현재 수학과 대학원생입니다. 1. 1=2에서 사용한 삼각형 접기. 우선 우리가 생각하는 '길이'라는 건 연속함수 곡선의 각 점을 잘게 쪼개서 각 구간을 선분으로 이은 것의 길이의 극한값입니다. 엄밀히 말하자면 유한번 쪼개서 잰 길이들 중에서 가장 큰 값을 길이로 정의하는데 연속함수라면 그냥 굉장히 잘게 쪼개면 결국 큰 값으로 수렴하게 되니 신경 안 쓰셔도 됩니다. 삼각형을 유한 번 접어도 길이가 2로 불변인 건 맞습니다. 그냥 밑변은 길이가 1인 것도 맞습니다. 저렇게 접은 삼각형이 밑변으로 수렴하는 것도 맞습니다.(그리 중요하진 않지만 저 상황은 균등수렴한다고 표현합니다.) 문제는 lim(length f_n) = length (lim f_n)일 거라고 생각하는 점에서 오해가 일어나는 겁니다. 즉 길이 함수는 극한과 교환법칙이 성립하지 않습니다. 뭐 저렇게 접은 삼각형은 무한히 작은 삼각형들이 나열된 거라서 밑변과 같은 게 아니니 뭐니 하는 건 다 헛소리입니다. 밑변으로 수렴은 하지만 길이 함수가 극한과 교환이 가능하지 않기 때문에 일어난 일에 불과한 겁니다. 2. 0.999... = 1 이 부분은 자꾸 허수아비 찌르시는 분들이 많은데 현대 해석학에서 0.999...는 0.9, 0.99, 0.999, ..... 이런 수열의 극한으로 '정의'했습니다. 그럼 극한은 무엇이냐, 뭐 무한히 가까이가되 닿진 않는 거 그런 소리, 대학 수학에서 절대 안 하고요.(공대 쪽에선 이해하기 쉽게 하려고 아주 드물게 그렇게 말하는 거 같긴 한데 수학과에선 1학년 이후론 절대 안 그럽니다.) 어떤 수열 {a_n }의 극한이 a라 함은, a 근처 근방을 아무리 작게 잡아도 그 안에 무수히 많은 a_n이 있다는 겁니다. 즉 그 점이 우선 실수 내에 있어야 합니다. (보다 정확히는, a 근처 근방을 아무리 작게 잡아도 각각의 근방마다 적당한 N이 있어 그 N 이후의 a_n들은 a 근처에 모조리 있다는 거고요.)이것이 거리공간에서의 극한이고, 더 나아가 위상공간에서의 극한입니다. 실수나 유리수도 거리공간이기 때문에 극한에 대해 이야기를 할 수 있습니다. 또한 1, 1.4, 1.41, 1.414, ... 이런 √2로 수렴하는 수열은 '유리수 공간에서는 극한을 가지지 않는다.' 라고 말합니다. 유리수 중에서 뭘 뽑아도 근방을 굉장히 작게 잡아버리면 저 수열이 들어가지 않게 되거든요. 이런 측면에서 2는 1.9, 1.99, 1.999...수열에 대해서 극한의 정의를 정확히 만족시키므로 1.999...=2입니다. 대체 1.99...이 2가 아니란 건 현대 해석학 말고 다른 수학 하시는 거 같은데 왜 그걸 갖고 현대 해석학을 나무라시는지... 1.99...는 2는 아니지만 계산 결과가 같으니 뭐니 하는 것도 말도 안되는 소리입니다. 덧셈의 역원의 유일성이 증명이 되는데 1.99... - 2는 2-2와 계산 결과가 같으니 0이고 그럼 1.999는 2의 덧셈 역원이니까 2란 결론이 나오는데 무슨 2가 아니란 건지... 3. 이건 1-1대응이니(혹은 집합으로서 크기가 같으니) 길이도 같을 거라고 생각하는데서 나오는 오류고요. 길이는 집합의 크기와는 관련이 없습니다. 바꿔 말하자면 저 원에서 수직선으로 가는 함수가 '등거리 변환'인가?란 질문이 되는 건데, 궁금하신 분은 찾아보시고...재밌습니다. 4. 사실 서로 다른 집합은 내용물도 다른데 무한 개에서 일일이 갯수를 셀 수도 없고...그래서 따로 일일이 세진 못하더라도 하나씩 대응시킬 수 있는지로 크기 비교를 하기 시작한 게 저런 기수 개념이 나온 겁니다. 그냥 크기 관계를 저렇게 정의한 거라 받아들이실 수밖엔...조금 더 납득을 하시려면, 자연수->정수로 가는 게 포함관계가 있긴 하지만 우리가 자연수와 정수가 가진 성질을 지우면, 즉 숫자들로 보지 말고 그냥 구슬들로 보면 크기가 같다는 걸 받아들이기 좀 더 쉬우실 겁니다.
3:38 저는 선생님의 말씀에 의문점이 생겼습니다 선생님의 말씀을 정리해 보면 삼각형을 계속 작게 그리다 보면 삼각형들의 높이가 무한히 작아져서 길이가 1인 변에 도형이 수렴한다라고 할 수 있는데, 저는 여기서 의문이 들었습니다. 삼각형의 높이는 1로 계속 수렴하지만 그만큼 삼각형들의 옆변은 무한히 증가하게 되므로, 결과적으로 높으는 무한히 줄어들고 옆쪽의 변들은 무한히 늘어나므로 이 둘은 상쇄되서 결과적으로 길이 2인 직선은 절대 길이가 1인 직선이 될수 없다고 생각합니다.
무한을 감정적으로 받아들이지 마세요. 이 선생님이 어떤 의도로 설명하셨는지는 잘 모르겠지만요, 무한은 직관과 좀 많이 달라요. 짝수의 개수와 자연수의 개수와 정수의 개수와 유리수의 개수가 같다고 이야기하고요, 또 무리수의 개수는 다르대요. 실수랑도 같다고 하구요. 그러니까 직관이랑 좀 많이 다르고, 10000차쯤 되는 다항함수를 가져오면 아주 빠를 것 같지만, 밑이 1.00000001인 지수함수보다도 느리게 발산해요. 절대로 맘대로 해석하면 안되는거죠... 그런 면에서 0.999...는 1에 가까워지는 '상태'라고 주장하는 인간들이 있는데, 모르는 건 죄가 아니지만 틀린 걸 사실인 양 이야기하는 건 좀 그러네요. 상태 그런거 아니고, 그냥 같아요. 같다구요.
한 가지 재미있는 이야기를 조금 해보자면, 사실 대다수의 사람들은 현실에서 정말 "무한대" 라는 것이 존재 할 수 있을까? 라고 생각합니다. 저 또한 그러했구요. 그런데 물리학에서는 간혹 무한대가 실제로 등장 할 때가 있습니다. 숫자가 너무 커서 무한대처럼 보이는 것이 아닌 정말로 무한대가 아니면 관측된 결과가 설명되지 못하는 상황인 것이죠. 아시는 분들도 많겠지만, "가브리엘의 나팔" 이라는 수학적으로 정의된 3차원 도형이 있습니다. 이 도형의 특징은 부피는 특정 값으로 정해진 상수이지만, 겉넓이 즉 표면적이 무한대인 도형입니다(고등학생때 배운 적분 수준이면 무난히 이해하실 수준의 정의 입니다.). 수학적으로 정의된 도형이기에 실제로 저런 것이 존재할 수 있을까 했던 도형이지만, 블랙홀에 대한 연구결과 블랙홀 내부의 시공간 곡률이 저런 형태라는 결론에 도달합니다(가브리엘의 나팔보다 공간적으로 1차원 높은 4차원도형). 블랙홀 사건의 지평선 너머 내부는 시간이 정지하고 무한히 넓은 공간(가브리엘의 나팔에서 무한대표면에 해당)이 있으리라 유추합니다. 상위 차원에서 상수값을 가지는 초부피가 가브리엘 나팔의 부피에 해당되는 것이죠. 중력을 아인슈타인의 상대론을 따라 시공간 휘어짐이라고 해석한다면, 블랙홀의 구조는 앞서 설명한 가브리엘의 나팔구조가 됩니다. 즉, 겉으로 보면 사건의 지평선이라는 구 형태의 일정한 크기를 유지하는 천체인데 내부는 무한한 공간을 지니게 되죠. 그러나 현재 이 이론은 "과연 우리가 살고 있는 우주가 몇 차원으로 구성되어 있는가?" 라는 문제에 막혀있는 것으로 알고 있습니다. 블랙홀을 연구하는 분들의 여러가지 이론들 중 한 가지 이론일 뿐이기에 주류 의견이라고 할 수는 없습니다. 더욱이 실험적으로 증명된 내용도 아니고요. 하지만 이러한 유추에 대해 물리학자가 아닌 수학자분들에게 과연 합당한 유추인지 다양한 의견을 들어보고 싶습니다.
이 분께서는 무한을 우리가 일반적으로 생각하는 유한처럼, 즉 유한 직관으로 생각하면 모순이 생길수 있다. 그러므로 조심히 다루어야 한다. 라는 말씀을 하시는것 같아요. '조심히 다루어야 한다' 를 전해주시려 모순이 생기는 다양한 예들을 가져오시는것 같은 생각이 드는데 너무 욕하시는것 같아 안타깝네요.
어렵네요. 무한대로 2에 접근한다고 하면 이해할거 같은데 2와 같다고 하는 건 잘 이해가 안되네요. 무한대로 접근해도 2는 아닐 거 같은데... 무한대로 갈때 왜 1이 2가 되는지 조금더 논리적인 설명이 필요할 듯.. 아무튼 핵심은 저 삼각형에서 아래로 '무한대로 붙는다'와 '아래선과 같다'는 건 다른 의미 아닌가. 점근선도 결국 붙지는 않잖아요.
우주가유한하다면 빅뱅이론이 맞는 가능성이 클것이구요 무한하다면 빅뱅이론이 틀리거나 아직 우주배경복사에 대해 우리의 착각이나 실수가 생겼다는것이겠죠. 11차원의 가설도 아닌경우 엄청나게 수가커져도 차원의 문제로 넘어가는거고 엄청나게 수가작아져도 차원의 문제로넘어가니 우리차원은 무한한차원으로 이루어져있고 우린그중에 한차원에 있으며 결국 무한의 굴레에 벗어나지못하게 되겠죠.
처음에 삼각형으로 1=2 증명하는게 오류인 이유 알려줌 우선 극한이라는 개념은 숫자로 혼동하면 안되는거임. 무한을.다룰때 흔히 격는 오류인데 lim 이거 붙여지면 결국 수렴하는 "속도" 라고 봐야함. 그래서 저 삼각형을 구부려서 2가 나온건 그 점들의 농도가 2배가 더 많다. 라고 해석해야 하는거임. 길이는 1=2 가 아닌거. 말이 좀 이상한데 쉽게 말하면 점들의 조밀도가 변의 점들의 조밀도 보다 2배더 농도가 짙음. 이런뜻이 되는거임 ㅇㅋ?
이건 제 생각이니 틀렸을 가능성도 있지만 다양한 의견 제시를 위해 글로 작성하겠습니다. 직관적으로 (그림으로) 봤을때 삼각형들의 높이가 무한히 줄어들더라도, 삐죽 삐죽 틔어나온 것의 개수는 무한히 늘어나게 되어 결론적으로 삼각형 한개당 길이는 무한히 줄어들지만, 삼각형 개수는 무한히 늘어나게 되고 따라서 정확히 길이는 2 입니다. 저 증명은 틀린 증명으로 봐야합니다.(저 증명에서는 삼각형의 높이가 무한히 줄어드는 것만 고려해서 오류가 생긴것 입니다. 삼각형의 개수가 무한히 늘어나는 것을 생각하면 됩니다.) 그리고 수식을 써서 LIM 이용해 봐도 1로 수렴 안하며 정확히 2 입니다.
쌍곡선 컷을 하시다니.. 수학에 대한 열정이 가득하시군요
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
수학계에서는 리버스 투블럭컷이 유행하나보네요. 완전 빠져들게 잘가르쳐주시네요. 헤어나올수 없는 완벽한 강의였습니다.감사합니다~!!
현재 수학과 대학원생입니다.
1. 1=2에서 사용한 삼각형 접기.
우선 우리가 생각하는 '길이'라는 건 연속함수 곡선의 각 점을 잘게 쪼개서 각 구간을 선분으로 이은 것의 길이의 극한값입니다. 엄밀히 말하자면 유한번 쪼개서 잰 길이들 중에서 가장 큰 값을 길이로 정의하는데 연속함수라면 그냥 굉장히 잘게 쪼개면 결국 큰 값으로 수렴하게 되니 신경 안 쓰셔도 됩니다.
삼각형을 유한 번 접어도 길이가 2로 불변인 건 맞습니다.
그냥 밑변은 길이가 1인 것도 맞습니다.
저렇게 접은 삼각형이 밑변으로 수렴하는 것도 맞습니다.(그리 중요하진 않지만 저 상황은 균등수렴한다고 표현합니다.)
문제는 lim(length f_n) = length (lim f_n)일 거라고 생각하는 점에서 오해가 일어나는 겁니다. 즉 길이 함수는 극한과 교환법칙이 성립하지 않습니다. 뭐 저렇게 접은 삼각형은 무한히 작은 삼각형들이 나열된 거라서 밑변과 같은 게 아니니 뭐니 하는 건 다 헛소리입니다. 밑변으로 수렴은 하지만 길이 함수가 극한과 교환이 가능하지 않기 때문에 일어난 일에 불과한 겁니다.
2. 0.999... = 1
이 부분은 자꾸 허수아비 찌르시는 분들이 많은데 현대 해석학에서 0.999...는 0.9, 0.99, 0.999, ..... 이런 수열의 극한으로 '정의'했습니다.
그럼 극한은 무엇이냐, 뭐 무한히 가까이가되 닿진 않는 거 그런 소리, 대학 수학에서 절대 안 하고요.(공대 쪽에선 이해하기 쉽게 하려고 아주 드물게 그렇게 말하는 거 같긴 한데 수학과에선 1학년 이후론 절대 안 그럽니다.) 어떤 수열 {a_n }의 극한이 a라 함은, a 근처 근방을 아무리 작게 잡아도 그 안에 무수히 많은 a_n이 있다는 겁니다. 즉 그 점이 우선 실수 내에 있어야 합니다. (보다 정확히는, a 근처 근방을 아무리 작게 잡아도 각각의 근방마다 적당한 N이 있어 그 N 이후의 a_n들은 a 근처에 모조리 있다는 거고요.)이것이 거리공간에서의 극한이고, 더 나아가 위상공간에서의 극한입니다. 실수나 유리수도 거리공간이기 때문에 극한에 대해 이야기를 할 수 있습니다. 또한 1, 1.4, 1.41, 1.414, ... 이런 √2로 수렴하는 수열은 '유리수 공간에서는 극한을 가지지 않는다.' 라고 말합니다. 유리수 중에서 뭘 뽑아도 근방을 굉장히 작게 잡아버리면 저 수열이 들어가지 않게 되거든요. 이런 측면에서 2는 1.9, 1.99, 1.999...수열에 대해서 극한의 정의를 정확히 만족시키므로 1.999...=2입니다. 대체 1.99...이 2가 아니란 건 현대 해석학 말고 다른 수학 하시는 거 같은데 왜 그걸 갖고 현대 해석학을 나무라시는지...
1.99...는 2는 아니지만 계산 결과가 같으니 뭐니 하는 것도 말도 안되는 소리입니다. 덧셈의 역원의 유일성이 증명이 되는데 1.99... - 2는 2-2와 계산 결과가 같으니 0이고 그럼 1.999는 2의 덧셈 역원이니까 2란 결론이 나오는데 무슨 2가 아니란 건지...
3. 이건 1-1대응이니(혹은 집합으로서 크기가 같으니) 길이도 같을 거라고 생각하는데서 나오는 오류고요. 길이는 집합의 크기와는 관련이 없습니다. 바꿔 말하자면 저 원에서 수직선으로 가는 함수가 '등거리 변환'인가?란 질문이 되는 건데, 궁금하신 분은 찾아보시고...재밌습니다.
4. 사실 서로 다른 집합은 내용물도 다른데 무한 개에서 일일이 갯수를 셀 수도 없고...그래서 따로 일일이 세진 못하더라도 하나씩 대응시킬 수 있는지로 크기 비교를 하기 시작한 게 저런 기수 개념이 나온 겁니다. 그냥 크기 관계를 저렇게 정의한 거라 받아들이실 수밖엔...조금 더 납득을 하시려면, 자연수->정수로 가는 게 포함관계가 있긴 하지만 우리가 자연수와 정수가 가진 성질을 지우면, 즉 숫자들로 보지 말고 그냥 구슬들로 보면 크기가 같다는 걸 받아들이기 좀 더 쉬우실 겁니다.
설명 감사합니다 :)
다섯개를 넘어가면 ‘많다’라고 표현하는 A부족이 여섯마리의 소를 가지고 있다. 10까지만 셀 수 있고 그 이후의 갯수는 ‘많다’라고 표현하는 B부족이 11마리의 돼지를 키우고 있다. 두 부족은 같은 ‘많은’것을 같은 만큼 키우고 있다.
3:38 저는 선생님의 말씀에 의문점이 생겼습니다
선생님의 말씀을 정리해 보면 삼각형을 계속 작게 그리다 보면 삼각형들의 높이가 무한히 작아져서 길이가 1인 변에 도형이 수렴한다라고 할 수 있는데,
저는 여기서 의문이 들었습니다.
삼각형의 높이는 1로 계속 수렴하지만 그만큼 삼각형들의 옆변은 무한히 증가하게 되므로,
결과적으로 높으는 무한히 줄어들고 옆쪽의 변들은 무한히 늘어나므로 이 둘은 상쇄되서
결과적으로 길이 2인 직선은 절대 길이가 1인 직선이 될수 없다고 생각합니다.
"마지막에 함부로 다루지 말라"고 한 말
이 말 할려고 했는데 많이들 댓글 달았구나
나름 대학 다녔다고
무한을 감정적으로 받아들이지 마세요. 이 선생님이 어떤 의도로 설명하셨는지는 잘 모르겠지만요, 무한은 직관과 좀 많이 달라요. 짝수의 개수와 자연수의 개수와 정수의 개수와 유리수의 개수가 같다고 이야기하고요, 또 무리수의 개수는 다르대요. 실수랑도 같다고 하구요. 그러니까 직관이랑 좀 많이 다르고, 10000차쯤 되는 다항함수를 가져오면 아주 빠를 것 같지만, 밑이 1.00000001인 지수함수보다도 느리게 발산해요. 절대로 맘대로 해석하면 안되는거죠... 그런 면에서 0.999...는 1에 가까워지는 '상태'라고 주장하는 인간들이 있는데, 모르는 건 죄가 아니지만 틀린 걸 사실인 양 이야기하는 건 좀 그러네요. 상태 그런거 아니고, 그냥 같아요. 같다구요.
선생님 강의 감사합니다 정말 잘 가르치세요 더 강의 업로드 해주세요 부탁드려요^^
그 와중에 원 잘 그리시네
김보연 맨날 거울 보시니까요
@@김태윤-h1o5m 너무하시넼ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
이렇듯 무한대는 얼핏보면 맞는 것 같지만 사실은 그렇지 않은 경우가 많으니 사용을 주의해야한다 이런 차원이 아닐까 생각해본다
근데 저게 참이라고 설명하는거처럼 잘못듣고 태클거시는분이 많음
뒷통수쪽에는 a>0 일때의 이차함수 그래프컷을 하셨군요
그래서 두상의 여집합은 언제 알려주시나요 초6인데 기껏 선행해보려했더니 어딘가에서 e
LED급의 빛이 나와 강의를 제대로 못 들었네요..;;
무한대를 함부로 다룬 가장 좋은 사례가 "라마누잔 합 (1+2+3+...=-1/12)"죠. 이런 것도 설명해주시면 좋겠습니다!
라마누잔 합이 오류인가요?
@@성이름-v1t2x 실수체계에선 오류가 맞습니다
애초에 라마누잔 합에서 +기호는 우리가 아는 덧셈기호가 아니고, 결과자체도 해석적연속을 통한 리만제타함수에서 나온 결과라 무한을 함부로 다뤘다고 보기는 힘듭니다
한 가지 재미있는 이야기를 조금 해보자면, 사실 대다수의 사람들은 현실에서 정말 "무한대" 라는 것이 존재 할 수 있을까? 라고 생각합니다. 저 또한 그러했구요. 그런데 물리학에서는 간혹 무한대가 실제로 등장 할 때가 있습니다. 숫자가 너무 커서 무한대처럼 보이는 것이 아닌 정말로 무한대가 아니면 관측된 결과가 설명되지 못하는 상황인 것이죠. 아시는 분들도 많겠지만, "가브리엘의 나팔" 이라는 수학적으로 정의된 3차원 도형이 있습니다. 이 도형의 특징은 부피는 특정 값으로 정해진 상수이지만, 겉넓이 즉 표면적이 무한대인 도형입니다(고등학생때 배운 적분 수준이면 무난히 이해하실 수준의 정의 입니다.). 수학적으로 정의된 도형이기에 실제로 저런 것이 존재할 수 있을까 했던 도형이지만, 블랙홀에 대한 연구결과 블랙홀 내부의 시공간 곡률이 저런 형태라는 결론에 도달합니다(가브리엘의 나팔보다 공간적으로 1차원 높은 4차원도형). 블랙홀 사건의 지평선 너머 내부는 시간이 정지하고 무한히 넓은 공간(가브리엘의 나팔에서 무한대표면에 해당)이 있으리라 유추합니다. 상위 차원에서 상수값을 가지는 초부피가 가브리엘 나팔의 부피에 해당되는 것이죠. 중력을 아인슈타인의 상대론을 따라 시공간 휘어짐이라고 해석한다면, 블랙홀의 구조는 앞서 설명한 가브리엘의 나팔구조가 됩니다. 즉, 겉으로 보면 사건의 지평선이라는 구 형태의 일정한 크기를 유지하는 천체인데 내부는 무한한 공간을 지니게 되죠. 그러나 현재 이 이론은 "과연 우리가 살고 있는 우주가 몇 차원으로 구성되어 있는가?" 라는 문제에 막혀있는 것으로 알고 있습니다. 블랙홀을 연구하는 분들의 여러가지 이론들 중 한 가지 이론일 뿐이기에 주류 의견이라고 할 수는 없습니다. 더욱이 실험적으로 증명된 내용도 아니고요. 하지만 이러한 유추에 대해 물리학자가 아닌 수학자분들에게 과연 합당한 유추인지 다양한 의견을 들어보고 싶습니다.
물리랑 수학을 억지로 엮는건 의미가 그닥... 차원에 관해서도 벡터공간만 유의미하니.........
원래 특이점은 곡률이나 밀도 등이 무한이라 우리의 물리이론은 성립하지 않는다는것이 정설 아입니까
수를 수로 증명하려고하면 증명이 불가능한 영역은 무한대를 입힙니다. 수가 아닌 본질에 대한 개념을 다시 잡고 증명하려 한다면 무한대라는 확률은 필요없겠지요
유한의길이랑 무한의 길이랑 같지 않아요 집합론적으로 실무한의 점의 갯수가 같을뿐인데.. 길이는 메져로 다뤄야 될것 같습니다 ..
세번째 예시를 말씀하시는건지.. 저도 그부분은 좀 의아한감이...
1. 리버스 투블럭 컷에 대한 논란
1 - 1. 한석원의 과거 진행형
1 - 2. 한석원에 미치지 못한자
2. 안같니??? 안같디??
2 - 1. 북한 출신??
2 - 2. 연변 느낌 물씬??
"모"자람없는 수업감사합니다.
무한이 대입되려면 무한의 제한하여 측정해야될 시간이 필요할거같습니다
이 분께서는 무한을 우리가 일반적으로 생각하는 유한처럼, 즉 유한 직관으로 생각하면 모순이 생길수 있다. 그러므로 조심히 다루어야 한다.
라는 말씀을 하시는것 같아요.
'조심히 다루어야 한다' 를 전해주시려 모순이 생기는 다양한 예들을 가져오시는것 같은 생각이 드는데 너무 욕하시는것 같아 안타깝네요.
옛날에 봤을 땐 이해가 안 됐는데 로지컬 보고 삼각형은 이해했습니다
아오 화면밝기 줄여도 너무 밝은걸..??
첫번째 예제는 사실 길이가 1인 두 선분을 겹쳐놓은 것 뿐 아닌가??? 눈에 보이지 않는걸 가지고 없다고 하는....
코미디 빅리그의 코너였던 깽스맨의 등장인물 속초진호가 생각이 나네요.
속초 우뇨니~ 행님
빠져든다아아아아
근데 뭐 맞니어쩌니해도 현대수학도 이미 힐베르트때 완전할수없다고 격파당했잖아요? 뭐 대충 삽시다.
와~여기 댓글 수준 뭐죠? ㅋㅋㅋ 빵터졌네요
어렵네요. 무한대로 2에 접근한다고 하면 이해할거 같은데 2와 같다고 하는 건 잘 이해가 안되네요. 무한대로 접근해도 2는 아닐 거 같은데... 무한대로 갈때 왜 1이 2가 되는지 조금더 논리적인 설명이 필요할 듯.. 아무튼 핵심은 저 삼각형에서 아래로 '무한대로 붙는다'와 '아래선과 같다'는 건 다른 의미 아닌가. 점근선도 결국 붙지는 않잖아요.
무한대는 접근이 아니라 상태입니다.어느 숫자로 다가가는.즉, 움직이는 숫자는 없어요.
1.9999........는 2와 정확히 같은 수입니다.
실수의 개수는 왜 더 많은지 궁금한데요, 정확하게 설명할수 있는 방법이 있을까요? ㅡ 사고력 수학 선생님입니다
7:20 반짝반짝 거려서 그럽니다.
칸토어의 대각선 논법 함 찾아보세요
헐.. 너무 재밋다
알수없는유튜브 오르가즘 떔에 들어와버렷네
집합론이네요 뭐 정확히는 기수가같다는걸 보여주는거고 학생들한테 쉽게 설명해주시려고 걍 하신듯
와 원과 직선위의 점이 일대일 대응이라고 길이가 같다니요. 수학 강사이시면서 측도론 공부 안해보셨습니까? 아니면 알면서 오개념을 퍼뜨리는 겁니까?
무한을 넣으면 엉터리가 된다는걸 말하는것인데, 무한을 모르면 말하지말등가
@부활한힙찔이 무한을넣으면 개판이된다는걸 이미 수만군데에서 말해진 예시를 가지고 말하는것인데, 그게 틀렸다느니 따지면 어떡함
당연히 대놓고 틀렸다는걸 명시하기 위해서 저렇게 설명하신거 아닌가요...??
말씀 들어보면 우리가 사는 세계는 유한의 세계이기 때문에 저런짓 함부로 하지 말라고 하시네요 계속 말이 안되는 명제라고 하심
고등학생들이 메져가 뭔지도 모르는데 그런걸 엄밀하게 구분해서 말해봤자죠. 무한을 함부로 다루지 마라는 예로 받아들이면 괜찮은 것이죠
1의 무한은 결국 1.999... 일뿐
그게 2가 되는 순간 그건 1이 아니라 2니까능
각도가 60으로 고정되어있기 때문에 무한으로 보내봤자 의미가 없음. 같은 과정을 반복할 때마다 2라는 고정된 숫자가 나오는데 무한으로 뭐하러 보냄. 원주율 구할 때처럼 달라진다면 모를까
제가 저 쌤 제자고 직접들었는데 학생들이 잠 깨라고 그런 흥미로워 보이는 얘기를 꺼내셨다고 하셨습니다. 너무 수학적으로 진지하게 받아들이지 마시기를...
저거 틀린거 누가몰라? 1=2 아닌거 초딩도 알아 모르는게 아니라 웃으라고 하는거야 너만아는거 아니고 다아는거야
우리가 눈으로 보는 선이 크기를 가지기 때문에 삼각형에다가 저과정을 반복하면 직선처럼 보이는거지 1=2 저증명은 완전 오류 입니다. 식 세워보면 저 증명 그냥 틀렸습니다.
저방식으로 무한을 응용해서 2가1에수렴한다라는 미적분을 쉽게 설명하려고 하신듯하네요.
틀린거 알고 재미로 보는거임
직관적으로 삼각형 변의 중점끼리 무한번 이어도 아주 미세하게 기영이 머리처럼 뻬죽뻬죽 솟아잇어서 그 미세한 길이를 합치면 1보다 클것 같은데..
2 맞음
1로 수렴하는 경향성을 보여야 하는데 저 식은 그냥 n을 리미트로 보내든 말든 극한값은 2임ㅋㅋㅋㅋ
유한의 관점이 아닌 무한의 관점으로 봐서 1에 수렴한다는 거죠.
aksdjsdkasjd asdkjsd 수학에서 선은 두께가 없는거 아닌가요?
아 다른말인가 아니면 ㅈㅅ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ1에 수렴 안합니다ㅜ
만약 0에수렴하는 0이아닌 자연적 물리적 천문학적으로 완전한 0 이라는 수가 존재할때 완전한0을 무한히 증가하는 수에 곱한다면 결과는 어떻게되는걸까요.
1
0이겠죠
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이게 개소린지 모르는 사람이 있겠냐? 댓글들 무슨 멍청이들 모아놨나 뒷이야기가 어떤지는 몰라도 강사가 지 입으로 이렇게 되면 수학 체계가 무너진다카잖아
이게 맞는데 사람들이 영상을 좀만보고 댓글 다신거같음...
역시 자랑스러운 한국인. 그냥 뭐든지 다 알고 있어. 외국인 댓글과 확연히 다르다
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 이젠 노벨상만 타면 되겟네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
무한을 조심히 다루라고 하시면서 너무 조심하지 않고 다루신 듯... 무한에 대해 학생들이 더 헷갈리게 만드심.
삼각형 중점 계속 나눠가는 거.... 무한으로 보내도 2 나오는데...
수식으로 표현하면
(수학기호 표현법을 몰라서 lim를 n이 무한대로 갈 때,라고 이 댓글에서만 정의하겠습니다.)
lim {(1/2)^(n-1)} * 2^n
=2
SY B 솔직히 상식적으로 생각해도
기하학적으로 보면 1로 수렴하지 않을까요
원래라면 2로 수렴 되는 것이 맞으나 기하학적으로 봤을땐 저 2개의 변을 대신하는 2^n개의 변이 아래 있는 1개의 변으로 수렴되게 된다는 것을 말하는거에요.
저거 할때 밀도나 변의 두께를 무시한다는 전제가 있어야하는데 그걸 따로 말 안했네요.
lim {(1/2)^(n-1)}*2^n
n->무한대
=lim {2^(1-n)*2^n)}
n->무한대
=lim {2^(1)}
n->무한대
=2
2 맞아요!
최형인 ...식으론 2로 가는건 맞다고 적었는데
?? 어떻게 무한집합의 원소 갯수를 판단할 수 있는거죠
0:02 네 머리때문에 지금 혼란스러워요
정수리영역의 넓이가 '무한'상태이네요.
헤이하치!!!!! 라운드 원 파이트!!!
우리가 사는 세계는 유한이 아니라 무한 아닌가..? 대우주 자체가 무한이지
@@어리바리-c2m 빅뱅 이후로 우주는 무한의 속도로 팽창중이잖아염.. 댓글을 적고 있는 이순간에도.. 그리고 팽창가속도도 기하급수적으로 늘어난다고 생각하는데...
아닌가여? 순전히 제 생각인가
@@user-bz5uj8js9m 유한하지 않을까요? 우주는 크다 일뿐이지 끝은 결국 있잖아요? 닿진 않지만 끝은 있으니...껄껄ㅋㅋㅋ
우주가유한하다면 빅뱅이론이 맞는 가능성이 클것이구요 무한하다면 빅뱅이론이 틀리거나 아직 우주배경복사에 대해 우리의 착각이나 실수가 생겼다는것이겠죠. 11차원의 가설도 아닌경우 엄청나게 수가커져도 차원의 문제로 넘어가는거고 엄청나게 수가작아져도 차원의 문제로넘어가니 우리차원은 무한한차원으로 이루어져있고 우린그중에 한차원에 있으며 결국 무한의 굴레에 벗어나지못하게 되겠죠.
@@user-bz5uj8js9m 하지만 우주는 기본적으로 불연속적이기때문에 딱 한 시점을 잡아 우주의 크기를 잰다면 그 크기는 유한할테죠...? 그러면 우주는 유한하다고 말할수 있을까요
저도 잘 모르겠는데 이거 해답 주실분 구함
우주가 우리꺼냐
로지컬 ㅋㅋ
두피위에 오메가
유희를 하는 건 좋지만 정답도 말해줘야지 그냥 끝내면 오개념으로 남는건데.. 정답도 말해주셨으리라 믿습니다
말이 안된다고 계속 말씀하셨는데 1=2 명제들은 틀린거라는거죠
극한에 대한 개념을 아예 모르는 사람에게는 그럴 듯하게 들릴 수도 있는 얘기. ㅋㅋ
리미트x가0에 한없이 접근할때1÷x=무한
극한값은 없다가 맞습니다 ^^ 무한이 아니에요
극한값은 없다가 맞습니다.
극한값은 그 값이 어디로 한없이 수렴하는지에 대한 목적지입니다
극한값이 무한대다? 무한대의 개념을 모르는겁니다.
무한대라는건 특정한 어떤 수가 아니에요.
발산한다 정도가 맞는표현이겠네요
강의를 끝까지 안보고 오해했다면 예1을 듣는 순간 신고할뻔했다
1번보고 빛의속도재는거생각났다
얕은 지식으로 강사한테 덤비네 ㅋㅋ 니들이 생각하는것과 배운거정도는 강사도 이미 10년도 전에 생객해보고 배운거다. 행님 냅둬라
가무한 실무한 얘기하는거였네
님들 그러면 저 선생님께서 든 예3에서 원에는 무한한 점이 있어서 저렇게 된다고 하셨는데 다른 아무 도형에도 점은 무한히 있는데 이런 거는 어떻게 저런 식으로 증명해야하나요??
저분이 설명을 잘하셧지만 길이라기보다 원과 직선의 점의 갯수가 같다고하는게 맞는 표현입니다. 길이는 다릅니다
무한을 증명하려면 무한이 필요하다.
이차원 길이에 대한 것만 따졌다는거 부터 모순
제가 이제 고1 들어와서 묻는건데 마이스터고 같은데서도 저런 어려운 이상해보이는거(?) 배움?
신재우 너도 1년뒤면 배워임마
첫문제 바로 맞췄다
우주가 무한한 이유 ㅋ
세상은 빅뱅으로 시작됐다, 아니다
이둘이 전부 동시성립되는 우주가 우리가 살고있는 우주임
양자역학의 중첩 이야기네요
처음에 삼각형으로 1=2 증명하는게 오류인 이유 알려줌
우선 극한이라는 개념은 숫자로 혼동하면 안되는거임.
무한을.다룰때 흔히 격는 오류인데 lim 이거 붙여지면 결국 수렴하는 "속도" 라고 봐야함.
그래서 저 삼각형을 구부려서 2가 나온건 그 점들의 농도가 2배가 더 많다. 라고 해석해야 하는거임. 길이는 1=2 가 아닌거. 말이 좀 이상한데 쉽게 말하면 점들의 조밀도가 변의 점들의 조밀도 보다 2배더 농도가 짙음. 이런뜻이 되는거임 ㅇㅋ?
ㅇㅇ 이해함 ㄱㅅ
@@fxxkgoogle ㅇㅋ
1=2 저거 저러면 안되요 극한개념은 학생들 알야할것같ㅇ네요
아 끝까지 보니까 아니네요
계산하다가 무한대 나오면....거의 99% 오답임...아씨...공대 괜히 다녔어..
증명이 틀렸군요. 무한이 아니라 무한의 할애비가 와도 정삼각형의 두변의 길이는 한변의 길이의 2배입니다. 곧, 1은 2와 같지 않습니다.
댓글에 방구석 수학자들 다모아놨네
세계에서 가장 큰 수는 -1/12입니다.
아닌데요?
그딴거없
농담으로 듣겠음
@@puu5216 애초에 나는 라마누잔합 자체가 이해가안됨 리만제타함수의 복소해석적연속을 왜 리만제타함수의 결과로 도출해서 저런 결과를 내는건지...
1+2+3+.....=-1/12
무한은 없다 절대값만이 존재한다
네다음 패션이과
절대값이랑 무한이랑 뭔 상관임?
김민수 민수 방구석에서 눈물흘리죠 엄마가 밥먹으라니까 괜히 스팸 없다고 지랄하죠?
@@얔우여 짬에서 나오는 바이븓
그냥 쉽게 생각해서 무한에 가까운 상태에서는 길이 1짜리 직선이 2줄 있는 것과 같은 형태가 되니까 2에 가깝습니다.
Fallen 아니에요 리미트 무한으로 보내면 직선이랑 같은형태에요
수식으로도 증명할수있아요
단 리미트를 안붙이면 ‘등호’가 성립할수 없다는것만 알아두시면 됩니다
리미트 붙여도 등호 성립 안하는데요;
이건 제 생각이니 틀렸을 가능성도 있지만 다양한 의견 제시를 위해 글로 작성하겠습니다.
직관적으로 (그림으로) 봤을때
삼각형들의 높이가 무한히 줄어들더라도, 삐죽 삐죽 틔어나온 것의 개수는 무한히 늘어나게 되어
결론적으로 삼각형 한개당 길이는 무한히 줄어들지만, 삼각형 개수는 무한히 늘어나게 되고 따라서 정확히 길이는 2 입니다. 저 증명은 틀린 증명으로 봐야합니다.(저 증명에서는 삼각형의 높이가 무한히 줄어드는 것만 고려해서 오류가 생긴것 입니다. 삼각형의 개수가 무한히 늘어나는 것을 생각하면 됩니다.)
그리고 수식을 써서 LIM 이용해 봐도 1로 수렴 안하며 정확히 2 입니다.
@@권대환-c3s ? 왜 안된다는 거죠???
@@user-tv7nw6nv5g 직접 계산해보세요. 계산과 직관이 다르면 직관이 잘못된 겁니다.
멍멍이소리를 유창하게 하시네 ㅋㅋㅋㅋ
1=2다 보고 바로 생각했다
너 와꾸 ㅈ박았지 감히 대머리에게 건드나
@@김현우-f6e3r 머 새끼야
그래 니말이 다맞다 니꺼다해라