m-1) + m_C_2 * 15^(m-2) .... + m_C_2 * 15^2 + m_C_1 * 15 + m_C_0 * 1 （ただし x_C_y はコンビネーション。これをmod 5 して、(16^m)mod5 = m_C_0*1 = 1 －－－②①が②までによって示された。いろいろと美しくない解法になった。下一桁が6同士の数なら何回かけても下一桁は6というのを堅めに示すのが難しい。ああ。それは (10p+6)*(10q+6) = 10(10pq+6(p+q)+3) + 6 で充分か。
偶数であることは明らかから、5の倍数になることのみ示せばよい。これは帰納法で容易にチェックできます。
帰納法の解n=k(≧2)のとき2^(2^k)≡6 (mod10)と仮定すると2^(2^(k+1))=2^(2^k)×2^(2^k)≡6×6≡36≡6 (mod10)以下略
細かいことを言うとn=2のに成り立つことを言わないとダメじゃないですかね。
@@moriririn 以下略←
ぱわふる 帰納法ならそこの部分略さない方がいいと思います。
@@moriririn 「n=2の場合｣は帰納法としては重要な部分だけど、証明の本質ではないので省略しました。僕のコメントを見て「n=2の場合の証明は必要なし｣って解釈する人はいないと思うし。RUclipsのコメントくらい省略させてくれ🙏
なんで2のkじょう2個もでてくるの？おしえてください
16のべき乗の１の位は必ず6になるから、、、下手したら、中学生でも解ける。
AKIITO先生是非教えて下さい。A^B^Cと言われたとき、この式は(A^B)^CなのかA^(B^C)なのかが良く分りませんでした。ルールを教えてもらえたらうれしいです。3^2^3の例でお願いいたします。
帰納法でも良いっすね
modの方が汎用性はあるだろうけど、この問題だけ見るなら2^(2^n)がn≧2では必ず16のべき乗になることに気付けば、一の位が必ず6になるので6を引いたら一の位は必ず0つまり10で割れる。正直、暗算でもいけそうな感じがする。
modは表記上の問題であって、結局「一の位が必ず6」というのは「周期が1である」という周期性を利用しているので同じことです。
@@akito4829odが身についてる人には同じと捉えられますけど、そうではない人には割る数が10だから簡単、割る数が変わると行き詰まるかも、となる気がするのです。じっくり考えれば同じであることに気付けるとは思いますが、やはりできれば合同式という式操作に慣れておきたいかなあと。私自身、まだイマイチ慣れてないと感じているので(^^;
帰納法でmod10のままといた
ボケがすごいこの問題は解けた
おそらく、今回はネタが尽きたんだと思う
周期性については入試で書く時どのように書いたらいいんですかね？いくつか例を示してこれだからこの周期になりますじゃさすがにだめですよね？
計算して4を1周期とすることがわかるので解答する際は指数mをm=4k,4k+1,4k+2,4k+3で場合わけしてあげれば問題ないと思いますよ。
@@野口大樹-b2f なるほどありがとうございます！
雑に書くなら「帰納的に」とする（書かないよりマシ）か、ちゃんと書くなら「2^(n+4)=16×2^n≡1×2^n」を書けばよいと思います！
わっはっは(棒)ｿｰﾀﾞｯ↑
4のn乗にして帰納法にすれば…
4のn乗ではないけど帰納法つかうわw
さるほどにお兄は？我かい？我はかれなり。かれとて、よも、かの、かれなる！？わっはっは。さり。
一瞬面食らうかもしれないけど、とりあえず2、3と代入すれば意図に気がつくはずあとは適当にそれっぽく証明書いておしまい。とりあえず手を動かすことの重要性を教えてくれる
帰納法でmod使う方法しか思いつかんかったな。
おれも帰納法でできま
最後の証明終了の式、1と6を書き間違えてる（指摘できることが内容と関係ないことしかない）
たしかにホーという感じですね。法だけに。
帰納法で1発()
問題より、2^(2^(n))の読み方が難しい。舌噛んだ｡･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡
なんでmを4で割った余りを考えるんですか？どなたかお願いします
2^mを5で割った余りは2,4,3,1の4つを1周期として表れるそこで指数mが周期の何番目にあたるかを調べるために4で割った余りを考えます。例えば2^10=1024であれば1024÷5=204余り4ですが指数の10は10÷4=2余り2で周期の二番目であることが分かりますね
のすとらグッチ ありがとうございます！
1つ伺いたい問題があるんですがどうすれば応募出来ますか？
TwitterのDMで問題のリクエストが来たので解いていきますと以前言っていた気がするのでそれでいかがでしょうか？
安田敬助 なるほどですありがとうございます
数学実況では送られてきた問題から採用しておりますのでそちらでよろしければ！整数マスターになりたいという方の応募は現在しておりませんのでご了承ください。
2^(2^n)かい
ほーん
ほーう
いち
いちこめじゃごらぁぁぁぁ
ナヨンらぶ ボケがちげーんだよ
Suzu ka なにが？
ヨ〇ノリといいAKITOさんといい東大教育系RUclipsrはボケに関して謎の感性を持っているようだ…
問題よりも寸劇の方がネタ切れ間近
2:00 今回の見どころ
実はその気になれば中学生でも解けるような問題です。
例えばですが
12345678×3245677の値は計算するのが大変ですが、
１の位だけならお互いの１の位の積8×7=56より6とアッサリわかります。
特に1の位が6の数は
6×6=36(１の位は6)
36×6=216(1の位は6)
...
要するに1の位が6の数を何回かけようが1の位は6です。
これを利用していいならこの問題は楽勝です。
証明
n≧2の時、
2^(2^n)=(2^4)^p=16^p (p=2^(n-2)となる自然数)
ここで、16は1の位が6なので何回かけようが1の位は6より16^pの1の位は6である。
よって、1の位が6の数から6を引いた与式の１の位は0。
すなわち、与式は１０の倍数である。（証明終）
その他先生が言っていない別解として
x^n-1の因数分解を利用すると言う方法もあります。
証明
(2^(2^n)=16^pに変形する場所までは同じ)
16^p-6は明らかに偶数より与式が10の倍数である事を示すには
16^p-6が5の倍数である事を示しても良い。
16^p-6=16^p-1-5
=(16-1){16^(p-1)+16^(p-2)+...+16^1+1}-5
=15{16^(p-1)+16^(p-2)+...+16^1+1}-5
15{16^(p-1)+16^(p-2)+...+16^1+1},5共に5の倍数なので与式は5の倍数。
以上より与式は10の倍数。（証明終）
@かたやさや
冒頭で「中学生でも出来る」と言ってしまったので
あえて合同式は使いませんでしたが、
合同式なら任意の自然数nでa≡6(mod10)→a^n≡6(mod10)でいいですね。
確かにmodは計算を楽に出来ますが、その一方で過信は禁物なんですよねぇ...
理由は２つあって
その①
modだけに頼ると連続するn個の数の積はn!などの公式は逆に手間がかかる。
例えば、n^3-nは(n-1)n(n+1)と連続する3つの整数の積に変換出来るので
6(=3!)倍数という情報がすぐにわかりますが、
合同式しか知らないとn≡0,1,2,...,5(mod6)と計算する必要があって面倒です。
こういうパターンは「面倒」なだけであって理論上答えは出るのでいいですが、次のパターンは最悪答えすら求められません。
その②
不等式を使う証明と致命的に相性が悪い
合同式はあくまで倍数問題と相性がいいだけで不等式だと役立たずになる局面が多いです。
例えば、
nを自然数として√(n^2+1)は自然数にならない事を示せ
だと
不等式なら
n^2
ポケットじゃない方
tizeki hyakuni さんの1つめの証明でご指摘されたことが書いてありますよ！
ポケットじゃない方 まあまあ怒らないでも笑
n≥2 ならば 2^n は4の倍数だから、これを 4m と置けば mod5 で
2^2^n-6=2^4m-6=16^m-6≡1^m-1=0
最初一人で座って喋ってんの想像したら草
シリーズ#14になり、整数問題の世界が楽しくなって来ました。
詰め将棋な、アキト選手の戦い方がお気に入りです。
5分で振り返る"整数マスターに俺はなる"
AKITO)整数マスターに、俺はなるっ！
A)整数マスターに、俺はなるっ！👍
A)整数マスターに、俺はなるぅ✊
A)整・数・マスターにぃ、俺はなるぅ⤴︎
A)整数ﾏｽﾀ-に俺はなる✊
A)整⤴︎数⤵︎マスターに、おらはなる⤵︎✊
A)あ、あの、せせっ、整数マスターに僕はなりたいんです…
お母さん)なぁに？整数マスターになりたいだって？馬鹿なこと言ってないでさっさと勉強しなさいよ。
A)はぃ…
A)母さん、やっぱり俺、整数マスターの夢、諦め切れないよ。
母)私も少し言い過ぎたわね。あんたがそこまで言うんだったら頑張ってみなさい？でもぉ、お父さんにはちゃんと言うんだよ？
A)うん、わかった！ありがとう、お母さん！
A)親父…大事な話があるんだ。俺、整数マスターになろうと思ってるんだ。
親父)ん"ん……。認めん。
A)親父、どうして、整数マスターの道を認めてくれないんだ？お母さんだって応援するって言ってくれたんだよ？
父)ん"ん……。あいつには…勝てん。
A)親父が言ってたあいつって誰なんだろう…？でも、挑戦もする前に無理と言われても、納得できないよ。
ナレーション)こうしてAKITOは親父には内緒で整数マスターへの道を進めることにした。
お兄さん)坊や、一体君は何者なんだい？
A)僕？AKITO。整数マスターになりたいんだっ
兄)ふっはっは。そうかい、頑張り給へ。
A)ところで、お兄さんは？
兄)私かい？あいつだ。
A)あいつ？あいつって…まさか…あの、あいつなの？
兄)ふっはっは。そーだっ。
こうやってみるとちゃんとストーリー性あって草
2^mの一の位は2,4,8,6,2,4,8,6・・・とループする。
一方、指数m=2^nはnが2以上の時4の倍数であるから
2^(2^n)の一の位は6である。よって6を引くと10の倍数である。(証明終)
僕もそれでやりました！
俺もそれで証明した。
法って感じ！
帰納法と合同式でゴリ押しました
お兄さんって感じの喋り方じゃなくて草
問題はどこから選んでますか？
これと全く同じ問題を河合塾の夏期講習で見ました。
もしあきとさんが自分で選んでるとしたら、その道のプロと同じ感覚を持ってることに繋がりますね…流石です…
シンプルでかつ自分がいいと思った問題を探して選んでいます！
AKITOの特異点 やっぱり自分で選んでるんですね、、！
学習院大学の過去問は触ったことあったから解き方はすぐ分かったけど…
こんなスマートに解けるのかよ…
１年ぶりに見返したが完全に忘れてる・・・復習が必要
合成数で割った余り→法の分解 2^n=2^((n-1)+1)に分解
余りの周期性に注目
整数マスターってあいつって呼ばれるほど伝説になったのか...
自分でやってみたけど意外と出来て嬉しいw
これ解いてったら結構簡単に
256^n -2 （nは3以上）に出来るから
これMOD10だと6になるし
nが2の時は普通に10で割れるから
で良いですかね？
本編ちょっとよく分かんなくて1から見直してきた
簡単じゃないか！
まず2をくくり出して 2(2^(2^n-1)-3) で、n≧2 より、2^n≧4 より、2^n-1≧3 となって外側の(2^(2^n-1)-3)が整数が確認された。よって2の倍数である。
次に与式をmod5して、2^(2^n) mod 5 -1 となって、これが5の倍数であるとき、2^(2^n)mod5 -1 = 0 から 2^(2^n)mod5 = 1 を示せばよい。 ーーー①
n=2のとき 2^(2^2)=16
n=3のとき 2^(2^3)=256
n=4のとき 2^(2^4)=65536
ふむ。
2^(2^n) = 2^(2^(n-2+2)) = 2^(2^2 * 2^(n-2))= 2^(4*2^(n-2)) = (2^4)^(2^(n-2) = 16^(2^(n-2)) これと n≧2において、これは16^m ただしmは自然数に「含まれる」事がわかった。
二項定理。
(15+1)^m= m_C_0*15^m + m_C_1 * 15^(m-1) + m_C_2 * 15^(m-2) .... + m_C_2 * 15^2 + m_C_1 * 15 + m_C_0 * 1 （ただし x_C_y はコンビネーション。
これをmod 5 して、
(16^m)mod5 = m_C_0*1 = 1 －－－②
①が②までによって示された。
いろいろと美しくない解法になった。
下一桁が6同士の数なら何回かけても下一桁は6というのを堅めに示すのが難しい。
ああ。それは (10p+6)*(10q+6) = 10(10pq+6(p+q)+3) + 6 で充分か。
偶数であることは明らかから、5の倍数になることのみ示せばよい。これは帰納法で容易にチェックできます。
帰納法の解
n=k(≧2)のとき
2^(2^k)≡6 (mod10)
と仮定すると
2^(2^(k+1))=2^(2^k)×2^(2^k)
≡6×6≡36≡6 (mod10)
以下略
細かいことを言うとn=2のに成り立つことを言わないとダメじゃないですかね。
@@moriririn 以下略←
ぱわふる 帰納法ならそこの部分略さない方がいいと思います。
@@moriririn
「n=2の場合｣は帰納法としては重要な部分だけど、証明の本質ではないので省略しました。
僕のコメントを見て「n=2の場合の証明は必要なし｣って解釈する人はいないと思うし。
RUclipsのコメントくらい省略させてくれ🙏
なんで2のkじょう2個もでてくるの？おしえてください
16のべき乗の１の位は必ず6になるから、、、
下手したら、中学生でも解ける。
AKIITO先生是非教えて下さい。A^B^Cと言われたとき、この式は(A^B)^CなのかA^(B^C)なのかが良く分りませんでした。ルールを教えてもらえたらうれしいです。3^2^3の例でお願いいたします。
帰納法でも良いっすね
modの方が汎用性はあるだろうけど、この問題だけ見るなら
2^(2^n)がn≧2では必ず16のべき乗になることに気付けば、一の位が必ず6になるので6を引いたら一の位は必ず0
つまり10で割れる。
正直、暗算でもいけそうな感じがする。
modは表記上の問題であって、結局「一の位が必ず6」というのは
「周期が1である」という周期性を利用しているので同じことです。
@@akito4829odが身についてる人には同じと捉えられますけど、そうではない人には割る数が10だから簡単、割る数が変わると行き詰まるかも、となる気がするのです。
じっくり考えれば同じであることに気付けるとは思いますが、やはりできれば合同式という式操作に慣れておきたいかなあと。
私自身、まだイマイチ慣れてないと感じているので(^^;
帰納法でmod10のままといた
ボケがすごい
この問題は解けた
おそらく、今回はネタが尽きたんだと思う
周期性については入試で書く時どのように書いたらいいんですかね？いくつか例を示してこれだからこの周期になりますじゃさすがにだめですよね？
計算して4を1周期とすることがわかるので
解答する際は指数mを
m=4k,4k+1,4k+2,4k+3で場合わけしてあげれば
問題ないと思いますよ。
@@野口大樹-b2f なるほどありがとうございます！
雑に書くなら「帰納的に」とする（書かないよりマシ）か、
ちゃんと書くなら「2^(n+4)=16×2^n≡1×2^n」を書けばよいと思います！
わっはっは(棒)ｿｰﾀﾞｯ↑
4のn乗にして帰納法にすれば…
4のn乗ではないけど帰納法つかうわw
さるほどにお兄は？
我かい？我はかれなり。
かれとて、よも、かの、かれなる！？
わっはっは。さり。
一瞬面食らうかもしれないけど、とりあえず2、3と代入すれば意図に気がつくはず
あとは適当にそれっぽく証明書いておしまい。
とりあえず手を動かすことの重要性を教えてくれる
帰納法でmod使う方法しか思いつかんかったな。
おれも帰納法でできま
最後の証明終了の式、1と6を書き間違えてる（指摘できることが内容と関係ないことしかない）
たしかにホーという感じですね。法だけに。
帰納法で1発()
問題より、2^(2^(n))の読み方が難しい。
舌噛んだ｡･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡
なんでmを4で割った余りを考えるんですか？
どなたかお願いします
2^mを5で割った余りは2,4,3,1の4つを1周期として表れる
そこで指数mが周期の何番目にあたるかを調べるために
4で割った余りを考えます。
例えば
2^10=1024であれば
1024÷5=204余り4ですが
指数の10は10÷4=2余り2で
周期の二番目であることが分かりますね
のすとらグッチ
ありがとうございます！
1つ伺いたい問題があるんですがどうすれば応募出来ますか？
TwitterのDMで問題のリクエストが来たので解いていきますと以前言っていた気がするのでそれでいかがでしょうか？
安田敬助
なるほどです
ありがとうございます
数学実況では送られてきた問題から採用しておりますのでそちらでよろしければ！
整数マスターになりたいという方の応募は現在しておりませんのでご了承ください。
2^(2^n)かい
ほーん
ほーう
いち
いちこめじゃごらぁぁぁぁ
ナヨンらぶ ボケがちげーんだよ
Suzu ka
なにが？