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なるほど！愛に振り回されるっていうのがわかったような気がします！とてもわかりやすくて楽しい講義をありがとうございます！
今回の授業は余談にとても価値があると思います。子供にも見せたいと思います。
このレベルの講義をタダで受けられることが嬉しい。ありがとうございます！
いつも素晴らしい講義ありがとうございます。定年後また数学の勉強を始めましたが、今回複素平面の回転で乗除をイメージするところが目から鱗でした。数3までやっていたのに複素数に対する視野の狭い勉強をしていたみたいです。面白い。
急ですが、ヨビノリの動画は高専生にもめちゃくちゃ需要あります。大学数学も扱う高専の授業で、高校の内容の延長のような気分で授業を受けてると、心構えがしっかりできてなくてしんどくなることが結構あります。ヨビノリはそこを補って余りある濃密な授業内容を提供してくれてるのでたいへんありがたいです。うちの高専でもヨビノリの人気高いです！頑張ってください！
いつも拝見させていただいております。わかりやすい授業ありがとうございます。複素平面のおかげで、三角関数の加法定理を覚えなくても良くなり数学は覚えるものでなく楽しむものだと感じていました。オイラーの定理も美しいですよね。
ただでさえ取っつきにくいのに分かりやすい解説ですね。大学生時代にも、こんな分かりやすい授業だったら嬉しかった。今は67歳で年金生活者ですが興味深くユーチュウブ拝見しています。勉強になりました。有り難うございました。。
三角関数といいこの複素数といいすごくいい！意外と知らず知らずのうちにやらされてなんとなく解法だけを覚えさせられてきたので[その意味]を教えてもらえるのは本当に嬉しい 尊敬する 拡大と回転はまじで面白かった
自分何か新しい事を習うときに「こういうルールで解いていきます」に対してなんでなんで病になるのでとても助かります授業ではなぜこういうルールがあるのかの説明は無しで問題の解き方のみ教わるから、こうやって数学の生まれた地点(?)まで遡って教えてくれるのは非常に納得しやすいし、原理を知ってると公式など思い出しやすくて助かります。
楽しかったです!!授業お疲れ様でした
複素数平面は初めてだったけど、複素数平面上の回転と拡大で掛け算を視覚的に理解できるの面白い！
スゲー！！！自分、数学の図形分野グラフ分野以外が苦手で視覚化しない分野は軒並みギブアップの落ちこぼれだったんですが、実際に存在しない数の計算が図形で描けるなんてめっちゃ素敵です！数学って実は面白い…？
数学は面白いんだけど、数学は形式化して意味を剥ぎ取る志向（つまり抽象化への志向）が強い学問なので、数学科出身の先生より、物理学科や工学のようなモノ（宇宙も含む）を扱う学科や学部の出身の先生のほうが具体化志向で図形で考える習慣が強い
頭悪いタイプですね、抽象的な物事が苦手な人は基本的に数学向いてません人の趣向にどうこう言う気はないですが参考までに
誰でも思いつきそうな整数の数列を表現するのに、無理数やら複素数やらが必要だというのはとてもいい例ですね。
やっぱりプロだな。すごくわかりやすい。
来週から複素数平面習うのでちょうど見れて良かったです。今回もめちゃくちゃわかりやすかったです！！ありがとうございました！！
にゆす
大変分かりやすいです‼️お疲れ様でした‼️
いろんなことが矛盾なく詰め込まれてる複素数平面(ガウス平面)...ガウス天才すぎて草
とてもわかりやすいです！
2週連続劇場版！お疲れ様です！！とりあえず「こういうもの！」として覚えたままになってて実のところ複素数や虚数などの違いとかがよくわかってなかったので近々勉強しようと本を買ったところでした！話を聞いててめちゃくちゃ面白かったので勉強も楽しみになりました♪ありがとうございます！
将棋
複素平面で計算が視覚化されるの震えるほど感動しました。ありがとうございます。
タイムテーブル0:00 虚数とは8:17 数の拡張と複素数16:52 複素数の演算(24:24 具体例)26:14 二次方程式34:12 複素数が便利な例(数列)44:42 複素平面(ガウス平面)50:42 絶対値54:45 加法と減法の視覚的イメージ58:46 乗法と除法の視覚的イメージ1:07:21 ぜひ話したいおまけ1:14:54 円分方程式
余談セクションを省く...だと...？！
とてもわかり易く、興味深く拝見しました！灰原哀の由来は、初めて知りました！！ありがとうございます！
良い復習になりました。
「あいなし」が古典で「つまらない」って意味なのそういう意味だったのか
天才
古典の世界が数学発展しすぎで草
徒然草 七三「世に語り伝ふること、まことはあいなきにや、多くはみな虚言（そらごと）なり」
こういうコメントは、大体学校の先生の受け売りだったりするw
@@user-ut9cu4zm5v うるさい
直感に反してても、そういうものがあるとして一旦受け入れることの大切さがわかるな
今回も面白かったです！ありがとうございました♪
死ぬほど面白かったです。ありがとうございました！
この性質自力で解き明かしてから数学が大大大好きになった
複素平面上で複素数の加法を初めてした時に「これベクトルの合成だ」と思った時に世界が広がった気がしました。私は高専の電子工学科出身なのですが当時(２年生だったかな？)、電気回路の授業でRLC回路(R：抵抗、Ｌ：誘導(コイル)、C：容量(コンデンサ))の計算(インピーダンス)がわけわかんなくて辛かったのですが、複素平面上にベクトルとしてプロットすると視覚的に理解出来て「ワー！」ってなりました。力率もすんなり理解できました。※R：実軸、L：虚軸の正、C：虚軸の負、偏角は「位相」になります)ガウスさんありがとう。複素数と三角関数と微分・積分等は工学の分野では「道具」として超強力なツール(と言うかこれらが無いと無理)で、そのツールを使いこなせると一気に楽(便利)になりますね。数学家さんが学問として突き詰めて考えると哲学的になってより深淵の難しいところに向かうのでしょうが、工学屋としては道具として割り切った考え方で使うと良いかもですね。楽しい授業でした。もう、複素平面で単位円上の点が回転し始めるところで三角関数がコンニチハしている感じでわくわくしましたね。後は「π」が入って来ると電気・電子工学や無線工学が見えてきますね。
円分方程式は鈴木貫太郎さんが良く使われていますね。複素数とガウス平面は良く見かけますが、ここまで丁寧には説明されてはいないので、この動画は貴重です。
大学の授業はもっぱらサボってたが、こんな感じだったら、楽しくてきちんと通ってただろうな。学ぶ楽しさを見直すきっかけを作ってくれてありがとう！
高校の時は文系選択したので、複素平面習わなかったんですよね…。大人になってから教養本で複素平面上の乗法と除法の動きを見て、すごく驚いたというか、感動した覚えがあります。三角関数の合成であるsin(θ+α)とか、二倍角、三倍角の公式、あるいは行列式の回転行列とかを、xy平面を複素平面的に捉えて、複素数の動きとして見たりできてすごく楽しいですよね。
5:02 ずっと悩んでたけどようやく分かりました！ありがとうございました
最初から最後までとても分かりやすくエキサイティングでした。フィボナッチ数列の一般項は度肝を抜かれました。
量子・物性民「虚数単位は i (アイ)」電気・制御民「虚数単位は j (ジェイ)」
iは交流電流なので
リアクタンス...うっ頭が
フーリエ解析のときにeの肩をj2πνt（iωtではなくて）にすると係数の1/(2π)や1/√(2π)を考えなくて良いのは便利と思いました。物理民だけど実験で通信系に触れた人間の若いときの感想。
@@ABS_keireiguma そうだったのか。級数の和を取るときにiを引数にするからと思っていました
@@vladimirgeorge そこまで進む前から虚数単位がiじゃない理由は交流電流と混ざって混乱しないためって説明受けてた電気科の学生ですちなみにフーリエ級数とかは最近数学の方で習い始めたので概要しか知りません
｢矢印｣とかいう辺り優しいし、｢90℃で火傷する｣とかいう辺り事実を述べるから、好き。
面白かった！次は対数の不思議なところを講義してください！
実は、何かの数学を始める時、簡単なことでうーんってなったり、すげーってなったりしてるときが一番面白かったりする新しい物に触れる瞬間をもっと味わいたいなってなった
知ることってすごく面白いことですよね。全く興味なかったことも少し違う観点や方向からよく見てみるととんでもなく面白いものだったりして沼にハマったり…
なんかカッコいいなぁ。 社会人になって実務中心になると、中々新しい物事への発見や喜びってあんまりないんだよな…学ぶことのモチベーションってこういう事なんだよね。
複素数が大好き💓♥️❤️になりました💖ガウス平面や複素数同士のかけ算、割り算の結果が図形で表現出来る所が面白かったです👍世界が広がった感じがします。ありがとうございます💖もしかしたら複素数を使って素数の一般式が見つかるかもしれませんね👍
最後のXn乗＝１がきれいな図形になるところでなぜか涙が出そうなくらい感動しました。もともと数学含め理系大好きだったんですが、大学もその後の仕事もまったく理系と縁のない方向へ進み数学も物理も遠い過去のものになっていました。最近、量子力学にすっかりハマってしまい、いろんな動画を見ているうちに、ヨビノリさんの動画までたどり着き、三角関数、微分積分、虚数と一気見しました。そして思い出しました。中高生のころのワクワクを。数学というツールを使って既にこの宇宙と世界に隠されているものを、宝探しのように探しているようなワクワク感が大好きだったことを。たくみ先生ご自身が数学(物理も)を愛しておられるからこそ、そのワクワクとトキメキが伝わるんだと思います。すてきな授業をありがとう。頑張って全部の動画を見ようと思います。
いつも寝てる時に拝見しています。エンディングテーマは聴いたことがないのに聴いたことがあるような感覚がしました！
睡眠学習と言うやつですね😄
いつも見させていただいてます!!わかりやすいです
面白かった！
数学が好きな人の数学の美しさを語る話は聞いててすごく好印象をうける。
ヨビノリ氏は、数学の周辺分野（とくに物理）にも興味と関心が広いのが、数学をわかりやすく理解し説明できる力の源泉になっていると思います
これまで見た一番良い複素数の講義ですね.
物理だと量子力学までいかなくても交流の問題を考える時も複素数つかいますね
初めてちゃんと負の数×負の数が正の数になることが分かりました！数学楽しくなってきた！！
う～ん、素晴らしい授業だ！
ありがとうございます！
授業うますぎー
「数学」なんてものはもう忘れてるというのが本音だけど、あらためてわかりやすい講義を聞くと、面白いものだなあと思いました。
「本日の余談」が面白かった。その直ぐ後の切り替えのYobinoriのロゴ画面もカッコ良くてよかった。
よびのりさん 絶対に人の人生を変えていると思います！！日本のために頑張ってください！
iをかけると90°回転するんですね。私も長年、愛に振り回されてきましたが、やっと解が出た気がします。よびのりさん、ありがとうございました。
愛は、1でも-1でもなく、90度位がちょうど良いのね❢流石だわ！
中学数学からはじめるに書く内容としてはふさわしくないかもしれませんが。実数の２つ組に適当な演算を入れたものを複素数と考えることができます。これの良いところは、「2乗して-1になる数」が本当にあるかどうかについて哲学的に悩まなくても良いところです（実数の２つ組でしかないので、実数があることを認めれば複素数はあることになる）実数の２つ組に対して、次のように和と積を定義します（ベクトルの和と同じですが、積は内積とは異なります）。(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) ※（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)iに対応(a,b) × (c,d) =(ac-bd,ad+bc) ※(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)iに対応こう定義しておくと、ちょうど複素数の和と積に対応していることがわかります。そこで、(a,b)のことをa+biと書きます。ここで、iは第２座標の元であることを表す識別記号のようなものです。すると、積の定義から、(0,1) × (0,1) = (-1,0)a+biの表記法で書けば、i^2=-1
高校受験で数学わかんねぇー！と悩んでいたのも、全て実軸1本上での話に過ぎなかったんだなぁ……
ちょうど複素数を習ってるので理解が深まりました！
面白い...!!!
毎回ヨビノリの授業は感動する。学生時代こんな先生がいれば…
何事も、その本質を解説してくれるとことが気に入っています。
ということはないことがわかりました。すごいです。
感動した！
先生！！！これからも宜しくお願いいたします。日本の宝です。
感動しました…
面白い。。ワクワクする
フィボナッチ数列に数式があるなんて知りませんでした。熱力学のために数学は勉強していたんですが、複素数はiの二乗がマイナス１になること以外は全く知らなかったので面白かったです。複素数の積の偏角と絶対値の話は性質がわかりやすくていいですがなんでそうなるのかを他の動画で見てみたいとおもいます。偏角は数字を掛けたら足すのは指数関数みたいな計算方法ですね。今後もヨビノリさんの動画をみたいと思います。
虚数の雰囲気は何となく分かっていたつもりですが平面で見ることで一気に理解が進みました。今度はエレミア数と虚数の関係が知りたいです。
四元数を解説してから複素数を解説する男
楽しく拝見致しました。虚数は実軸と虚軸2本でのガウス平面で表す事が出来るならば、更に数の拡張を考える場合、軸を1本増やして3次元的に表せる数もあると言う事なのでしょうか。また、更に軸を1本…という風に幾らでも拡張出来るのかとても不思議にかつ興味深く感じました。そうなると、拡張していけば数って何でもありなのではと思ってしまいました(笑)
@@user-wb7ee5kj3x 多元数といって、すでに議論されている分野です。結論だけ申しますと、軸を1つ増やしたもの、三元数は、代数的に上手いこと計算し辛い(掛け算、割り算の上手い定義ができない)ことがわかっており、さらに軸を1つ増やした四元数は代数的に良い構造で、様々な分野に応用されています。例えば、、2次元の回転、3次元の回転に強いので、3Dグラフィクスの世界で使われています。
@@nysnysnysnys さん、貴重なお返事ありがとうございます。実数、虚数、四元数etc…数ってほんと不思議ですね。虚数のみならず四元数みたいな別世界に感じるような数が私達の住む実世界で応用されてるなんてほんと凄いです!!そして、数を考え出した人間の英智にもびっくりです。ありがとうございました。
三元数では回転をうまく表せないんですよね。xy平面に垂直をz軸として、単位jとするとかけるiは、z軸回転ですけど、かけるjをx軸回転にするか、y軸回転とするか？しかしまあ、かける、という意味を、回転というオペレータにしたところが、ガウスの神技というか、、、
この歳になって、「気付き」を先生に頂きました、大変ありがたい講義でした。ありがとう！先生！複素数はゼウスの様な気がしてる。
すごい面白い動画だったキョスウ！文系の友達にも紹介するキョスウ！
口癖で草
私の最終学歴が工業高校の電子科ですが、電気理論を理解する上で複素数を理解する（最低、解法を暗記する）でした、それで理解したのが回転ベクトル【電気理論はサインカーブの足し算、引き算、掛け算、割り算（ベクトル演算（回転ベクトル））】、これで数学の入り口に立ったのですが・・・ 長年勉強している内に、複素数が【実学（科学、物理、素粒子、宇宙論、経済学）】を理解する必須条件だと言うことが解りましたが、この身は老人となってしまいました。 若い人、素晴らしい世界の入り口が数学なので美しい世界（マンデンブロ集合、ジュリア集合、（エッシャーの絵画）、等、芸術的な美しさを堪能しながら）数学の狭き門をくぐって下さい（驢馬の橋を渡る）、きっと人生が輝くでしょう。
量子力学回で複素数かわいいよって聞いてきました(計算抜きだったあっちに帰りたい)私用メモi アイ =√-1 虚数単位 (i2=-1)8:18 広がる数の概念 自然数,整数,実数(有理数無理数),複素数10:09 "複"数の要"素"からなる"数"実部+虚部 i }複素数α + b i (α. b=実数)11:39 実数より広いか確認b=0 実数12:17 b≠0 虚数 ~今日は虚数を含む広い複素数がテーマ~13:20 b≠0で(特にa=0の時、純虚数という) 2iとか4iとか√3iとか… ※b=0もありにする人も14:44 純虚数の特徴 二乗するとマイナスになる(2i)*=-415:19 小まとめ便利だから16:13 確認例計算方法 17:0222:59 補足24:25 計算具体例加法 (2+3i)+(4+5i)=6+8i乗法 (2+3i)(4-i)26:14 例x2=-3x=±√-3 =±√3i2次方程式 28:02
回転すごいっすわ！👍
虚数最大の問題は i または j というおいしい文字が取られること
3iか3jかj3か統一を！
電気分野か数学かで使い分けられてるから合わせるのがムズィィィィ
友人の結婚式にて上司「i が大切です（愛と虚数単位をかけて）」友人たち「 i じゃなくて j 派だよな」
「１みたいな数だけど、不気味な１」ということで、１の上に点が打たれて、iになったような気がします（冗句）
@@itiziku 「１みたいな数だけど…」少々異端ですけど、私は単位ベクトルに「1の上に矢印」とか「1の太字」とかを使いますねw eだとネイピア数とか離心率とか電荷素量とかいろんなものと被るので。
量子力学が知りたくて動画を見ていると虚数や複素数が出てきますが、学生のとき数学サボっていたので理解に苦しんでいました。まだ全然わかってないんだけど、ガウス平面の美しさに感動しました。数学って、すごい美的ですね。ありがとうございました。
マンデルブロ集合の勉強したときに役に立ちました！
なかなかに力作でしたね。将棋や物理の話もしたくなるのは分からないでもないですが、やはり本業（数学）の話が一番面白いです。
単純に数Ⅱの複素数の範囲を優しく教えるだけだと思っていたら…多彩な話題で、講義の構成力の高さを再認識させられました。（それと、最近いくつかの動画で「大富豪はだれでも知ってるゲーム」扱いされていたので、ルールを知らない自分は友達が少なかったんだなということも再認識できました）
どんまい！
大貧民と呼ばれている場合もありますよ
自分は工業高校の電気電子科にいました。複素数なんて当たり前に出てたんだけどいまたくみさんの授業を聞いてこういうことだったのかってめっちゃ納得してますありがとう。
電気工学では i は電流なので j を使いますよね。
勉強になりましたありがとうございましたまたよろしくお願いします
頭わいてんか
いやーおもしろかったです 教え方次第でこんなにわかりやすいのか・・！ ありがとう
素晴らしい授業をありがとうございます。寝る前に見始めたら最後まで止まりませんでした(笑)僕は高校生の時に数学から逃げた私文卒の43歳のおっさんですが、こんなに面白い世界があったんですね！今からでも数学勉強してみたくなりました😅
本日の余談飛ばしたい人にとってはありがたいだろうなぁ面白いので僕は聞いてます
なるほど！ℹ︎と勇気だけが友達ってことですね！！
オセロの話、役に立ちました。
分かりやすさが半端じゃない！
四年生の息子と最後まで見ました。最後の正三角形、正方形、正n角形の所で息子が一言、マジか、すげえ、って感動してました。四年生にして複素数の虜になった様です。本当にありがとうございます。
大学四年生だったらクソおもろい
還暦前のおじじです。今から40年前の数学IIの授業、欠点ばかりで大嫌いでした虚数、意味不明でしたでも、このYou Tubeを見て、その美しさに感動しています数学って、美しいって初めて知ることができましたこれからの人生が豊かになる確信を持てました！ありがとうございました。
高校生のときのリプトンは紙パックにストローですね。たくみさんやすさん長い動画お疲れさまでした！新しいものを得た時の感動を少し思い出せた気がします。
さすが同世代
ところで複素数に限らず、別の動画で四元数や行列指数関数に触れているヨビノリ先生には、機会があれば分解型複素数や二重数などの二元数や一般の超複素数とかにも是非触れてもらえたら嬉しいところです。
勉強の全く必要ない社会人だけど、数学が好きで気になったので見てみたら、目から鱗だった。学生のときにピンと来なかった複素数もこういう説明ならクリアになって面白く感じたんだな、ありがとうございます。
ありがたい、お礼をしたいから、たくみさんの本でも買おうかと思ったら、Thanksという機能をみつけました。こんなの知らなかったです。早速、寄付させていただきました。64歳で、たくみさんのおかげで、楽しく数学学べています。すごいことです！
虚数が可愛くてiが芽生えました
ハムスターのくだりめっちゃ笑いました！！
長年ちゃんと理解できないままだったので、感動しました！
めちゃめちゃワクワクした動画だった
愛の愛情は実数になったり、愛の平方根は虚数だったり、深いんですなぁ、、
ローラン展開とか留数定理とか複素関数についての授業をお願いします
これDimensionsで見た内容だRUclipsのおかげで複素平面をおさらいできたのありがたいです
Dimensions名作ですよね
最高だな
![Kyoto University's famous integer problem [Instant kill with technique].](/img/1.gif)
なるほど！愛に振り回されるっていうのがわかったような気がします！とてもわかりやすくて楽しい講義をありがとうございます！
今回の授業は余談にとても価値があると思います。子供にも見せたいと思います。
このレベルの講義をタダで受けられることが嬉しい。
ありがとうございます！
いつも素晴らしい講義ありがとうございます。定年後また数学の勉強を始めましたが、今回複素平面の回転で乗除をイメージするところが目から鱗でした。数3までやっていたのに複素数に対する視野の狭い勉強をしていたみたいです。面白い。
急ですが、ヨビノリの動画は高専生にもめちゃくちゃ需要あります。
大学数学も扱う高専の授業で、高校の内容の延長のような気分で授業を受けてると、心構えがしっかりできてなくてしんどくなることが結構あります。ヨビノリはそこを補って余りある濃密な授業内容を提供してくれてるのでたいへんありがたいです。
うちの高専でもヨビノリの人気高いです！頑張ってください！
いつも拝見させていただいております。わかりやすい授業ありがとうございます。複素平面のおかげで、三角関数の加法定理を覚えなくても良くなり数学は覚えるものでなく楽しむものだと感じていました。オイラーの定理も美しいですよね。
ただでさえ取っつきにくいのに分かりやすい解説ですね。大学生時代にも、こんな分かりやすい授業だったら嬉しかった。今は67歳で年金生活者ですが興味深くユーチュウブ拝見しています。勉強になりました。有り難うございました。。
三角関数といいこの複素数といいすごくいい！意外と知らず知らずのうちにやらされてなんとなく解法だけを覚えさせられてきたので[その意味]を教えてもらえるのは本当に嬉しい 尊敬する 拡大と回転はまじで面白かった
自分何か新しい事を習うときに「こういうルールで解いていきます」に対してなんでなんで病になるのでとても助かります
授業ではなぜこういうルールがあるのかの説明は無しで問題の解き方のみ教わるから、こうやって数学の生まれた地点(?)まで遡って教えてくれるのは非常に納得しやすいし、原理を知ってると公式など思い出しやすくて助かります。
楽しかったです!!
授業お疲れ様でした
複素数平面は初めてだったけど、複素数平面上の回転と拡大で掛け算を視覚的に理解できるの面白い！
スゲー！！！自分、数学の図形分野グラフ分野以外が苦手で視覚化しない分野は軒並みギブアップの落ちこぼれだったんですが、実際に存在しない数の計算が図形で描けるなんてめっちゃ素敵です！数学って実は面白い…？
数学は面白いんだけど、数学は形式化して意味を剥ぎ取る志向（つまり抽象化への志向）が強い学問なので、数学科出身の先生より、物理学科や工学のようなモノ（宇宙も含む）を扱う学科や学部の出身の先生のほうが具体化志向で図形で考える習慣が強い
頭悪いタイプですね、抽象的な物事が苦手な人は基本的に数学向いてません
人の趣向にどうこう言う気はないですが参考までに
誰でも思いつきそうな整数の数列を表現するのに、無理数やら複素数やらが必要だというのはとてもいい例ですね。
やっぱりプロだな。すごくわかりやすい。
来週から複素数平面習うのでちょうど見れて良かったです。今回もめちゃくちゃわかりやすかったです！！ありがとうございました！！
にゆす
大変分かりやすいです‼️お疲れ様でした‼️
いろんなことが矛盾なく詰め込まれてる複素数平面(ガウス平面)...
ガウス天才すぎて草
とてもわかりやすいです！
2週連続劇場版！お疲れ様です！！
とりあえず「こういうもの！」として覚えたままになってて実のところ複素数や虚数などの違いとかがよくわかってなかったので近々勉強しようと本を買ったところでした！
話を聞いててめちゃくちゃ面白かったので勉強も楽しみになりました♪
ありがとうございます！
将棋
複素平面で計算が視覚化されるの震えるほど感動しました。ありがとうございます。
タイムテーブル
0:00 虚数とは
8:17 数の拡張と複素数
16:52 複素数の演算(24:24 具体例)
26:14 二次方程式
34:12 複素数が便利な例(数列)
44:42 複素平面(ガウス平面)
50:42 絶対値
54:45 加法と減法の視覚的イメージ
58:46 乗法と除法の視覚的イメージ
1:07:21 ぜひ話したいおまけ
1:14:54 円分方程式
余談セクションを省く...だと...？！
とてもわかり易く、興味深く拝見しました！
灰原哀の由来は、初めて知りました！！
ありがとうございます！
良い復習になりました。
「あいなし」が古典で「つまらない」って意味なのそういう意味だったのか
天才
古典の世界が数学発展しすぎで草
徒然草 七三
「世に語り伝ふること、まことはあいなきにや、多くはみな虚言（そらごと）なり」
こういうコメントは、大体学校の先生の受け売りだったりするw
@@user-ut9cu4zm5v うるさい
直感に反してても、そういうものがあるとして一旦受け入れることの大切さがわかるな
今回も面白かったです！ありがとうございました♪
死ぬほど面白かったです。
ありがとうございました！
この性質自力で解き明かしてから数学が大大大好きになった
複素平面上で複素数の加法を初めてした時に「これベクトルの合成だ」と思った時に世界が広がった気がしました。
私は高専の電子工学科出身なのですが当時(２年生だったかな？)、電気回路の授業でRLC回路(R：抵抗、Ｌ：誘導(コイル)、C：容量(コンデンサ))の計算(インピーダンス)がわけわかんなくて辛かったのですが、複素平面上にベクトルとしてプロットすると視覚的に理解出来て「ワー！」ってなりました。力率もすんなり理解できました。
※R：実軸、L：虚軸の正、C：虚軸の負、偏角は「位相」になります)
ガウスさんありがとう。
複素数と三角関数と微分・積分等は工学の分野では「道具」として超強力なツール(と言うかこれらが無いと無理)で、そのツールを使いこなせると一気に楽(便利)になりますね。
数学家さんが学問として突き詰めて考えると哲学的になってより深淵の難しいところに向かうのでしょうが、工学屋としては道具として割り切った考え方で使うと良いかもですね。
楽しい授業でした。
もう、複素平面で単位円上の点が回転し始めるところで三角関数がコンニチハしている感じでわくわくしましたね。
後は「π」が入って来ると電気・電子工学や無線工学が見えてきますね。
円分方程式は鈴木貫太郎さんが良く使われていますね。複素数とガウス平面は良く見かけますが、ここまで丁寧には説明されてはいないので、この動画は貴重です。
大学の授業はもっぱらサボってたが、こんな感じだったら、楽しくてきちんと通ってただろうな。学ぶ楽しさを見直すきっかけを作ってくれてありがとう！
高校の時は文系選択したので、複素平面習わなかったんですよね…。
大人になってから教養本で複素平面上の乗法と除法の動きを見て、すごく驚いたというか、感動した覚えがあります。
三角関数の合成であるsin(θ+α)とか、二倍角、三倍角の公式、あるいは行列式の回転行列とかを、xy平面を複素平面的に捉えて、複素数の動きとして見たりできてすごく楽しいですよね。
5:02 ずっと悩んでたけどようやく分かりました！ありがとうございました
最初から最後までとても分かりやすくエキサイティングでした。
フィボナッチ数列の一般項は度肝を抜かれました。
量子・物性民「虚数単位は i (アイ)」
電気・制御民「虚数単位は j (ジェイ)」
iは交流電流なので
リアクタンス...うっ頭が
フーリエ解析のときにeの肩をj2πνt（iωtではなくて）にすると係数の1/(2π)や1/√(2π)を考えなくて良いのは便利と思いました。物理民だけど実験で通信系に触れた人間の若いときの感想。
@@ABS_keireiguma そうだったのか。級数の和を取るときにiを引数にするからと思っていました
@@vladimirgeorge そこまで進む前から虚数単位がiじゃない理由は
交流電流と混ざって混乱しないため
って説明受けてた電気科の学生です
ちなみにフーリエ級数とかは最近数学の方で習い始めたので概要しか知りません
｢矢印｣とかいう辺り優しいし、｢90℃で火傷する｣とかいう辺り事実を述べるから、好き。
面白かった！次は対数の不思議なところを講義してください！
実は、何かの数学を始める時、簡単なことでうーんってなったり、すげーってなったりしてるときが一番面白かったりする
新しい物に触れる瞬間をもっと味わいたいなってなった
知ることってすごく面白いことですよね。
全く興味なかったことも少し違う観点や方向からよく見てみるととんでもなく面白いものだったりして沼にハマったり…
なんかカッコいいなぁ。 社会人になって実務中心になると、中々新しい物事への発見や喜びってあんまりないんだよな…
学ぶことのモチベーションってこういう事なんだよね。
複素数が大好き💓♥️❤️になりました💖ガウス平面や複素数同士のかけ算、割り算の結果が図形で表現出来る所が面白かったです👍世界が広がった感じがします。ありがとうございます💖
もしかしたら複素数を使って素数の一般式が見つかるかもしれませんね👍
最後のXn乗＝１がきれいな図形になるところでなぜか涙が出そうなくらい感動しました。
もともと数学含め理系大好きだったんですが、大学もその後の仕事もまったく理系と縁のない方向へ進み
数学も物理も遠い過去のものになっていました。最近、量子力学にすっかりハマってしまい、いろんな
動画を見ているうちに、ヨビノリさんの動画までたどり着き、三角関数、微分積分、虚数と一気見しました。
そして思い出しました。中高生のころのワクワクを。数学というツールを使って既にこの宇宙と
世界に隠されているものを、宝探しのように探しているようなワクワク感が大好きだったことを。
たくみ先生ご自身が数学(物理も)を愛しておられるからこそ、そのワクワクとトキメキが伝わるんだと思います。
すてきな授業をありがとう。頑張って全部の動画を見ようと思います。
いつも寝てる時に拝見しています。エンディングテーマは聴いたことがないのに聴いたことがあるような感覚がしました！
睡眠学習と言うやつですね😄
いつも見させていただいてます!!
わかりやすいです
面白かった！
数学が好きな人の数学の美しさを語る話は聞いててすごく好印象をうける。
ヨビノリ氏は、数学の周辺分野（とくに物理）にも興味と関心が広いのが、数学をわかりやすく理解し説明できる力の源泉になっていると思います
これまで見た一番良い複素数の講義ですね.
物理だと量子力学までいかなくても
交流の問題を考える時も複素数つかいますね
初めてちゃんと負の数×負の数が正の数になることが分かりました！数学楽しくなってきた！！
う～ん、素晴らしい授業だ！
ありがとうございます！
授業うますぎー
「数学」なんてものはもう忘れてるというのが本音だけど、あらためてわかりやすい講義を聞くと、面白いものだなあと思いました。
「本日の余談」が面白かった。
その直ぐ後の切り替えのYobinoriのロゴ画面もカッコ良くてよかった。
よびのりさん 絶対に人の人生を変えていると思います！！日本のために頑張ってください！
iをかけると90°回転するんですね。
私も長年、愛に振り回されてきましたが、やっと解が出た気がします。
よびのりさん、ありがとうございました。
愛は、1でも-1でもなく、90度位がちょうど良いのね❢流石だわ！
中学数学からはじめるに書く内容としてはふさわしくないかもしれませんが。
実数の２つ組に適当な演算を入れたものを複素数と考えることができます。
これの良いところは、「2乗して-1になる数」が本当にあるかどうかについて哲学的に悩まなくても良いところです（実数の２つ組でしかないので、実数があることを認めれば複素数はあることになる）
実数の２つ組に対して、次のように和と積を定義します（ベクトルの和と同じですが、積は内積とは異なります）。
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) ※（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)iに対応
(a,b) × (c,d) =(ac-bd,ad+bc) ※(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)iに対応
こう定義しておくと、ちょうど複素数の和と積に対応していることがわかります。そこで、(a,b)のことをa+biと書きます。ここで、iは第２座標の元であることを表す識別記号のようなものです。
すると、積の定義から、
(0,1) × (0,1) = (-1,0)
a+biの表記法で書けば、
i^2=-1
高校受験で数学わかんねぇー！と悩んでいたのも、全て実軸1本上での話に過ぎなかったんだなぁ……
ちょうど複素数を習ってるので理解が深まりました！
面白い...!!!
毎回ヨビノリの授業は感動する。学生時代こんな先生がいれば…
何事も、その本質を解説してくれるとことが気に入っています。
ということはないことがわかりました。すごいです。
感動した！
先生！！！
これからも宜しくお願いいたします。
日本の宝です。
感動しました…
面白い。。ワクワクする
フィボナッチ数列に数式があるなんて知りませんでした。
熱力学のために数学は勉強していたんですが、複素数はiの二乗がマイナス１になること以外は全く知らなかったので面白かったです。
複素数の積の偏角と絶対値の話は性質がわかりやすくていいですがなんでそうなるのかを他の動画で見てみたいとおもいます。偏角は数字を掛けたら足すのは指数関数みたいな計算方法ですね。
今後もヨビノリさんの動画をみたいと思います。
虚数の雰囲気は何となく分かっていたつもりですが平面で見ることで一気に理解が進みました。今度はエレミア数と虚数の関係が知りたいです。
四元数を解説してから複素数を解説する男
楽しく拝見致しました。虚数は実軸と虚軸2本でのガウス平面で表す事が出来るならば、更に数の拡張を考える場合、軸を1本増やして3次元的に表せる数もあると言う事なのでしょうか。また、更に軸を1本…という風に幾らでも拡張出来るのかとても不思議にかつ興味深く感じました。そうなると、拡張していけば数って何でもありなのではと思ってしまいました(笑)
@@user-wb7ee5kj3x
多元数といって、すでに議論されている分野です。
結論だけ申しますと、
軸を1つ増やしたもの、三元数は、代数的に上手いこと計算し辛い(掛け算、割り算の上手い定義ができない)ことがわかっており、
さらに軸を1つ増やした四元数は代数的に良い構造で、様々な分野に応用されています。
例えば、、2次元の回転、3次元の回転に強いので、3Dグラフィクスの世界で使われています。
@@nysnysnysnys さん、貴重なお返事ありがとうございます。実数、虚数、四元数etc…数ってほんと不思議ですね。虚数のみならず四元数みたいな別世界に感じるような数が私達の住む実世界で応用されてるなんてほんと凄いです!!そして、数を考え出した人間の英智にもびっくりです。
ありがとうございました。
三元数では回転をうまく表せないんですよね。
xy平面に垂直をz軸として、単位jとすると
かけるiは、z軸回転ですけど、
かけるjをx軸回転にするか、y軸回転とするか？
しかしまあ、かける、という意味を、
回転というオペレータにしたところが、
ガウスの神技というか、、、
三元数では回転をうまく表せないんですよね。
xy平面に垂直をz軸として、単位jとすると
かけるiは、z軸回転ですけど、
かけるjをx軸回転にするか、y軸回転とするか？
しかしまあ、かける、という意味を、
回転というオペレータにしたところが、
ガウスの神技というか、、、
この歳になって、「気付き」を先生に頂きました、大変ありがたい講義でした。ありがとう！先生！
複素数はゼウスの様な気がしてる。
すごい面白い動画だったキョスウ！
文系の友達にも紹介するキョスウ！
口癖で草
私の最終学歴が工業高校の電子科ですが、電気理論を理解する上で複素数を理解する（最低、解法を暗記する）でした、それで理解したのが回転ベクトル【電気理論はサインカーブの足し算、引き算、掛け算、割り算（ベクトル演算（回転ベクトル））】、これで数学の入り口に立ったのですが・・・
長年勉強している内に、複素数が【実学（科学、物理、素粒子、宇宙論、経済学）】を理解する必須条件だと言うことが解りましたが、この身は老人となってしまいました。
若い人、素晴らしい世界の入り口が数学なので美しい世界（マンデンブロ集合、ジュリア集合、（エッシャーの絵画）、等、芸術的な美しさを堪能しながら）数学の狭き門をくぐって下さい（驢馬の橋を渡る）、きっと人生が輝くでしょう。
量子力学回で複素数かわいいよって聞いてきました
(計算抜きだったあっちに帰りたい)
私用メモ
i アイ =√-1 虚数単位 (i2=-1)
8:18 広がる数の概念 自然数,整数,実数(有理数無理数),複素数
10:09 "複"数の要"素"からなる"数"
実部+虚部 i }複素数
α + b i (α. b=実数)
11:39 実数より広いか確認
b=0 実数
12:17 b≠0 虚数
~今日は虚数を含む広い複素数がテーマ~
13:20 b≠0で(特にa=0の時、純虚数という)
2iとか4iとか√3iとか… ※b=0もありにする人も
14:44 純虚数の特徴 二乗するとマイナスになる
(2i)*=-4
15:19 小まとめ
便利だから
16:13 確認例
計算方法 17:02
22:59 補足
24:25 計算具体例
加法 (2+3i)+(4+5i)=6+8i
乗法 (2+3i)(4-i)
26:14 例
x2=-3
x=±√-3
=±√3i
2次方程式 28:02
回転すごいっすわ！👍
虚数最大の問題は i または j というおいしい文字が取られること
3iか3jかj3か統一を！
電気分野か数学かで使い分けられてるから合わせるのがムズィィィィ
友人の結婚式にて
上司「i が大切です（愛と虚数単位をかけて）」
友人たち「 i じゃなくて j 派だよな」
「１みたいな数だけど、不気味な１」ということで、１の上に点が打たれて、iになったような気がします（冗句）
@@itiziku 「１みたいな数だけど…」少々異端ですけど、私は単位ベクトルに「1の上に矢印」とか「1の太字」とかを使いますねw eだとネイピア数とか離心率とか電荷素量とかいろんなものと被るので。
量子力学が知りたくて動画を見ていると虚数や複素数が出てきますが、学生のとき数学サボっていたので理解に苦しんでいました。まだ全然わかってないんだけど、ガウス平面の美しさに感動しました。数学って、すごい美的ですね。ありがとうございました。
マンデルブロ集合の勉強したときに役に立ちました！
なかなかに力作でしたね。将棋や物理の話もしたくなるのは分からないでもないですが、やはり本業（数学）の話が一番面白いです。
単純に数Ⅱの複素数の範囲を優しく教えるだけだと思っていたら…多彩な話題で、講義の構成力の高さを再認識させられました。
（それと、最近いくつかの動画で「大富豪はだれでも知ってるゲーム」扱いされていたので、ルールを知らない自分は友達が少なかったんだなということも再認識できました）
どんまい！
大貧民と呼ばれている場合もありますよ
自分は工業高校の電気電子科にいました。複素数なんて当たり前に出てたんだけどいまたくみさんの授業を聞いてこういうことだったのかってめっちゃ納得してますありがとう。
電気工学では i は電流なので j を使いますよね。
勉強になりましたありがとうございましたまたよろしくお願いします
頭わいてんか
いやーおもしろかったです 教え方次第でこんなにわかりやすいのか・・！ ありがとう
素晴らしい授業をありがとうございます。
寝る前に見始めたら最後まで止まりませんでした(笑)
僕は高校生の時に数学から逃げた私文卒の43歳のおっさんですが、こんなに面白い世界があったんですね！
今からでも数学勉強してみたくなりました😅
本日の余談飛ばしたい人にとってはありがたいだろうなぁ
面白いので僕は聞いてます
なるほど！ℹ︎と勇気だけが友達ってことですね！！
オセロの話、役に立ちました。
分かりやすさが半端じゃない！
四年生の息子と最後まで見ました。最後の正三角形、正方形、正n角形の所で息子が一言、マジか、すげえ、って感動してました。
四年生にして複素数の虜になった様です。本当にありがとうございます。
大学四年生だったらクソおもろい
還暦前のおじじです。今から40年前の数学IIの授業、欠点ばかりで大嫌いでした
虚数、意味不明でした
でも、このYou Tubeを見て、その美しさに感動しています
数学って、美しいって初めて知ることができました
これからの人生が豊かになる確信を持てました！
ありがとうございました。
高校生のときのリプトンは紙パックにストローですね。
たくみさんやすさん長い動画お疲れさまでした！新しいものを得た時の感動を少し思い出せた気がします。
さすが同世代
ところで複素数に限らず、別の動画で四元数や行列指数関数に触れているヨビノリ先生には、機会があれば分解型複素数や二重数などの二元数や一般の超複素数とかにも是非触れてもらえたら嬉しいところです。
勉強の全く必要ない社会人だけど、数学が好きで気になったので見てみたら、目から鱗だった。学生のときにピンと来なかった複素数もこういう説明ならクリアになって面白く感じたんだな、ありがとうございます。
ありがたい、お礼をしたいから、たくみさんの本でも買おうかと思ったら、Thanksという機能をみつけました。こんなの知らなかったです。
早速、寄付させていただきました。64歳で、たくみさんのおかげで、楽しく数学学べています。すごいことです！
虚数が可愛くてiが芽生えました
ハムスターのくだりめっちゃ笑いました！！
長年ちゃんと理解できないままだったので、感動しました！
めちゃめちゃワクワクした動画だった
愛の愛情は実数になったり、
愛の平方根は虚数だったり、
深いんですなぁ、、
ローラン展開とか留数定理とか複素関数についての授業をお願いします
これDimensionsで見た内容だ
RUclipsのおかげで複素平面をおさらいできたのありがたいです
Dimensions名作ですよね
最高だな