Смотрим на произведение : 9*12 = 108 10*11 = 110 Получаем под корнем разность квадратов : 110*108 = (109-1) (109+1) = 109^2-1 Добавляем единицу: 109^2-1+1 = 109^2 Запихиваем под корень : √(109^2) = 109 Вуаля, и никаких замен P. S. ДЛЯ ТЕХ, КТО ГОВОРИТ, ЧТО Я ПОДОГНАЛ ОТВЕТ И КУДА-ТО ТАМ ДЕЛ ЕДИНИЦУ: Полное решение √(9*10*11*12+1) применяем переместительный закон √(9*12*10*11+1) √(108*110+1) √((109-1) (109+1) +1) тут работает формула разности квадратов √(109^2-1^2+1) √(109^2-1+1) √(109^2) 109
В произведении четырёх подряд идущих натуральных чисел произведение крайних ровно на 2 меньше произведения средних. Если взять произведение средних за х+1, а произведение крайних за х-1, получается формула разности квадратов. Всего под корнем получится х2-1+1, то есть ответ =х. Остается умножить 10 на 11 и вычесть 1. Ответ: 109.
Я просто умножила друг за другом 9,10,11,12 , добавила единицу и извлекла из полученной суммы корень, и тоже судя по калькулятору получила 109 , что со мной не так? 😮 почему я обошлась без игроков и иксов!?
@x4ih5mj5j т.к. число больше чем 10000 это значит что корень больше 100, а т.к. число заканчивается на 81 можно предположить, что корень заканчивается на 9 и равен 109, а дальше взять и в столбик перемножить и проверить
Можно проще сделать: перемножить 9*12 и 10*11, получится квадратный корень из 108*110+1, 108*110 можно записать как (109-1)*(109+1) а это разность квадратов и следовательно под корнем будет такое выражение 109^2 -1^2 +1, единички сокращаются и получается корень квадратный из 109^2 или просто 109
Можно посчитать легче и так же без умножения: перемножим 9 на 12 и 10 на 11, получим √(108×110+1), теперь заменим 108 на x, получаем √(x(x+2)+1)=√(x²+2x+1)=√(x+1)²=x+1. Возвращаемся к замене: и получаем, что √(9×10×11×12+1)=x+1=108+1=109.
Чтобы сворачивать разность квадратов, обозначим среднее арифметическое x=(9+10+11+12)/4=10,5, тогда √((x-1,5)(x-0,5)(x+0,5)(x+1,5)+1), сгруппировав получим √((xx-1,5^2)(xx-0,5^2)+1). Обозначим среднее арифметическое y=xx-1,25, тогда √((y-1)(y+1)+1)=√(yy-1+1)=|y|=y, так как под корнем положительное число. Выполним обратные замены y=xx-1,25=(10+0,5)^2-1,25= 100+2×0,5×10+0,25-1,25=100+10-1=109.
Я не стала мудрить, а просто перемножила 9 на 10, 11, 12 прибавила еденицу и получила число 11881. Затем в ручном режиме извлекла число из под корня, как нас учила учительница математики. Получилось 109. Решила быстро. Мне 71 год.
Все тоже самое, только без этих извращений. Умножаем 10,×11 а 9×12. Получаем 110× 108= (108+2)×108= 108×108+2×108, добавляем1. Получаем квадрат суммы 108+1. Или просто 109.
Под корнем единицей пренебрегаем как бесконечно малой. А множители группируем как малое*большое и среднее*среднее т.е. 9*12 и 10*11, значит под корнем 108*110. Ни 108, ни 110 ответом быть не могут, значит ответ 109 ))
Можно мне такие олимпиадные задачи, а?👉👈( Ну просто вообще это изи в уме считается, 9 на 11= 99, 10 на 12=120, 99*120=120*100-120=12000-120=11880, добавляем 1, получаем 11881, число между квадратом 100 и 110, кончается на 1, значит или 101 или 109, но так как ближе к 110, то ответ 109, без всяких ваших иксов сложных)
а с чего вы решили, что из этой конструкции вообще корень извлекается? А вдруг нет? Предположить, что 101 или 109, конечно, можно, но всё равно необходимо проверять. Но возвести в квадрат 109 это вообще-то сложно. Предлагаемые же методы со "сложными иксами" как раз проще в плане вычислений в уме. Ради этого и вся канитель.
@@АлександрКузнецов-д6п6г Хахаха, если для вас возвести 109 в квадрат сложно, то вы чистый гуманитарий, ну или отвратительный математик. Это делается очень легко, сначала 100 умножаем на 109, после 9 умножаем на 100 и 9 умножаем на 9, и в конце все складываем, 10900+900+81=11881. Все очень легко
@@ALICE-sg6dk Оно сложно не именно для меня, а для любого человека вообще. Даже для вас. В уме это сделать сложно. Можно, но сложно. Долго. Гораздо проще пошевелить мозгами и, используя простые сведения из алгебры 6-7 класса, решить этот пример в уме более просто. Что касается меня, я как раз таки чистый технарь, и ни разу не гуманитарий. И как технари мы понимаем, как решать подобные задачи более оптимальными способами, чем в лоб.
@@АлександрКузнецов-д6п6гкак технарь говорю, что тут изначально падает подозрение на то, что под корнем уже квадратичное число из типовых задач и вычисляется это добро в уме за 1,5 минуты от силы, а вот вычисления через формулы при небольшой описке могут привести к ошибке и завалить конченый ответ. Проверить простой, надёжный и быстрый пусть всегда нужно прежде чем усложнять и изобретать велосипед.
Это инженерный подход! А те, кого наука привлекает, пусть решают через х 😁 Правда, у меня ответ получился почему-то 108,54 Неплохая точность для логарифмической линейки. Но я бывший инженер.
@@ГригорийМищенко-ф6п четыре умножения, сложение и вычисление корня. Даже если вычисление корня из 11881 принять равным 1 flops, что будет большой натяжкой, получается 6 flops. Так могут не только лишь все :)
Я просто посчитал подкоренное выражение (11881) и понял, что решение точно больше 100. (100^2=10000). Так что подобрать не так уж и сложно. 1 и 9 на конце квадрата дают 1, как и в нашем подкоренном выражении. 101 мало, 109 должно подойти. Проверил столбиком, всë сошлось
Потому что на экзамене нет калькулятора, точнее села батарея. Как раз на моем канале вы можете найти CR2032 или АА батарейки для своего калькулятора и больше не будет у вас таких вопросов)))
@@АлександрКузнецов-д6п6г 9х10 это 100 без 10 11х12 это, например, 121 + 11 или 144 - 12 Потом 132 х 100 без 10 И т.д. Можно и в уме - слишком лёгкие числа подобраны. Замена на ху и ещё одну неизвестную оправдана для более сложных комбинаций.
@@Игорь-ь3д9к У меня впереди ещё две ученицы , надо вспоминать , отдохнула уж . В видео - упростили подсчёты , заменяя цифры буквами а в школе на калькуляторе считать не разрешают . Думаю применять дети будут не только в корнях , важно подсказать , что так проще или пусть считают , отрабатывая навыки , бумаги не жалко . Детей жалко
Мне точно такую же задачу на олимпиаде давали. Я перемножил 9 и 12, 10 и 11. Получил 108 и 110. Заменил их на 109-1 и 109+1. Разность квадратов. Единица сокращается. Получаем, что корень из 109 в квадрате равно 109. PS Некоторые решали это столбиком)
Перемножить цифры можно в уме, выходит 11880+1 = 11881. Корень из него явно больше, 100 но меньше 110 т.к 100×100=10000 110×110=12100 (всё решается в уме) Т.к последние две цифры 81, значит последняя цифра 9 т.к квадрат 9 дает 81, а предпоследняя цифра 0. Подставляем 109 и проверяем, все верно. Таким методом я решила менее чем за 2 минуты.
Интересен ход мысли . Можно идти с другой стороны - чтобы извлекался квадрат необходимо иметь полный квадрат под корнем .Если имеем плюс 1 то чтобы получился полный квадрат перед ним обязано стоять в (х+2)*х Смотрим на произвидение и видим что да так и есть . Потом можем разворачивать мысль как угодно и (х^2-2)* х^2 и такдалее прятать эту мысль в числа
Я не математик , но выполнив все под коренные действия получил 11881 . А корень квадратный из 11881 =109. А чего этот математик умничал, а?! Или я совсем плохо считаю , извлекаю?
Ответ, конечно, правильный, но в большинстве таких заданий учитывается рациональность решения, то есть насколько оно было удобным, и все же подставить формулу намного удобней, чем перемножать все полчаса😅
@@ulelele_pooo А я девять на жесть вообще в уме решил . Калькулятор под рукой 90 •11•12+1= 11881 заняло меньше минуты . Ну и последнее нажатие на символ корень квадратный и ответ 109 . На все ушло минута с чем-то . А этот умник в какие-то дебри завел ?! А ларчик то просто открывается!😂 Любите математику !
@@КоляЕгоров-лимб Я и на бумаге не разучился считать , только зачем когда под рукой калькулятор? Тем более зачем этот пример решать как этот математик , как говорят делать через .опу?! Любите математику и находите простые решение! 😂👍
видим последнюю единицу в числе под корнем - предполагаем 9 в конце искомого числа. секунд за 40 мои мозги скрипучие это решили без калькулятора (но с листочком в столбик проверял ответ)
Тут вроде можно тупо перемножить сложить и извлечь корень. Вообще у нас на олимпиаде можно было использовать калькулятор (не инженерный), но там видно было нельзя, иначе это совсем детская задача. Впрочем корень в данном случае тоже легко найти.
можно вот так. обозначаем корень за x, возводим в квадрат и единицу перебрасываем вправо. получаем 9*10*11*12 = (x-1) * (x+1). Значит, теперь слева нужно, чтобы было произведение двух чисел, которые очень близки друг к другу. Первое, что хочется сделать, это 9 скомпоновать с 12, а 10 с 11. Действительно 9*12=108, а 10*11=110. Значит, 108*110 = (x-1) * (x+1). Далее очевидно.
@Denis_K. В здравом никак) В комментариях уже есть 2 хороших решения. Мне лично сразу пришла мысль сделать замену x=10.5 чтоб сворачивалось в разность квадратов. Но не хотелось возиться с дробями, поэтому я сперва перемножил 9*12=108 и 10*11=110. И теперь уже сделал замену x =109. Получил (x-1)*(x+1)+1=x^2-1+1=x^2 Ответ: х (или 109).
@@zhenshuangЭто олимпиада. Тут люди учатся творческому подходу. И калькулятор не всегда поможет, теорию бесконечно малой и пределы не от нечего делать придумали
Мой способ. Предположим, что под корнем квадрат суммы или разности, то есть X = √(a±1)². Рассмотрим подкоренное: (a±1)²=a²±2a+1=a(a±2)+1. Вот это вот a(a±2)=9×10×11×12. То есть это число можно представить в виде произведения двух множителей, которые отличаются на 2 (вообще, выбор знака в том выражении не влияет на результат, будем считать, что выбрали плюс). Можно сообразить, что можно перемножить друг с другом попарно крайние и центральные множители. Получим: 110×108. Повезло! Тогда a=108. Закончим: √(a+1)²=|a+1|=a+1=109. Занавес
Если тупо выполнить все действия, то ответ данной конкретной задачи можно получить быстрее. А вообще, если бы числа под корнем были двух или трёх значными, то решение задачи в общем виде пригодилось бы.
Without open the video I done it all mentally in few seconds because (10×11)×(9×12) +1= (110×108) +1 = (109² -1)+1 = *√109²* = 109 💪🤙👍🇪🇸🇦🇷🇮🇹 . By from Barcelona, Spain❤
Как всё мудрено! Умножаем устно 12 на 11, потом на 10 ( это 1320), теперь в столбик умножаем на 9 и прибавляем 1 = 11881. Корен квадратный из этого числа = 109. Занимает времени меньше минуты.
А в условиях был запрет на пользование калькулятором? Если нет - взял его, перемножил и прибавил, извлек корень, получил 109. Ответу удивился, поскольку ожидал подвох в лице иррационального числа, чтобы получить которое в виде "семь восьмых корней из шести пятых" как раз и нужно Проводить все вот эти манипуляции. Автору респект! Жду от него решение задачи "2+2" с тремя заменами, желательно с применением формул сокращенного умножения, ну и если удастся - подпустить логарифмов там, можно производных чуток... Ну, в общем, чтобы красиво было.
Красиво! Кайфанул. У меня не такой изящный способ. Я решил иначе. В лоб перемножил через 120*99+1=120*100-120+1=11881. Предположил, что ответ есть целое число, нашёл ближайший квадрат целого это (11*10)^2=12100 и перебором, через выражение (n+1)^2-n^2=2n+1 сразу получил 11881. Эдакое численное полумашинное мышление.
Три первых числа умножила в уме, на 12 в столбик, прибавила 1 в уме, получилось 11881. Ну понятно ведь сразу, что последняя цифра 1 или 9 и число не больше 110, иначе бы вторая цифра была или 2 или больше 2. 101 в квадрате 10201, 109 в квадрате 11881, всё в уме без столбика. На всякий случай 109 и в столбик перемножила. Вышло очень быстро, жаль не засекла, но не дольше 2 мин.
Обобщая решение, можно сделать вывод, что если к произведению любых четырёх идущих подряд целых натуральных чисел прибавить 1, то квадратных корень прлучившегося числа будет целым числом.
Можно поиграть с обратными дробями. Для удобства я не буду писать корень(с клавы это ужас) Вынести 9 из обоих членов и получится 9(10×11×12 + 1/9). Потом 4 и получится 36(3×10×11 + 1/36) Потому вынести 110 и немножко разложить Получается 36(100 + 10)(3 + 1/3960) И так можно преобразовывать до победного, я думаю на этом этапе понятно почему я записал (100 + 10) В конце у меня получилось 60*sqrt(11881/3600) 60 и 3600 под корнем сократились и получился корень из 11881. Его можно легко подобрать. Число включает десятки тысяч, а это трехзначное на трёх значное. Так как это около 11к, то искомое где-то около 100. Т.к оно оканчивается на 81, то на конце должна быть 9 железобетонно. Умножаем столбиком 109 на 109 и о чудо, мы подобрали. Смекалка и никаких махинаций с заменами
Понятно сразу, что к виду (x+1)2 под корнем нужно привести. Тогда x2+2x=x(x+2). 9*12=108 и 10*11=110. Значит x+1=108+1. Ответ 109. Это простая задача, т.к. намек решения в записи указан.
Этот пример я в уме решил за 30 сек. Единственно что пришлось вычислить корень из 11880 при помощи калькулятора т.к. сейчас под рукой уже нету логарифмической таблицы , или логарифмической линейки , вот как вычислять корень квадратный в столбик , честно уже забыл ,ведь мне уже 70--ый.
Тут за секунду в уме видно, что под корнем 109². Видна формула разности квадратов 108×110+1 =(109-1)×(109+1)+1=109²-1²+1=109² под корнем. Остаётся извлечь.
С иксом сложнее получается нежели так прикинуть. Примерно можно так сделать: вынести квадраты 9 и 11 - перемножить получим 99. Под корнем останется еще одна 9 и еще 11, их тоже перемножаем и получаем 99 +1 и того 100. В итоге 9*11√(9*11+1) и тоже 109 получаем. Чисто устный счет И зачем неизвестным усложнять пример в котором все известно. Это похоже на видео где чел по приколу используем кучу теорем, что бы решить 1+1...
√9•10•11•12+1=109 (9) (10) берем лесятку (10) добавляем в конец (9) получяем (109) всё только с такой математикой можну случяйно зделать ошыбку но это редко пользуйтесь
А в чём проблема тупо в столбик перемножить и грамотным подбором найти корень? Очевидно же, что ответ целое число. Как будто быстрее будет, чем выдумывать замены
Решение конечно прикольное, но найти это число обычным способом как по мне проще. Просто вычислить все под корнем, а дальше лично у меня есть прелставление, как найти нужное число в уме, а там только проверить остается
Я думал, в уме надо решать. И решил довольно просто: 10*11=99 99*12=100*12-12=1200-12=1188 1188*10=11880 11880+1=11881, по виду это нечто, чуть большее, чем квадрат ста 10000, но меньшее, чем квадрат 110 (12100) и явно ближе к последнему. Предполагаю, что число - целое и выбираю из целых чисел в диапазоне 110-100 такое, квадрат которого оканчивается на 1. Их два: 101 и 109. 109 явно ближе к 110, чем 101, его и принимаю, как ответ после проверки: 109*109=110*109-1=11990-109=11881. Даже "честно считать" ничего не пришлось - все в пределах вполне простых действий в уме. Полагаю, для указанного в видео расчета лучше взять какое-нибудь дробное число, или целое, но где Х не близок к 10
А чего тут сложного? Решается в лоб в уме за минуту, максимум 2. Перемножаем всё на всё. 11*12 = 12*12 - 12 = 144 - 12 = 132 132*9 = 1320 - 132 = 1188 1188*10 = 11880 Добавляем 1 = 11881 Дальше нужно найти какое число умноженное само на себя даёт вот это. В конце 81, значит в конце оригинального числа будет 9. Число больше 10 тысяч, значит оригинальное число больше 100. Но при этом уже 110*110 будет больше 12 тысяч, значит ответ 109 Проверяем: 109*109 = 109*100 + 109*9 = 10900 + 109*9 = 10900 + 100*9 + 9*9 = 10900 + 900 + 81 = 11800 + 81 = 11881 Ответ: 109. Ну или +-109, в зависимости от того, алгебраический или арифметический тут корень
9 * 10 * 11 * 12 + 1 = 990 * 12 + 1 = 11881 100² = 10000 < 11881 < 12100 = 110² Последняя цифра 1, которая может быть получена возведением в квадрат числа с последними цифрами 1 или 9. Можно, конечно, начать проверять и со 101, но, по-моему, очевидно, что ответ скорее всего 109, поэтому проверяем сначала 109: 109² = 981 + 10900 = 11881. Соответственно, √(9 * 10 * 11 * 12 + 1) = 109.
Я не так. Под корнем выдели полный квадрат. Нам нужно а^2 +2аб+б^2. б=1, т.к. с плюсом только 1, тогда получаем корень из а^2+2а+1=9*10*11*12+1=а*(а+2)+1, а заметив, что 10*11=110 9*12=108 находим а=108, получается, что выражение это (а+б)^2=109^2, получаем 109. Решается в уме.
Вывод из проделанных алгебраических манипуляций: корень квадратный из увеличенного на единицу произведения четырёх подряд идущих натуральных чисел всегда является квадратом определенного натурального числа. Для 1,2,3,4 это число - 5. Для 2,3,4,5 это число - 11. Для 3,4,5,6 это число - 19. ..... Для 9,10,11,12 это число - 109. Все эти числа простые. Высказываю гипотезу, что и во всех других случаях будут получаться квадраты простых чисел. Прошу её доказать!!!
Калькулятор в шоке. Без калькулятора (а такое возможно только на ЕГЭ) я бы перемножил в лоб. Потом элементарным перебором а-ля двоичное дерево. За 8 операций думаю разобрался бы. Возможна проблема с нецелым числом ответе. Но тогда вообще не понятно зачем вся эта эквилибристика.
А не проще, сначала последовательно, под корнем, перемножить множимое на множитель, потом прибавить 1, затем из 11881 извлечь корень?! Получим искомое =109.
Неужели не понятно, что автор захотел посмотреть на реакцию публики. А попросту говоря, он захотел поиздеваться над нами. Пример решается за 14 секунд.
Я учился в советской школе в 1967 году. И эту задачу тупо мог решить любой пятиклассник (ну, или в каком там классе проходят квадратные корни, не помню). Нафига весь этот выпендреж с переменными, когда можно просто посчитать, что там получается под корнем, а потом этот корень вычислить? Это даже не алгебра, а простая арифметика. Ах, вас не учили извлекать корни? А вот нас учили. Карандашиком на листочке. Очень просто. Хочешь целые, хочешь дробные, любые. А потом признали советскую систему преподавания порочной и начали вот такие городушки изобретать из-за незнания простой операции.
Я посчитал проще: 9*11=99;10*12=120 далее 99*120 это как 100*120-120=11880+1=11881 далее подбираем корень.110 в квадрате =12100 это чуть больше чем 11881 значит корень из 11881 равен 109
Задачка из серии - как вскипятить воды к чаю - пойдём в лес, наберём хвороста... зачем весь этот умственный онанизм? Да, выглядит изящно, ну так и дровишки гораздо романтичнее прозаичной микроволновки)
очень интересно, но вы перемудрили =) смотрите, у вас под корнем стоит 110*108+1 -- значит ответ лежит между 108 и 110, является целым числом и кончается на 1, а значит 109 -- это единственный кандидат, остаётся только проверить: 110*108+1 решается устно, получаем 11881; 109*109 тоже решается устно, получаем то же самое.
Так здесь ещё "случайно" доказали, что вместо 9 можно взять любое натуральное число n. И тогда sqrt(n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1)=... (смотри видео). А может и не только натуральное...
Нас всех , и я с вами развели как дураков. Автору нужен был наш комментарий ОН ЕГО ПОЛУЧИЛ А тот кто ещё и лайк поставил- вообще" молодец" (в кавычках конечно)
@@ковалеввячеслав-л2щ у Вас проблемы, видимо, могу только осторожно пособолезновать. Смысла нет, есть готовая табличка факториалов. А уж потом вычесть единичку.
У Вас на 2:40 грубая ошибка. Квадрат и корень взаимно НЕ уничтожается. Чтобы такой переход был равносильным, надо некоторые условия вводить. Они тут есть, но Вы же про них ничего не сказали. А в общем случае взаимно уничтожать квадрат и корень - это грубейшая ошибка, на которой посыпалось (вот из-за таких видео в том числе) немало голов и баллов...
А почему, если идти в лоб: вынести всё, что можно из под корня, преобразовать всё остальное самым примитивным методом, получается 6√331 = ~109.16??? Как это так, что если решать как в видео, ответ получается ровно 109?
Как вынести из под корня часть Слагаемого? Выносить можно только множители. Поэтому тут два варианта: Либо сводить к квадрату суммы, Либо умножать в лоб и пробовать извлечь корень из полученного числа.
из пушки по воробьям!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! арифметику наверное забыл ....... взял перемножил (вам разрешаю пользоваться калькулятором! в связи со сложностью задачи!!!!!) прибавил единицу (опять разрешаю воспользоваться калькулятором!) а уж корень извлечь с вашим умом не составит труда .....
По-моему, произведение четырёх ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ членов ЛЮБОЙ арифметической прогрессии, увеличенное на 1, даёт число, являющееся полным квадратом! Даже прогрессия из комплексных чисел...
Для арифметической прогрессии с разностью 1 это верно: n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n²+3n+1)², как и было практически доказано в видео. Насчёт _любой_, естественно, нет: например 1·3·5·7+1 = 106. Это я ещё про (-1)·1·3·5+1 = -14 не говорю. 😉 P.S. Поправил корявку (+1 в первом равенстве забыл).
Вот именно. Нам такие на устном счёте давали. Самые тупые решали за 5 секунд. Но нормальный ученик давал ответ за 1-2 секунды. Формула разности квадратов видна. 109²-1²+1. Всё. Вычислять не нужно. Под корнем 109². Обычная московская школа 1970 год. 5 класс. Никаких иксов.
Хм... Конечно, классный вариант! Но.. вот именно в данном случае, а не проще в лоб решить? Корень из 11881... Ну, до 109 подбором тут крайне нетрудно догадаться, 100 * 100 дадут 10 тыс., 81 получается как 9*9, в чём проблема-то?
@@blaze3518 Тогда 109 не получится, очевидно. Но, прежде чем лезть в эти дебри с заменами, проще и быстрее попробовать в лоб, за минуту, в уме. Получается просто и быстро - зашибись, нет - заморачиваемся, как в этом разборе.
В уме сосчитать 11881 не особо было сложно...а подобрать корень не более сложно чем арифметику сосчитать 10к + значить 100+ а 81 на конце явно на 9 указал ....проверить делением ...явно быстрее чем алгебраические формулы переливать друг в друга. Пример неудачный я считаю...надо менее очевидные цифры брать
Просто умножте числа под корнем, прибавте 1. Корень будет 109. Это какая то фигня. Менять на икс, потом на игрек, потом обратно. Это как дважды два через интеграл вычислять.
Смотрим на произведение :
9*12 = 108
10*11 = 110
Получаем под корнем разность квадратов :
110*108 = (109-1) (109+1) = 109^2-1
Добавляем единицу:
109^2-1+1 = 109^2
Запихиваем под корень :
√(109^2) = 109
Вуаля, и никаких замен
P. S. ДЛЯ ТЕХ, КТО ГОВОРИТ, ЧТО Я ПОДОГНАЛ ОТВЕТ И КУДА-ТО ТАМ ДЕЛ ЕДИНИЦУ:
Полное решение
√(9*10*11*12+1) применяем переместительный закон
√(9*12*10*11+1)
√(108*110+1)
√((109-1) (109+1) +1) тут работает формула разности квадратов
√(109^2-1^2+1)
√(109^2-1+1)
√(109^2)
109
Шикарный метод
Кайф)
Классно
Гениально
Гениально
В произведении четырёх подряд идущих натуральных чисел произведение крайних ровно на 2 меньше произведения средних. Если взять произведение средних за х+1, а произведение крайних за х-1, получается формула разности квадратов. Всего под корнем получится х2-1+1, то есть ответ =х. Остается умножить 10 на 11 и вычесть 1. Ответ: 109.
Так же и ЛЮБЫХ ЦЕЛЫХ чисел (включая НОЛЬ).
А вот этот метод - это действительно красиво!!!
Я просто умножила друг за другом 9,10,11,12 , добавила единицу и извлекла из полученной суммы корень, и тоже судя по калькулятору получила 109 , что со мной не так? 😮 почему я обошлась без игроков и иксов!?
@@Victorya-si7fxКалькулятор.
Перемножаем 9*10*11*12 =11880. Прибавляем 1. Получаем 11881. Берем корень, аллилуйя 109!
А как такие большие корни находить? Ну то есть как я пойму что корень из 11881 это именно 109?
Я без гонора, просто интересно.
@x4ih5mj5j т.к. число больше чем 10000 это значит что корень больше 100, а т.к. число заканчивается на 81 можно предположить, что корень заканчивается на 9 и равен 109, а дальше взять и в столбик перемножить и проверить
@@ewgeniy2004 Логично, спасибо.
Обоим спасибо.
то есть под корнем можно делать любые действия?
Поездка с Ярославского вокзала на Казанский через Воробьевы горы !!!
Можно проще сделать: перемножить 9*12 и 10*11, получится квадратный корень из 108*110+1, 108*110 можно записать как (109-1)*(109+1) а это разность квадратов и следовательно под корнем будет такое выражение 109^2 -1^2 +1, единички сокращаются и получается корень квадратный из 109^2 или просто 109
Можно посчитать легче и так же без умножения:
перемножим 9 на 12 и 10 на 11, получим √(108×110+1), теперь заменим 108 на x, получаем √(x(x+2)+1)=√(x²+2x+1)=√(x+1)²=x+1. Возвращаемся к замене: и получаем, что √(9×10×11×12+1)=x+1=108+1=109.
Круто
Ну кто бы мог подумать, что не напрямую надо идти, а всё больше огородами...! Блеск.
Реально, логичное решение -самое простое. Но нет же, нужно заморочиться
Нормальные герои всегда идут в обход.
Чтобы сворачивать разность квадратов, обозначим среднее арифметическое x=(9+10+11+12)/4=10,5, тогда √((x-1,5)(x-0,5)(x+0,5)(x+1,5)+1), сгруппировав получим √((xx-1,5^2)(xx-0,5^2)+1). Обозначим среднее арифметическое y=xx-1,25, тогда √((y-1)(y+1)+1)=√(yy-1+1)=|y|=y, так как под корнем положительное число. Выполним обратные замены y=xx-1,25=(10+0,5)^2-1,25= 100+2×0,5×10+0,25-1,25=100+10-1=109.
Браво!
Это намного логичнее! Я когда увидел пример, сразу захотелось такую замену сделать!
Я не стала мудрить, а просто перемножила 9 на 10, 11, 12 прибавила еденицу и получила число 11881. Затем в ручном режиме извлекла число из под корня, как нас учила учительница математики. Получилось 109. Решила быстро. Мне 71 год.
Мне 66 лет и Вы правильно сказали: НАС так учили решать! Сейчас детей "учат" догадываться, а не решать.
Все тоже самое, только без этих извращений. Умножаем 10,×11 а 9×12. Получаем 110× 108= (108+2)×108= 108×108+2×108, добавляем1. Получаем квадрат суммы 108+1. Или просто 109.
Гениально просто и без всяких иксов))
Под корнем единицей пренебрегаем как бесконечно малой. А множители группируем как малое*большое и среднее*среднее т.е. 9*12 и 10*11, значит под корнем 108*110. Ни 108, ни 110 ответом быть не могут, значит ответ 109 ))
Можно мне такие олимпиадные задачи, а?👉👈( Ну просто вообще это изи в уме считается, 9 на 11= 99, 10 на 12=120, 99*120=120*100-120=12000-120=11880, добавляем 1, получаем 11881, число между квадратом 100 и 110, кончается на 1, значит или 101 или 109, но так как ближе к 110, то ответ 109, без всяких ваших иксов сложных)
Точно так и я решил, практически в уме.
а с чего вы решили, что из этой конструкции вообще корень извлекается? А вдруг нет? Предположить, что 101 или 109, конечно, можно, но всё равно необходимо проверять. Но возвести в квадрат 109 это вообще-то сложно. Предлагаемые же методы со "сложными иксами" как раз проще в плане вычислений в уме. Ради этого и вся канитель.
@@АлександрКузнецов-д6п6г Хахаха, если для вас возвести 109 в квадрат сложно, то вы чистый гуманитарий, ну или отвратительный математик. Это делается очень легко, сначала 100 умножаем на 109, после 9 умножаем на 100 и 9 умножаем на 9, и в конце все складываем, 10900+900+81=11881. Все очень легко
@@ALICE-sg6dk Оно сложно не именно для меня, а для любого человека вообще. Даже для вас. В уме это сделать сложно. Можно, но сложно. Долго. Гораздо проще пошевелить мозгами и, используя простые сведения из алгебры 6-7 класса, решить этот пример в уме более просто. Что касается меня, я как раз таки чистый технарь, и ни разу не гуманитарий. И как технари мы понимаем, как решать подобные задачи более оптимальными способами, чем в лоб.
@@АлександрКузнецов-д6п6гкак технарь говорю, что тут изначально падает подозрение на то, что под корнем уже квадратичное число из типовых задач и вычисляется это добро в уме за 1,5 минуты от силы, а вот вычисления через формулы при небольшой описке могут привести к ошибке и завалить конченый ответ.
Проверить простой, надёжный и быстрый пусть всегда нужно прежде чем усложнять и изобретать велосипед.
За секунду решил в уме. Просто перемножил все числа, прибавил единицу и из полученного числа извлек корень 😁
Это инженерный подход! А те, кого наука привлекает, пусть решают через х 😁 Правда, у меня ответ получился почему-то 108,54 Неплохая точность для логарифмической линейки. Но я бывший инженер.
@@ГригорийМищенко-ф6п бывших инженеров не бывает...... Это на всегда!!!
За секунду? )
@@victorrassoha8258 А чё?.. не так уж и быстро, всего-то каких-нибудь пара Флопс
@@ГригорийМищенко-ф6п четыре умножения, сложение и вычисление корня. Даже если вычисление корня из 11881 принять равным 1 flops, что будет большой натяжкой, получается 6 flops. Так могут не только лишь все :)
Корень из СУММЫ Единицы с Произведением 4 ЛЮБЫХ идущих подряд ЦЕЛЫХ чисел РАВЕН произведению КРАЙНИХ двух ПЛЮС единица.
Я просто посчитал подкоренное выражение (11881) и понял, что решение точно больше 100. (100^2=10000). Так что подобрать не так уж и сложно. 1 и 9 на конце квадрата дают 1, как и в нашем подкоренном выражении. 101 мало, 109 должно подойти. Проверил столбиком, всë сошлось
Тут в частном случае такой способ норм зашел, но для значений больши́х не прокатит
Чего нельзя умножить и сложить потом извлечь? 😊 зачем усложнять? 😂
Затем, для чего и учат математику - усложнить себе жизнь и превратиться в учителя математики, который будет плодить учителей математики)))
а в уме?
Потому что на экзамене нет калькулятора, точнее села батарея. Как раз на моем канале вы можете найти CR2032 или АА батарейки для своего калькулятора и больше не будет у вас таких вопросов)))
@@АлександрКузнецов-д6п6г 9х10 это 100 без 10
11х12 это, например, 121 + 11 или 144 - 12
Потом 132 х 100 без 10
И т.д.
Можно и в уме - слишком лёгкие числа подобраны. Замена на ху и ещё одну неизвестную оправдана для более сложных комбинаций.
То-есть просто умножить, прибавить и извлечь корень не вариант?
9*12=108, 10*11=110; 108*110=109^2-1, добавляется 1, корень =109, даже полное значение под корнем только лишнее. Описать дольше, чем посчитать в уме
По порядку перемножить все под корнем, добавить 1. Остаётся корень и все
Надо же , я бы не догадалась , уже забыты корни , квадраты . Полезно вспомнить , спасибо
А они пригодились в жизни? Мне уже 48, но до сих пор не понимаю какого хе я сидел 10 лет за партой и штаны протирал
@@Игорь-ь3д9к У меня впереди ещё две ученицы , надо вспоминать , отдохнула уж . В видео - упростили подсчёты , заменяя цифры буквами а в школе на калькуляторе считать не разрешают . Думаю применять дети будут не только в корнях , важно подсказать , что так проще или пусть считают , отрабатывая навыки , бумаги не жалко . Детей жалко
Мне точно такую же задачу на олимпиаде давали. Я перемножил 9 и 12, 10 и 11. Получил 108 и 110. Заменил их на 109-1 и 109+1. Разность квадратов. Единица сокращается. Получаем, что корень из 109 в квадрате равно 109.
PS Некоторые решали это столбиком)
Гениально!!!
Какая замечательная вещь калькулятор. Лишний раз убеждаюсь. Решал ровно 10 секунд.
Перемножить цифры можно в уме, выходит 11880+1 = 11881.
Корень из него явно больше, 100 но меньше 110 т.к 100×100=10000
110×110=12100 (всё решается в уме)
Т.к последние две цифры 81, значит последняя цифра 9 т.к квадрат 9 дает 81, а предпоследняя цифра 0.
Подставляем 109 и проверяем, все верно.
Таким методом я решила менее чем за 2 минуты.
Интересен ход мысли . Можно идти с другой стороны - чтобы извлекался квадрат необходимо иметь полный квадрат под корнем .Если имеем плюс 1 то чтобы получился полный квадрат перед ним обязано стоять в (х+2)*х Смотрим на произвидение и видим что да так и есть . Потом можем разворачивать мысль как угодно и (х^2-2)* х^2 и такдалее прятать эту мысль в числа
Я не математик , но выполнив все под коренные действия получил 11881 . А корень квадратный из 11881 =109. А чего этот математик умничал, а?!
Или я совсем плохо считаю , извлекаю?
Ответ, конечно, правильный, но в большинстве таких заданий учитывается рациональность решения, то есть насколько оно было удобным, и все же подставить формулу намного удобней, чем перемножать все полчаса😅
@@ulelele_pooo А я девять на жесть вообще в уме решил . Калькулятор под рукой 90 •11•12+1= 11881 заняло меньше минуты . Ну и последнее нажатие на символ корень квадратный и ответ 109 . На все ушло минута с чем-то . А этот умник в какие-то дебри завел ?! А ларчик то просто открывается!😂 Любите математику !
Считаете вы хорошо.
PS. Вместе с калькулятором.
@@КоляЕгоров-лимб Я и на бумаге не разучился считать , только зачем когда под рукой калькулятор? Тем более зачем этот пример решать как этот математик , как говорят делать через .опу?!
Любите математику и находите простые решение! 😂👍
@@ulelele_pooo это безумно рационально, составлять уравнение с двумя переменными. В голове он такое решит? Сомлеваюсь, а посчитать можно.
Вычисляем что под корнем. Далее подбором. Ну какое-то нечетное число немного больше 105.
видим последнюю единицу в числе под корнем - предполагаем 9 в конце искомого числа. секунд за 40 мои мозги скрипучие это решили без калькулятора (но с листочком в столбик проверял ответ)
@s4pf6he4k Повезло, что корень оказался целым. Нужно найти решение и предложить МЕТОД для решения подобных задач.
Единица в конце получится только от 9, поэтому пробуем 99, а потом 109)))
@@Bon2073 99 не подходит из-за длинны ответа. 100к+ от девяноста не получится никак
@@ИванСмирнов-ф9ц я так считал, причем очень быстро, с черновиком)))
Тут вроде можно тупо перемножить сложить и извлечь корень. Вообще у нас на олимпиаде можно было использовать калькулятор (не инженерный), но там видно было нельзя, иначе это совсем детская задача. Впрочем корень в данном случае тоже легко найти.
Как можно в здравом уме додуматься до этого? Класс!
можно вот так. обозначаем корень за x, возводим в квадрат и единицу перебрасываем вправо. получаем 9*10*11*12 = (x-1) * (x+1). Значит, теперь слева нужно, чтобы было произведение двух чисел, которые очень близки друг к другу. Первое, что хочется сделать, это 9 скомпоновать с 12, а 10 с 11. Действительно 9*12=108, а 10*11=110. Значит, 108*110 = (x-1) * (x+1). Далее очевидно.
@Denis_K.
В здравом никак) В комментариях уже есть 2 хороших решения. Мне лично сразу пришла мысль сделать замену x=10.5 чтоб сворачивалось в разность квадратов. Но не хотелось возиться с дробями, поэтому я сперва перемножил 9*12=108 и 10*11=110. И теперь уже сделал замену x =109. Получил (x-1)*(x+1)+1=x^2-1+1=x^2 Ответ: х (или 109).
Толку от решения таких задач нет. Математики должны быслить абстрактно и представлять поля и пространства, а такую формулу считают калькуляторы.
@@zhenshuangЭто олимпиада. Тут люди учатся творческому подходу. И калькулятор не всегда поможет, теорию бесконечно малой и пределы не от нечего делать придумали
Никак, только больная фантазия! Нормальный человек перемножит и выведет корень!
Мой способ.
Предположим, что под корнем квадрат суммы или разности, то есть X = √(a±1)².
Рассмотрим подкоренное: (a±1)²=a²±2a+1=a(a±2)+1.
Вот это вот a(a±2)=9×10×11×12. То есть это число можно представить в виде произведения двух множителей, которые отличаются на 2 (вообще, выбор знака в том выражении не влияет на результат, будем считать, что выбрали плюс). Можно сообразить, что можно перемножить друг с другом попарно крайние и центральные множители. Получим: 110×108. Повезло! Тогда a=108.
Закончим: √(a+1)²=|a+1|=a+1=109.
Занавес
Если тупо выполнить все действия, то ответ данной конкретной задачи можно получить быстрее. А вообще, если бы числа под корнем были двух или трёх значными, то решение задачи в общем виде пригодилось бы.
Without open the video I done it all mentally in few seconds because (10×11)×(9×12) +1=
(110×108) +1 = (109² -1)+1 = *√109²* = 109 💪🤙👍🇪🇸🇦🇷🇮🇹 . By from Barcelona, Spain❤
Как всё мудрено! Умножаем устно 12 на 11, потом на 10 ( это 1320), теперь в столбик умножаем на 9 и прибавляем 1 = 11881. Корен квадратный из этого числа = 109. Занимает времени меньше минуты.
Вообще тут же можно втупую посчитать то, что под корнем 11881, это число, больше 100, тк 11881>10000=100², и меньше 110, тк 11881
А в условиях был запрет на пользование калькулятором? Если нет - взял его, перемножил и прибавил, извлек корень, получил 109. Ответу удивился, поскольку ожидал подвох в лице иррационального числа, чтобы получить которое в виде "семь восьмых корней из шести пятых" как раз и нужно Проводить все вот эти манипуляции.
Автору респект! Жду от него решение задачи "2+2" с тремя заменами, желательно с применением формул сокращенного умножения, ну и если удастся - подпустить логарифмов там, можно производных чуток... Ну, в общем, чтобы красиво было.
Круто! Обожаю Вас
Красиво! Кайфанул. У меня не такой изящный способ. Я решил иначе. В лоб перемножил через 120*99+1=120*100-120+1=11881. Предположил, что ответ есть целое число, нашёл ближайший квадрат целого это (11*10)^2=12100 и перебором, через выражение (n+1)^2-n^2=2n+1 сразу получил 11881. Эдакое численное полумашинное мышление.
Допустим под корнем квадрат суммы, тогда
x^2 +2x = 9*10*11*12
x1+x2 = -2
x1*x2 = -9*10*11*12
перемножив крайние и средние
x1 = 108, x2 = -110
108^2+ 2*108+1 = (108+1)^2
Ответ 109
Гораздо проще все перемножить сложить и вычислить корень квадратный в столбик по специальным математическим правилам.
Верно! это правило изложено в учебнике 8 кл. Мордковича
Три первых числа умножила в уме, на 12 в столбик, прибавила 1 в уме, получилось 11881. Ну понятно ведь сразу, что последняя цифра 1 или 9 и число не больше 110, иначе бы вторая цифра была или 2 или больше 2. 101 в квадрате 10201, 109 в квадрате 11881, всё в уме без столбика. На всякий случай 109 и в столбик перемножила. Вышло очень быстро, жаль не засекла, но не дольше 2 мин.
Обобщая решение, можно сделать вывод, что если к произведению любых четырёх идущих подряд целых натуральных чисел прибавить 1, то квадратных корень прлучившегося числа будет целым числом.
А ведь и правда, что не подставляю - всё подходит 😳
это ещё нужно доказать и займет оно, может, как доказательство теоремы Ферма))
@@ТомАра-я2в в ролике это и доказывается, как бы))
Крутяк решение!👍👍👍
Это даже и не близко олимпиадная задача. Да и решается в общем виде легко.
Можно поиграть с обратными дробями.
Для удобства я не буду писать корень(с клавы это ужас)
Вынести 9 из обоих членов и получится 9(10×11×12 + 1/9).
Потом 4 и получится 36(3×10×11 + 1/36)
Потому вынести 110 и немножко разложить
Получается 36(100 + 10)(3 + 1/3960)
И так можно преобразовывать до победного, я думаю на этом этапе понятно почему я записал (100 + 10)
В конце у меня получилось 60*sqrt(11881/3600)
60 и 3600 под корнем сократились и получился корень из 11881. Его можно легко подобрать. Число включает десятки тысяч, а это трехзначное на трёх значное. Так как это около 11к, то искомое где-то около 100. Т.к оно оканчивается на 81, то на конце должна быть 9 железобетонно. Умножаем столбиком 109 на 109 и о чудо, мы подобрали.
Смекалка и никаких махинаций с заменами
нахрена весь этот геморрой с вынесением, если можно просто перемножить данные числа?
Мм какие вы все молодцы!!!!! А я поперезабывала все. 👍🤗
Понятно сразу, что к виду (x+1)2 под корнем нужно привести. Тогда x2+2x=x(x+2). 9*12=108 и 10*11=110. Значит x+1=108+1. Ответ 109. Это простая задача, т.к. намек решения в записи указан.
Этот пример я в уме решил за 30 сек. Единственно что пришлось вычислить корень из 11880 при помощи калькулятора т.к. сейчас под рукой уже нету логарифмической таблицы , или логарифмической линейки , вот как вычислять корень квадратный в столбик , честно уже забыл ,ведь мне уже 70--ый.
Тут за секунду в уме видно, что под корнем 109². Видна формула разности квадратов 108×110+1 =(109-1)×(109+1)+1=109²-1²+1=109² под корнем. Остаётся извлечь.
С иксом сложнее получается нежели так прикинуть. Примерно можно так сделать: вынести квадраты 9 и 11 - перемножить получим 99. Под корнем останется еще одна 9 и еще 11, их тоже перемножаем и получаем 99 +1 и того 100. В итоге 9*11√(9*11+1) и тоже 109 получаем. Чисто устный счет
И зачем неизвестным усложнять пример в котором все известно. Это похоже на видео где чел по приколу используем кучу теорем, что бы решить 1+1...
Из Питера в Москву через Лас-Вегас....😂
Если выполнить по правилам арифметики действия под корнем, а затем извлечь корень, то результат равен 109. Проверьте.
√9•10•11•12+1=109
(9) (10) берем лесятку (10) добавляем в конец (9) получяем (109) всё только с такой математикой можну случяйно зделать ошыбку но это редко пользуйтесь
А в чём проблема тупо в столбик перемножить и грамотным подбором найти корень? Очевидно же, что ответ целое число. Как будто быстрее будет, чем выдумывать замены
Решение конечно прикольное, но найти это число обычным способом как по мне проще. Просто вычислить все под корнем, а дальше лично у меня есть прелставление, как найти нужное число в уме, а там только проверить остается
11881-корень из этого числа-109 и без заморочек!!!
Я думал, в уме надо решать. И решил довольно просто: 10*11=99 99*12=100*12-12=1200-12=1188 1188*10=11880 11880+1=11881, по виду это нечто, чуть большее, чем квадрат ста 10000, но меньшее, чем квадрат 110 (12100) и явно ближе к последнему. Предполагаю, что число - целое и выбираю из целых чисел в диапазоне 110-100 такое, квадрат которого оканчивается на 1. Их два: 101 и 109. 109 явно ближе к 110, чем 101, его и принимаю, как ответ после проверки: 109*109=110*109-1=11990-109=11881. Даже "честно считать" ничего не пришлось - все в пределах вполне простых действий в уме. Полагаю, для указанного в видео расчета лучше взять какое-нибудь дробное число, или целое, но где Х не близок к 10
Очень понравилась!
А чего тут сложного? Решается в лоб в уме за минуту, максимум 2.
Перемножаем всё на всё. 11*12 = 12*12 - 12 = 144 - 12 = 132
132*9 = 1320 - 132 = 1188
1188*10 = 11880
Добавляем 1 = 11881
Дальше нужно найти какое число умноженное само на себя даёт вот это. В конце 81, значит в конце оригинального числа будет 9. Число больше 10 тысяч, значит оригинальное число больше 100. Но при этом уже 110*110 будет больше 12 тысяч, значит ответ 109
Проверяем: 109*109 = 109*100 + 109*9 = 10900 + 109*9 = 10900 + 100*9 + 9*9 = 10900 + 900 + 81 = 11800 + 81 = 11881
Ответ: 109. Ну или +-109, в зависимости от того, алгебраический или арифметический тут корень
Тоже за 2 минуты в уме посчитал)
Только я сначала умножил 9*11, а потом уже 99*12. Точно также 12*100 - 12. Как будто-бы так проще
@@DoV4KiNТоже вариант, особенно если не знаешь квадрат 12. В любом случае считается легко, и усложнять тут, как в видео, ничего не надо)
9 * 10 * 11 * 12 + 1 = 990 * 12 + 1 = 11881
100² = 10000 < 11881 < 12100 = 110²
Последняя цифра 1, которая может быть получена возведением в квадрат числа с последними цифрами 1 или 9.
Можно, конечно, начать проверять и со 101, но, по-моему, очевидно, что ответ скорее всего 109, поэтому проверяем сначала 109:
109² = 981 + 10900 = 11881.
Соответственно, √(9 * 10 * 11 * 12 + 1) = 109.
Кто бы мог подумать , действительно. Каким образом надо догадаться, что требуется заменить именно 9 как х.
Да, вроде, в голове посчитать можно... 9*11 (99) * (120) = 12000-120 +1=11881, что намекает на корень из 109 или 119.
Радует одно - я принадлежу к большинству.
Если уже дошли до общей формульі, то ответом будет произведение крайних членов плюс 1 (в данном случае 9×12+1)
Я не так. Под корнем выдели полный квадрат. Нам нужно а^2 +2аб+б^2. б=1, т.к. с плюсом только 1, тогда получаем корень из а^2+2а+1=9*10*11*12+1=а*(а+2)+1, а заметив, что 10*11=110 9*12=108 находим а=108, получается, что выражение это (а+б)^2=109^2, получаем 109. Решается в уме.
Вывод из проделанных алгебраических манипуляций: корень квадратный из увеличенного на единицу произведения четырёх подряд идущих натуральных чисел всегда является квадратом определенного натурального числа. Для 1,2,3,4 это число - 5. Для 2,3,4,5 это число - 11. Для 3,4,5,6 это число - 19. ..... Для 9,10,11,12 это число - 109.
Все эти числа простые. Высказываю гипотезу, что и во всех других случаях будут получаться квадраты простых чисел. Прошу её доказать!!!
Или опровергнуть.
Калькулятор в шоке. Без калькулятора (а такое возможно только на ЕГЭ) я бы перемножил в лоб. Потом элементарным перебором а-ля двоичное дерево. За 8 операций думаю разобрался бы. Возможна проблема с нецелым числом ответе. Но тогда вообще не понятно зачем вся эта эквилибристика.
Кто бы мог подумать, что корень из произведение четырех чисел подряд + 1 равен произведению двух средних - 1
А не проще, сначала последовательно, под корнем, перемножить множимое на множитель, потом прибавить 1, затем из 11881 извлечь корень?! Получим искомое =109.
Так заморочиться, зачем всё усложнять?
Неужели не понятно, что автор захотел посмотреть на реакцию публики. А попросту говоря, он захотел поиздеваться над нами. Пример решается за 14 секунд.
Тоже по моему проще было 9*12=108, затем 10*11=110 и после разность квадратов применить
Когда я учавствовал в олимпиадах, мы старались упростить задачу, а не усложнить....
Тривиальная устная задача. Любой хороший восьмиклассник обязан ее решить.
Просто перемножить и прибавить 1.Ответ 109
Задача и особенно предложенное решение очень понравились.
просто перемножить и подобрать корень как-то быстрее, чем через уравнения. В чем олимпиадность задачи с простыми действиями?
9*11=99. 12*10=120. Это примерно 120*100= 12000. Корень из 12100 это 110, так как 11в квадрате 121.
Ответ: чуть меньше 110.
Я учился в советской школе в 1967 году. И эту задачу тупо мог решить любой пятиклассник (ну, или в каком там классе проходят квадратные корни, не помню). Нафига весь этот выпендреж с переменными, когда можно просто посчитать, что там получается под корнем, а потом этот корень вычислить? Это даже не алгебра, а простая арифметика. Ах, вас не учили извлекать корни? А вот нас учили. Карандашиком на листочке. Очень просто. Хочешь целые, хочешь дробные, любые. А потом признали советскую систему преподавания порочной и начали вот такие городушки изобретать из-за незнания простой операции.
Я посчитал проще: 9*11=99;10*12=120 далее 99*120 это как 100*120-120=11880+1=11881 далее подбираем корень.110 в квадрате =12100 это чуть больше чем 11881 значит корень из 11881 равен 109
Просто вычислил в уме 10х12х9х11+1, корень подобрал, сразу понимая, что ответ больше 100 и заканчивается скорее всего на 9
Задачка из серии - как вскипятить воды к чаю - пойдём в лес, наберём хвороста... зачем весь этот умственный онанизм? Да, выглядит изящно, ну так и дровишки гораздо романтичнее прозаичной микроволновки)
очень интересно, но вы перемудрили =)
смотрите, у вас под корнем стоит 110*108+1 -- значит ответ лежит между 108 и 110, является целым числом и кончается на 1, а значит 109 -- это единственный кандидат, остаётся только проверить: 110*108+1 решается устно, получаем 11881; 109*109 тоже решается устно, получаем то же самое.
Так здесь ещё "случайно" доказали, что вместо 9 можно взять любое натуральное число n. И тогда sqrt(n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1)=... (смотри видео). А может и не только натуральное...
Посчитала за полминуты (квадратный корень извлекала при помощи калькулятора).
Но вы, наверное, пошутили насчёт олимпиадности задания.
На уме решал, получил 11881. В корне это как раз 109. Эта задача решается в уме
Нас всех , и я с вами развели как дураков. Автору нужен был наш комментарий ОН ЕГО ПОЛУЧИЛ А тот кто ещё и лайк поставил- вообще" молодец" (в кавычках конечно)
я бы за 1 минуту все перемножил и посчитал бы корень. а в этих корнях я без понятия как разбираться.
А чего - факториалами нельзя? под корнем (12!/8! )-1, Или надо чтоб только на основе школьного курса?
Ебать ты гений смысл факториалом решать если всё равно когда сократишь, получится 9*10* 11*12+1(и там будет не -1, а +1
@@ковалеввячеслав-л2щ у Вас проблемы, видимо, могу только осторожно пособолезновать. Смысла нет, есть готовая табличка факториалов. А уж потом вычесть единичку.
У Вас на 2:40 грубая ошибка. Квадрат и корень взаимно НЕ уничтожается. Чтобы такой переход был равносильным, надо некоторые условия вводить. Они тут есть, но Вы же про них ничего не сказали. А в общем случае взаимно уничтожать квадрат и корень - это грубейшая ошибка, на которой посыпалось (вот из-за таких видео в том числе) немало голов и баллов...
Это пример того, как не надо решать.
Основное правило математики,где можешь- сокращай!!! Это ж надо было такое нагородить!!!
Решал физику егэ и тут попалось и я стал решать уже это задание.
Но у меня получилось 33)
А почему, если идти в лоб: вынести всё, что можно из под корня, преобразовать всё остальное самым примитивным методом, получается 6√331 = ~109.16??? Как это так, что если решать как в видео, ответ получается ровно 109?
Как вынести из под корня часть Слагаемого?
Выносить можно только множители.
Поэтому тут два варианта:
Либо сводить к квадрату суммы,
Либо умножать в лоб и пробовать извлечь корень из полученного числа.
Не знаю, у меня в лоб 109 получилось
А че просто посчитать в уме нельзя? Это же просто умножение.
Совершенно верно - это проще всего !!!
Слишком длинное решение, которое к тому же длиннее простого вычисления выражения. А значит решение неверное.
из пушки по воробьям!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! арифметику наверное забыл ....... взял перемножил (вам разрешаю пользоваться калькулятором! в связи со сложностью задачи!!!!!) прибавил единицу (опять разрешаю воспользоваться калькулятором!) а уж корень извлечь с вашим умом не составит труда .....
Посчитал за 20 секунд, даже не открывая видео 😂
По-моему, произведение четырёх ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ членов ЛЮБОЙ арифметической прогрессии, увеличенное на 1, даёт число, являющееся полным квадратом! Даже прогрессия из комплексных чисел...
Для арифметической прогрессии с разностью 1 это верно: n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n²+3n+1)², как и было практически доказано в видео. Насчёт _любой_, естественно, нет: например 1·3·5·7+1 = 106. Это я ещё про (-1)·1·3·5+1 = -14 не говорю. 😉
P.S. Поправил корявку (+1 в первом равенстве забыл).
Это задача для устного счёта, а Вы развели писанину. По наличию "+1" под корнем сразу понятно, что надо выделять разность квадратов.
Вот именно. Нам такие на устном счёте давали. Самые тупые решали за 5 секунд. Но нормальный ученик давал ответ за 1-2 секунды. Формула разности квадратов видна. 109²-1²+1. Всё. Вычислять не нужно. Под корнем 109². Обычная московская школа 1970 год. 5 класс. Никаких иксов.
Хм... Конечно, классный вариант! Но.. вот именно в данном случае, а не проще в лоб решить? Корень из 11881... Ну, до 109 подбором тут крайне нетрудно догадаться, 100 * 100 дадут 10 тыс., 81 получается как 9*9, в чём проблема-то?
А если будет 11781 или 11981 то как найдешь основание 109?
@@blaze3518 Тогда 109 не получится, очевидно. Но, прежде чем лезть в эти дебри с заменами, проще и быстрее попробовать в лоб, за минуту, в уме. Получается просто и быстро - зашибись, нет - заморачиваемся, как в этом разборе.
В уме сосчитать 11881 не особо было сложно...а подобрать корень не более сложно чем арифметику сосчитать 10к + значить 100+ а 81 на конце явно на 9 указал ....проверить делением ...явно быстрее чем алгебраические формулы переливать друг в друга. Пример неудачный я считаю...надо менее очевидные цифры брать
Просто умножте числа под корнем, прибавте 1. Корень будет 109.
Это какая то фигня. Менять на икс, потом на игрек, потом обратно. Это как дважды два через интеграл вычислять.
Малыш, посмотри, как дядя без калькулятора мучается.