Размер видео: 1280 X 720853 X 480640 X 360
Показать панель управления
Автовоспроизведение
Автоповтор
解く事自体は難しくないけど、「綺麗な」記述回答が難しい問題だった。動画の解き方はとても綺麗
強引に解きました。2式よりx=sin(sinx)を解けばよい。f(x)=x-sin(sinx)と置くと与式より-1≦x≦1、f'(x)=1-cosxcos(sinx)>0(x≠0)→単調増加、x=0→f'(0)=0 f(-1)＝-1-sin(sin(-1))0(∵1
天野遠影
sinx=ysiny=xよって、sin(sinx)=x…①①の両辺をxで微分するとcos(sinx)cosx＝1…②また、①よりcos²(sinx)＝1-x²で、cos²(sinx)≧0より0≦x²≦1…③②の両辺を2乗して③を代入すると(1-x²)cos²x＝1…④x=1のとき0＝1となり不適よって、x≠1より 0≦x²0より、これを満たすxはx＝0のみ
別の解き方でsinx=y…①siny=x…②①の両辺をxで微分すると、cosx=y'…③②の両辺をxで微分すると、y'cosy=1…④式④に式③を代入すると、cosx・cosy=1これは、x=nπ、y=mπ（n,mは整数）であるための十分条件ここに、式①.式②より-1
方程式x=sin(sinx)…①を満たすことが必要x=0のとき、これは①を満たすx>0のとき、①が解を持たないことを示す[証明]x∈(0,π/2]を任意にとる。f(x)=x-sinxとおくと、f’(x)=1-cosx>0であり、f(0)=0であるからf(x)>0 ⇔ x>sinx…②ここで、(sinx)’=cosx>0であるからsinxは(0,π/2]上単調増加である。ゆえに、②よりsinx>sin(sinx)…③よって、②③よりx>sin(sinx)また、x∈(π/2,∞)を任意にとるとx>π/2>1≧sin(sinx)∴x>sin(sinx)よって∀x>0,x>sin(sinx)であり、①はx>0のとき解を持たないx
まず方程式の形から明らかに －1≦x, y≦1．(x, y)が与方程式の解ならば，(-x, －y)もまた解なので，x≧0に限定してよい．すなわち 0≦x≦1(＜π/3)．もしx≠0とすると 0＜x≦1で y＝sinx＞0. θ＞0のときsinθ＜θ だから y＝sinx＜x. 同様にx＝siny＜yとなり不合理．よってx＝0＝sin0＝y．(終)※ sinθ＜θ (0＜θ＜π/2) は基本不等式．これを微分で示すと堂々巡りになるのでそれはやらない．※ 動画中の補題 |sinx|≦|x| も両辺とも偶関数だからx≧0で示せばよく，x≧1のときは自明だから0≦x＜1(＜π/3)で示せば十分．このとき左辺の絶対値はとれて sinx≦x (これは基本不等式)．
普通にxy入れ替えても同じなのだからy=xで対称、sinx=xの解が0のみなので(0,0)しかない。
そうですよね
x=yで対称まではわかりますが、sinx=xが出てくるのはどうしてですか？
@@すわわわわわ sinx=xというのはy=sinxとy=xとの交点を求めてます。2つのsinはy=xに対して対称なのに原点以外ではy=xと交わらないので2つのsinが交わるとしたら原点しかないという事です。一応最後に(0,0)を代入して成り立つのを示す必要はあるかもしれません
サムネイルの=yの下に何か映ってる？
タダの逆関数で(x,y)=(0,0)しかないとしか思い浮かばんかったここまで証明は全く考え無しｗ
導関数が0を含んだら、x >0の時、f（x）＞0って＝入らない？
cosでもやってみてほしい
簡単な考察から0＜x，y＜1と分かるので，後はf(x)＝cosx－cos⁻¹xかcos(cosx)－xとおき，f(x)＝0 がcosｘ＝x (0＜x＜1)の唯一解をもつことを示せばよい．
@@ジョン永遠 なぜ { cosx=y, siny=x } の可能性を排除したのですか
(sinの代りに)cosでも，とはそういうことでは？でも同様に考えればできるでしょ図を描いてみれば唯一解があると分かる
高校範囲から完全に外れるから余談にはなるけど、これって特に実数と指定されてないけど、複素数範囲含め(x,y)=(0,0)しかないの？
(e^(iz)-e^(-iz))/2i = x(e^(iw)-e^(-iw))/2i=y これを解いてみたらわかると思いますよ！！！
突然おすすめに出てきた。数学なんて目に一丁字もなかった。
![[Background] An easy way to shift the contents of trigonometric functions.](http://i.ytimg.com/vi/WsqtlQqtQ3A/mqdefault.jpg)
解く事自体は難しくないけど、「綺麗な」記述回答が難しい問題だった。動画の解き方はとても綺麗
強引に解きました。2式よりx=sin(sinx)を解けばよい。f(x)=x-sin(sinx)と置くと与式より-1≦x≦1、f'(x)=1-cosxcos(sinx)>0(x≠0)→単調増加、x=0→f'(0)=0 f(-1)＝-1-sin(sin(-1))0(∵1
天野遠影
sinx=y
siny=x
よって、
sin(sinx)=x…①
①の両辺をxで微分すると
cos(sinx)cosx＝1…②
また、①より
cos²(sinx)＝1-x²で、cos²(sinx)≧0より0≦x²≦1…③
②の両辺を2乗して③を代入すると
(1-x²)cos²x＝1…④
x=1のとき0＝1となり不適
よって、x≠1より 0≦x²0より、これを満たすxはx＝0のみ
別の解き方で
sinx=y…①
siny=x…②
①の両辺をxで微分すると、
cosx=y'…③
②の両辺をxで微分すると、
y'cosy=1…④
式④に式③を代入すると、
cosx・cosy=1
これは、x=nπ、y=mπ（n,mは整数）であるための十分条件
ここに、式①.式②より
-1
方程式x=sin(sinx)…①を満たすことが必要
x=0のとき、これは①を満たす
x>0のとき、①が解を持たないことを示す
[証明]x∈(0,π/2]を任意にとる。
f(x)=x-sinxとおくと、
f’(x)=1-cosx>0であり、f(0)=0であるからf(x)>0 ⇔ x>sinx…②
ここで、(sinx)’=cosx>0であるからsinxは(0,π/2]上単調増加である。
ゆえに、②よりsinx>sin(sinx)…③
よって、②③よりx>sin(sinx)
また、x∈(π/2,∞)を任意にとると
x>π/2>1≧sin(sinx)
∴x>sin(sinx)
よって∀x>0,x>sin(sinx)であり、
①はx>0のとき解を持たない
x
まず方程式の形から明らかに －1≦x, y≦1．
(x, y)が与方程式の解ならば，(-x, －y)もまた解なので，x≧0に限定してよい．
すなわち 0≦x≦1(＜π/3)．もしx≠0とすると 0＜x≦1で y＝sinx＞0.
θ＞0のときsinθ＜θ だから y＝sinx＜x. 同様にx＝siny＜yとなり不合理．よってx＝0＝sin0＝y．(終)
※ sinθ＜θ (0＜θ＜π/2) は基本不等式．これを微分で示すと堂々巡りになるのでそれはやらない．
※ 動画中の補題 |sinx|≦|x| も両辺とも偶関数だからx≧0で示せばよく，x≧1のときは自明だから
0≦x＜1(＜π/3)で示せば十分．このとき左辺の絶対値はとれて sinx≦x (これは基本不等式)．
普通にxy入れ替えても同じなのだから
y=xで対称、sinx=xの解が0のみなので(0,0)しかない。
そうですよね
x=yで対称まではわかりますが、sinx=xが出てくるのはどうしてですか？
@@すわわわわわ sinx=xというのはy=sinxとy=xとの交点を求めてます。
2つのsinはy=xに対して対称なのに原点以外ではy=xと交わらないので
2つのsinが交わるとしたら原点しかないという事です。
一応最後に(0,0)を代入して成り立つのを示す必要はあるかもしれません
サムネイルの=yの下に何か映ってる？
タダの逆関数で(x,y)=(0,0)しかないとしか思い浮かばんかった
ここまで証明は全く考え無しｗ
導関数が0を含んだら、x >0の時、f（x）＞0って＝入らない？
cosでもやってみてほしい
簡単な考察から0＜x，y＜1と分かるので，後はf(x)＝cosx－cos⁻¹xかcos(cosx)－xとおき，
f(x)＝0 がcosｘ＝x (0＜x＜1)の唯一解をもつことを示せばよい．
@@ジョン永遠 なぜ { cosx=y, siny=x } の可能性を排除したのですか
(sinの代りに)cosでも，とはそういうことでは？でも同様に考えればできるでしょ
図を描いてみれば唯一解があると分かる
高校範囲から完全に外れるから余談にはなるけど、これって特に実数と指定されてないけど、複素数範囲含め(x,y)=(0,0)しかないの？
(e^(iz)-e^(-iz))/2i = x
(e^(iw)-e^(-iw))/2i=y
これを解いてみたらわかると思いますよ！！！
突然おすすめに出てきた。数学なんて目に一丁字もなかった。