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modの法を変えて使うことのできるmodの性質を教えて欲しいです
ken 0 これめっちゃ需要あると思います
最初の下二桁が100で割った余りだってことがいきなり盲点
備忘録80G" 【目標設定力→別解】 ( mの下2桁 )＝ 10a＋b ( aと bは、0, 1, ･･･ , 9 ) とおくことができる。 二項定理より、 5 m⁴ ＝ 5 ( 10a＋b )⁴ ＝ 5 { (10a)⁴ ＋･･＋4Ｃ3(10a)¹ b³ ＋b⁴ } これより、( 5 m⁴ の下2桁 )＝ ( 5b⁴ の下2桁 ) 最後は、下2桁のみの計算を 10通り表記して、 異なるものは 05, 80, 25, 00 ■Akitoさんの、合同式での法の分解や 法の整数倍などの操作は、〖難〗
俺もコレ。
いつも見てます⭐︎今日は思い切って解答案を投稿してみますね。5m^4≡0か1(mod4)5m^4≡0か5(mod25)に中国剰余定理を4回使って、4つの解を絞り出すとかどうでしょう？使う定理はすべて大学受験レベル内です！2個目の合同式(mod25の側)が導出しづらいですね…。5m^4≡0を満たすmが存在することはすぐにわかりますが、≡0でないときmが存在するような合同式右辺の値を求めるのが少し面倒です。m^4≡a(mod25)とするとm^20≡1(mod25) (∵オイラー定理)から a^5≡1(mod25)このときa≡1(mod5) ⇔ 5a≡5(mod25)∴ 5m^4≡5(mod25)
m=10a+b とおいて、5(10a+b)^4=100(500×a^2+200×a^3×b+30×a^2×b^2+2×a×b^3)+5b^4よって 5b^4 の下2桁を調べれば良いあとは気合い最悪これでもできそう笑
a≡b(mod 2k)⇒a²≡b²(mod 4k)初耳でした。ありがとうございます。
合同式の法は当然のように（解答用紙に何も記述せず）変えていいんですか？
綺麗すぎる…感動
他の人と同じような解答ではありますが、a,bを整数とすると（a,bは１桁でなくても良い）(mod 100)5 * (10a + b)^4≡5 * ( 100a^2 + 20ab + b^2 ) ^2≡5 * ( 20ab + b^2 ) ^2≡5 * ( 400 a^2 b^2 + 40 a b^3 + b^4 )≡5 * ( 40 a b^3 + b^4)≡200 a b^3 + 5b^4≡5b^4よってA ≡ B (mod 10)のとき5*A^4 ≡ 5*B^4 (mod 100)が成立。m ≡ 0,±1,±2, ±3, ±4, 5 (mod 10)なので(mod 100)5*m^4 ≡ 5*0^4, 5*(±1)^4, 5*(±2)^4, 5*(±3)^4, 5*(±4)^4, 5*5^4≡0, 5*1^2, 5*4^2, 5*9^2, 5*16^2, 5*25^2≡0, 5*1, 5*16, 5*81, 5*256, 5*625≡0, 5, 80, 405, 5*56, 5*25≡0, 5, 80, 5, 280, 125≡0, 5, 80, 5, 80, 25よって、0, 5, 25, 80自分はこんな感じにしました。modを変換してますが、その実は剰余分類しただけとなってます。発想としては、10^2 = 100 なので、mを10で割った余りで分類したら何とか行けるかも？というところですね。
さすが東大と言わんばかりの話のすり替え技術
5:09のこれは断りなしに使って良いのでしょうか？
「どうせ下2桁だけに注目すればいいだろう」と思いつつ、時間のかかる作業を行なった。m=10a+b(aとbは0から9までの整数)と置いて、5(10a+b)^4をわざわざ展開して、100以上の係数の項は捨てた。そしたら残った項は5b^4(一の位)だけと分かったのでそこからわざわざ0から9の表を作って解いた。modの式であんな簡単に出来るのを知って衝撃。もう中3か高1で教えるべき。
こういう問題を折目正しいっていうんかな
114514回見た問題いい問題ですよね
この手の問題は周期性が出るまでひたすら実験を繰り返していました。
法を変えるという使い方はなかなか出来ないなあ
modなんか高校でやらんかったわ
合同式の使い方全く分からん…マスターしたらめちゃくちゃ強そう
kakemika 合同式は必修課程から外れた割に定義も性質もイメージも簡単なので、RUclipsとかで調べてみて使えるようになれば楽できるところはかなり楽できますよ！それに解答もすっきりする。
ｍ^4 (mod 20)からm^2 (mod 10)となるのでしたら、さらにm (mod 5)とはならないのでしょうか？
@Takuro Matsumoto 別の方が理由を教えてくれたので理解できました
@@IT-vn7gj 僕にもその理由を教えていただけませんか？
@@user-lb4hy8ib2o 返信くれた方がいて、コメントを自分で削除してしまったかわからないですがもう見れなくなってしまっていて、でも通知のところに情報が残ってたので見れたのですが、それによるとmod 20の「20」の部分が4kのように表せることが必要なのだそうです。10は4の倍数でないのでダメなようですね。
平方メートルと立方メートルの次の単位かと思ってしまった。胞方メートル？
なんでmの2乗(mod10)をｍ(mod5])にして進んでいけないんですか
動画と同様に確かめてみればわかります。
5が2kの形でない
次回は親父とアイツの対話か。
合同式使わないやり方とかあったらそれも紹介して欲しいです🤯
m=10k+a(a=0,±1~4,5の6通り)を代入すればできるよ
合同式は商を書く手間を省略しているだけなのでその都度、商を文字でおいて同じ解き方をすれば良いんじゃないでしょうか5m^4 ＝100K + aとおくと（K,aは整数）左辺と100Kが5の倍数よりaは5の倍数なのでa=5b（bは整数）とおくとm^4 = 20K + bここでm^2=10L+c（L,cは整数）とおくと～（以下略）でほぼ同じになると思います。いちいち置く文字を整数だとか宣言が必要になりますが
【気づいたこと】新しい整数問題が出る度に、このシリーズは続く↓始めのストーリーもネタ切れになりながらも続く↓整数マスターに俺はなれない
この問題京大の黄色本でも扱ってましたね
アムール貝 失礼します。自分も全く同じことを言おうと思ってました笑
解けそうだけど解けないという良問
横国にもこんな問題あったな
225(15²)秒で振り返る"整数マスターに俺はなる"AKITO)整数マスターに、俺はなるっ！(3秒)A)整数マスターに、俺はなるっ！👍(4秒)A)整数マスターに、俺はなるぅ✊(5秒)A)整・数・マスターにぃ、俺はなるぅ⤴︎(7秒)A)整数ﾏｽﾀ-に俺はなる✊(2秒)A)整⤴︎数⤵︎マスターに、おらはなる⤵︎✊(4秒)A)あ、あの、せせっ、整数マスターに僕はなりたいんです…(4秒)お母さん)なぁに？整数マスターになりたいだって？馬鹿なこと言ってないでさっさと勉強しなさいよ。A)はぃ…(8秒)A)母さん、やっぱり俺、整数マスターの夢、諦め切れないよ。母)私も少し言い過ぎたわね。あんたがそこまで言うんだったら頑張ってみなさい？でもぉ、お父さんにはちゃんと言うんだよ？A)うん、わかった！ありがとう、お母さん！(17秒)A)親父…大事な話があるんだ。俺、整数マスターになろうと思ってるんだ。親父)ん"ん……。認めん。(14秒)A)親父、どうして、整数マスターの道を認めてくれないんだ？お母さんだって応援するって言ってくれたんだよ？父)ん"ん……。あいつには…勝てん。(14秒)A)親父が言ってたあいつって誰なんだろう…？でも、挑戦もする前に無理と言われても、納得できないよ。ナレーション)こうしてAKITOは親父には内緒で整数マスターへの道を進めることにした。(17秒)お兄さん)坊や、一体君は何者なんだい？A)僕？AKITO。整数マスターになりたいんだっ兄)ふっはっは。そうかい、頑張り給へ。(13秒)A)ところで、お兄さんは？兄)私かい？あいつだ。A)あいつ？あいつって…まさか…あの、あいつなの？兄)ふっはっは。そーだっ。(17秒)A)お兄さん、あいつだったんだね。折角だし、名前教えてよ。兄)ふっはっはっはっはっはっ。"あいつ"だぁ。A)え？あいつって名前だったの！？(15秒)A)親父、実は親父が言ってたあいつに会ってきたよ。あいつってあいつっていう名前だったんだね。父)ん"ん……。"そいつ"は…違う。(15秒)A)ねぇねぇ、お兄さん。お兄さん…あいつじゃないって本当なの…？兄)ふっはっはっはっはっはっ。あいつだぁ。アナウンス)テデーン。"あいつ"OUT(15秒)？？？)やぁやぁ、君は何をしているんだい？A)僕？整数マスターになろうと思ってるんだ？)おぉ⤴︎う、精々頑張ってくれよな(13秒)A)ところでお兄さんは？私)おぉ⤴︎う、俺か？"私"だ。A)私？もしかして、親父が言ってたあいつの事？(12秒)A)親父、自分の事を私って言う人に会ったんだけど、もしかして親父が言ってたあいつの事？父)ん"ん……。そいつかも…しれん。(14秒)A)親父、本当にあいつかもしれないのか？だったら直接あいつかどうか確かめてくれないかな？父)ん"ん……。分かった。(12秒)
諏訪友哉 もっと他のことに時間使ったら？？
@@かずま-r7g 辛辣すぎて草
@@かずま-r7g 塩対応で草
省略しすぎてて草
ちょっと中学生には難しい
かわいい声だったらめっちゃ集中して聞けそうw
かわいいやんけ！
なんか冒頭でシリーズ始めようとしてる
次回 親父vsアイツ激アツ展開に胸が躍る
我ネタ切れ…もゥまぢ無理…マスターオブ整数ゃろ…(>
ふーにゃん あれ面白いよね
下2桁....なるほど
合同式の割り算って余りも5の倍数じゃないと逆は成り立たないんj...余りは5の倍数でしたわってなった。m=10a+bって置いて解いた自分はまだまだ未熟みたい。
Mを１０a＋bって置くやり方は他の人がやってましたよ
その解法は発想が簡単で、しかも、3分もあれば10通りの計算は終わるという利点があるんだが。AKITO氏の解法がすぐ出て来るレベルでないと、恐らくその解法の方が早くとき終わる。
a≡ｂ（3k）のときa^2≡b^2(9k)であってますか？
それは成立しません。a=3kl+bのとき、a^2=9k^2l^2+6klb+b^2なので、mod9kでは第2項が0になるとは限りません。ちなみに、a≡b(mod 3k)のとき、a^3≡b^3 (mod 9k) は成立します。これは、上と同様に展開するとb^3の項以外は3と3kの積が登場するためです。
@@akito4829 そうか二乗だと2項目は6になるのか、思い込みで計算したらダメですね。ありがとうございました
modの法を変えて使うことのできるmodの性質を教えて欲しいです
ken 0
これめっちゃ需要あると思います
最初の下二桁が100で割った余りだってことがいきなり盲点
備忘録80G" 【目標設定力→別解】 ( mの下2桁 )＝ 10a＋b ( aと bは、0, 1, ･･･ , 9 )
とおくことができる。 二項定理より、 5 m⁴ ＝ 5 ( 10a＋b )⁴
＝ 5 { (10a)⁴ ＋･･＋4Ｃ3(10a)¹ b³ ＋b⁴ } これより、( 5 m⁴ の下2桁 )＝ ( 5b⁴ の下2桁 )
最後は、下2桁のみの計算を 10通り表記して、 異なるものは 05, 80, 25, 00 ■
Akitoさんの、合同式での法の分解や 法の整数倍などの操作は、〖難〗
俺もコレ。
いつも見てます⭐︎
今日は思い切って解答案を投稿してみますね。
5m^4≡0か1(mod4)
5m^4≡0か5(mod25)
に中国剰余定理を4回使って、4つの解を絞り出すとかどうでしょう？
使う定理はすべて大学受験レベル内です！
2個目の合同式(mod25の側)が導出しづらいですね…。
5m^4≡0を満たすmが存在することはすぐにわかりますが、≡0でないときmが存在するような合同式右辺の値を求めるのが少し面倒です。
m^4≡a(mod25)とすると
m^20≡1(mod25) (∵オイラー定理)
から a^5≡1(mod25)
このときa≡1(mod5) ⇔ 5a≡5(mod25)
∴ 5m^4≡5(mod25)
m=10a+b とおいて、
5(10a+b)^4=100(500×a^2+200×a^3×b+30×a^2×b^2+2×a×b^3)+5b^4
よって 5b^4 の下2桁を調べれば良い
あとは気合い
最悪これでもできそう笑
a≡b(mod 2k)⇒a²≡b²(mod 4k)
初耳でした。ありがとうございます。
合同式の法は当然のように（解答用紙に何も記述せず）変えていいんですか？
綺麗すぎる…感動
他の人と同じような解答ではありますが、
a,bを整数とすると
（a,bは１桁でなくても良い）
(mod 100)
5 * (10a + b)^4
≡5 * ( 100a^2 + 20ab + b^2 ) ^2
≡5 * ( 20ab + b^2 ) ^2
≡5 * ( 400 a^2 b^2 + 40 a b^3 + b^4 )
≡5 * ( 40 a b^3 + b^4)
≡200 a b^3 + 5b^4
≡5b^4
よって
A ≡ B (mod 10)
のとき
5*A^4 ≡ 5*B^4 (mod 100)
が成立。
m ≡ 0,±1,±2, ±3, ±4, 5 (mod 10)
なので
(mod 100)
5*m^4 ≡ 5*0^4, 5*(±1)^4, 5*(±2)^4, 5*(±3)^4, 5*(±4)^4, 5*5^4
≡0, 5*1^2, 5*4^2, 5*9^2, 5*16^2, 5*25^2
≡0, 5*1, 5*16, 5*81, 5*256, 5*625
≡0, 5, 80, 405, 5*56, 5*25
≡0, 5, 80, 5, 280, 125
≡0, 5, 80, 5, 80, 25
よって、
0, 5, 25, 80
自分はこんな感じにしました。
modを変換してますが、その実は剰余分類しただけとなってます。
発想としては、10^2 = 100 なので、
mを10で割った余りで分類したら何とか行けるかも？というところですね。
さすが東大と言わんばかりの話のすり替え技術
5:09のこれは断りなしに使って良いのでしょうか？
「どうせ下2桁だけに注目すればいいだろう」と思いつつ、時間のかかる作業を行なった。
m=10a+b(aとbは0から9までの整数)と置いて、5(10a+b)^4をわざわざ展開して、100以上の係数の項は捨てた。そしたら残った項は5b^4(一の位)だけと分かったのでそこからわざわざ0から9の表を作って解いた。
modの式であんな簡単に出来るのを知って衝撃。もう中3か高1で教えるべき。
こういう問題を折目正しいっていうんかな
114514回見た問題
いい問題ですよね
この手の問題は周期性が出るまでひたすら実験を繰り返していました。
法を変えるという使い方はなかなか出来ないなあ
modなんか高校でやらんかったわ
合同式の使い方全く分からん…
マスターしたらめちゃくちゃ強そう
kakemika 合同式は必修課程から外れた割に定義も性質もイメージも簡単なので、RUclipsとかで調べてみて使えるようになれば楽できるところはかなり楽できますよ！それに解答もすっきりする。
ｍ^4 (mod 20)からm^2 (mod 10)となるのでしたら、さらにm (mod 5)とはならないのでしょうか？
@Takuro Matsumoto 別の方が理由を教えてくれたので理解できました
@@IT-vn7gj 僕にもその理由を教えていただけませんか？
@@user-lb4hy8ib2o 返信くれた方がいて、コメントを自分で削除してしまったかわからないですがもう見れなくなってしまっていて、でも通知のところに情報が残ってたので見れたのですが、
それによるとmod 20の「20」の部分が4kのように表せることが必要なのだそうです。10は4の倍数でないのでダメなようですね。
平方メートルと立方メートルの次の単位かと思ってしまった。
胞方メートル？
なんでmの2乗(mod10)をｍ(mod5])にして進んでいけないんですか
動画と同様に確かめてみればわかります。
5が2kの形でない
次回は親父とアイツの対話か。
合同式使わないやり方とかあったらそれも紹介して欲しいです🤯
m=10k+a(a=0,±1~4,5の6通り)を代入すればできるよ
合同式は商を書く手間を省略しているだけなので
その都度、商を文字でおいて同じ解き方をすれば良いんじゃないでしょうか
5m^4 ＝100K + aとおくと（K,aは整数）
左辺と100Kが5の倍数よりaは5の倍数なのでa=5b（bは整数）とおくと
m^4 = 20K + b
ここでm^2=10L+c（L,cは整数）とおくと～（以下略）でほぼ同じになると思います。
いちいち置く文字を整数だとか宣言が必要になりますが
【気づいたこと】
新しい整数問題が出る度に、このシリーズは続く
↓
始めのストーリーもネタ切れになりながらも続く
↓
整数マスターに俺はなれない
この問題京大の黄色本でも扱ってましたね
アムール貝
失礼します。自分も全く同じことを言おうと思ってました笑
解けそうだけど解けないという良問
横国にもこんな問題あったな
225(15²)秒で振り返る"整数マスターに俺はなる"
AKITO)整数マスターに、俺はなるっ！
(3秒)
A)整数マスターに、俺はなるっ！👍
(4秒)
A)整数マスターに、俺はなるぅ✊
(5秒)
A)整・数・マスターにぃ、俺はなるぅ⤴︎
(7秒)
A)整数ﾏｽﾀ-に俺はなる✊
(2秒)
A)整⤴︎数⤵︎マスターに、おらはなる⤵︎✊
(4秒)
A)あ、あの、せせっ、整数マスターに僕はなりたいんです…
(4秒)
お母さん)なぁに？整数マスターになりたいだって？馬鹿なこと言ってないでさっさと勉強しなさいよ。
A)はぃ…
(8秒)
A)母さん、やっぱり俺、整数マスターの夢、諦め切れないよ。
母)私も少し言い過ぎたわね。あんたがそこまで言うんだったら頑張ってみなさい？でもぉ、お父さんにはちゃんと言うんだよ？
A)うん、わかった！ありがとう、お母さん！
(17秒)
A)親父…大事な話があるんだ。俺、整数マスターになろうと思ってるんだ。
親父)ん"ん……。認めん。
(14秒)
A)親父、どうして、整数マスターの道を認めてくれないんだ？お母さんだって応援するって言ってくれたんだよ？
父)ん"ん……。あいつには…勝てん。
(14秒)
A)親父が言ってたあいつって誰なんだろう…？でも、挑戦もする前に無理と言われても、納得できないよ。
ナレーション)こうしてAKITOは親父には内緒で整数マスターへの道を進めることにした。
(17秒)
お兄さん)坊や、一体君は何者なんだい？
A)僕？AKITO。整数マスターになりたいんだっ
兄)ふっはっは。そうかい、頑張り給へ。
(13秒)
A)ところで、お兄さんは？
兄)私かい？あいつだ。
A)あいつ？あいつって…まさか…あの、あいつなの？
兄)ふっはっは。そーだっ。
(17秒)
A)お兄さん、あいつだったんだね。折角だし、名前教えてよ。
兄)ふっはっはっはっはっはっ。"あいつ"だぁ。
A)え？あいつって名前だったの！？
(15秒)
A)親父、実は親父が言ってたあいつに会ってきたよ。あいつってあいつっていう名前だったんだね。
父)ん"ん……。"そいつ"は…違う。
(15秒)
A)ねぇねぇ、お兄さん。お兄さん…あいつじゃないって本当なの…？
兄)ふっはっはっはっはっはっ。あいつだぁ。
アナウンス)テデーン。"あいつ"OUT
(15秒)
？？？)やぁやぁ、君は何をしているんだい？
A)僕？整数マスターになろうと思ってるんだ
？)おぉ⤴︎う、精々頑張ってくれよな
(13秒)
A)ところでお兄さんは？
私)おぉ⤴︎う、俺か？"私"だ。
A)私？もしかして、親父が言ってたあいつの事？
(12秒)
A)親父、自分の事を私って言う人に会ったんだけど、もしかして親父が言ってたあいつの事？
父)ん"ん……。そいつかも…しれん。
(14秒)
A)親父、本当にあいつかもしれないのか？だったら直接あいつかどうか確かめてくれないかな？
父)ん"ん……。分かった。
(12秒)
諏訪友哉 もっと他のことに時間使ったら？？
@@かずま-r7g 辛辣すぎて草
@@かずま-r7g 塩対応で草
省略しすぎてて草
ちょっと中学生には難しい
かわいい声だったらめっちゃ集中して聞けそうw
かわいいやんけ！
なんか冒頭でシリーズ始めようとしてる
次回 親父vsアイツ
激アツ展開に胸が躍る
我ネタ切れ…
もゥまぢ無理…マスターオブ整数ゃろ…(>
ふーにゃん あれ面白いよね
下2桁....なるほど
合同式の割り算って余りも5の倍数じゃないと逆は成り立たないんj...余りは5の倍数でしたわってなった。
m=10a+bって置いて解いた自分はまだまだ未熟みたい。
Mを１０a＋bって置くやり方は他の人がやってましたよ
その解法は発想が簡単で、しかも、3分もあれば10通りの計算は終わるという利点があるんだが。AKITO氏の解法がすぐ出て来るレベルでないと、恐らくその解法の方が早くとき終わる。
a≡ｂ（3k）のとき
a^2≡b^2(9k)であってますか？
それは成立しません。
a=3kl+bのとき、a^2=9k^2l^2+6klb+b^2なので、mod9kでは第2項が0になるとは限りません。
ちなみに、a≡b(mod 3k)のとき、a^3≡b^3 (mod 9k) は成立します。
これは、上と同様に展開するとb^3の項以外は3と3kの積が登場するためです。
@@akito4829 そうか二乗だと2項目は6になるのか、思い込みで計算したらダメですね。ありがとうございました