直角三角形と内接円の問題
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- Опубликовано: 19 сен 2024
- 数学を数楽にする高校入試問題81
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数学を数楽にする高校入試問題81
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AD+EC＝10cmだから 円の中心をOとすると△AOC+△ADO+△OEC＝20cm²で正方形のDBEOが4cm²であることから 20+4=24 cm² とＸを使わなくてもいけますね
三角形ＡＯＣを作って面積がすぐ求まったから二倍して四角形BDOEの面積を足したら…………
アナタ鋭い！
二次方程式解くより公式覚えるより楽ですね
だよねー
そうそうXを求めなくても２４って出てきますよね。
ABC＝ADO＋AFO＋OFC＋OEC＋OEBDだから
解法が美しい･･･２次方程式が使用できない中学受験流の解き方ですな！
AOCが10だから、あとは合同使って正方形以外は2×10で20。正方形が4だから合わせて24。暗算で３０秒あれば解けるよ。
なるほど！
その方法だとめっちゃ簡単ですね！
おなじでした！
何名かの方も仰っていますが、出題者は当然この形での解法を想定していたはずですよね。
全く同感。
この問いはxの長さを出す必要がないっていうのが問題の趣旨で、それは公式を知ってるからとかじゃなくて、合同だから三角形2枚分＋正方形として計算ができるっていうコンセプトの問題だと考えるのが自然。
だとすると１個目の解は本解ではないし、２個目の解は、その趣旨とはずれてる。受験生、学生の思考と学校の意図とを取り違える典型パターン
2つ目の解法と根っこの考え方は一緒だと思いますが
△ADO≡△AFO、△CEO≡△CFOから、
△ABC=□DBEO＋2×△ACO=2^2+2×1/2×10×2=24
で求めました。
天才的。
この問題は、ABの長さやBCの長さがわからないままでも解ける簡単な問題です。三平方の定理なんて不要。三角形ADO＝AFO、三角形CEO＝CFOで、四角形BDOEは正方形で面積は4、三角形AOC（AOF+COF）の面積は10X2X1/2＝10です。三角形ADO+CEOも10とわかります。4+10+10＝24 回答まで5秒です。
僕もこの解法で解きました！
図形的に解くと気持ち良いですよね✨
@@manabukanazawa5103 和算の世界ですね🤗
あんたこそ数楽です
こねくりまわして難しくするのは楽しくないですね。
頭の中で図形を分解して10x2+2x2=24で出来た。
前半の三平方の定理で方程式を立てて解きました。
この問題は小学生の知識でも解けるし色々な解き方がありますね。
公式をほぼ忘れていた自分の解法は、
内接円の中心をOとしたとき、△AODと△AOF、△COEと△COFの面積はそれぞれ同じであることから △ABC=2*△AOC+4(□BDOEの面積)である。と考えました。
これは直角三角形だから求められる解ですがひらめきでも解けました。
同じく、AODとAOF(記入ミスかな？)が合同、COEとCOFが合同、以降、同様に計算するのが問題の意図だと思います…
@@yoke9162 指摘ありがとうございます。記入ミスなので訂正しておきました。
1つ条件が変わるだけで解法が変わるのが面白いですよね。
AE=a, EC=bとして、三角形ＡＢＣを三つの三角形の和で示せば 1/2（a＋ｂ)x2＋1/2（２＋ｂ)x2+1/2(a+2)ｘ2＝2(a+b+2) そこに a+b=10 を代入して=24と更にシンプルにできました。
内接円の特性と三平方の定理を上手く組み合わせるのが、解法の鍵だと分かりました。
三平方の定理を使わずにできました。
AD=x, EC=yとすると、AD=AF, EC=CFなので、x+y = 10
面積△ABC = △ABO+△BCO+△ACO
= ((x+2)×2 + (y+2)×2 + 10×2) / 2
= x+2+y+2+10
= x+y+14
最初の式(x+y = 10)を代入すると
=24
BC=a,CA=b,AB=c とすると BE=(a+c-b)/2=2 より a+c=14 と分かる。a+b+c=24
△ABC=(1/2)*2*24=24
AF=xとおくと、AD=x,EC=FC=10-x
円の中心をOとおくとOD=DB=BE=OE=2
三角形の面積は(x+2)(12-x)/2=(-x^2+10x+24)/2...①
三平方の定理よりx^2-10x+24=0
変形して-x^2+10x+24=48
①に代入して48/2=24
「円」の問題は「円」の定義：（中心と半径）であり、その補助線を引けばすべて解決できます。あとは、マクロ目で見ればＯＫです。
底辺（10）ｘ高さ（2：半径）の三角形分が対象にあり、（三角形の合同）10ｘ2ｘ1/2ｘ2+2ｘ2＝24 です。ご苦労様
全く同じ解法でした。またまた内心の話になりますね。高校数学に足を突っ込んでる感じが好きです
三平方と内接円の公式使って力づくで解くこともできます。
BC＝a、AB＝cとおくと、S＝ac/2＝(a+10+c)r/2＝a+c+10…(1)
また、a^2+c^2＝100…(2)
a≠2なので、(1)からcを消去して(2)に代入し、(a-2)^2をかけて分母を払って整理すると
a^4-4a^3-92a^2+480a＝0
a＞0だから、a^3-4a^2-92a+480＝0…★
★に整数解があるとすればそれは480の約数なので、3あたりから順に試してa＝6で成立することがわかる。
すると(a-6)(a^2+2a-80)＝0
(a-6)(a-8)(a+10)＝0
a＞0より、a＝6、8（以下同じ）
大人になると円の接線の性質（接点までの距離が等しい）を忘れるんでこういう筋悪な解き方になっちゃう人もいます(笑)。
その代わり、計算間違いしなければ確実に解けるのでこれが一番頭を使わないやり方ともいえます。
文系はともかく理系は結構こういうごり押しの計算力も大事なんで、個人的には無駄にはならないと思います。
逆に、接点までの距離が等しいことを最近になって動画を見て思い出してる40代です。(;^ω^)
言われてみればすぐ証明できるけど、定理や性質として記憶には残ってないんですよね。
2r=a+c-b
2*2=a+c-10 , a+c=14
(a+c)^2=a^2+2ac+c^2=196
2ac=96, (1/2)*ac=24
見ててすごく面白いです、続けてください
楽しかったです。久しぶりに数学をやりました。また、お願いします!
（同じ趣旨のコメントありますが）中学受験問題をやっていると、△AOC＝△ADO+△COE。三角形AOCは底辺１０高さ２の三角形でその二つ分で２０㎠＋正方形BEOD４㎠ってやりますよね。
当時3.4,5の内接円は1って覚えたものです。
12/17(木)前見たなと思ってたら、3,4,5の直角三角形でなくてもやれるんだ、今ごろ気がつくなんて、失礼しました。
3:4:5:1
5:12:13:2
7:24:25:3
:
:
と、覚えてましたね！知ってる人は1分でとける問題ですね！
△ABCに内接する円の半径がrの場合の△ABCの面積Sが
S=1/2r(a＋b＋c)
であるスマートな公式に、今更ながら感動しました。
AB=x、BC=yで
S=1/2*2*(x+y+10)
→x+y=S-10
S=xy/2
x^2+y^2=10^2
ここから対称式使ってSを求めるとかやってたけどやっぱりもっと簡単な方法あったな……
函館ラサールは、函館市においてどういう位置づけの高校なのか分かりませんが、とてもいい入試問題ですね。私も一番目のやり方は中学校で、二番目のやる方は高校でやりました。結局、40年も今も有名な問題なんですね‼️
幾何の問題でこれがああなってこうなるからそうなる、
という考え方が好きだ。
解けるとは言えないが…
AD=x, EC=yとすると、x+y=10 ,10^2=(2+x)^2+(2+y)^2だから
2つ目の式に2(2+x)(2+y)を足して10^2を引くと
2(2+x)(2+y)=(2+x+2+y)^2-10^2=14^2-10^2=4*24で、
求める面積はこれを4で割ったやつ
本問に限ってはxを求める必要はなかった。
Thank you! I learn a lot !
解説ありがとうございました。
解法②でxが消えるのでビ、ビックリしました。ありがとうございました。
これ…斜辺の10を、３と４と５の直角三角形の斜辺にあたる
５の２倍だと考えれば、残りの２辺は３の２倍で６、４の
２倍で８になるので、面積は６かける８を２で割って24。
この解き方が最もカンタンだと思いますが…。でもそれだと、
内接円の半径が２という情報は必要なくなりますね。あと、
この問題、ラサールにしては易しいなと感じました。
自己レスですいません(-_-;)
よくよく考えてみると、直角三角形の斜辺が10でも、残る２辺の
組み合わせが必ずしも６と８になるとは限らないですよね…。
例えば１対ルート３対２の直角三角形の斜辺が10なら、残る２辺は
５と５ルート３になりますものね…。コメントした時はこのことを
失念しておりました。なので、やはり、この問題に於いて、内接円の
半径の情報は必要だと気づきました。
斜辺が５やその倍数なら。残る２辺の長さが絶対３と４あるいはその
倍数になるなどと勝手に決めつけていたことを、この場でお詫び
申し上げます。
わかりました
昭和三十年代の小学校の勉強のレベルを遥かに超えている。小学生時代にパソコンでこの授業を受けられたら落ち零れずに済んだ。
解説ありがとうございました。
３日で100問ほど解いたら【見ただけで解法の方針が立つようになった】🤔 ＞慣れとはこういう事か⁉️
円の中心をOとして、△ADOと△AFOが合同な直角三角形、△CEOと△CFOが合同な直角三角形。
という事で、□BEOD + △ADO×2 + △CEO×2 で求めました。
少々まどろっこしいですけどね😅
中学受験の問題かと思って焦ったけど高校受験の問題だったから安心した
正方形と２つの合同の三角形で答えはでたが、三角形と内接円の関係の復習になった。
動画内のご説明は理解できるものの、
.
. 面積
＝底辺×高さ×1/2
＝１０×（２＋２√２）×1/2
＝１０＋１０√２
.
では駄目なのでしょうか？ 無理数が入ってしまいますが････
自己レスです。Ｆと中心ＯとＢが一直線上に存在するのは、
△ＡＢＣが正三角形の時に限られるので、 ↑ で私が提示した
１０＋１０√２
は間違いですね。一人で勝手に疑問に思い、一人で勝手に
解決してしまいました。😅😅
OF=2 OB=2√２よってFB＝2+2√２これを高さ AC=10を底辺とすると10（2+2√２）÷2 あれ？面積が10＋10√２になってしまう。BFはACに対して最短なので角AFBは直角だと思うのだが.... 誰か教えてください。
流石にこの解法は…ひどい
△OACは10
△OADと△OECを組み合わせると△OACと同じ図形になるから10
正方形は4
足して24で3秒で解けた
(10x2+2x2)x2/2=24
公式s=1/2sr
3,4,5...r=1
5,12,13...r=2
8,15,17...r=3
7,24,25...r=3
斜辺a内接円半径rでS=r(a+r)かしら
覚えときます
三平方の定理不要でした
頂点Oとする三角形の高さがすべて2なのだから、ABCの外周の長さ=面積とわかる
ADとCEの合計も10とわかるからあとは一辺2の正方形に気づけば外周は24
、面積も24
直角三角形と内接円の問題なら標準レベルかもしれませんが、過去に理科大の理学部第一部数学科試験で、直角三角形と外接円の問題がテーマになった事があります。
底辺10、高さ2の三角形2つ分と、一辺2の正方形一つで24と計算しました
中学生の塾の先生って優しい人多いですよね
数学担当ということも 数学担当者は上品な人が多い 例外もいたけどｗ
ぱっと見で底辺10と高さ2ルート2＋2の三角形の面積問題と思ったんだが
甘い
正方形の対角線と半径が直線になる保証がない
形を組み替えて10×2＋4＝24
Это задача с ЗНО мы кажется недавно ее решали. Объяснение оригинальное)))))) Препод симпиатичный))))
円外の一点から引く接線の長さは等しいってことがわかれば
3:4:5:1を暗記していたので2倍して終わりでした。
Mordo nie znam twojego języka ale zajebiście rozwiązane zadanko pozdrawiam z rodzinką
これやっていいのか分からないんですけど、DEに線分を引いて、3平方でDEの長さを出したらADECが台形になって上底と下底と高さがわかってるから台形の公式で求めて、最後三角形DBEを求めてふたつを足すって方法でも行けるんですかね
でもよくよく考えてみると三角形ABCは正三角形じゃないからACのDEは平行じゃないのか…
底辺が10cm、高さが2cmの三角形の面積2個分と一辺2cmの正方形1個分の和で解けました。(小学生爺さん)
暗算でできました。
後半の公式、S=1/2r(a+b+c)は中学校3年と高校1年の数学授業で問題を解く上でやったのを思いだしました。
ちなみに、この問題は兵庫県の滝川高校の入試にもよく出る問題ですね‼️
わざわざ文字で置かなくても、AＤ+CE=10って分かるから、½×2×(4+10+10)で良くね
ごめん、７０過ぎの爺いです、３平方の３：４：５から６：８：１０で６×８×＝４８÷２で２４ではダメ？
Нихуя не понял,но очень интересно
私もこれくらいは割とスイスイ解けたな
内接円の半径は高さの4分の1のやつ？
これ普通にピタゴラス数で3.4.5の応用でいけるくね？
斜線が10としか明記されてないから他のふたつが6と8とは限らんから計算しなあかんよ
@@Malacia_Madara そうですね。すいません。
三次方程式になったけど解けた。
それは解けたとは言わないのでは？
@@ikzothefinal どういうことですか？
@@ひまつぶ氏ファン 高校入試問題である以上、使える知識は中3内容まで。
高校で習う知識を使って解けたと言うのは、解けたことにならないのでは？
@@ikzothefinal あ、なるほど...
ご指摘ありがとうございます。
@@ikzothefinal 無限の道筋から一つを選んで、
その選んだ解法で同じ結果を求めるのが数学の楽しいところですので、自分のどの知識を使おうが自由なのではないでしょうか。
Why is thise vidio in my recommendetion
Maybe you guys have the math potential in your mind
先生、その解き方では数楽ではありません。
斜辺が10で察した
頭やわらけー・・・
すごいスッキリする回答あるのかと思って見たけど、普通だった。。。
Привет рекомендации
やった！5秒で解けたwww
３辺の長さが解っていれば，ヘロンの公式で面積出せるけどな．
3辺の長さ解ってたら小学生でも解けるんですがそれは
一応高校入試ですからね。ヘロンの公式覚えるだけなら、中学生でも出来ますが、原理は高校範囲なんで使うのは微妙かと。
高校数学習ってる俺からしたら余裕w
小学生の知識で解けるのに大人の武器を使うのは負けな気がする
僕の考えたクソみたいなやり方
有名な直角三角形の長さの比が3:4:5
そのうち5の部分が10なので3,4も2倍して6,8。
あとは計算するだけ
この方法で5秒で解けました
斜辺が10でも６と８にはならないと思います。
謎にいけちゃったからしょうがないw
わりと簡単
直径２の円がなくても整数なら直角三角形の辺比は決まってるから２４と出る、この学校、頭いかれてる・・
草
俺暗算で正解辺の長さ8，6がすぐにわかったから。
残りの辺の長さは8と6に限りませんがね。どうやってそれを証明するのでしょうか
照明しろなんて書いてないぜ。もっと難しい問題にせいな。お利巧さん。
@@坊ちゃん-j5f 辺の長さを断言するのならそう言える根拠を示さなければ得点はありませんよ
@@ut3013 ？？？？？
なんで斜辺10の直角三角形のとき6と8って決めつけてんの？
@@ut3013
内接円の条件をあなたは考慮してないからいくらでも反例あるよね？
分かりませんか？