Размер видео: 1280 X 720853 X 480640 X 360
Показать панель управления
Автовоспроизведение
Автоповтор
最後のところがちょっと気になります．f(x)＝kx＋C と決まったのはx＞0の範囲なので，これにすぐx＝0を代入するのは．．． f(x)は微分可能なので連続 よってf(0)＝lim (x→+0)f(x)=C としたいあと 微分可能性の仮定は原点におけるそれだけで十分ですね
正しいかどうか自信がありませんが以下のように解きました。与式を（x+y)((x^2-y^2)-f(0))/（x^2-y2))＝(xf(x)-y(y))/(x-y)と変形しy→xとすれば左辺＝2f’(0)x、右辺=d(xf(x))/dx 両辺積分してx^2f'(0)=xf(x)+c、c=0なのでこれが任意のxに対して成立つためには、f(x)=f'(0)x=kx
合ってると思います
わかりやすいとか丁寧なのもそうだけど、長い事聞いていられる声というか話し方。理解しやすかったです。
当たりを付けると、y=kxになるが、ちゃんと解くのは大変だ❗
有り難いです。感謝申し上げます。
y=0の時、f(x^2)=xf(x) となる。たまから代入しちゃおうってのがわからないです。独立してることは自明なんですか？ここがちょっとわかりませんでした。
問題文1行目に「すべての実数x,yに対し」とありますので、f(x^2)=xf(x)もすべての実数xで成り立ちます。したがって変数同士が独立していようがしていまいが関係なく「f(何かの2乗)」を「何か×f(何か)」に置き換えていいです。
奇関数がわかったあと、xが正の数のときはf(x) = x^(1/2)f(x^(1/2)) = x^(1/2 + 1/4)f(x^(1/4)) = … = x^(1-1/2^n)f(x^(1/2^n))fが微分可能ということは連続でもあるので、n無限大としてf(x) = xf(1)とかいかがでしょう？「微分可能」の条件は「連続」に緩めることができる気がします。
関数方程式好きなので、微分可能性抜きで解けないかと思ったらできました。y=0からf(x^2)=xf(x)・・・(A).(A)より-xf(-x)=xf(x)なので、x≠0のときxで両辺割ってf(-x)=-f(x)(x≠0),さらに(A)よりf(0)=0だからf(-0)=-f(0)が成り立つのでx≠0の仮定は不要である。つまりf(-x)=-f(x)・・・(B).(A)を元の式に代入しf(x^2-y^2)=f(x^2)-f(y^2).さらに(B)よりf(x^2-y^2)+f(-x^2)+f(y^2)=0.よってa=x^2-y^2,b=-x^2,c=y^2とおくとf(a)+f(b)+f(c)=0(a+b+c=0かつb≦0,c≧0).ここで、a+b+c=0ならばa,b,cのいずれかは0以上でいずれかは0以下なので、条件b≦0,c≧0はa,b,cを並べ替えれば自動的に満たされる。よってこの条件は外してよい。このときc=-(a+b)と(B)よりf(a+b)=f(a)+f(b)・・・(C).(C)は有名なCauchyの関数方程式なので、fのℚ線形性が成り立つことに注意する。さて、f((x+1)^2)を２通りで計算する。f(1)=kと置く。f((x+1)^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)(f(x)+k)=xf(x)+kx+f(x)+k (∵(A),(C),展開)f((x+1)^2)=f(x^2+2x+1)=f(x^2)+2f(x)+k=xf(x)+2f(x)+k (∵展開,(C),(A))この最右辺を比較するとf(x)=kx.逆に任意定数kに対しf(x)=kxが元の式を満たすことも明らか。以上より、条件を満たすfは f(x)=kx(kは実数) ですべてである。補足：・連続性を用いていいならx>0で(A)を繰り返し用いてf(x)=x^{1/2}f(x^{1/2})=x^{3/4}f(x^{1/4})=・・・=x^{1-1/2^n}f(x^{1/2^n})→xf(1) (n→∞)ののち(B)でx≦0も確認するのが最短かなと思います。・1:22 中括弧の中身が定数であるとはこの時点ではわからないので、あくまでx≠0のときのみ中括弧の中身が0であることしか言えません。x=0の場合は別途確認すべきだと思います。・4:17 x>0だけでなくてx+h≧0も必要なので、|h|を十分小さくとるとx>0のおかげでこれも満たされることに注意が必要です。
「y=0」の時に得られた関係式で、「任意のy」で成り立つ①を書き換えるところに気持ち悪さを感じてしまいます。y=0以外のときでもf(x^2)=xf(x)は成り立つのか？と思ってしまいます。具体例でも構いませんので、どなたか解説していただけないでしょうか…
具体的な文字の名前には意味がありません。文字xやyは全称量化記号による束縛変数である、言い換えれば、本当はすべての途中式の前に「∀x」だとか「すべてのxについて」がついているということです。例えば「f(x^2)=xf(x)」は「f(何かの2乗)は、同じ何かとf(同じ何か)の積に等しい」というfの性質についての言明しかしていません。たまたまその変数がxであっただけで、xを何に置き換えたとしても成り立ちます。
①の両辺をxについて微分してみました yは定数と扱いました 全ての実数x,yで成立するなら x^2 - y^2 = x となるようなyを設定することも可能だと思い(必要条件) 2x f'(x)= f(x) + x f'(x) を解きました f'(x)/f(x)=1/x がx≠0では成立し、積分しました (厳密には0
y=kxということは任意の 比例関数だな。
関数をｎ次式とすると、両辺の次数比較から、n=1となります。f(x)=ax+bより、f(0)=0より、b=0となります。この後はどのように記述すれば、いいのでしょうか？
この関数方程式においてf(x)は微分可能としかされていないことから、f(x)は多項式関数であるとは限らないので、その解答だとそもそもが不十分になってしまいます
@@greenpepper555 ありがとうございます。
![BLACK BAG - Official Trailer [HD] - Only in Theaters March 14](http://i.ytimg.com/vi/Du0Xp8WX_7I/mqdefault.jpg)
最後のところがちょっと気になります．f(x)＝kx＋C と決まったのはx＞0の範囲なので，これにすぐx＝0を代入するのは．．． f(x)は微分可能なので連続 よってf(0)＝lim (x→+0)f(x)=C としたい
あと 微分可能性の仮定は原点におけるそれだけで十分ですね
正しいかどうか自信がありませんが以下のように解きました。与式を（x+y)((x^2-y^2)-f(0))/（x^2-y2))＝(xf(x)-y(y))/(x-y)と変形しy→xとすれば左辺＝2f’(0)x、右辺=d(xf(x))/dx 両辺積分してx^2f'(0)=xf(x)+c、c=0なのでこれが任意のxに対して成立つためには、f(x)=f'(0)x=kx
合ってると思います
わかりやすいとか丁寧なのもそうだけど、長い事聞いていられる声というか話し方。
理解しやすかったです。
当たりを付けると、y=kxになるが、ちゃんと解くのは大変だ❗
有り難いです。感謝申し上げます。
y=0の時、f(x^2)=xf(x) となる。たまから代入しちゃおうってのがわからないです。
独立してることは自明なんですか？ここがちょっとわかりませんでした。
問題文1行目に「すべての実数x,yに対し」とありますので、f(x^2)=xf(x)もすべての実数xで成り立ちます。したがって変数同士が独立していようがしていまいが関係なく「f(何かの2乗)」を「何か×f(何か)」に置き換えていいです。
奇関数がわかったあと、
xが正の数のときは
f(x) = x^(1/2)f(x^(1/2)) = x^(1/2 + 1/4)f(x^(1/4)) = … = x^(1-1/2^n)f(x^(1/2^n))
fが微分可能ということは連続でもあるので、n無限大として
f(x) = xf(1)
とかいかがでしょう？
「微分可能」の条件は「連続」に緩めることができる気がします。
関数方程式好きなので、微分可能性抜きで解けないかと思ったらできました。
y=0からf(x^2)=xf(x)・・・(A).
(A)より-xf(-x)=xf(x)なので、x≠0のときxで両辺割ってf(-x)=-f(x)(x≠0),さらに(A)よりf(0)=0だからf(-0)=-f(0)が成り立つのでx≠0の仮定は不要である。つまりf(-x)=-f(x)・・・(B).
(A)を元の式に代入しf(x^2-y^2)=f(x^2)-f(y^2).
さらに(B)よりf(x^2-y^2)+f(-x^2)+f(y^2)=0.
よってa=x^2-y^2,b=-x^2,c=y^2とおくとf(a)+f(b)+f(c)=0(a+b+c=0かつb≦0,c≧0).
ここで、a+b+c=0ならばa,b,cのいずれかは0以上でいずれかは0以下なので、条件b≦0,c≧0はa,b,cを並べ替えれば自動的に満たされる。よってこの条件は外してよい。このときc=-(a+b)と(B)よりf(a+b)=f(a)+f(b)・・・(C).
(C)は有名なCauchyの関数方程式なので、fのℚ線形性が成り立つことに注意する。
さて、f((x+1)^2)を２通りで計算する。f(1)=kと置く。
f((x+1)^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)(f(x)+k)=xf(x)+kx+f(x)+k (∵(A),(C),展開)
f((x+1)^2)=f(x^2+2x+1)=f(x^2)+2f(x)+k=xf(x)+2f(x)+k (∵展開,(C),(A))
この最右辺を比較するとf(x)=kx.
逆に任意定数kに対しf(x)=kxが元の式を満たすことも明らか。
以上より、条件を満たすfは f(x)=kx(kは実数) ですべてである。
補足：
・連続性を用いていいなら
x>0で(A)を繰り返し用いてf(x)=x^{1/2}f(x^{1/2})=x^{3/4}f(x^{1/4})=・・・=x^{1-1/2^n}f(x^{1/2^n})→xf(1) (n→∞)ののち(B)でx≦0も確認するのが最短かなと思います。
・1:22 中括弧の中身が定数であるとはこの時点ではわからないので、あくまでx≠0のときのみ中括弧の中身が0であることしか言えません。x=0の場合は別途確認すべきだと思います。
・4:17 x>0だけでなくてx+h≧0も必要なので、|h|を十分小さくとるとx>0のおかげでこれも満たされることに注意が必要です。
「y=0」の時に得られた関係式で、「任意のy」で成り立つ①を書き換えるところに気持ち悪さを感じてしまいます。
y=0以外のときでもf(x^2)=xf(x)は成り立つのか？と思ってしまいます。
具体例でも構いませんので、どなたか解説していただけないでしょうか…
具体的な文字の名前には意味がありません。文字xやyは全称量化記号による束縛変数である、言い換えれば、本当はすべての途中式の前に「∀x」だとか「すべてのxについて」がついているということです。例えば「f(x^2)=xf(x)」は「f(何かの2乗)は、同じ何かとf(同じ何か)の積に等しい」というfの性質についての言明しかしていません。たまたまその変数がxであっただけで、xを何に置き換えたとしても成り立ちます。
①の両辺をxについて微分してみました yは定数と扱いました 全ての実数x,yで成立するなら x^2 - y^2 = x となるようなyを設定することも可能だと思い(必要条件) 2x f'(x)= f(x) + x f'(x) を解きました f'(x)/f(x)=1/x がx≠0では成立し、積分しました
(厳密には0
y=kxということは任意の 比例関数だな。
関数をｎ次式とすると、両辺の次数比較から、n=1となります。f(x)=ax+bより、f(0)=0より、b=0となります。この後はどのように記述すれば、いいのでしょうか？
この関数方程式においてf(x)は微分可能としかされていないことから、f(x)は多項式関数であるとは限らないので、その解答だとそもそもが不十分になってしまいます
@@greenpepper555 ありがとうございます。