ERRATUM : Aux environs de 14:40 j'ai oublié de traiter le cas litigieux b=0. Quand b=0 on se retrouve avec m/n = a, et on connaît un antécédent de a par f en vertu de l'identité binaire dressée en 1], il vous suffit de prendre 2^{a-1}. On peut alors supposer dans la suite que b est supérieur ou égal à 1. C'est primordial d'évincer 0 sur le raisonnement qui suit dans le sens où n-b/b n'a PAS DE SENS quand b=0. Rajoutez donc une petite ligne supplémentaire sur votre copie ! Si la théorie des ensembles vous plaît je pourrais faire au choix : - Une vidéo d'introduction pour voir les beaux résultats du type pourquoi R n'est pas dénombrable, pourquoi il existe une infinité d'infinis, comment les comparer précisément, à quoi ça sert, etc - Une vidéo plus vulgarisée (quand bien même on en parle pas mal dans la vidéo concernant les mathématiciens du XIXème siècle qui ont côtoyé la folie en redéfinissant toutes les maths) qui ciblera des paradoxes célèbres histoire de mindfuck les gens en soirée Merci à vous de votre soutien inconditionnel, n'hésitez pas à faire remonter des remarques pour que les prochaines vidéos s'améliorent.
@@Staklihen honnêtement, je trouve que c’est super, ça nous apprend des automatismes et une façon de raisonner avancée. Pour ma part par contre, malheureusement ou non, on m’a toujours poussé à faire CPGE puis grande école type l’X car j’ai toujours été brillant en maths physique. Mais entendre ces mots de la part de tous mes profs m’a un peu «dégoûté » de ce cheminement et je ne voulais pas être forcé malgré mes compétences. Je suis donc allé étudier à Polytechnique Montréal où le niveau en mathématiques est beaucoup plus bas. Mais mes compétences acquises au Maroc m’ont permis de majorer en première année, d’obtenir des bourses et d’accéder au programme le plus difficile d’accès donc j’en suis bien fier et content. Je recommande la scolarité au Maroc à tout adepte des mathématiques et qui aime vraiment cela. Il suffit juste de trouver un bon prof, et pour cela je pense que lydex est parfait
@@Axel_Arno Merci à toi de faire ces vidéos, les maths avancées me manquent un peu car je me suis tourné vers l’ingénierie biomédicale et au Canada (ou le niveau des mathématiques n’est pas le meilleur pour ne pas utiliser d’autre adjectif). Tes vidéos sont un plaisir et j’adore ta façon d’expliquer. Tu feras un excellent professeur !
Je regarde cette vidéo sans même être passionné par les maths ni sans même comprendre la plupart des questions mais juste parce que la manière dont tu en parles est passionnante. D'ailleurs l'approche par le python est vraiment une bonne idée, ça parait moins compliqué à comprendre...
estomaqué par cette approche de la surjectivité à l'aide des fractions continues, c'était vraiment joli ! j'avais utilisé une approche bien plus laide et infame à rédiger: partir du résultat en utilisant une suite qui a pour premier terme un rationnel donné et qui effectue les opérations inverses de la fonction f. Je m'interessais ensuite à la suite des des dénominateurs de cette suite u_n pour montrer qu'elle était une suite décroissante d'entiers naturels et qu'elle convergeait nécessairement vers 1, ce qui signifiait qu'à partir d un certain entier N, un terme de la suite u_n etait entier et donc atteint par f. Par construction, on en déduisait alors par le chemin inverse qu'il existait un entier N pour lequel mon rationnel initial est atteint. Je trouvais que c'était intéressant comme méthode d'utiliser le principe de descente infinie de Fermat pour résoudre cet exercice, mais très difficile à rédiger correctement !
Très marrant comme sujet, mon prof de maths en terminale nous avait fait la démo pour "s'amuser" ca me rappelle des souvenirs. Malheureusement il a pris sa retraite depuis, j'espère que d'autres professeurs continuent de partager leur passion mais si ca va des fois au delà du programme.
j'aimerais vouer un culte pour toi Axel. je suis en BTS et je suis... j'étais en froid total avec les math ( je les détestes ), mais grâce à toi ou t'es vidéo j'ai repris de l'envie et je reprend le programme de seconde pour me remettre à niveau et ( pour m'amuser ) avoir un bon niveau ! bref... merci ! continue t'es vidéo elles sont à chaque fois attendue avec impatience de ma part !
Mdr je rentre en prépa intégrée en Septembre et juste la démonstration de e**x >= 1+x vient de me foutre une claque ! C'est un raisonnement tellement simple mais qui ne m'est malheureusement pas instinctif ! Sinon super vidéo , continu comme ca
On peut prouver le point 4 de manière algorithmique : Supposons qu'on veuille calculer l'antécédent de a/b avec b > 0. - si a = 0, l'antécédent vaut 0. - sinon, si a > b, alors la fraction est > 1 ; nécessairement, l'antécédent est pair de la forme 2p et il reste à calculer l'antécédent p de (a - b) / b. - enfin, si 0 < a
C'est aussi comme ça que j'ai procédé. En fait en faisant ça on reproduit le procédé de l'algorithme d'Euclide de recherche du PGCD de a et b. C'est même comme ça que j'ai répondu à la question de la surjectivité, mais c'est assez lourd à formaliser.
Salut Axel je suis un élève de terminale c en côte d'Ivoire et je tenais à te dire que tes vidéos son une véritable source de curiosité et de motivation continu surtout
Moi qui regarde chacune de tes vidéos comme si j'étais fan de maths, au final c'est le raisonnement et la procédure derrière qui m'intéresse et aussi ta personnalité, tu vulgarises et j'adore ce moment de détente. Merci Axel
Bac sciences maths en 1988. Lycée Al Mansour Dahbi à Sidi Kacem. Puis hx et xm au lycée Moulay Youssef à Rabat. Vos vidéos me replongent dans mes études. Merci❤❤❤
Le problème est magnifique. Le plan de travail et les explications sont clairs, pas d'outils ésotériques... cela montre d'autant mieux les qualités attendues chez les élèves. Respect total pour l'école mathématique marocaine !
La fonction est assez jolie en elle même, le résultat est pour le coup assez trivial, si on veut injecter Q dans N, il suffit d'injecter N^2 (ça c'est très facile) et ensuite de considérer f : p/q -> (p,q)
Mon intuition est qu'à partir de l'écriture binaire d'un entier (exemple 76 = 1001100) et en le découpant par groupes à chaque "1" ( donc 100, 1 et 100); on obtient les écritures unaires des nombres de la fraction continue dans l'ordre inverse (unaire = en comptant le nombre de chiffres dans chaque groupe). En réalité il faut ajouter un au premier groupe et enlever 1 au dernier (la formule à 17:31 distingue ces deux cas). Pour terminer l'exemple : "100" contient 3 chiffres, on ajoute 1 car c'est le premier groupe et on trouve 4 (c'est bien le dernier nombre de la fraction continue); on trouve ensuite "1" qui contient un chiffre puis "100" qui en contient 3, mais on enlève 1 car c'est le dernier groupe, donc 2. On a donc bien [4, 1, 2] qui est le renversé de la fraction continue de 14/5 = f(76) 😉 Avec le même raisonnement, 33565709 = 10000000000010110000001101 en base 2 = {100000000000, 10, 1,1000000,1,10,1} qui sont de tailles {12, 2, 1, 7, 1, 2, 1} ce qui correspond à la fraction continue [0, 2, 1, 7, 1, 2, 13] = 347/1001
Jolie démonstration Une construction classique de Q est un tableau à double entrée avec le numérateur en x et le dénominateur en y, et de parcourir le tableau selon les diagonales (p+q=cste) en numérotant chaque case.
Super vidéo, comme d'hab ! Et en parlant de sujets aberrants en terme de difficulté venant du maroc Axel, t'as déjà jetté un coup d'œil au Concours Général de cette année en maths au Maroc ? C'est une boucherie le truc...
MAIS LET'S GO IL ENCHAÎNE Ça fait un moment que je me dis "putain je suis en manque de vidéos d'axel arno" (oui, j'ai vraiment eu le temps de consciemment me dire ça) Je suis rassasié
Pour l'injectivité, il me semble que l'on peut observer que si f(p) = f(q), alors p et q ont la même parité. C'est plus laborieux que celle que tu as utilisé mais je trouve que ça prémâche la rechercher des deux questions d'avant. Super exo en tout cas !
Une fois qu'on a observé que p et q ont la même parité, c'est presque fini : ça veut dire qu'on peut trouver p' et q' qui sont plus petits et qui marchent aussi, et si on itère on voit bien que ça va finir par bloquer. J'ai rédigé un commentaire où je formalise un peu plus les choses, mais l'idée de départ est bien celle là.
La correction est sympa, par contre la définition de la surjectivité autour de 12:05 "toute image admet au moins un antécédent" est une horreur sans nom qui vaudra tout les châtiments du monde... A changer par exemple par "Tout élément de l'ensemble d'arrivée est une image/admet un antécédent par f"
Je suis ravi de changer d'opinion sur 'ce axel arno' . Dorénavant, tu as tous mes respects les plus plats. En effet, c'est la 1ère vidéo où je te vois parler des maths avec autant de maîtrise et de sérieux.
Pour résoudre l'équation f(n) = 14/5 j'ai procédé comme ceci, qui en soit est une manière algorithmique pour trouver n'importe quoi je pense. Comme 14/5>1 alors n = 2k avec un k un entier. Ainsi f(n) = f(k)+1=14/5 f(k) = 9/5 Ensuite 9/5>1 donc k = 2k' f(k) = f(k')+1= 9/5 f(k')=4/5 4/5
Bonjour, est-ce que tu peux faire la correction de l’exercice d’arithmétique des examens nationaux marocains (rattrapage 2007, normal 2022, normal 2023) et aussi la correction de l’exercice des nombres complexes ( 2006 normal et 2023-2022 normal)
pour les vacances j'ai acheter un petit livre de maths dans lequel il est dit (page 40) "Théorème 9 (Cantor, Shröder, Bernstein). S'il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E alors E et F sont équipotents.", c'est de ca dont tu parles a 21:04 ?
En effet, le Lydex est une l'établissement d'excellence qui sort des élèves bien préparés pour les écoles d'ingénieurs les plus prestigieuses de France comm l'X. Cet établissement est une fierté pour tous les Marocains. Pour l'exercice donné c'est en effet un paradoxe qui peut contredir les idées sur les cardinaux de N et Q et meme R.
Pour ceux qui se posent la question de la valeur de n pour 347/1001 ça se fait en seulement 12 étapes pour obtenir n = 33 565 709. Il est assez fascinant de constater à quel point faire l'inverse permet de diminuer très vite les valeurs en questions. C'est en effet similaire ( en terme de décroissance ) au calcul du PGCD de 2 nombres via l'algorithme d'Euclide.
Terminale français ici et je suis jaloux : le sujet est extraordinaire! Pour la dernière question, j'ai montré la surjectivité en utilisant une récurrence forte avec la proposition P_n : "Pour tout entiers naturels a et b (b≠0) tels que a+b=n, il existe un antécédent k tel que f(k)=a/b" C'est un peu farfelu mais ça fonctionne. L'intuition vient quand on remarque que lorsque qu'on faisait marche arrière pour trouver l'antécédent de 14/5, la somme du dénominateur et du numérateur diminuait (traduisant l'impression que ces nombres devenaient "plus petits")
Excellent as usual. Cependant ca passe bien vite aux démonstrations rédigées et rigoureuses, et ca peut faire peur a certain qui croieraient que "c'est ca qu'il aurait fallu que je trouve et je suis loin du compte". Il faut les rassurer: Même pour toi, la phase "trouver l'idée d'un chemin vers la solution" a clairement précèdé la phase "le rédiger proprement". Ici pour la surjectivité elle a pu consister à juste sentir qu'une récurence est à faire et qu'en manipulant f(2n) et f(2n+1) " à l'envers", on arrivera bien à 0 ou a 1. Et APRES on rédige.
GH copilot m'a proposé cette fonction, après que j'ai écrit ce comm (j'ai juste rajouté le _v1) : # calcule des "indices" de la fraction continue de p/q : def continued_fraction_v1(p, q): a = p // q r = p % q if r == 0: return [a] else: return [a] + continued_fraction_v1(q, r) ->Je trouve cela cool qu'il utilise la récursion pour calculer les indices de la fraction continue ^^
Mon f(n) que j'ai trouvé par moi même car GH copilot n'y arrivait pas (j'adore qu'une AI arrive à faire des maths) : def N_to_Q(n): if n == 0: return 0 elif n % 2 == 1: a = (n-1) / 2 return 1 / (N_to_Q(a) + 1) elif n % 2 == 0: a = n / 2 return N_to_Q(a) + 1
Pour passer d'une application de N vers Q+ à N vers Q, je proposerais quelque chose d'assez bête. On fait d'abord une association de Z vers Q simplement en associant les nombres entiers négatifs au rationnel négatif qui est l'opposé de l'image de l'application précédente avec l'opposé de l'antécédent. On aurait f(-1) = -f(1), f(-2) = -f(2), f(-3) = f(3). Et pour passer la rendre comme une application de N vers Q, on utilise une bijection de N dans Z comme, ex: f(p) = p/2 pour p pair et f(p) = -(p+1)/2 pour p impair, ce qui ferait la suite 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, etc.
Bonjour tout le monde, Je suis un homme perdu. Je fut accépté à l'insa haut de france, et j'aime assez l'école au point que je suis satisfait d'y passer le reste de mon éducation. Néanmoins, l'option prépa ici au maroc me tente du point de vue du coût ( c'est gratuit ), et j'ai une chance d'intégrer de meilleurs écoles plus tard. Si quelqu'un a des conseils ce serait sympa ! Merci :D
Je regarde ça juste comme ça.. Mais ce que renvoie la fonction ressemble beaucoup a un début de fraction continue ! Si on écrit n en binaire, le nombre de 0 entre chaque 1 donne précisément les coefficients d'une écriture en fraction continue... Au final f(N) donne l'ensemble des fractions continues à support fini, c'est a dire Q, surtout que comme on a unicité de cette écriture on a l'injectivité qu'arrive naturellement avec cette remarque (faut le démontrer par contre). La où c'est intéressant, c'est que si on munit N de la norme 2-adique et qu'on le complète, notre écriture en binaire n'a plus nécessité d'être finie, donc la fonction de l'exo se prolonge naturellement en une bijection entre les 2-adiques et les Réels positifs grâce à ladite unicité de l'écriture en fraction continue... En tout cas on dirait, les nombres p-adiques sont assez chelous pour qu'à l'arrivée ça pose pb, donc si qqn peut confirmer ou infirmer mon impression je suis preneur. Édit : j'avais écrit ça juste en regardant le sujet, sans même avoir avancé dans la vidéo mdr, faut croire que j'ai des intuitions pas trop mauvaises...
Bonjour Axel, j’aime beaucoup les vidéos que tu réalises. Mais concernant celle ci, je suis en terminale et j’ai été intrigué par ce « aleph 0 » et de comment est ce possible de dénombrer un ensemble infini, ça attise vraiment ma curiosité et je voulais savoir sil ya des ressources qui explicite ce sujet ? Les informations de Wikipedia n’ont pas été suffisantes 🤷♂️ Merci !
Vous faites des problèmes comme ça à quel âge en europe? J'ai 19 ans et je suis au québec et les problèmes de concours de maths ne sont même pas proche de ce niveau! Aussi, est-ce que l'école vous prépare à répondre à ce genre de problèmes? Au québec, si tu apprends les maths seulements selon les exigences de l'école, tu n'arriveras jamais à ce niveau. Les élèves ne sont pas non plus encouragé ou poussé à essayer d'apprendre plus, on apprend le strict minimum, et c'est asser décevant. En regardant les vidéos d'Axel j'ai l'impression que les études en europe sont beaucoup plus difficile haha!
@@LuluLaSaumure ouais c'est vrai 😂, mais en écrivant le comm je pensais au vidéo en général d'Axel où je trouve que le niveau est absurde. Mais c vrai que le Maroc c pas du tout en Europe!
A quand la 3ème vidéos des artangentes ? Sinon plutôt bien, on pourrait proposer la bijection , f : (p,q) --> 2^p(2q+1) de N^2 dans N, ce qui est équivalent à une bijection de Q+ dans N bien sûr
Le resultat de Q a la même taile que N, peut être démontrer par, la bijection de N ->N^2->Q. Avec du autre méthod. On fait la différence entre l'infinit des naturelles ou de l'ensemble Q et de Omega l'infinit des Réels. Et la question reste s'il existe un infinit plus grand.
L'assertion "Deux ensembles ont le même cardinal s'ils peuvent être mis en bijection" est-elle : 1) Une définition ? 2) Un axiome ? 3) Un théorème conséquence d'une (ou plusieurs) autres définition ou d'un (ou plusieurs) autres axiome ? Merci par avance pour toute réponse argumentée;
C'est une définition, une généralisation du concept de cardinal avec un nombre d'éléments finis. Les ensembles A={pêche,pomme,poire} et B={café,thé,chocolat} sont en bijection (avec une fonction pêche associe café, pomme associe thé, poire associe chocolat par exemple). En fait dans ce cas là, le cardinal est 3. Les deux ensembles ont évidemment 3 éléments chacun. Et on généralise ça par analogie en disant que deux ensembles ont le même cardinal si et seulement si ils peuvent être mis en bijection. N avec Q, R avec les parties de N.
@@leregretincurve8778 Merci pour votre réponse, je m'étais posé cette question car si c'est du bon sens pour les ensembles finis, ça l'est beaucoup moins pour les ensembles non finis. Cette généralisation m'a toujours posé des problèmes plutôt philosophiques que mathématiques. Car si on montre classiquement que ℚ est dense dans ℝ on peut, par une démo similaire montrer que ℝ est dense dans ℚ, ceci même si l'on ne peut pas trouver une bijection entre ℚ et ℝ de là à dire qu'ils ont un cardinal différent, ok si c'est une définition. Je me suis trouvé une autre définition "à moi" plus simple : deux ensembles non finis ont le même nombre d'éléments (je ne parle plus de cardinal) ainsi ℚ ,ℝ et ℕ ont le même nombre d'éléments
Si tu prends f : x--->3x+1, elle est injective (f(X)=Y=>X=(Y-1)/3 qui est unique) et pourtant "ker(f)" est différent de 0 (c'est {-1/3}) Si tu prends g : x-->x^2, "ker(g)"= {0} mais pourtant elle n'est pas objective (1 a 2 antécédents {-1,1} Ker n'est défini que pour les applications linéaires (au moins jusqu'en Spé)
C est un bon exo mais je trouve le coucous d accés à cpge abulcasis (zahrawi) est plus difficile que celui de lydex, J espère que tu traites ses sujets
La question 2 peut se faire en regardant le noyau de f il me semble ? La seule valeur qui annule f est 0 et on montre par récurrence que le reste des valeur donne une image strictement positive. Donc Ker(f)={0} et donc f est invective
Considérons deux ensembles :( N = {1, 2, 3} )( Q = {a, b, c} )Maintenant, calculons la cardinalité de chaque ensemble :Pour ( N ), la cardinalité ( |N| ) est le nombre d'éléments dans ( N ), donc ( |N| = 3 ).Pour ( Q ), la cardinalité ( |Q| ) est le nombre d'éléments dans ( Q ), donc ( |Q| = 3 ).Maintenant, comparons les cardinalités :( |N| = 3 )( |Q| = 3 )Comme ( |N| = |Q| ), cela signifie que les ensembles ( N ) et ( Q ) ont la même cardinalité. Considérons l'équation quadratique générale :[ ax^2 + bx + c = 0 ]Supposons que nous ayons ( a = 1 ), ( b = 0 ), et ( c = -4 ). Remplaçons ces valeurs dans l'équation :[ x^2 + 0 \cdot x - 4 = 0 ]Simplifions cette équation :[ x^2 - 4 = 0 ]Maintenant, résolvons pour ( x ) :[ x^2 = 4 ][ x = \pm 2 ]Ainsi, les solutions de cette équation quadratique sont ( x = 2 ) et ( x = -2 ).Dans cet exemple, en utilisant ( b = 0 ), nous avons simplifié l'équation quadratique, ce qui a facilité la résolution pour trouver les racines ( x ).
Petite question qui m'est venue, pour la question 2 pourquoi est ce que lon ne peut pas juste dire que le Noyau de f est seulement le singleton 0 car pour tout n appartenant à N* f(n)>0 et le seul element pour lequel f(n) = 0 est piur n = 0 ?
J'écris ça avant d'avoir regardé la solution et je ne modifierai pas mon commentaire : pour moi le truc profond qui intervient pour montrer la bijectivité de f est d'une part l'identification des entiers avec leur écriture en base 2 et d'autre part l'identification des rationnels avec leur développement en fraction continue et la finitude de ce développement, j'ajoute aussi que l'antécédent de14/5 est 76.
"bijection en N et Q" *claque son PC* Allez, finalement on vit dans la matrice, je suis un schtroumpf, Tupac vit dans 20ième arrondissement, et mon immeuble est construit en flageolets.
ERRATUM : Aux environs de 14:40 j'ai oublié de traiter le cas litigieux b=0. Quand b=0 on se retrouve avec m/n = a, et on connaît un antécédent de a par f en vertu de l'identité binaire dressée en 1], il vous suffit de prendre 2^{a-1}. On peut alors supposer dans la suite que b est supérieur ou égal à 1. C'est primordial d'évincer 0 sur le raisonnement qui suit dans le sens où n-b/b n'a PAS DE SENS quand b=0. Rajoutez donc une petite ligne supplémentaire sur votre copie !
Si la théorie des ensembles vous plaît je pourrais faire au choix :
- Une vidéo d'introduction pour voir les beaux résultats du type pourquoi R n'est pas dénombrable, pourquoi il existe une infinité d'infinis, comment les comparer précisément, à quoi ça sert, etc
- Une vidéo plus vulgarisée (quand bien même on en parle pas mal dans la vidéo concernant les mathématiciens du XIXème siècle qui ont côtoyé la folie en redéfinissant toutes les maths) qui ciblera des paradoxes célèbres histoire de mindfuck les gens en soirée
Merci à vous de votre soutien inconditionnel, n'hésitez pas à faire remonter des remarques pour que les prochaines vidéos s'améliorent.
Franchement les deux ont l'air tout aussi intéressante l'une que l'autre. Mais à choisir je dirais la première
je dirais la première aussi !
Merci beaucoup pour cette vidéo encore une fois
PS : Le peuple attend la 3e vidéo sur les arctangentes 😅
@@clementfradin5391OUI les arctangentes !!! 🙏🙏🙏
La première
Je suis marocain, j’ai fait le lycée science mathématiques. Je suis fier de voir que notre niveau commence à être reconnu
Votre niveau se doit d'être reconnu !
Comment se passe la scolarité au Maroc ?
@@Staklihen honnêtement, je trouve que c’est super, ça nous apprend des automatismes et une façon de raisonner avancée. Pour ma part par contre, malheureusement ou non, on m’a toujours poussé à faire CPGE puis grande école type l’X car j’ai toujours été brillant en maths physique. Mais entendre ces mots de la part de tous mes profs m’a un peu «dégoûté » de ce cheminement et je ne voulais pas être forcé malgré mes compétences. Je suis donc allé étudier à Polytechnique Montréal où le niveau en mathématiques est beaucoup plus bas. Mais mes compétences acquises au Maroc m’ont permis de majorer en première année, d’obtenir des bourses et d’accéder au programme le plus difficile d’accès donc j’en suis bien fier et content. Je recommande la scolarité au Maroc à tout adepte des mathématiques et qui aime vraiment cela. Il suffit juste de trouver un bon prof, et pour cela je pense que lydex est parfait
@@Axel_Arno Merci à toi de faire ces vidéos, les maths avancées me manquent un peu car je me suis tourné vers l’ingénierie biomédicale et au Canada (ou le niveau des mathématiques n’est pas le meilleur pour ne pas utiliser d’autre adjectif). Tes vidéos sont un plaisir et j’adore ta façon d’expliquer. Tu feras un excellent professeur !
J'ai vu passer le bac de math marocain et le bac de math français de cette année, honnêtement vous nous mettez quelques vitesses
Puisse ce rythme de vidéo ne jamais s'arrêrer !
Le problème rappelle énormément l'exercice 1 du concours général 2023. C'est exactement le même principe.
Pour la question 2, on peut faire un peu plus simple, par l'absurde : supposons p et q tels que f(p)=f(q) avec p
Je regarde cette vidéo sans même être passionné par les maths ni sans même comprendre la plupart des questions mais juste parce que la manière dont tu en parles est passionnante.
D'ailleurs l'approche par le python est vraiment une bonne idée, ça parait moins compliqué à comprendre...
estomaqué par cette approche de la surjectivité à l'aide des fractions continues, c'était vraiment joli !
j'avais utilisé une approche bien plus laide et infame à rédiger: partir du résultat en utilisant une suite qui a pour premier terme un rationnel donné et qui effectue les opérations inverses de la fonction f. Je m'interessais ensuite à la suite des des dénominateurs de cette suite u_n pour montrer qu'elle était une suite décroissante d'entiers naturels et qu'elle convergeait nécessairement vers 1, ce qui signifiait qu'à partir d un certain entier N, un terme de la suite u_n etait entier et donc atteint par f. Par construction, on en déduisait alors par le chemin inverse qu'il existait un entier N pour lequel mon rationnel initial est atteint. Je trouvais que c'était intéressant comme méthode d'utiliser le principe de descente infinie de Fermat pour résoudre cet exercice, mais très difficile à rédiger correctement !
benguerir ya dawla, je suis fier d'être originaire de benguerir et faire partie de ce lycée et d'avoir passer par la voie 2. Merci Axel
👍👍
👍👍👍
MERCI AXEL !! J'étais en train de regarder ta vidéo sur les probas
Très marrant comme sujet, mon prof de maths en terminale nous avait fait la démo pour "s'amuser" ca me rappelle des souvenirs. Malheureusement il a pris sa retraite depuis, j'espère que d'autres professeurs continuent de partager leur passion mais si ca va des fois au delà du programme.
Je vous ai perdu à la question 4, alors que je viens de faire la première année de prépa. Franchement, GG les Marocains.
Je vais en prépa et j'ai meme pas fait le LLG je crois chu dans la merde
j'aimerais vouer un culte pour toi Axel. je suis en BTS et je suis... j'étais en froid total avec les math ( je les détestes ), mais grâce à toi ou t'es vidéo j'ai repris de l'envie et je reprend le programme de seconde pour me remettre à niveau et ( pour m'amuser ) avoir un bon niveau ! bref...
merci ! continue t'es vidéo elles sont à chaque fois attendue avec impatience de ma part !
Mdr je rentre en prépa intégrée en Septembre et juste la démonstration de e**x >= 1+x vient de me foutre une claque ! C'est un raisonnement tellement simple mais qui ne m'est malheureusement pas instinctif ! Sinon super vidéo , continu comme ca
Bah si tu comprends ça dès maintenant c'est déjà bien. C'est une majoration très utile.
Axel Arno qui post une vidéo le jour des résultats du Brevet c'est un bon présage
On peut prouver le point 4 de manière algorithmique :
Supposons qu'on veuille calculer l'antécédent de a/b avec b > 0.
- si a = 0, l'antécédent vaut 0.
- sinon, si a > b, alors la fraction est > 1 ; nécessairement, l'antécédent est pair de la forme 2p et il reste à calculer l'antécédent p de (a - b) / b.
- enfin, si 0 < a
C'est aussi comme ça que j'ai procédé. En fait en faisant ça on reproduit le procédé de l'algorithme d'Euclide de recherche du PGCD de a et b. C'est même comme ça que j'ai répondu à la question de la surjectivité, mais c'est assez lourd à formaliser.
Salut Axel je suis un élève de terminale c en côte d'Ivoire et je tenais à te dire que tes vidéos son une véritable source de curiosité et de motivation continu surtout
Exo très intéressant et j’adore tes explications ! Continue avec ce genre de vidéos !
Moi qui regarde chacune de tes vidéos comme si j'étais fan de maths, au final c'est le raisonnement et la procédure derrière qui m'intéresse et aussi ta personnalité, tu vulgarises et j'adore ce moment de détente. Merci Axel
Bac sciences maths en 1988. Lycée Al Mansour Dahbi à Sidi Kacem. Puis hx et xm au lycée Moulay Youssef à Rabat. Vos vidéos me replongent dans mes études. Merci❤❤❤
Axel je suis un grand fan ! Continues haha !
Jettes un oeil sur les test d'accès la MPSI du lycée Al Zahrawi, c'est à des années lumieres à ceux du Lydex
Le problème est magnifique. Le plan de travail et les explications sont clairs, pas d'outils ésotériques... cela montre d'autant mieux les qualités attendues chez les élèves. Respect total pour l'école mathématique marocaine !
Vrais viewers ont deja tente l'exo a partir de la story insta, j'ai enfin une correction claire de la question 4 merci pour ce pouler chef
C'est cool de s'enfoncer dans les abysses de la pensée mathématique😂❤
Merci Axel
4 vidéo en 1 mois. Waouh 🤩
Si tu veux t'attaquer au boss final des concours de lycéens marocains, ya le cgst qui est pas mal
OUIII UNE VIDÉO !
Étant moi-même marocain et ayant passé le bac science math cette année ça rend heureux de se faire reconnaître, merci Axel!
La fonction est assez jolie en elle même, le résultat est pour le coup assez trivial, si on veut injecter Q dans N, il suffit d'injecter N^2 (ça c'est très facile) et ensuite de considérer f : p/q -> (p,q)
Fascinant, brillant M. Axel Arno.'.
Es ce que tu peux faire une vidéo sur les raisonnements mathématiques?
je veux une discussion entre Axel Arno et Augustin de la chaîne TheGreatReview
Ils sont tous les deux excellents, mais je vois pas bien quels sujets ils pourraient avoir en commun.
Respect Arno !...Joli travail.
Très exotique et plein d'histoire, on veut ça au bac
mdr tu veux causer la guerre civile toi
@@nautilus7506 oui
Mon intuition est qu'à partir de l'écriture binaire d'un entier (exemple 76 = 1001100) et en le découpant par groupes à chaque "1" ( donc 100, 1 et 100); on obtient les écritures unaires des nombres de la fraction continue dans l'ordre inverse (unaire = en comptant le nombre de chiffres dans chaque groupe). En réalité il faut ajouter un au premier groupe et enlever 1 au dernier (la formule à 17:31 distingue ces deux cas).
Pour terminer l'exemple : "100" contient 3 chiffres, on ajoute 1 car c'est le premier groupe et on trouve 4 (c'est bien le dernier nombre de la fraction continue); on trouve ensuite "1" qui contient un chiffre puis "100" qui en contient 3, mais on enlève 1 car c'est le dernier groupe, donc 2.
On a donc bien [4, 1, 2] qui est le renversé de la fraction continue de 14/5 = f(76) 😉
Avec le même raisonnement, 33565709 = 10000000000010110000001101 en base 2 = {100000000000, 10, 1,1000000,1,10,1} qui sont de tailles {12, 2, 1, 7, 1, 2, 1} ce qui correspond à la fraction continue [0, 2, 1, 7, 1, 2, 13] = 347/1001
Jolie démonstration
Une construction classique de Q est un tableau à double entrée avec le numérateur en x et le dénominateur en y, et de parcourir le tableau selon les diagonales (p+q=cste) en numérotant chaque case.
super vidéo ! toujours un plaisir d'apprendre un nouvel outil (récurrence forte) au détour d'un bel exo !
Super vidéo, comme d'hab ! Et en parlant de sujets aberrants en terme de difficulté venant du maroc Axel, t'as déjà jetté un coup d'œil au Concours Général de cette année en maths au Maroc ? C'est une boucherie le truc...
J'ai aimer la résolu de la question 3
Un bon travail
MAIS LET'S GO IL ENCHAÎNE
Ça fait un moment que je me dis "putain je suis en manque de vidéos d'axel arno" (oui, j'ai vraiment eu le temps de consciemment me dire ça)
Je suis rassasié
Sympa de voir l'identité d'Euler à la question 4 :o
Super la vidéo super interessant continue a faire autant de vidéo stp sinon je met fin a mes jours
Waah la question 4 m'a faites transpirer même à la correction
Les marocains vraiment force à vous on aura jamais ça en france post bac
en prépa tu peux avoir ça.
Merci pour ces exemples très instructifs en Python!
Tu dois absolument voir la voie 2 d'alzahrawi c'est plus féroce que ça je te garantis
J'ai pas cru mes yeux quand j'ai réalisé que Axel a résolu l'injectivité exactement comme je l'ai résolue moi même 😃
J'adore le "irrémédiablement" en 8:26
Pour l'injectivité, il me semble que l'on peut observer que si f(p) = f(q), alors p et q ont la même parité. C'est plus laborieux que celle que tu as utilisé mais je trouve que ça prémâche la rechercher des deux questions d'avant. Super exo en tout cas !
Une fois qu'on a observé que p et q ont la même parité, c'est presque fini : ça veut dire qu'on peut trouver p' et q' qui sont plus petits et qui marchent aussi, et si on itère on voit bien que ça va finir par bloquer. J'ai rédigé un commentaire où je formalise un peu plus les choses, mais l'idée de départ est bien celle là.
La correction est sympa, par contre la définition de la surjectivité autour de 12:05 "toute image admet au moins un antécédent" est une horreur sans nom qui vaudra tout les châtiments du monde... A changer par exemple par "Tout élément de l'ensemble d'arrivée est une image/admet un antécédent par f"
Je suis ravi de changer d'opinion sur 'ce axel arno' .
Dorénavant, tu as tous mes respects les plus plats.
En effet, c'est la 1ère vidéo où je te vois parler des maths avec autant de maîtrise et de sérieux.
Comme disait Stromae à propos du cardinal de N,Q et des vidéos d’Axel Arno: « Quand il y en a plus, bah y’en a encore »
Pour résoudre l'équation f(n) = 14/5 j'ai procédé comme ceci, qui en soit est une manière algorithmique pour trouver n'importe quoi je pense.
Comme 14/5>1 alors n = 2k avec un k un entier.
Ainsi f(n) = f(k)+1=14/5 f(k) = 9/5
Ensuite 9/5>1 donc k = 2k'
f(k) = f(k')+1= 9/5 f(k')=4/5
4/5
J'ai fais pareil, en vrai ça prend très exactement 7 lignes si on rédige de façon opti donc ça passe
j'ai eu cette histoire de dénombrement à mon oral des mines hier, avec une série horrible dessus
je veux dire énumération de Q*
Bonjour, est-ce que tu peux faire la correction de l’exercice d’arithmétique des examens nationaux marocains (rattrapage 2007, normal 2022, normal 2023) et aussi la correction de l’exercice des nombres complexes ( 2006 normal et 2023-2022 normal)
pour les vacances j'ai acheter un petit livre de maths dans lequel il est dit (page 40) "Théorème 9 (Cantor, Shröder, Bernstein). S'il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E alors E et F sont équipotents.", c'est de ca dont tu parles a 21:04 ?
nice video
En effet, le Lydex est une l'établissement d'excellence qui sort des élèves bien préparés pour les écoles d'ingénieurs les plus prestigieuses de France comm l'X.
Cet établissement est une fierté pour tous les Marocains.
Pour l'exercice donné c'est en effet un paradoxe qui peut contredir les idées sur les cardinaux de N et Q et meme R.
Pour ceux qui se posent la question de la valeur de n pour 347/1001 ça se fait en seulement 12 étapes pour obtenir n = 33 565 709. Il est assez fascinant de constater à quel point faire l'inverse permet de diminuer très vite les valeurs en questions. C'est en effet similaire ( en terme de décroissance ) au calcul du PGCD de 2 nombres via l'algorithme d'Euclide.
Terminale français ici et je suis jaloux : le sujet est extraordinaire! Pour la dernière question, j'ai montré la surjectivité en utilisant une récurrence forte avec la proposition
P_n : "Pour tout entiers naturels a et b (b≠0) tels que a+b=n, il existe un antécédent k tel que f(k)=a/b"
C'est un peu farfelu mais ça fonctionne. L'intuition vient quand on remarque que lorsque qu'on faisait marche arrière pour trouver l'antécédent de 14/5, la somme du dénominateur et du numérateur diminuait (traduisant l'impression que ces nombres devenaient "plus petits")
drari dyal lydex banou hna
J'adore ce genre de problèmes
Excellent as usual. Cependant ca passe bien vite aux démonstrations rédigées et rigoureuses, et ca peut faire peur a certain qui croieraient que "c'est ca qu'il aurait fallu que je trouve et je suis loin du compte". Il faut les rassurer: Même pour toi, la phase "trouver l'idée d'un chemin vers la solution" a clairement précèdé la phase "le rédiger proprement". Ici pour la surjectivité elle a pu consister à juste sentir qu'une récurence est à faire et qu'en manipulant f(2n) et f(2n+1) " à l'envers", on arrivera bien à 0 ou a 1. Et APRES on rédige.
Tres simple et efficace
Super vidéo
sinon on peut montrer successivement que Q est equipotent a NxZ puis que N est equipotent a N^2
GH copilot m'a proposé cette fonction, après que j'ai écrit ce comm (j'ai juste rajouté le _v1) :
# calcule des "indices" de la fraction continue de p/q :
def continued_fraction_v1(p, q):
a = p // q
r = p % q
if r == 0:
return [a]
else:
return [a] + continued_fraction_v1(q, r)
->Je trouve cela cool qu'il utilise la récursion pour calculer les indices de la fraction continue ^^
Mon f(n) que j'ai trouvé par moi même car GH copilot n'y arrivait pas (j'adore qu'une AI arrive à faire des maths) :
def N_to_Q(n):
if n == 0:
return 0
elif n % 2 == 1:
a = (n-1) / 2
return 1 / (N_to_Q(a) + 1)
elif n % 2 == 0:
a = n / 2
return N_to_Q(a) + 1
Awesome ✊🏻, but pls dude change the wallpaper 🙈
magnifique
Pour passer d'une application de N vers Q+ à N vers Q, je proposerais quelque chose d'assez bête. On fait d'abord une association de Z vers Q simplement en associant les nombres entiers négatifs au rationnel négatif qui est l'opposé de l'image de l'application précédente avec l'opposé de l'antécédent. On aurait f(-1) = -f(1), f(-2) = -f(2), f(-3) = f(3). Et pour passer la rendre comme une application de N vers Q, on utilise une bijection de N dans Z comme, ex: f(p) = p/2 pour p pair et f(p) = -(p+1)/2 pour p impair, ce qui ferait la suite 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, etc.
On dit que ces ensembles sont en correspondance biunivoque. Bourbaki (E, II, p. 17). C'est un peu mieux que correspondance unique.
Bonjour tout le monde,
Je suis un homme perdu. Je fut accépté à l'insa haut de france, et j'aime assez l'école au point que je suis satisfait d'y passer le reste de mon éducation. Néanmoins, l'option prépa ici au maroc me tente du point de vue du coût ( c'est gratuit ), et j'ai une chance d'intégrer de meilleurs écoles plus tard.
Si quelqu'un a des conseils ce serait sympa !
Merci :D
Coucou j'adore tes vidéos dis tu pourrais faire l'intégrale de π/4 à π/2de ln(sin(x))
Je regarde ça juste comme ça.. Mais ce que renvoie la fonction ressemble beaucoup a un début de fraction continue !
Si on écrit n en binaire, le nombre de 0 entre chaque 1 donne précisément les coefficients d'une écriture en fraction continue... Au final f(N) donne l'ensemble des fractions continues à support fini, c'est a dire Q, surtout que comme on a unicité de cette écriture on a l'injectivité qu'arrive naturellement avec cette remarque (faut le démontrer par contre).
La où c'est intéressant, c'est que si on munit N de la norme 2-adique et qu'on le complète, notre écriture en binaire n'a plus nécessité d'être finie, donc la fonction de l'exo se prolonge naturellement en une bijection entre les 2-adiques et les Réels positifs grâce à ladite unicité de l'écriture en fraction continue... En tout cas on dirait, les nombres p-adiques sont assez chelous pour qu'à l'arrivée ça pose pb, donc si qqn peut confirmer ou infirmer mon impression je suis preneur.
Édit : j'avais écrit ça juste en regardant le sujet, sans même avoir avancé dans la vidéo mdr, faut croire que j'ai des intuitions pas trop mauvaises...
Bonjour Axel, j’aime beaucoup les vidéos que tu réalises. Mais concernant celle ci, je suis en terminale et j’ai été intrigué par ce « aleph 0 » et de comment est ce possible de dénombrer un ensemble infini, ça attise vraiment ma curiosité et je voulais savoir sil ya des ressources qui explicite ce sujet ? Les informations de Wikipedia n’ont pas été suffisantes 🤷♂️ Merci !
Merci
1:47 chef ?
Vous faites des problèmes comme ça à quel âge en europe? J'ai 19 ans et je suis au québec et les problèmes de concours de maths ne sont même pas proche de ce niveau! Aussi, est-ce que l'école vous prépare à répondre à ce genre de problèmes? Au québec, si tu apprends les maths seulements selon les exigences de l'école, tu n'arriveras jamais à ce niveau. Les élèves ne sont pas non plus encouragé ou poussé à essayer d'apprendre plus, on apprend le strict minimum, et c'est asser décevant. En regardant les vidéos d'Axel j'ai l'impression que les études en europe sont beaucoup plus difficile haha!
c'est un exercice d'un devoir en maroc.
C'est un sujet venu du Maroc 🇲🇦
Ce n'est pas vraiment l'Europe 😅
@@LuluLaSaumure ouais c'est vrai 😂, mais en écrivant le comm je pensais au vidéo en général d'Axel où je trouve que le niveau est absurde. Mais c vrai que le Maroc c pas du tout en Europe!
La c'est Maroc, en France ça serait niveau bac+1 je dirais
Let's go banger incoming
A quand la 3ème vidéos des artangentes ?
Sinon plutôt bien, on pourrait proposer la bijection , f : (p,q) --> 2^p(2q+1) de N^2 dans N, ce qui est équivalent à une bijection de Q+ dans N bien sûr
Axel le spécialiste des tailles de Q
Le resultat de Q a la même taile que N, peut être démontrer par, la bijection de N ->N^2->Q.
Avec du autre méthod.
On fait la différence entre l'infinit des naturelles ou de l'ensemble Q et de Omega l'infinit des Réels.
Et la question reste s'il existe un infinit plus grand.
L'assertion "Deux ensembles ont le même cardinal s'ils peuvent être mis en bijection" est-elle :
1) Une définition ?
2) Un axiome ?
3) Un théorème conséquence d'une (ou plusieurs) autres définition ou d'un (ou plusieurs) autres axiome ?
Merci par avance pour toute réponse argumentée;
C'est une définition, une généralisation du concept de cardinal avec un nombre d'éléments finis. Les ensembles A={pêche,pomme,poire} et B={café,thé,chocolat} sont en bijection (avec une fonction pêche associe café, pomme associe thé, poire associe chocolat par exemple). En fait dans ce cas là, le cardinal est 3. Les deux ensembles ont évidemment 3 éléments chacun. Et on généralise ça par analogie en disant que deux ensembles ont le même cardinal si et seulement si ils peuvent être mis en bijection. N avec Q, R avec les parties de N.
@@leregretincurve8778 Merci pour votre réponse, je m'étais posé cette question car si c'est du bon sens pour les ensembles finis, ça l'est beaucoup moins pour les ensembles non finis. Cette généralisation m'a toujours posé des problèmes plutôt philosophiques que mathématiques. Car si on montre classiquement que ℚ est dense dans ℝ on peut, par une démo similaire montrer que ℝ est dense dans ℚ, ceci même si l'on ne peut pas trouver une bijection entre ℚ et ℝ de là à dire qu'ils ont un cardinal différent, ok si c'est une définition. Je me suis trouvé une autre définition "à moi" plus simple : deux ensembles non finis ont le même nombre d'éléments (je ne parle plus de cardinal) ainsi ℚ ,ℝ et ℕ ont le même nombre d'éléments
Merci. S'il te plais avec quel logiciel écris tu tes présentations. Merci
Est ce que l’injectivité ne se fait pas plus simplement en montrant que Ker f = {0} ?
Ou alors c’est hors programme pour ce concours d’entrée ?
Ca ne marche que pour les morphismes (de groupes) cette caractérisation !
@@uogram3690Merci pour le rappel, j’avais complètement oublié l’hypothèse
Si tu prends f : x--->3x+1, elle est injective (f(X)=Y=>X=(Y-1)/3 qui est unique) et pourtant "ker(f)" est différent de 0 (c'est {-1/3})
Si tu prends g : x-->x^2, "ker(g)"= {0} mais pourtant elle n'est pas objective (1 a 2 antécédents {-1,1}
Ker n'est défini que pour les applications linéaires (au moins jusqu'en Spé)
C est un bon exo mais je trouve le coucous d accés à cpge abulcasis (zahrawi) est plus difficile que celui de lydex, J espère que tu traites ses sujets
Salut axel, c'est possible d'avoir un lien ou n'importe quoi pour avoir le sujet entier du concour ?
La question 2 peut se faire en regardant le noyau de f il me semble ? La seule valeur qui annule f est 0 et on montre par récurrence que le reste des valeur donne une image strictement positive. Donc Ker(f)={0} et donc f est invective
f n'est pas un morphisme de groupe / application linéaire
Donc ce critère ne s'applique pas
Et victoire du NFP bravo tout le monde ! !!
Quelle catastrophe 😢
C'est beau
C'est quoi ton logiciel pour faire les miniatures ?
Considérons deux ensembles :( N = {1, 2, 3} )( Q = {a, b, c} )Maintenant, calculons la cardinalité de chaque ensemble :Pour ( N ), la cardinalité ( |N| ) est le nombre d'éléments dans ( N ), donc ( |N| = 3 ).Pour ( Q ), la cardinalité ( |Q| ) est le nombre d'éléments dans ( Q ), donc ( |Q| = 3 ).Maintenant, comparons les cardinalités :( |N| = 3 )( |Q| = 3 )Comme ( |N| = |Q| ), cela signifie que les ensembles ( N ) et ( Q ) ont la même cardinalité.
Considérons l'équation quadratique générale :[ ax^2 + bx + c = 0 ]Supposons que nous ayons ( a = 1 ), ( b = 0 ), et ( c = -4 ). Remplaçons ces valeurs dans l'équation :[ x^2 + 0 \cdot x - 4 = 0 ]Simplifions cette équation :[ x^2 - 4 = 0 ]Maintenant, résolvons pour ( x ) :[ x^2 = 4 ][ x = \pm 2 ]Ainsi, les solutions de cette équation quadratique sont ( x = 2 ) et ( x = -2 ).Dans cet exemple, en utilisant ( b = 0 ), nous avons simplifié l'équation quadratique, ce qui a facilité la résolution pour trouver les racines ( x ).
Petite question qui m'est venue, pour la question 2 pourquoi est ce que lon ne peut pas juste dire que le Noyau de f est seulement le singleton 0 car pour tout n appartenant à N* f(n)>0 et le seul element pour lequel f(n) = 0 est piur n = 0 ?
Axel, parle nous du bac de maths du Cameroun de cette année c'est juste 🤯
J'écris ça avant d'avoir regardé la solution et je ne modifierai pas mon commentaire : pour moi le truc profond qui intervient pour montrer la bijectivité de f est d'une part l'identification des entiers avec leur écriture en base 2 et d'autre part l'identification des rationnels avec leur développement en fraction continue et la finitude de ce développement, j'ajoute aussi que l'antécédent de14/5 est 76.
oui
Tu codes bien tkt !
Était il possible de former une matrice de f et de raisonner sur cette matrice pour la bijection ?
"bijection en N et Q"
*claque son PC*
Allez, finalement on vit dans la matrice, je suis un schtroumpf, Tupac vit dans 20ième arrondissement, et mon immeuble est construit en flageolets.
J'ai rigolé quand il a dit la taille de Q