福田のおもしろ数学388〜条件付き最小問題

[@indigotom8969]

等号成立がx=y=zのときであることが多いから、何度でもAM-GMやJensenやCSを使っていいわけですな.
√x=a,√y=b,√z=cと置き換えて考えるとabc(a+b+c)≧1のときのa^2+b^2+c^2の最小値を求めることと同義.
AM-GMより(abc)^{1/3}≦(a+b+c)/3なので1≦abc(a+b+c)≦(a+b+c)((a+b+c)/3)^3=(a+b+c)^4/3^3
∴a+b+c≧3^{3/4}
よってCSより(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)≧(a+b+c)^2なので
a^2+b^2+c^2≧(a+b+c)^2/3≧(3^{3/4})^2/3=√3
等号は(a=b=cのときなので)a=b=c=3^{-1/4}のとき成立するので、a^2+b^2+c^2の最小値は√3.

[@坂本有史]

全く方針立たず、強引に以下のように解きました(以下全くスマートではありません）まず与式に対して√x=a,√y=b,√z=cと置くと(a+b+c)abc≧1(①)、cを固定しa+b=u,ab=vとします。①：(u+c)vc≧1(②)、実数解条件よりu^2≧4v(③)、求める式はa^2+b^2+c^2=u^2-2v+c^2、これをkと置いて①,②のvを消去すると
(u^2+c^2)-(2/c(u+c))≧k≧1/2(u^2+2c^2)　この関係をグラフ(k-u平面）化するとk=u^2+c^2-2/c(u+c)、k=1/2(u^2+2c^2)　の交点でkが最小になります。これはu^2=4vとなるときであり、すなわちa=bのときkは最小となります。次にkをaの関数とみて(cではない）微分し計算すると(微分には工夫が要ります）a=c(=b)のときkは極小かつ最小になります。(a,b,cは(u+c)vc=1,a=b=cからそれぞれの値が求められる）

[@うっちゃん-e8e]

X^2₊yz≧2x√yz　y^2₊zx≧2y√zx　z^2₊xy≧2z√xyの両辺をそれぞれ足すと
x^2₊y^2₊z^2₊xy₊yz₊zx≧2(x√yz₊y√zx₊z√xy)≧2　　①
相加相乗平均よりx(y₊z)≧2x√yz　y(z₊x)≧2y√zx　z(x₊y)≧2z√xy　②
②の両辺をそれぞれ足して2で割ると　xy₊yz₊zx≧x√yz₊y√zx₊z√xy≧1　　③
③を②に代入するとx^2₊y^2₊z^2≧1　　④
④より(x₊y₊z)^2₋2(xy₊yz₊zx)≧1より(x₊y₊z)^2₋2≧1より(x₊y₊z)^2≧3　よってx₊y₊z≧√3
以上より最小値は√3

[@aoyamasige1992]

両辺√ｘｙｚで割ると√ｘ＋√ｙ＋√ｚ≧１／√ｘｙｚ。この左辺はコーシーシュワルツより√３√（ｘ＋ｙ＋ｚ）以下なのでｘ＋ｙ＋ｚ≧１／３ｘｙｚ。一方相加相乗よりｘ＋ｙ＋ｚ≧……。これを３乗してさっきの式にかけると（ｘ＋ｙ＋ｚ）⁴≧３²。

[@みふゆもあ]

動画とほぼ同じ😊
根号は入力しにくいので
a=√x,b=√y,c=√zとして正実数a,b,cが
a²bc+ab²c+abc²≧1
を満たすときのa²+b²+c²の最小値を求める。
Muirheadの定理より
a²b²+b²c²+c²a²≧a²bc+ab²c+abc²≧1,
a⁴+b⁴+c⁴≧a²bc+ab²c+abc²≧1
の2式が成り立つから
(a²+b²+c²)²=a⁴+b⁴+c⁴+2(a²b²+b²c²+c²a²)≧3.
∴ a²+b²+c²≧√3.
（等号成立はa=b=cのとき）
※ Muirhead〜のところ、
a²b²+c²a²≧2a²bc,
a²b²+b²c²≧2ab²c,
b²c²+c²a²≧2abc²
からa²b²+b²c²+c²a²≧a²bc+ab²c+abc²、
a⁴+a⁴+b⁴+c⁴≧4a²bc,
a⁴+b⁴+b⁴+c⁴≧4ab²c,
a⁴+b⁴+c⁴+c⁴≧4abc²
からa⁴+b⁴+c⁴≧a²bc+ab²c+abc²。