Чтобы избежать больших чисел при возведение в степень, обозначим x-5=t. Тогда уравнение имеет вид (t-2)^2+(t-1)^3+t^4=2. Раскрыв скобки и приведя подобные получим t^4+t^3-2t^2-t+1=0. Если есть целый корень то он среди делителей 1. Проверяем t=1и t=-1, оба корня подходят. Разделив на (t-1) и (t+1) получим разложение (t-1)(t+1)(tt+t-1)=0, для квадратного уравнения D=5, t3=(-1-V5)/2, t4=(-1+V5)/2. Подставив t в x-5=t получим Ответ: x1=4; x2=6; x3=(9-V5)/2; x4=(9+V5)/2.
@@KSumatokhinпо теореме Безу t^4+t^3-2t^2-t+1 делится без остатка на (t-1), если t=1 корень. Делим в столбик, или по схеме Горнера. Также с корнем t=-1, делим на t+1.
я делал так же, только не угадывал корни, а разложил уравнение с t на множители. t^4+t^3-2t^2-t+1 = (t^4+t^3-t^2)-t^2-t+1 = (t^2-1)(t^2+t-1) = 0, далее решаем 2 квадратных уравнения и получаем 4 корня
Можно немного проще если обозначить х-6 через а. Тогда получим уравнение а(а^3+5а^2+7а+2) = 0. Кубическое уравнение имеет корень -2, остальные два корня находим из квадратного уравнения
После нахождения корня, пусть даже простым перебором, можно сокращать сложное уравнение на это выражение. Т.Е. после нахождения корня x=6,можно было упрощать, сокращать на x-6.
Уже похожее решение привели ранее в комментариях. Положим a=x-5, тогда многочлен в задаче (a-1)(a+1)(a^2+a-1)=0. (Применение теоремы о рациональных корнях многочлена).
я пошёл так x-6=t, тогда (t-1)^2+t^3+(t+1)^2=2, потом я пошёл также как и вы разложив двойку на 1+1 и воспользовался разностью квадратов, раскрыл скобки и получил: t^4+5t^3+7t^2+2t=0и дальше сгруппировал, сделал обратную замену и нашёл те же корни, что и вы))
Четыре корня, значит четыре раза пересекает ось х. Взяв производную этой функции, находим на каких участках она положительна (значит функция возрастает) и на каких отрицательна (убывает).
Решение элементарное. Разбить 2 на 1+0+1. Отсюда видно, что только при х=6 выполняется такая разбивка, так как (6-6)^3=0^3=0; (6-7)^2=(-1)^2=1; (6-5)^4=(1)^4=1. Вуаля. Задача-то олимпиадная и мыслить нужно по-олимпиадному.
7 не подходит. С 4 я просто не заморачивался, так как требовалось дополнительное объяснение. Для вас лично. Одна из полученных единиц происходит за счёт разницы в последней скобке, то есть (-1)^4=(х-5)^4, х=4. Отсюда вторая единица-это разница двух предшествующих скобок, то есть 1=9-8. Почему 9 и -8? Это единственный вариант чисел в квадрате и кубе, разница которых равна единице. Так как второе число отрицательное, то х меньше 6, следовательно 9=(-3)^2, а не 9=(3)^2. Отсюда, 9=(-3)^2=(x-7)^2, где х=4. Проверяем число во второй скобке, (4-6)^3=(-2)^3=-8. Так что я пропустил только одно решение, но участвуя в олимпиадах получил опыт, что решение их задач требует не знание алгоритма решения, а принцип построения задач на них.@@ВладимирСергеев-м9ю
Для школьников каких классов? Здесь как ни решай, всё равно решается легко: x-6=t, дальше (t-1)^2+t^3+(t+1)^4=2, тупо раскрываем скобки, используя бином, двойка улетает в 0...
Судя по количеству решении в комментариях, слабовата она для 1978 всесоюзной олимпиады.Для тех, кто каждый день решает такие задачи, все уме можно решить. Такие подобные уравнения сейчас в учебнике под звездочкой. Тут должны быть везде дробные степени, типа 23/12x
Главный вопрос, ответьте пожалуйста! Как понять, что пример приводится вообще? Я готов раскрывать скобки, подставлять правила и прочее, если я уверен, что движусь в нужную сторону. Но, на каком-то из действий я продолжаю видеть какую-то хрень, которая совершенно не похожа на представляемый мной конечный результат. Возможно, я в правильном направлении, и это просто промежуточный результат, но как мне быть в этом уверенным? Поэтому я бросаю и ищу другие способы или просто сдаюсь, а до победы, вероятно, оставалось всего пара каракатиц...
@@kozerog75 та нет же, я имею в виду - из учебника или вот в ютубе часто какие-нибудь задачки задают. То есть, в принципе, оно должно решаться. Но, если это обычное квадратное - там виета или дискриминант, тут без проблем. Но если что-то необычное. Или многочлен сократить странный. Как подобрать верный путь решения?
Как верно заметил *kozerog75* - "никакого алгоритма нет". Более того, даже "стандартные" школьные задачи в большинстве случаев могут быть решены разными способами. А в нестандартных - метод научного тыка, или по-другому - метод проб и ошибок. И вот для него есть что-то вроде алгоритма: 1. если есть очередная гипотеза (предположение, как решать), то => п. 2, иначе => п. 4 2. пробуем решать выбранным методом - до упора, пока не будет понятно, получается или нет 3. если получилось => в п. 7, иначе => п. 1 4. все идеи исчерпаны => п. 5 5. ищем решение (в задачнике, в Интернете) 6. если нашли => п. 7, иначе => п. 8 7. победа! 8. печалька :-( , но не смертелька :-) Можно вернуться к решению позже. Главное - не бояться делать ошибок. В математике это вообще нестрашно - просто испишется больше бумаги, что относительно дёшево :-) А количеством исписанных листов можно даже немного гордиться - ведь была сделана немалая работа :-)
Например: x²=4 Какое тут число скрывается под иксом? Правильно вы скажите 2. Ведь : 2²= 2×2=4 Но тут верен и ответ -2! (-2)²=-2×(-2)=4 Минусы уходят остаётся плюс. x1=2 x2=-2 И это только пример для такого уравнения, в одном уравнение значений икс может быть больше двух, но это уже зависит от уравнения в данном примере x+5=10 конечно тут будет один ответ x=5.
Красивое решение будет при замене (x-6)=t , тогда раскрываем полученные скобки, слева сумма двух единичек, права 2. Выносим общий множитель t(t^3 +5t^2 + 7t + 2)=0 Кубический четырёх член можно разбить на множители с помощью таблицы Герона, отсюда получаем t(t+2)(t^2+3t+1)=0 Дорешиваем, возвращаемся к переменной x и получаем те же корни что и видео
Брэд, х-5=t, раскрываем скобки, потом легко получается сгруппировать множители и ответ рассчитывается за три минуты, буквально. Без кучи арифметики лишней
Все правильно, но, извините, "много букф". Достаточно начертить графики трех функций: y= (x-7)^2 y=(x-6)^3 y=(x-5)^4 и посмотреть, на каких промежутках их сумма даст 2. Далее методом исключения быстро выходите на решение.
Вы бы поинтересовались, кто у Интел пентиум линейку разрабатывал, например. Кто у Амазон их облако проектировал. Ну и на сладкое - почему же Тайвань до сих пор так важен для США.
@@romanpadalka8532 Вне всяких сомнений это все разработки советских учёных)) мы же с вами знаем сколько известных мировых брендов родились в советском союзе. все прямо гонялись за советскими товарами!! и все благодаря советсвкому образованию!
@@romanpadalka8532 для этого надо уметь думать дальше своей предметной области, а это не только не про текущее поколение - это уже 100 лет назад было фантастикой, Ортега-и-Гассет уже тогда описал типаж "специалиста"
Он решил квардратное уравнение чтобы разложить это "слагаемое" на множители. Вместо квадратного уравнения получились два множителя с первыми степенями.
Чтобы разложить его на множители, например x^2-2x-8 можно представить в виде двух множителей если его решить, будто оно равно 0, корни этого уравнения x1=+4, x2=-2 => x^2-2x-8 можно разложить как (x+2)(x-4) и неважно чему изначально равняется квадратное уравнение, является оно слагаемым, делителем, множителем, может x^2-2x-8=(x+2)(x-4)=0, а может (x^2-2x-8)+123*y=(x+2)(x-4)+123*y=......
@@АнтонТитков-к4р его-то разложили, но оно не перестало быть слагаемым. Мне показалось что корни 7 и 4 автор таки записал в решение всего уравнения. 4 - в последствии ок, но 7 точно не корень всего уравнения.
@@artemus7062 (Х-4) вынеслось за скобку и стало общим множителем, поэтому это общий корень. А (Х-7) скомбинировалось с оставшимся квадратичным слагаемым в большой скобке. Из этого скомбинированного квадратичного слагаемого потом получилось еще два общих корня.
Чтобы избежать больших чисел при возведение в степень, обозначим x-5=t. Тогда уравнение имеет вид (t-2)^2+(t-1)^3+t^4=2. Раскрыв скобки и приведя подобные получим t^4+t^3-2t^2-t+1=0. Если есть целый корень то он среди делителей 1. Проверяем t=1и t=-1, оба корня подходят. Разделив на (t-1) и (t+1) получим разложение (t-1)(t+1)(tt+t-1)=0, для квадратного уравнения D=5, t3=(-1-V5)/2, t4=(-1+V5)/2. Подставив t в x-5=t получим Ответ: x1=4; x2=6; x3=(9-V5)/2; x4=(9+V5)/2.
Можно поподробнее "Разделив на (t-1) и (t+1) получим разложение (t-1)(t+1)(tt+t-1)=0" ?
@@KSumatokhinпо теореме Безу t^4+t^3-2t^2-t+1 делится без остатка на (t-1), если t=1 корень. Делим в столбик, или по схеме Горнера. Также с корнем t=-1, делим на t+1.
@@AlexeyEvpalov, спасибо. Для заинтересовавшихся вот ссылка на урок про схему Горнера ruclips.net/video/EdDGvdSOuBA/видео.html
Спасибо
я делал так же, только не угадывал корни, а разложил уравнение с t на множители. t^4+t^3-2t^2-t+1 = (t^4+t^3-t^2)-t^2-t+1 = (t^2-1)(t^2+t-1) = 0, далее решаем 2 квадратных уравнения и получаем 4 корня
Можно немного проще если обозначить х-6 через а. Тогда получим уравнение а(а^3+5а^2+7а+2) = 0. Кубическое уравнение имеет корень -2, остальные два корня находим из квадратного уравнения
Тоже сразу увидела этот способ
При замене х-6=t , получаем после упрощений t(t+2)(t^2+3t+1)=0. Далее дело техники.
Вспоминается детство Олимпиада в Ташкенте. Да действительно там была эта задача.
Ответ Х=6 получается за 1 секунду просто взглянув на задачу. Остальные ответы надо искать.
Ну, подбери остальные три корня, смешной.
@@mrgrivify сам смешной) когда известен один из корней, то уравнение 4 степени превращается в уравнение 3 степени, а это намного легче решать.
@@SergeyUstinenkov ну да, ну да, кубические же уравнения в уме решаются.
По видом математики раскручивает миф о лучшем советском образовании) Чьи там уши точат?)
Плохо объясняет! Зачем? Сам для себя решаешь? И собой уповаешься! Фуууу
Ложь: этой задачи НЕ БЫЛО на всесоюзной олимпиаде 1978 года!
Запись первой строки недопустима при решении уравнений.Это же учитывается на олимпиадах.
Почему?
Какой ещё дискриминант, теорема Виета. Корень 6 был угадан на второй секунде просмотра.
Когда кони иррациональный, по теореме виета решить невозможно, либо дискриминант, либо выделыть полный квадрат!!!
После нахождения корня, пусть даже простым перебором, можно сокращать сложное уравнение на это выражение. Т.Е. после нахождения корня x=6,можно было упрощать, сокращать на x-6.
Super
Когда рассчитывали дискриминант почему получилось 17 а не 15 мне не понятно. Должно было быть -b а это -1 а не 1.
Cреднеарифметической 7+6+5=18/3 =6 x-6=t и дальше все просто
х=6 сразу бросается в глаза, а дальше фиг знает, снимаю с паузы, смотрю решение =))
А мне сначала x=4 бросилось, потом уже 6 пришло. Ну, а с корнями по очевидной причине не так заметно
Очевидно, чтобы сумма трёх слагаемых была бы 2, надо чтобы два слагаемых были бы по единице, а третье 0 и это возможно при Х=6
Там еще есть 3 корня!!!
Это за какой же класс задача? Простовата для всесоюзной. И решается стандартными методами, которым учили в матем. школах и на олимпиадных кружках.
4- не корень! Вы бы хоть подставляли корни в исходное уравнение, горе - решальщик.
Удивишься, если подставить равенство верно.
Уже похожее решение привели ранее в комментариях. Положим a=x-5, тогда многочлен в задаче (a-1)(a+1)(a^2+a-1)=0. (Применение теоремы о рациональных корнях многочлена).
Сделала замен а=х-6. Затем раскрыла скобки и тд. Можно было без замены, но с заменой коэффициенты меньше.
Решил через замену х-5=t. Не было ни одного числа более 10.
Лайк сразу, до просмотра, за один только пример на заставке)
Немного иначе решал: выразил В и С через А. Но, как я это люболю с детства, традиционно забыл про отрицательные значения при извлечении корня :)
Всю жизнь было интересно, кто эти задачи выдумывал
И надо надо спорить!
На самом деле решать надо, отнимая единицу от (x-6)^3 через разницу кубов
Отнять это насильно взять.ВЫЧИТАЯ единицу...
Это же пример 7 класса. Ничего особенного.
Нихрена непонятно, но ооочень интересно!!!!😂😂😂
Решил через подбор и логики. Секунд за 5
Подбери 3 корня за 5 секунд
Согл тоже решил методом подставления за 2 минуты
Инаданадаспорить!
Всего 5 значений x? Надо формально ответ записывать
Почему 5? Четыре
без расчета 6? смотрим видео
А теперь поставьте 4 в исходное уравнение. Явно не 2 получается.
Не знаю, как Вы считали, у меня получилось
@@viktorkolyadar495 скорблю о вас
9-8+1?
Это уровень упражнения повышенной трудности для 8 класса, а не всесоюзной олимпиады.
Не формулы,а ТОЖДЕСТВА сокращённого умножения!
Теорема Виета рулит
t=x-6, так проще
Профессор вспомогательной школы не умеет решать задачи красиво. Комментарии квалифицированные этого неуча.
я пошёл так
x-6=t, тогда (t-1)^2+t^3+(t+1)^2=2, потом я пошёл также как и вы разложив двойку на 1+1 и воспользовался разностью квадратов, раскрыл скобки и получил:
t^4+5t^3+7t^2+2t=0и дальше сгруппировал, сделал обратную замену и нашёл те же корни, что и вы))
хм. а как выглядит график этой функции?
Четыре корня, значит четыре раза пересекает ось х. Взяв производную этой функции, находим на каких участках она положительна (значит функция возрастает) и на каких отрицательна (убывает).
Вы ответили на другой вопрос.
а проверка?. неуд
Получилось разложить на множители (видимо случайно). x-4 выделяется и x-6. Тогда корни: 4, 6, (-3 - корень(5))/2, (-3 + корень(5))/2.
Решение элементарное. Разбить 2 на 1+0+1. Отсюда видно, что только при х=6 выполняется такая разбивка, так как (6-6)^3=0^3=0; (6-7)^2=(-1)^2=1; (6-5)^4=(1)^4=1. Вуаля. Задача-то олимпиадная и мыслить нужно по-олимпиадному.
А ещё 3 других корня?
7 не подходит. С 4 я просто не заморачивался, так как требовалось дополнительное объяснение. Для вас лично. Одна из полученных единиц происходит за счёт разницы в последней скобке, то есть (-1)^4=(х-5)^4, х=4. Отсюда вторая единица-это разница двух предшествующих скобок, то есть 1=9-8. Почему 9 и -8? Это единственный вариант чисел в квадрате и кубе, разница которых равна единице. Так как второе число отрицательное, то х меньше 6, следовательно 9=(-3)^2, а не 9=(3)^2. Отсюда, 9=(-3)^2=(x-7)^2, где х=4. Проверяем число во второй скобке, (4-6)^3=(-2)^3=-8. Так что я пропустил только одно решение, но участвуя в олимпиадах получил опыт, что решение их задач требует не знание алгоритма решения, а принцип построения задач на них.@@ВладимирСергеев-м9ю
@@richardhuling9200 там еще два нецелых корня. Так что подбор поможет упростить, но решать придется. И да, замена x-5 оптимальная
Для школьников каких классов? Здесь как ни решай, всё равно решается легко: x-6=t, дальше (t-1)^2+t^3+(t+1)^4=2, тупо раскрываем скобки, используя бином, двойка улетает в 0...
Судя по количеству решении в комментариях, слабовата она для 1978 всесоюзной олимпиады.Для тех, кто каждый день решает такие задачи, все уме можно решить. Такие подобные уравнения сейчас в учебнике под звездочкой. Тут должны быть везде дробные степени, типа 23/12x
Ложь: этой задачи НЕ БЫЛО на всесоюзной олимпиаде 1978 года!
Это же всесоюзная олимпиада, а не обычный урок в сельской школе
Один корень вижу. Сейчас поем пельменей и остальные найду, никуда не уходите.
Не самое рац.решение, в этих скобках можно и запутаться
Я раскрыл скобки, записал в стандартном виде и нашел корни методом Феррари. Кто сделал иначе, тот не мужик.
Ошибка на пятой линии
.х-6 общий множитель в трёх слагаемых.
Хорошо, когда у таких уравнений есть целые корни. Рано или поздно они отыщутся. А вот если целых корней нет, то
Сразу подбираем x=6, делим многочлен 4й степени до 3й степени :)
Олимпиада была в Ташкенте?
x=6 => (-1)^2+0+1^4=2
А сделать проверку!
Ну целое сочинение расписал а по проще 🙄
Лучше замена х-6
красиво)
Я голову сломал.
Главный вопрос, ответьте пожалуйста!
Как понять, что пример приводится вообще? Я готов раскрывать скобки, подставлять правила и прочее, если я уверен, что движусь в нужную сторону. Но, на каком-то из действий я продолжаю видеть какую-то хрень, которая совершенно не похожа на представляемый мной конечный результат. Возможно, я в правильном направлении, и это просто промежуточный результат, но как мне быть в этом уверенным? Поэтому я бросаю и ищу другие способы или просто сдаюсь, а до победы, вероятно, оставалось всего пара каракатиц...
Если ты сам придумывал уравнение, никаких гарантий что оно решаемо школьными методами нет.
@@kozerog75 та нет же, я имею в виду - из учебника или вот в ютубе часто какие-нибудь задачки задают. То есть, в принципе, оно должно решаться. Но, если это обычное квадратное - там виета или дискриминант, тут без проблем. Но если что-то необычное. Или многочлен сократить странный. Как подобрать верный путь решения?
@roden2208, Никакого алгоритма нет. Просто перебираешь известные тебе приём и методы.
@@roden2208 если есть целые корни, то они являются делителями свободного члена (+-). А если нет, то сделай, чтобы были))
Как верно заметил *kozerog75* - "никакого алгоритма нет".
Более того, даже "стандартные" школьные задачи в большинстве случаев могут быть решены разными способами.
А в нестандартных - метод научного тыка, или по-другому - метод проб и ошибок. И вот для него есть что-то вроде алгоритма:
1. если есть очередная гипотеза (предположение, как решать), то => п. 2, иначе => п. 4
2. пробуем решать выбранным методом - до упора, пока не будет понятно, получается или нет
3. если получилось => в п. 7, иначе => п. 1
4. все идеи исчерпаны => п. 5
5. ищем решение (в задачнике, в Интернете)
6. если нашли => п. 7, иначе => п. 8
7. победа!
8. печалька :-( , но не смертелька :-) Можно вернуться к решению позже.
Главное - не бояться делать ошибок. В математике это вообще нестрашно - просто испишется больше бумаги, что относительно дёшево :-) А количеством исписанных листов можно даже немного гордиться - ведь была сделана немалая работа :-)
Я не понимаю.Плохо учился. Как у икса могут быть разные значения? Ведь икс это одно нетзвестное число.Я даже не знаю как зделать проверочное решение.
Например:
x²=4
Какое тут число скрывается под иксом?
Правильно вы скажите 2. Ведь : 2²= 2×2=4
Но тут верен и ответ -2!
(-2)²=-2×(-2)=4
Минусы уходят остаётся плюс.
x1=2
x2=-2
И это только пример для такого уравнения, в одном уравнение значений икс может быть больше двух, но это уже зависит от уравнения в данном примере
x+5=10 конечно тут будет один ответ x=5.
корни 6 и 4 очевидны сразу.
Красивое решение будет при замене (x-6)=t , тогда раскрываем полученные скобки, слева сумма двух единичек, права 2.
Выносим общий множитель t(t^3 +5t^2 + 7t + 2)=0
Кубический четырёх член можно разбить на множители с помощью таблицы Герона, отсюда получаем
t(t+2)(t^2+3t+1)=0
Дорешиваем, возвращаемся к переменной x и получаем те же корни что и видео
Брэд, х-5=t, раскрываем скобки, потом легко получается сгруппировать множители и ответ рассчитывается за три минуты, буквально. Без кучи арифметики лишней
А ты учел что придется решать уравнение в четвертой степени ?
@@ФаритДаминов-к1л прикинь, я его даже решил, и не я один естественно, попробуй, потом расскажешь как успехи.
На олимпиадную задачу не тянет...😏😏😏
Все правильно, но, извините, "много букф".
Достаточно начертить графики трех функций:
y= (x-7)^2
y=(x-6)^3
y=(x-5)^4
и посмотреть, на каких промежутках их сумма даст 2.
Далее методом исключения быстро выходите на решение.
на глаз определите сумму трех функций по графику и что корень (9+sqrt(5))/2? ну и этот метод совсем не похож на то, что предлагает автор.
конечно лучшее образование! вон самсунг эпл, интел, амд - всё советские высокотехнологичные компании.
Вы бы поинтересовались, кто у Интел пентиум линейку разрабатывал, например. Кто у Амазон их облако проектировал. Ну и на сладкое - почему же Тайвань до сих пор так важен для США.
@@romanpadalka8532 Вне всяких сомнений это все разработки советских учёных)) мы же с вами знаем сколько известных мировых брендов родились в советском союзе. все прямо гонялись за советскими товарами!! и все благодаря советсвкому образованию!
@@romanpadalka8532 для этого надо уметь думать дальше своей предметной области, а это не только не про текущее поколение - это уже 100 лет назад было фантастикой, Ортега-и-Гассет уже тогда описал типаж "специалиста"
@@romanpadalka8532 и вдогонку вашему комментарию, пусть вопрошающий поинтересуется, кто проектировал первую альфу для эппловских часов.
Интересно, с какого перепугу вы решали квадратное уровнение, когда оно являлось слогаемым
Возник тот же вопрос
Он решил квардратное уравнение чтобы разложить это "слагаемое" на множители. Вместо квадратного уравнения получились два множителя с первыми степенями.
Чтобы разложить его на множители, например x^2-2x-8 можно представить в виде двух множителей если его решить, будто оно равно 0, корни этого уравнения x1=+4, x2=-2 => x^2-2x-8 можно разложить как (x+2)(x-4) и неважно чему изначально равняется квадратное уравнение, является оно слагаемым, делителем, множителем, может x^2-2x-8=(x+2)(x-4)=0, а может (x^2-2x-8)+123*y=(x+2)(x-4)+123*y=......
@@АнтонТитков-к4р его-то разложили, но оно не перестало быть слагаемым. Мне показалось что корни 7 и 4 автор таки записал в решение всего уравнения. 4 - в последствии ок, но 7 точно не корень всего уравнения.
@@artemus7062 (Х-4) вынеслось за скобку и стало общим множителем, поэтому это общий корень. А (Х-7) скомбинировалось с оставшимся квадратичным слагаемым в большой скобке. Из этого скомбинированного квадратичного слагаемого потом получилось еще два общих корня.