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これは、初めから直角の横に底辺を２cm伸ばし、頂点と結べば、10cm、10cmの二等辺三角形ができるので、答えが分かると思います。
作図してみたら２つの二等辺三角形が現れてあっという間に答えが出ました。感動的な補助線だと思います＼(^o^)／まさにブラボーです。
天才。シンプルかつ「言われて見たら何でこれに気が付かなかったのか」という悔しさが残る補助線ｗ
縦の6cmがある意味ミスリードっぽくなってるんですよね。この縦6cmが与えられていなければ多くの人が6+2+2=10にすぐ気付くと思う。
先生のヒントの出し方も秀逸です。それでも思いつかなかったですが、一歩手前で考える楽しみが持てました。直角の横に２㎝伸ばすのもやってみていましたが、それが大きな二等辺を作ることは見えなかった。
他の人達も書いてるけど2㎝、6㎝の直角三角形の左側に同じ直角三角形をくっ付けると全体が10㎝、10㎝の二等辺三角形が出来上がる。底角=○+×、頂角=○の二等辺三角形となり二等辺三角形の内角の和は180°だから180°=(○+×)×2+○=3○+2×よって、○=3個、×=2個
もう少し簡単に解きました。直角三角形をABCとしBC間の6cmがぶつかる点をD,CBの延長線上に2cm伸ばした点をEとすれば、三角形ABDと三角形ABEは合同なので∠AEC=∠ADE=○+✕ 一方三角形CAEは1辺10cmの２等辺三角形なので∠AEC=∠EAC=(180-○)÷2=○+✕即ち180=3○+2×となる。
6cm2cmの直角三角形を6cmの辺を対称軸に複写するだけで、底辺10cm。〇✕の等角、等角で、頂角〇底角〇✕の二等辺三角形。180°＝〇×3＋✕×2
個人的には、まなびスクエア史上トップクラスの難しさでした。きっと二等辺三角形を作るんだろうなという考えにはいたったんですが、どこに作ればいいのか分からず…。丸一日考えてようやく答えにたどり着きました。こういう問題って、算数の面白さの醍醐味ですよね。おっしゃることの意味よく分かります😆
こういう問題を作成する先生の能力って凄いんじゃないでしょうか？○×が整数個で収まるBGの長さを、どうやって導いたのかとか思ってしまいます。こちらは解くだけで、数日間考えたすえ「ACBを折り返せば」と閃いてやっと……。ですわ。
いつも楽しく拝見してます。 今回は解説の方が難しい解き方ですね。 同じ図形を高さ6cmの線を軸にコピーして底辺と平行に補助線を頂点と重なるように引く。 底辺4cmの二等辺三角形が確認できる。頂点の角度を△とし、×○が2つ確認できます。 一辺10cmの二等辺三角形の角度は○と×△と×○になります。 よって△と○は同じ角度で、答えは○3＋×3になる。新たに補助線を加えることなく視覚的に理解しやすいと思いました。
三角形の底辺を左に2cm伸ばして頂点と結ぶと二等辺三角形が大小できあがる。小さい方の両端角度は ◯+Ｘ両翼10cmの二等辺三角形は頂点角度がもともと ◯両翼の角度の一方が大小の二等辺三角形と共有しているので ◯+Ｘつまり ◯+Ｘ ◯+Ｘ ◯◯が3個 Ｘが2個
三角形で長さと角度を結び付けられるのは正三角形を含む二等辺三角形であることと、二等辺三角形が直角三角形二つが背中合わせになった図形であることを念頭に補助線を探すことが重要だと思います。他の方もおっしゃってるように、この問題は△ABGを折り返して二等辺三角形AGHを作ればあとは簡単です。二等辺三角形を作ろうと思っていれば、比較的短時間でたどり着けると思います。
ABを対象軸にG’をとって、三角形AG'Cが二等辺三角形になるのに気づいて解けました。何か月か前の動画で同じような作図した記憶があったのを思い出せたのですんなりひらめきました。
自力でなんとか解けておもしろかったです。10cmのヒントがあるのが不思議でどう活かすのかを考えて三角形ABGをひっくり返してABにつける方法で二等辺三角形つくって解答にたどりつけました。こう言う問題は何十年ぶりにやったんですけど昔こういう問題が好きだったので楽しめました。別の動画も完全に忘れている面積の解き方とかも知れてあらためて新鮮な気持ちになれました。
入試問題のテクニックとしてはこういう問題を捨て問として余計な労力を使わないようにすることも必要。自分の手に負えるかどうかの選球眼が勝敗を分ける。
二等辺三角形を見逃したのが残念（悔しい？）です。良い問題ですね。
すっきりな解説です。僕は大人なズル解法で、〇の二等分線で６を10:8に分割して、6：2と8：8/3で相似だから、細い角度は〇の半分だなって解きました。
最初の問題文の図に対して、全体の大きい直角三角形の各頂点を、上の点をAとして、反時計回りに点ABCを取り、BC上の点をDと置く。∠Cを2等分する線を引き、ABとの交点をEと置く。また∠ACD=α 、∠DAC=βとする。角の二等分線の性質より、AE:EB=AC:CB=10cm:8cm=5:4よりAB:EB=9:4よってEB=AB×4/9=6cm×4/9=8/3cm△ABDと△CBEに着目して、△ABDのうちAB:BD=6:2△CBEのうちCB:BE=8:8/3 、整理して6:2また∠ABD=∠CBE=90°よって△ABDと△CBEは2辺の比とその挟む角が等しいことから相似の為∠BAD=∠BCECEは角の二等分線の為∠BCE=1/2αなので∠BAD=1/2α△ABCは直角三角形より、∠BAC+∠ABC(α)=90°∠BAC=∠BAD+∠DAC(β)=1/2α+βを用いて(1/2α+β)+α=3/2α+β=90°両辺を二倍して3α+2β=180°コメント見てすぐに分からず頑張って理解して、おおっと思って俺みたいな数学得意じゃない勢にも伝えたくて文にしたけど、長すぎて逆にわかりにくくなったから、やっぱり数学を文字で伝えるのは難しい
小さい三角形を左側に作って10ｃｍの二等辺三角形にしてGに対応する角をG’とするAGB＝AG'B＝G'AC＝◯＋✖︎なので、そんな図形をたくさん並べなくてもできます。
上の四角の為の三角と右に継ぎ足した三角は不要ですよね？ 左に三角一つ足すだけで解けるのでは？
角BACを四等分した角度をAとして、辺AB(6ｃｍ)を一辺とする直角二等辺三角形を作ると45度=3AとなるのでA=15度。角GAC=3A=45度、角ACB=90－4A＝30度･･･ってやって解きましたけど、角度を分割するのはダメでしたっけ？
左の６cm、２cmの三角形を左側にも対象にくっつける。１０cmの２等辺三角形が完成。その２等辺三角形の２角が各々○＋×となる。でもラストの角が○１８０度=３○＋２×まあ、同じような考え方ですが、、Yuuさんと被っちゃいました。失礼しました
さ
直感で小さい方の三角形の左右対称のものを左に繋げたら直ぐに解けました。２cm足せば１０cmになりますね
小学校の範囲で解くのでしたらかなり難しいですね。もし中学校の範囲でこの問題を出すとしたら、10cmは伏せて、三平方の定理で10cmを出させるところから始める感じですかね？
ほんとに判るとスッキリですね！
補助線は2本でOK！6cm・2cmの直角三角形の2番目に大きい内角の大きさを☆とおく。外角の定理から、☆=○+×・・・①6cm・2cmの直角三角形を6cmの辺を軸に折り返えすと10cmの辺を2つ持つ二等辺三角形ができ、その内角の和から、☆+☆+○=180・・・②①、②より、180=○+×+○+×+○
コメントをいただきありがとうございます。とてもスマートな方法で素敵です！2cmと6cmの6cmの辺を軸にして折り返す発想が面白かったです！
@@manavisquare もっと言うと、図形全体をその軸でひっくり返したとき、2+2cm辺をひとつ持つ二等辺三角形と10cm辺をふたつ持つ二等辺三角形は相似(2つの角がそれぞれ等しい)なので、転写したもの含めた図形全体である二等辺三角形の内角の和が○+(×+○+×)+○になる、なんてやり方も。
素晴らしいです。最もシンプルでわかりやすい解法だと思います。
解説見てからの気付きですが、左側に小さい三角形を覆製して二等辺三角形作成の方がスッキリしますか。
これは難しい。相似も三角比も封じられると厳しいな〜
1:3:√10の直角三角形を四つ合わせて作った菱形に3:4:5の直角三角形が隠れていたのを見つけて解けた。中学の知識を使ってしまったわ。
辺CBの延長線上で、Cと反対側にBD＝２となる点Dを取る。すると、CD＝１０だから、三角形CADは二等辺三角形になる。したがって、∠ＡＤＣ＝∠CADところが、三角形ADGも二等辺三角形になるから、∠ＡＤＣ＝∠ＡＧＢさらに、∠ＡＧＢ＝ｘ＋ｙだから、∠ＡＤＣ＝ｘ＋ｙとなる。三角形ＣＡＤの内角の和は180°であるから、ｘ＋２（ｘ＋ｙ）＝180°∴３ｘ＋２ｙ＝180。
こんな問題、思いつく先生は変態ですね（誉め言葉）
補助線の引き方のセンス、そこからの思考の組み立てが大事。こういう問題を難なく解く子供達がいずれ東大京大早稲田慶應に入るんだろうな。
テスト所要時間の4割くらい割く余裕があれば出来そうだけど、それなら切って他見直した方が受かりそうな気もする
左の直角三角形を折り返してくっつければ斜辺10cmの二等辺三角形になる。底角は◯＋× 古い動画だからもう誰か書いてるかな。
初見で解けたら「解答を見ただろ？」って疑われるレベル
これは、難しいわ。
GＢを2㎝伸ばして二等辺三角形を作ると解けました。
sino=3/5 sin(o+x)=3/√10 cos(o+x)=1/√10 ∴sin2(o+x)=3/5=sino=sin(180°-o) ∴2(o+x)=180°-o ∴3o+2x=180°
単純に〇が30度なので〇6個と✕0個で、5秒もかからずに答え出ますね。
どうせ間違えるなら5秒もかからない方がマシ
私もまずぱっと見で○6個×0個じゃだめなの？ と思ってしまいましたが、そこが30度の三角形は3:4:5じゃなくて1:√3:2でした⋯。ちょっと確認すればわかることなのに、けっこう長いこと勘違いをしていたかもしれません。ともあれ気づいてよかった。
30度ではない
これは、初めから直角の横に底辺を２cm伸ばし、頂点と結べば、10cm、10cmの二等辺三角形ができるので、答えが分かると思います。
作図してみたら２つの二等辺三角形が現れてあっという間に答えが出ました。感動的な補助線だと思います＼(^o^)／まさにブラボーです。
天才。シンプルかつ「言われて見たら何でこれに気が付かなかったのか」という悔しさが残る補助線ｗ
縦の6cmがある意味ミスリードっぽくなってるんですよね。この縦6cmが与えられていなければ多くの人が6+2+2=10にすぐ気付くと思う。
先生のヒントの出し方も秀逸です。それでも思いつかなかったですが、一歩手前で考える楽しみが持てました。
直角の横に２㎝伸ばすのもやってみていましたが、それが大きな二等辺を作ることは見えなかった。
他の人達も書いてるけど2㎝、6㎝の直角三角形の左側に同じ直角三角形をくっ付けると全体が10㎝、10㎝の二等辺三角形が出来上がる。
底角=○+×、頂角=○の二等辺三角形となり二等辺三角形の内角の和は180°だから
180°=(○+×)×2+○=3○+2×
よって、○=3個、×=2個
もう少し簡単に解きました。
直角三角形をABCとしBC間の6cmがぶつかる点をD,CBの延長線上に2cm伸ばした点をEとすれば、三角形ABDと三角形ABEは合同なので∠AEC=∠ADE=○+✕ 一方三角形CAEは1辺10cmの２等辺三角形なので∠AEC=∠EAC=(180-○)÷2=○+✕
即ち180=3○+2×となる。
6cm2cmの直角三角形を6cmの辺を対称軸に複写するだけで、底辺10cm。
〇✕の等角、等角で、頂角〇底角〇✕の二等辺三角形。180°＝〇×3＋✕×2
個人的には、まなびスクエア史上トップクラスの難しさでした。
きっと二等辺三角形を作るんだろうなという考えにはいたったんですが、どこに作ればいいのか分からず…。丸一日考えてようやく答えにたどり着きました。
こういう問題って、算数の面白さの醍醐味ですよね。おっしゃることの意味よく分かります😆
こういう問題を作成する先生の能力って凄いんじゃないでしょうか？
○×が整数個で収まるBGの長さを、どうやって導いたのかとか思ってしまいます。
こちらは解くだけで、数日間考えたすえ「ACBを折り返せば」と閃いてやっと……。ですわ。
いつも楽しく拝見してます。 今回は解説の方が難しい解き方ですね。 同じ図形を高さ6cmの線を軸にコピーして底辺と平行に補助線を頂点と重なるように引く。 底辺4cmの二等辺三角形が確認できる。頂点の角度を△とし、×○が2つ確認できます。 一辺10cmの二等辺三角形の角度は○と×△と×○になります。 よって△と○は同じ角度で、答えは○3＋×3になる。
新たに補助線を加えることなく視覚的に理解しやすいと思いました。
三角形の底辺を左に2cm伸ばして頂点と結ぶと二等辺三角形が大小できあがる。
小さい方の両端角度は ◯+Ｘ
両翼10cmの二等辺三角形は頂点角度がもともと ◯
両翼の角度の一方が大小の二等辺三角形と共有しているので ◯+Ｘ
つまり ◯+Ｘ ◯+Ｘ ◯
◯が3個 Ｘが2個
三角形で長さと角度を結び付けられるのは正三角形を含む二等辺三角形であることと、二等辺三角形が直角三角形二つが背中合わせになった図形であることを念頭に補助線を探すことが重要だと思います。他の方もおっしゃってるように、この問題は△ABGを折り返して二等辺三角形AGHを作ればあとは簡単です。二等辺三角形を作ろうと思っていれば、比較的短時間でたどり着けると思います。
ABを対象軸にG’をとって、三角形AG'Cが二等辺三角形になるのに気づいて解けました。
何か月か前の動画で同じような作図した記憶があったのを思い出せたのですんなりひらめきました。
自力でなんとか解けておもしろかったです。
10cmのヒントがあるのが不思議でどう活かすのかを考えて三角形ABGをひっくり返してABにつける方法で二等辺三角形つくって解答にたどりつけました。
こう言う問題は何十年ぶりにやったんですけど昔こういう問題が好きだったので楽しめました。
別の動画も完全に忘れている面積の解き方とかも知れてあらためて新鮮な気持ちになれました。
入試問題のテクニックとしてはこういう問題を捨て問
として余計な労力を使わないようにすることも必要。
自分の手に負えるかどうかの選球眼が勝敗を分ける。
二等辺三角形を見逃したのが残念（悔しい？）です。良い問題ですね。
すっきりな解説です。
僕は大人なズル解法で、〇の二等分線で６を10:8に分割して、6：2と8：8/3で相似だから、細い角度は〇の半分だなって解きました。
最初の問題文の図に対して、
全体の大きい直角三角形の各頂点を、上の点をAとして、反時計回りに点ABCを取り、BC上の点をDと置く。
∠Cを2等分する線を引き、ABとの交点をEと置く。
また∠ACD=α 、∠DAC=βとする。
角の二等分線の性質より、
AE:EB=AC:CB=10cm:8cm=5:4よりAB:EB=9:4
よってEB=AB×4/9=6cm×4/9=8/3cm
△ABDと△CBEに着目して、
△ABDのうちAB:BD=6:2
△CBEのうちCB:BE=8:8/3 、整理して6:2
また∠ABD=∠CBE=90°
よって△ABDと△CBEは2辺の比とその挟む角が等しいことから相似の為
∠BAD=∠BCE
CEは角の二等分線の為∠BCE=1/2αなので∠BAD=1/2α
△ABCは直角三角形より、∠BAC+∠ABC(α)=90°
∠BAC=∠BAD+∠DAC(β)=1/2α+βを用いて
(1/2α+β)+α=3/2α+β=90°
両辺を二倍して3α+2β=180°
コメント見てすぐに分からず頑張って理解して、おおっと思って俺みたいな数学得意じゃない勢にも伝えたくて文にしたけど、長すぎて逆にわかりにくくなったから、やっぱり数学を文字で伝えるのは難しい
小さい三角形を左側に作って10ｃｍの二等辺三角形にしてGに対応する角をG’とする
AGB＝AG'B＝G'AC＝◯＋✖︎なので、そんな図形をたくさん並べなくてもできます。
上の四角の為の三角と右に継ぎ足した三角は不要ですよね？ 左に三角一つ足すだけで解けるのでは？
角BACを四等分した角度をAとして、辺AB(6ｃｍ)を一辺とする直角二等辺三角形を作ると45度=3AとなるのでA=15度。
角GAC=3A=45度、角ACB=90－4A＝30度
･･･ってやって解きましたけど、角度を分割するのはダメでしたっけ？
左の６cm、２cmの三角形を左側にも対象にくっつける。
１０cmの２等辺三角形が完成。
その２等辺三角形の２角が各々
○＋×となる。でもラストの角が○
１８０度=３○＋２×
まあ、同じような考え方ですが、、
Yuuさんと被っちゃいました。失礼しました
さ
直感で小さい方の三角形の左右対称のものを左に繋げたら直ぐに解けました。
２cm足せば１０cmになりますね
小学校の範囲で解くのでしたらかなり難しいですね。
もし中学校の範囲でこの問題を出すとしたら、10cmは伏せて、三平方の定理で10cmを出させるところから始める感じですかね？
ほんとに判るとスッキリですね！
補助線は2本でOK！
6cm・2cmの直角三角形の2番目に大きい内角の大きさを☆とおく。
外角の定理から、
☆=○+×・・・①
6cm・2cmの直角三角形を6cmの辺を軸に折り返えすと10cmの辺を2つ持つ二等辺三角形ができ、その内角の和から、
☆+☆+○=180・・・②
①、②より、
180=○+×+○+×+○
コメントをいただきありがとうございます。
とてもスマートな方法で素敵です！
2cmと6cmの6cmの辺を軸にして折り返す発想が面白かったです！
@@manavisquare
もっと言うと、
図形全体をその軸でひっくり返したとき、2+2cm辺をひとつ持つ二等辺三角形と10cm辺をふたつ持つ二等辺三角形は相似(2つの角がそれぞれ等しい)なので、転写したもの含めた図形全体である二等辺三角形の内角の和が
○+(×+○+×)+○
になる、なんてやり方も。
素晴らしいです。最もシンプルでわかりやすい解法だと思います。
解説見てからの気付きですが、左側に小さい三角形を覆製して二等辺三角形作成の方がスッキリしますか。
これは難しい。
相似も三角比も封じられると厳しいな〜
1:3:√10の直角三角形を四つ合わせて作った菱形に3:4:5の直角三角形が隠れていたのを見つけて解けた。中学の知識を使ってしまったわ。
辺CBの延長線上で、Cと反対側にBD＝２となる点Dを取る。
すると、CD＝１０だから、三角形CADは二等辺三角形になる。
したがって、∠ＡＤＣ＝∠CAD
ところが、三角形ADGも二等辺三角形になるから、∠ＡＤＣ＝∠ＡＧＢ
さらに、∠ＡＧＢ＝ｘ＋ｙだから、∠ＡＤＣ＝ｘ＋ｙとなる。
三角形ＣＡＤの内角の和は180°であるから、
ｘ＋２（ｘ＋ｙ）＝180°∴３ｘ＋２ｙ＝180。
こんな問題、思いつく先生は変態ですね（誉め言葉）
補助線の引き方のセンス、そこからの思考の組み立てが大事。
こういう問題を難なく解く子供達がいずれ東大京大早稲田慶應に入るんだろうな。
テスト所要時間の4割くらい割く余裕があれば出来そうだけど、それなら切って他見直した方が受かりそうな気もする
左の直角三角形を折り返してくっつければ斜辺10cmの二等辺三角形になる。底角は◯＋× 古い動画だからもう誰か書いてるかな。
初見で解けたら「解答を見ただろ？」って疑われるレベル
これは、難しいわ。
GＢを2㎝伸ばして二等辺三角形を作ると解けました。
sino=3/5 sin(o+x)=3/√10 cos(o+x)=1/√10 ∴sin2(o+x)=3/5=sino=sin(180°-o) ∴2(o+x)=180°-o ∴3o+2x=180°
単純に〇が30度なので〇6個と✕0個で、5秒もかからずに答え出ますね。
どうせ間違えるなら5秒もかからない方がマシ
私もまずぱっと見で○6個×0個じゃだめなの？ と思ってしまいましたが、そこが30度の三角形は3:4:5じゃなくて1:√3:2でした⋯。
ちょっと確認すればわかることなのに、けっこう長いこと勘違いをしていたかもしれません。ともあれ気づいてよかった。
30度ではない