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この問題は☆問題としては難しいです。分数を払って全部足すとx+y+z=3/2025が導けます。相加相乗平均より3/2025≧3(xyx)^1/3→(xyz)^1/3≦1/2025(①)、 また与式をそのまま足すと1/x+1/y+1/z=3x2025、同様に相加相乗平均より3x2025≧3(1/xyz)^1/3→(xyx)^1/3≧1/2025(②) ①、②が成り立つためにはx=y=z=1/2025となる。
x=y=zではない解が存在する可能性を排除するためにこのようなアプローチになっていると理解しました
「はは~ん、辺々足し合わせて 1/x + 1/y + 1/z = 3 * 2025 を作ってから解くんだろうな~」って思ったらアプローチが全然違ってビックリ
ぬじんさんと同じ式変形をした後、x、y、zはどのふたつも入れ換え可能だから等しいと考えて答えに至ってみましたが、思考経路にいい加減なところがあるなぁと思っています。
Thank you very much
解と係数の関係と、グラフで何とか…。要は1/2025以外に解がないことを示せば良いので😊a=2025とする。x-y+(1/z)=a ..(1)y-z+(1/x)=a ..(2)z-x+(1/y)=a ..(3)(1)×z,(2)×x,(3)×yを加えて整理するとx+y+z=3/a ..(4)(1)(2)(3)そのまま加えて整理するとxy+yz+zx=3axyz ..(5)xyz=k (k>0)としてxy+yz+zx=3ak ..(6)(4)と(6)からx,y,zはtについての3次方程式t³-(3/a)t²+3akt-k=0 ..(7)の3つの正の実数解。(7)の定数kを分離してy={t³-(3/a)t²}/(1-3at)=k ..(8)と、分数関数と直線y=kの共有点のt座標を解x,y,zと見る。ところが(8)の分数関数は、漸近線t=1/(3a)を境に次のような挙動を示す。t1/(3a)では+∞から単調減少、t=3/aでt軸と交わり-∞へ。つまりkが正の場合に共有点を3個取ることはない。このことから(7)の3次方程式が3実数解をもつのは3重解の場合に限るので、x=y=z=(1/a).逆にこのとき(4)(5)(6)の条件を満たす。
この問題は☆問題としては難しいです。分数を払って全部足すとx+y+z=3/2025が導けます。
相加相乗平均より3/2025≧3(xyx)^1/3→(xyz)^1/3≦1/2025(①)、 また与式をそのまま足すと1/x+1/y+1/z=3x2025、同様に相加相乗平均より3x2025≧3(1/xyz)^1/3→(xyx)^1/3≧1/2025(②) ①、②が成り立つためにはx=y=z=1/2025となる。
x=y=zではない解が存在する可能性を排除するためにこのようなアプローチになっていると理解しました
「はは~ん、辺々足し合わせて 1/x + 1/y + 1/z = 3 * 2025 を作ってから解くんだろうな~」って思ったらアプローチが全然違ってビックリ
ぬじんさんと同じ式変形をした後、x、y、zはどのふたつも入れ換え可能だから等しいと考えて答えに至ってみましたが、思考経路にいい加減なところがあるなぁと思っています。
Thank you very much
解と係数の関係と、グラフで何とか…。要は1/2025以外に解がないことを示せば良いので😊
a=2025とする。
x-y+(1/z)=a ..(1)
y-z+(1/x)=a ..(2)
z-x+(1/y)=a ..(3)
(1)×z,(2)×x,(3)×yを加えて整理すると
x+y+z=3/a ..(4)
(1)(2)(3)そのまま加えて整理すると
xy+yz+zx=3axyz ..(5)
xyz=k (k>0)として
xy+yz+zx=3ak ..(6)
(4)と(6)からx,y,zはtについての3次方程式
t³-(3/a)t²+3akt-k=0 ..(7)
の3つの正の実数解。
(7)の定数kを分離して
y={t³-(3/a)t²}/(1-3at)=k ..(8)
と、分数関数と直線y=kの共有点のt座標を解x,y,zと見る。
ところが(8)の分数関数は、漸近線t=1/(3a)を境に次のような挙動を示す。
t1/(3a)では+∞から単調減少、t=3/aでt軸と交わり-∞へ。
つまりkが正の場合に共有点を3個取ることはない。
このことから(7)の3次方程式が3実数解をもつのは3重解の場合に限るので、
x=y=z=(1/a).
逆にこのとき(4)(5)(6)の条件を満たす。