面積最大が正三角形であることの証明
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- Опубликовано: 9 фев 2025
- 周の長さを固定したときの面積最大化問題(等周問題)を解説します
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「モレル角度」って、知らん数学用語出てきたと思った笑
林優伸 草
同じ笑
ボレル測度なら分かる
君はnカッケー、n無限
おいこら
埋もれてて草
寿司屋さん登場
高尚な悪、、いや褒め言葉ですね
円（つぶら）なお顔ってことですね
こんな有益な授業に当たり前のようにアクセスできる素晴らしい時代
たくみさん円形
おいこら
ワロタwww
笑笑
この手の問題は全く数式を使わずにできますね。(数式を使った場合の意味が内包されてるわけですが)
正三角形にならない時に面積が最大になると仮定すると、ある隣合う2辺が存在してその長さが長さが異なる。
このとき、三角形の各頂点をA,B,Cとして、長さの異なる2辺をAB,ACとする。
ここで、AをAB+ACが一定になるように動かすことを考えると、楕円の定義から、AはB,Cを焦点とする楕円上を動く。ここで面積が最大になるのは、Aが直線BCから最も離れる時、つまりAが楕円の短軸の端点にあるときであり、このときにAB=ACとなるので、B,Cを固定したままAB+ACを変化させずに、AB=ACとなるようにAを動かすことで、面積をさらに大きくすることができ、最大性の仮定に矛盾する。
よって、面積は正三角形の時に最大となる。
ただこの論法は、論理は綺麗だけどもきちんと書こうとすると文がだらだらと長くなり、意味が読み取りにくくなるのが難点
自分バカなんで、このやり方で二等辺三角形ではなく正三角形の面積が最大になることを証明している根拠が分からないので教えてください
@@tasukuclanel5014
（二等辺三角形であるの後）
よって各辺がa,a,L-2aの三角形の面積が最大となる場合を考える。
aを固定すると楕円の定義よりa=L-2aの時が面積が最大となる。よってL=3a、a=L/3となり面積が最大となるのは正三角形である。
自分も同じ疑問を持ったのでもう少し考えてみました。
@@MITTI1210
違います。二等辺三角形の後の議論はする必要はありません。したとしてもちょっと間違っています。aを固定してはいけません。どちらか一方を固定するにしても、残りの2辺の長さを等しくすると固定した1辺と長さが違ってしまい結局正三角形にはなりません。Lも固定していることに注意してください。
これはそういう議論をしないための証明方法です。
ここでは、背理法を使っていることが重要です。
もし正三角形でないときに最大になると仮定すると、長さの異なる隣合う2辺を動かすことによりさらに面積を大きくでき、正三角形でない時に最大と仮定したこと自体に矛盾する。(つまり、正三角形でなければ最大でない⇔最大ならば正三角形)ということを言う証明方法です。
この証明方法の面白い所は、具体的な数値を文字で置いたりせずに議論できるところです。またそれは隣り合う2辺だけに対しての議論です。
この証明方法では、三角形でも四角形でもn角形でも同様に隣合う2辺の議論をするだけで、最大ならば辺の長さが全て等しいことが証明できます。
背理法を使ってるところが上手だと感じました。この論理は背理法じゃないと記述が難しそうなので。
面積が最大になる三角形の各辺の長さがl_a,l_b,l_cとして、
∀i∈{a,b,c}, ∀j∈{a,b,c}, l_i = l_j
⇔ ¬(∃i∈{a,b,c} s.t. ¬(∀j∈{a,b,c}, l_i = l_j))
⇔ ¬(∃i∈{a,b,c}, ∃j∈{a,b,c} s.t. l_i ≠ l_j)
つまり「正三角形⇔辺の長さが異なる2辺が存在しない」ので、「正三角形でない」と仮定するのは「辺の長さが異なる2辺が存在する」と仮定するのと同値。「辺の長さが異なる2辺が存在する」と言う仮定に矛盾するということは「正三角形でない」という仮定に矛盾するのと同値ってことか。馬鹿だからようやく分かったわ。
3:02
たくみさんはメロンみたいな形をしててかわいいと思います
三角形ではないよね😊
相加相乗平均の証明が、この問題の本質と同じような気がするのは、気のせいかしらん？
「長さが異なる辺を持つ三角形は面積の最大値を与え得ないから面積が最大になるのは正三角形のとき」というコメントがいくつかありますが，実は論理的に不完全です（優れたアイデアですが）。そもそも最大値が存在することが保証されていないからです。「2以上の自然数はどれも最大の自然数ではないから最大の自然数は１である」が誤りなのと同様です。最大値の存在をを別の手段で保証することはできますが結構難しいので，高校範囲となると動画の方法が初等的でスマートだと思います。
ゴージャスな授業ですね〜〜
ヘロンの公式が好きになる計算！
ほんとに役に立ちました。
無料でこの授業ふつうにありがたすぎる。
AM-GM不等式って最小値を求める時にしか使わないと思ってました
(AM-GM不等式って言いたいだけ)
相加相乗平均とヘロンの公式知らんかったらわけわかんないんだろうな
#それはそう
3変数以上の相加・相乗とヘロンの公式両方を覚えてる受験生って少ないですよね。しかもそれを組み合わせてスマートに解けるのは相当頭柔らかいと思います。
数学が少し得意な程度の人なら微分しちゃうだろうし
たくみさんかっけえ三角形
相加相乗平均が応用されていて、改めてこの公式のありがたみがしれますた
高校生が高校の範囲で面積最大が正多角形になるということを証明したといって久しぶりに観にきました。
一つの辺 (二つの頂点) を固定したとき、もう一つの頂点の軌跡が楕円になることを利用して解きました。
stem1010 私もそう解きました。
一辺を固定したら、固定した辺を底辺とする二等辺三角形が面積最大であることを証明して、二等辺三角形の面積をその底辺の長さxで表し、微分によって求まる最大値の時にx=L/3となればOK
といった感じですかね
0:20 下弦の月と満月の間くらいの形してる
これはディドの問題と呼ばれる問題ですね。ディドの問題と呼ばれる所以はある日、ディドは一頭の牛の皮で囲えるだけの土地ならくれてやるといわれたので、見事に最大面積になるように囲んだわけです。どう囲んだかというと、海岸から半円を描くように囲んだわけなんですね。
久保田淳平 、
読みやすいように句読点つけました
水滴の形にも応用できますね。
EXCELLENT!!東大1988年2問正射影や京大特色入試の3角形といい、3角形が絡む問題は超絶美しい問題が多いのですね！
最近、二等辺三角形の中で面積が最大になるのが正三角形という問題を解いたのを思い出しました。
一般の三角形でも正三角形が最大なのは興味深いですね
説明が参考になります。プレゼンの参考にします。
たくみさんかっけぇ！！
三角形！ ｶﾞｼｬﾝの3回リピートに編集の愛を感じましたｗ
AM-GM使う発想はなかったです。面白かったぁ。
たくみさん鼻高いですね！
図形の証明なのに三角形が一回しか描かれない不思議な動画
相加相乗平均は中学生でも理解できるから割と分かりやすい。面白い！
既出かも知れませんが、aを単位長さとした時のbとcの長さについて考えれば、bとcに関する2変数の相加相乗平均で説明できますね。
たくみさんかっけぇ
顔は円形
おいこら
たくみさん証明が鮮やかでマジかっけーっす！
1辺とその高さを固定したときに辺の長さの合計が最小になるのは二等辺三角形のとき
ってのを使って背理法でいけそう
◯◯◯さん正96角形
3文字のうち1文字を固定して、残る2文字の和一定から楕円を利用しました！
こういう動画もっとあげて欲しいです
ちなみに表面積を一定にして体積が最大になるのは球ですねつまりたくみさんの顔は一番効率のいい形
おいこら
毎回、質の高い講義をされていてその内容に引き込まれてしまいます。大学の授業より何倍も面白い、と感じてしまうのですが、この気持ちはいったい…？
備忘録''65👏2周目【 ヘロンの面積公式と、 三つの 相加相乗平均の活用 】
( ☆ 四つでは、等号成立条件を満たさない。)
三辺の長さを a, b, c とし、 s＝ L/2 ＝ ( a＋b＋c )/2 とすると、
ヘロンの公式より、 S＝ √{ s(s－a)(s－b)(s－c) }
＝ √{ ( a＋b＋c )/2・( b＋c－a )/2・( c＋a－b )/2・( a＋b－c )/2 }
＝ √L /4 ･ { ( b＋c－a )・( c＋a－b )・( a＋b－c ) }^1/2
＝ √L /4 ･ { ( ( b＋c－a )( c＋a－b )( a＋b－c ) )^1/3 }^3/2
≦ √L /4 ･ { ( a＋b＋c )／3 }^3/2 ＝ L²／12√3 等号成立は、
b＋c－a ＝ c＋a－b ＝ a＋b－c ⇔ a＝b＝c ⇔ 正三角形 のときである。
■ このとき、( 三角形の面積の最大値 )＝ L²／12√3
⑴ ☆☆☆ 一般に、
【 等周の n 角形の面積の最大のときの形状は、正 n 角形である 】👏
⑵ ☆☆☆【 ブラーマ ･ グプタ の 公式 】👏
円に内接する四角形の 四辺の長さを a, b, c, d とすると、
四角形の面積＝ √{ ( s－d )( s－a )( s－b )( s－c ) } ■
ただし、s＝ ( a＋b＋c＋d )／2
これで、d＝ 0 とすると、 三角形の ヘロンの公式になる。
a=bを示す。
a+b+cが一定でｃを底辺として固定するとa+bは一定になり、頂点の軌跡はcの両端を焦点とする楕円になる。底辺が固定なので高さが最大の時面積最大。ゆえに二等辺三角形（a=b）の時に面積最大となる。
bを底辺とすれば、a=cも導ける。よって正三角形。QED
これでいけるかなぁ…
いけますね!
阪大の問題で似たようなやつ見ました
タクミ氏カッケェ
タクミ氏カッケェ
四角形！？
円です(マジレス)
何とも豪華な導入だな。
久々に数学的な頭の使い方ができました♪有難うございます！
楕円の性質使ってやればできるのかなと思ってた。
どうですか？
これの類題学校の実力テストで出た...
最大となる三角形の面積を求めよだったから勝手に正三角形の面積計算して書いたら2点しか貰えなかったw
それで2点もくれるなら優しい採点
先日の東工大実践で３つの値の相加平均と相乗平均の関係を用いる問題が出題されてたー。終わってから思い出して悔しかったわー。
ヘロンの公式使えるなあ
たくみさんの「おいこら」の数がたくみさんの動画史上最大に達しているのでは？
変形自在なヒモで円とかも描いてみるのがあるんでしょうけどさんかっけいのあれー！これからも頑張ってください。
たくみさんの動画は為になるなー
為になるなー
等周問題の講義してください。
三角形以外も見てみたいです。
たくみさんお疲れ様です！おもしろかったですー。
わかりやすかったです！
がしゃんっ。。。かっけい
しゃんかっけい
三角形！(がしゃん)
無限ループって怖くね？
いろんな公式出てきて、いい復習になったなあ。
底辺固定すると、面積最大化するのは二等辺三角形であることがわかるから、あとは文字置いてゴリ押せばもっと高校数学の範囲でいけそう
これでいけますか？凄い現実的なやり方ですね！
そうか、そうか、相加相乗平均を使うのか！
丸いからどの角度から見ても変わんないね
1988年東大数学で、この途中で証明が必要
この問題、偏微分の極大、極小の授業で出たんですけど、偏微分を使って解けません教えてください！
面白かったです
休み時間もまだまだノートをとっていたくなるいい黒板 おもしろかった💯
たくみさんの立面図→○
平面図→○
おいこら
相加相乗平均は綺麗だな。歳とるとすぐ微分しちゃいますね
こういう問題って受験でよく出るけど、対称性と測度の関係性について調べた研究とかないかな
結構ありそう代数幾何の初歩的なやつとして
わかりやす！
xy座標に適当に(-a,0)と(a,0)という点を取ると、残りの辺の長さの和はL-2a
これを満たすように動くわけだから、三角形のもう一点は先程の2点を焦点にした楕円上を動く。底辺は固定してあるので、もちろん、面積が最大⇔高さが最大
ゆえにy軸と楕円の交点の上に三角形の1点はあるべき。ということで少なくとも二等辺三角形。
あとは2a,L/2-a,L/2-aの長さの面積を考えると(高さを三平方でゴリゴリ計算)
2a×√(L^2/4-aL)×1/2=√(a^2L^2/4-a^3L)なので、√の中身が最大になるaを微分して探すとa=L/6になりますね(つまり正三角形)。
ヘロンの公式は普段脳内から消してるのでこんな脳筋プレイになりました
○△（読み：たくみさんかっけー）
13:43 あたりからたくみさんの顔を凝視した人🙋
正三角形…
二等辺三角形…
直角三角形…
たくみさんかっけぇ！
正三角形を用意する。この正三角形と面積が等しくなるように、底辺を固定して等積変形していく。このとき、この三角形は全ての三角形の面積を網羅する。①
そして、もとの正三角形よりも辺の長さが大きくなるから、相似なまま同じ周の長さになるようにすると、面積は小さくなる。
よって命題は真
①が曖昧だけど、大丈夫だよな…
やっぱたくみさんがNo.1（面積的意味）
おいこら
問題見たときに、ヘロンの公式使ってL=a+b+cからS(α,b)として2変数に落とし込んで予選決勝法するか、と考えたがAM-GM不等式使う解答が早すぎて禿げた。
たくみさんかっけぇ
生やせ
たくみさんかっけぇ。
おぉ！三角形（ガシャン）！
あのですね、どの角度でも、たくみさんはかっこいいですよ。
あと、腰痛くないですか…？
微分方程式の解説動画お願いします！
中二心はくすぐられないから完全にT―HKですわ
笑った
こんな相加相乗の変態な使い方あったんや…
面白かったです。
たくみさん球！！（サンキュー）
おいこら
和が一定で積の最大値を求めるシュチュエーションなので相加相乗平均を使うんですね！！！
楕円の等周問題やってほしいです
見る前予想:まず何でもない歪な形の三角形を描く→一つの辺を底辺としてそれ以外の辺の長さを二で割って二つの辺の長さをその値にして二等辺三角形を作る(語彙力)そのあと底辺を変えて、同じことをする、そうすると正三角形に近づいていくので正三角形がおなじ周の長さなら最大の面積になる
アンパンマンな顔のたくみさん好き
さんかっけーよく思いついたなすご
めちゃくちゃ綺麗でかっけえ解き方というか、これ以外で解くとエグくなりそう
球ってどこから見ても断面的に円だよね
おいこら
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」 これだけ見たらキレてるのかなり理不尽w
言ってることただただ数学なだけ笑
7:18ここらへんのドヤ顔好き
ラグランジュの未定乗数法でゴリゴリ偏微分する関数的な方法しか思いつきませんでした。
相加相乗平均の一般形は知っていましたがまさかここで逆転の発想で使うとは(笑)
数学って知っている公式をいかに使うかの発想が大事と改めておもいました。
むしろゴリゴリ偏微分するよりも分かりやすいです。
あ、タクミ△(笑)
雑な証明
まず底辺を適当に固定して3角形の周の長さが常にLとなるように頂点Pを動かす。そのPは楕円軌道を描く。
楕円は対照的な図形であるため、Pを移動させるとき3角形の面積の増分が0になるには、Pは底辺の2垂直等分線上になくてはならない（そうでないなら、同じ面積をとる点が2点（P1、P2とする）存在し、ロルの定理より増分が0になるPはP1とP2の間になくてはならない）
そのほかに増分が0になる点が存在せず、常に面積は正なので底辺が固定されているときは2等辺三角形が最大面積となる。
対称性より、3点に対して同様の議論を行うと正三角形が最大となることが得られる
受験生は相加・相乗まじで見落としがちだからなぁ
やったーー！
同じ考えで解けたおぉぉ
めっちゃ面白え。
たくわんさんかっけえ
(安直)
ファボゼロのボケすんな
大事なことなので3回やりました
たくみさんかっけぇっす
ヘロンの公式って習ったけども殆ど使ったことないけど、こういう時に役立つんだな...
証明はやや難しいね･･･
題意は当然なのに･･･すべての三角形には外接円が存在し，円に内接する三角形の面積が最大となるのは正三角形の時だからね･･･
AM-GM不等式は最大値にも使える…！
たくみさんがクイズ王古川さんをTwitterでフォローしてるの見て、クイズ好きたくみさんの視聴者として嬉しかったです！！
たくみさん(多)かっけぇ！！
角が多すぎてまるでアンパ(殴
おいこら
今日の本番始まる前のたくみさんもかっこいい！
普通にやってもそんな難しくもないかと思います。１辺の長さをxと固定して考えると、残り２辺の長さがの和がL-xなんで、固定した辺に含まれない頂点の軌跡は楕円になるので、二等辺三角形が面積を最大にするのは自明。二等辺三角形の前提があれば微分やらなんやらでなんともでもなります。
この問題に似た京大の問題をついこの前やったので良い復習になりました
たくみさんかっけー！()
正n角形として周長Lなら面積Aはnこの三角形の集まりと考えて、
A(n) = n/2*L/n*L/(2n tan(π/n))
= L^2/(4n tan(π/n)) =: L^2/(4a(n)),
微分すると
a’(n) = tan(π/n) - π/n*1/(cos(π/n))
= (sin(π/n) - π/n)/(cos(π/n)) < 0 (n>2)
より a(n) が単調減少。したがって A(n)はnの単調増加関数。
わかります。ゴー☆ジャスさんがやりたかったんですねｗ
久しぶりに声出して笑いました。
ありがとうございます！
私は円に内接する三角形の面積が最大になるときに、その三角形は正三角形であることを角度に重点を置いて解きました。これに少し手を加えたらたくみさんとは違う方法で証明（長さLを使って）できそうです。