Этот ролик - яркий пример "бурбакизма" - когда всё строго, но ни черта не понятно. Ну как можно вводить площадь ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ как "некое правило, ставящее в соответствие фигуре число"? И как можно такую прекрасную и КОНКРЕТНУЮ формулу Пика выводить из совершенно абстрактной теоремы о единствнности такого правила? К тому же ещё и недоказанной тут в ролике (и думаю и недоказуемой на уровне школьников.) Ну ведь не доказывал Пик свою формулу таким вот образом. (И уж точно НЕ ПРИДУМЫВАЛ её так!) Площадь это количество единичных квадратиков, которыми можно покрыть фигуру. Это поймёт любой человек с головой. Если фигуру нельзя покрыть единичными квадратиками - надо их как-то резать на более мелкие (квадратики или другие фигуры). Из здравого смысла легко находятся площади прямогугольников и любых треугольников и так далее. Легко видеть (и доказать), что для БОЛЬШОЙ фигуры площадь примерно равна числу узлов решётки внутри неё. Не ясно только, что делать с точками на границе - они и не внутри и не снаружи - ну так будем их считать за половину! Осталось вычесть единичку и вуаля. Да, КОНЕЧНО, это не есть строгое доказательство, и конечно им нехорошо ограничиться. Но ясно, что можно и строго всё доказать на этом пути. Вообще же не сказать ничего про столь простое, интуитивное, индуктивное соображение - как по мне, это ещё хуже. Вся великая (и реально применяемая) математика сделана в те благословенные века, когда великие математики вполне спокойно строили свои доказательства индуктивно, из "здравого смысла". Да, потом потребовалось некоторое переосмысление и "подведение фундамента", но зачем же детей в школе этим грузить?
Эта штука работает - не трогай (основы компьютерной грамотности). Но как, чёрт возьми, эту формулу вообще можно было найти? Точки считать... минус один загадочный... на два ещё делить... Невероятно. P.S: Подозреваю, что работает, если отношение всех координат рационально (Иначе сетку под них не подобрать. Сами координаты могут рациональными не быть)
Нее,такие теоремы зачастую делают от индукционного перехода.Те сначала стряпают переход,а потом подгоняют под него формулу,ну и потом пытаются адекватную базу надыбать.По другому такие интересные штуки получать неприятно,а так - кайф!
Главное из моих хорошо запомнившихся впечатлений от первого курса математического факультета? Абсолютная бесполезность натаскивания будущих абитуриентов задачами "повышенной сложности" для постижения высшей математики. Университетская математика - это другое. Прикладная математика для науки и техники - это тоже другое. Так что, школьная математическая эквилибристика - не более, чем способ выделить из подрастающего поколения тех, кому математика не противна.
Если начать ломаную с границы, то вроде ничего не ломается. А вот если провести замкнутую ломаную полностью внутри многоугольника, то одна из частей станет многоугольником с дыркой, то есть не совсем многоугольником. Для таких фигур формулу Пика надо подправить, вроде бы просто добавлять число дырок.
но ведь теорема о единственности такой функции - она про функции, определенные на множестве всех фигур. А мы привели пример функции для фигур, которые можно нарисовать по клеточкам. Почему не может быть такого, что формула пика - не функция площади, у нее есть эти свойства на фигурах по клеточкам, но при этом у нее нет расширения на множество остальных фигур, такого чтобы свойства сохранялись? Или можно доказать аналогичную теорему о единственности для клетчатых фигур? И про инвариантность. Фигура же может иногда быть повернута? (самый простой, но тривиальный случай - правильный многоугольник) Тогда не очень понятно, как с учетом этого доказывать
Насчёт единственности: поскольку формула работает для любой сетки, то мы можем завести сколь угодно мелкую сетку, так что в пределе для нас любой многоугольник будет "сетчатым". Насчёт инвариантности: любые три вершины переводятся в сходственные вершины равного многоугольника единственным движением. Тогда и сетка перейдет в себя, поскольку движение.
ну без теории меры тут сложно, но давайте докажем, что если есть две функции S(A) , V(A) - где A - многоугольник, S, V - разные функциии площади, то S= k*V, k - конст. рассмотрим квадрат с длинной a - рациональный, какая у него площадь? будет V(квадрата с длиной 1) на a^2, рассмотрим квадрат с длиной a = m/n, он укладывается n^2 раз в квадрат с длиной m, а также в этот квадрат укладывается m^2 раз квадрат с длиной 1, а все квадраты с площадью 1 имеют одинаковую площадь. таким образом получаем V(m/n) * n^2 = m^2 * V(1) => V(m/n) = m^2/n^2 * V(1) = a^2 V(1) теперь рассмотрим иррациональный квадрат с длиной a, он приближается с двух сторон рациональными, поэтому его площадь тоже будет такая(свойство пределов тыры пыры). а теперь из площади для квадрата мы получаем площадь для треугольника и каждый многоугольник разбиваем на треугольники и получаем, что все функции площади различаются на константы домноженные а вообще на самом деле любое открытое множество разбивается на дизъюнктное объединение квадратов/кубов, поэтому вот
@@braxxis4520а я по-другому делала: из единичного квадрата делаем квадрат с рациональной стороной, потом через предел переходим к квадрату с вещественной стороной. Дальше прямоугольник с произвольными сторонами. Из прямоугольника получаем прямоугольный треугольник, дальше просто треугольник. В этот момент надо доказать, что для любой высоты площадь получится одна и та же. Тут я пошла так: пускай будет площадь через синус. Само существование синуса определяется через подобие, а подобие можно доказать без площадей, с помощью Фалеса.
Там прикол в том,что сначала они стряпают соотношения все,чтобы индукционно для любой фигуры можно было слепить,а потом подгоняют константы под базовые фигуры.А там константа единственным образом определяется
@r4d8hвырежьте фигуру из плотной бумаги, взвесьте до 0.001 грамма, взвесьте квадрат известной площади и определите фигуру через пропорцию 😂 Ну или программу компьютерную используйте.. 21 век же ж 😂😂😂
![Noob To Max With DRAGON REWORK In Blox Fruits [FULL MOVIE]](http://i.ytimg.com/vi/LnBMOinoOvA/mqdefault.jpg)
Этот ролик - яркий пример "бурбакизма" - когда всё строго, но ни черта не понятно. Ну как можно вводить площадь ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ как "некое правило, ставящее в соответствие фигуре число"? И как можно такую прекрасную и КОНКРЕТНУЮ формулу Пика выводить из совершенно абстрактной теоремы о единствнности такого правила? К тому же ещё и недоказанной тут в ролике (и думаю и недоказуемой на уровне школьников.) Ну ведь не доказывал Пик свою формулу таким вот образом. (И уж точно НЕ ПРИДУМЫВАЛ её так!) Площадь это количество единичных квадратиков, которыми можно покрыть фигуру. Это поймёт любой человек с головой. Если фигуру нельзя покрыть единичными квадратиками - надо их как-то резать на более мелкие (квадратики или другие фигуры). Из здравого смысла легко находятся площади прямогугольников и любых треугольников и так далее. Легко видеть (и доказать), что для БОЛЬШОЙ фигуры площадь примерно равна числу узлов решётки внутри неё. Не ясно только, что делать с точками на границе - они и не внутри и не снаружи - ну так будем их считать за половину! Осталось вычесть единичку и вуаля. Да, КОНЕЧНО, это не есть строгое доказательство, и конечно им нехорошо ограничиться. Но ясно, что можно и строго всё доказать на этом пути. Вообще же не сказать ничего про столь простое, интуитивное, индуктивное соображение - как по мне, это ещё хуже. Вся великая (и реально применяемая) математика сделана в те благословенные века, когда великие математики вполне спокойно строили свои доказательства индуктивно, из "здравого смысла". Да, потом потребовалось некоторое переосмысление и "подведение фундамента", но зачем же детей в школе этим грузить?
Да, пожалуй, это доказательство ближе к первому курсу вуза, но тогда и термины использовались бы совершенно другие)
В какой программе вы работаете?
Это GeoGebra
Эта штука работает - не трогай (основы компьютерной грамотности).
Но как, чёрт возьми, эту формулу вообще можно было найти? Точки считать... минус один загадочный... на два ещё делить... Невероятно.
P.S: Подозреваю, что работает, если отношение всех координат рационально (Иначе сетку под них не подобрать. Сами координаты могут рациональными не быть)
Нее,такие теоремы зачастую делают от индукционного перехода.Те сначала стряпают переход,а потом подгоняют под него формулу,ну и потом пытаются адекватную базу надыбать.По другому такие интересные штуки получать неприятно,а так - кайф!
Главное из моих хорошо запомнившихся впечатлений от первого курса математического факультета?
Абсолютная бесполезность натаскивания будущих абитуриентов задачами "повышенной сложности" для постижения высшей математики. Университетская математика - это другое. Прикладная математика для науки и техники - это тоже другое.
Так что, школьная математическая эквилибристика - не более, чем способ выделить из подрастающего поколения тех, кому математика не противна.
мне кажется все ломается, если ломаную провести внутри и вернуть в ту же точку.
Если начать ломаную с границы, то вроде ничего не ломается. А вот если провести замкнутую ломаную полностью внутри многоугольника, то одна из частей станет многоугольником с дыркой, то есть не совсем многоугольником. Для таких фигур формулу Пика надо подправить, вроде бы просто добавлять число дырок.
но ведь теорема о единственности такой функции - она про функции, определенные на множестве всех фигур. А мы привели пример функции для фигур, которые можно нарисовать по клеточкам. Почему не может быть такого, что формула пика - не функция площади, у нее есть эти свойства на фигурах по клеточкам, но при этом у нее нет расширения на множество остальных фигур, такого чтобы свойства сохранялись? Или можно доказать аналогичную теорему о единственности для клетчатых фигур?
И про инвариантность. Фигура же может иногда быть повернута? (самый простой, но тривиальный случай - правильный многоугольник) Тогда не очень понятно, как с учетом этого доказывать
Насчёт единственности: поскольку формула работает для любой сетки, то мы можем завести сколь угодно мелкую сетку, так что в пределе для нас любой многоугольник будет "сетчатым".
Насчёт инвариантности: любые три вершины переводятся в сходственные вершины равного многоугольника единственным движением. Тогда и сетка перейдет в себя, поскольку движение.
@@plusberryNV Спасибо, понял. Правда, видимо, для совсем полной формальности придётся что-то говорить про инфимум и супремум площадей фигур)
А как доказать, что функция площади единственна?
ну без теории меры тут сложно, но давайте докажем, что если есть две функции S(A) , V(A) - где A - многоугольник, S, V - разные функциии площади, то S= k*V, k - конст.
рассмотрим квадрат с длинной a - рациональный, какая у него площадь?
будет V(квадрата с длиной 1) на a^2, рассмотрим квадрат с длиной a = m/n, он укладывается n^2 раз в квадрат с длиной m, а также в этот квадрат укладывается m^2 раз квадрат с длиной 1, а все квадраты с площадью 1 имеют одинаковую площадь.
таким образом получаем V(m/n) * n^2 = m^2 * V(1) => V(m/n) = m^2/n^2 * V(1) = a^2 V(1)
теперь рассмотрим иррациональный квадрат с длиной a, он приближается с двух сторон рациональными, поэтому его площадь тоже будет такая(свойство пределов тыры пыры).
а теперь из площади для квадрата мы получаем площадь для треугольника и каждый многоугольник разбиваем на треугольники и получаем, что все функции площади различаются на константы домноженные
а вообще на самом деле любое открытое множество разбивается на дизъюнктное объединение квадратов/кубов, поэтому вот
@@braxxis4520а я по-другому делала: из единичного квадрата делаем квадрат с рациональной стороной, потом через предел переходим к квадрату с вещественной стороной. Дальше прямоугольник с произвольными сторонами. Из прямоугольника получаем прямоугольный треугольник, дальше просто треугольник. В этот момент надо доказать, что для любой высоты площадь получится одна и та же. Тут я пошла так: пускай будет площадь через синус. Само существование синуса определяется через подобие, а подобие можно доказать без площадей, с помощью Фалеса.
👍
Да, но те же свойства можно доказать и для функции v+g/2-1/2...-1/3 и т.д.
Там прикол в том,что сначала они стряпают соотношения все,чтобы индукционно для любой фигуры можно было слепить,а потом подгоняют константы под базовые фигуры.А там константа единственным образом определяется
Аддитивность не докажется
А нормированость как пройти?
Если фигура не многоугольник, а состоит из кривых, как тогда находить площадь?
Так формула Пика только для многоугольников с вершинами на сетке.
В общем площадь для криволинейных фигур доказывается с помощью предельного перехода.
@plusberryNV если криволинейная фигура на решетке то нельзя? Как тогда? Что значит с помощью предельного перехода?
@r4d8hвырежьте фигуру из плотной бумаги, взвесьте до 0.001 грамма, взвесьте квадрат известной площади и определите фигуру через пропорцию 😂
Ну или программу компьютерную используйте.. 21 век же ж 😂😂😂