福田のおもしろ数学341〜関数方程式を解く
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- Опубликовано: 11 дек 2024
- 福田のおもしろ数学の第341回です。
今回は関数方程式を解くの問題。
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方針：適当な場合分けは必要だが、x+y=xyとして両辺からうまく項を消す。
こりゃ無理だわ。誘導無くして解ける人、どのくらいいるのかな？
「fが解ならば-fも解なので」でよさそう。
∀x.f(x+0) = f(x)f(0)f(0・x) なので一つの可能性は ∀x.f(x)=0、それとf(0)=±1 だけどその次どうしようかと思ってたらf(x-x)という手があったか
f(x+y+z) を計算してみるとかなり見通しが良くなる.
なるほど．微分可能性とか必要ないんかね？と思ったけど，たしかにこの議論ならいらない
初見です。過去動画で解説済みでしたら申し訳ございませんが、質問です。
6:01
f(x)^3が定数→f(x)が定数
は、「自明」で片づけてしまってよいのでしょうか。
今回は3乗だからよかったものの、もしも2乗だったらfは定数とは限らない(反例：fが1と-1だけをとる関数)し、
今回はfがR→Rだからよかったものの、もしもfがC→Cへの関数だった場合もfは定数とは限らない(反例：fが1とωとω^2だけをとる関数(ωは1の原始3乗根のうちのひとつ))ので、
そこまで当たり前でもないかなと感じました。
確かに、R上でのx^3の単射性について一言添えた方が良いかもしれないですね。
逆のところがわからん、
f(x)をn次としてy:fixで考えると
右辺がxの2n次、左辺がxのn次になり、これがxの恒等式なのでn=0、
f(x)=aとするとa=a³ つまりa=0、±1
これで終わりでは無いのでしょうか。
fxをn次関数と考えればその通りです。ただ、n次関数とは限らないのです。三角関数かもしれないし、指数関数、対数関数、あるいはもっと変わった関数である可能性も考えて解いていくべきです。
n次関数であるとは限らないのがこの問題のおもしろいところですね
@@tamoshop なるほど！私の考察不足でした。精進します。
試験問題で見た瞬間「ひぇっ」となるけど、冷静に考えれば意外に解ける奴。
知らなくてもとりあえず代入ってのはやるだろう。
それより何だか面白そうな数学問題に展開しそうに見えてどん詰まりなのが残念かも。
2分で答えは出た。以下思考過程、
どうせf(x)=±xかf(x)=±kxか
f(x)=±1かf(x)=0かf(x)=k
最悪f(x)=1/xかf(x)=x^2やlogx
だろう。
±1と0はいけるな。
これ以外に無いことを示す。
give up
3割くらい貰えるだろう。