ｘ^xの定義をexp(xlog(x) )とすればどのような場合にlog(x^y)=ylog(x)が成り立つかをきちんと示せると思います。但しexp(x)=sigma[k=0 to infinity]x^k/k!, log(x)=sigma[k=1 to infinity]x^k/k. 複素解析の応用です。
話がずれるかもしれませんが、複素関数では z^a = e^(a log z) と定義します。この中に出てくる対数関数が厄介で、z=r(cos θ + i sin θ)のとき、log z = log r + iθ (log rは通常の自然対数)となります。偏角θは2πの整数倍を足したものもその複素数の偏角になるので、log z そのものは多価になります。 これが原因で正の数では成立していたlog z^2 = 2 log z や log z + log z = 2 log z は成り立たなくなります。 (左辺は偏角2θに2πの整数倍足したもの、右辺は偏角θに2πの整数倍足したものの全体を2倍するので、偏角2θに2πの偶数倍足したものだから、歯抜けの状態になります。) a,b がただの実数だった場合、さっきみたいに歯抜けの様子が単純にならないので、あえて書くなら a log z + b log z ⊃ (a+b) log z となります。このようなわけで、虚数が絡んでくると、指数法則(z^a z^b = z^(a+b) )は破たんしやすくなります。 ちなみに i^i = e^(-(2n+1/2)π) (nは整数) となり、値はたくさん出てきますが、すべて正の実数です。
まさかの地震のシーンが撮影されているとは...ご無事で何よりです。 動画後半の x0で場合分けしているところで虚数にプラスとマイナスという概念があるのか？という疑問が湧きました。xが虚数でも良いと仮定した時に、x^2x = 1の最初の方でx = a + bi として解が求められるのか（虚数の虚数乗？）とも。
x^x=(4/9)^(4/9) 真面目な方程式 解は２つ
ruclips.net/video/uiOvLsC70mQ/видео.html
一般に x=y ⇔ x^n=y^n が言えるのは x, y が正の実数(=偏角が0)のときに限るからですね.
もし x, y の定義域が複素数の範囲だったら, たとえば x^2=y^2 ⇒ x=y は成り立たない(x=-yかもしれない)ので, "両辺の指数を2で割る"といった変形を不用意にしてはいけないということです.
対数の真数条件も, a^c=b ⇔ log(a)b=c ⇔ log(a)b^(1/c)=1 ⇔ a=b^(1/c) より, bが正の実数でなければ指数法則は使えないということを言っているので本質的には同じこと.
ちなみに x^(2x)=1 に虚数解はないということでしたが, もし指数法則を濫用していいなら任意のθにたいして,
x=cosθ+isinθ ⇒ x^(2x)={x^(2π/θ)}^(xθ/π)={(cosθ+isinθ)^(2π/θ)}^(xθ/π)=(cos2π+isin2π)^(xθ/π)=1^(xθ/π)=1 となって, 絶対値が1の任意の複素数は x^x=1であるということにできますね.
x^2>0だからx
何かと貴重な映像で草
3:16w
貫太郎氏「でも数学やめれないんだけどｗｗｗ」
つべだとこのネタ通じない人多そう
@@はちみつゆうた-i2y 通じてない人、ここにいます（笑）。元ネタ何なんだろう？
@@はちみつゆうた-i2y ご返信ありがとうございます。
コメントした後ググってみたら出ました。
東日本大震災の時、ゲーム中継中に地震が来ても続行した猛者の話ですね（笑）。
この話は聞いた事ありました。このミームは知らなかったけど。
貫太郎「やばい、数式崩れる」
@@やまけーさん
1番笑った笑
突き詰めれば ((-2)^(1/2))^2 は -2になるのに ((-2)^2)^(1/2) がなぜ2になるか？
ですね。それは4^(1/2)は多価関数で、2になるか -2になるかは状況によるからです。
xが2のときも -2のときもx^2は4ですが、4^(1/2)とはx^2=4になるxを捜すことです。
xを2乗した時点で、xが2だったか -2だったかの情報が消滅してるので1/2乗するとき
補ってやらないといけない、つまり 2, -2 の中から適切な方を選んでやらないといけない
状況になってしまっている、それが理由だと思います。
値域を実数に限った指数関数を考える場合は、
(-2)^(1/2)=未定義、ということで貫太郎さんの疑問はそもそも発生しません。
値域を複素数に拡張する場合は：
複素数における指数関数と対数関数の公式から、
xが実数の場合のみ使える公式
(-2)^x=2^x{cos(πx+2nπx)+isin(πx+2nπx)}および
[4^x]=4^x{cos(2nπx)+isin(2nπx)}が構成できます。
(※左辺の4^xと右辺の4^xは別物なので便宜上[]で囲みました)
これらは一般には多価関数であり、
(-2)^(1/2)=(√2)i (n:偶数のとき)、(-√2)i (n:奇数のとき)
[4^(1/2)]=2(n:偶数のとき)、-2(n:奇数のとき)
すなわち、((-2)^(1/2))^2=-2ですが、((-2)^2)^(1/2)は多価であり「2又は-2」ということになります。
複素対数など持ち出さずとも「指数の底が非正の場合は指数法則を使えない」という認識だけでOKだと思いますが、
矛盾した値が出てきてしまうという状況はとりあえず解消されたのでスッキリ！
私は複素関数を専門的に学んでいないので、このような手続きで指数関数を多価関数として定義してよいのか自信はありません。
何か問題がありましたら教えてください。
指数法則a^(bc)=(a^b)^c=(a^c)^bが成り立つのは整数a,b,cに対して、あるいは指数関数として底の条件を満たすa(0
ｘ^xの定義をexp(xlog(x) )とすればどのような場合にlog(x^y)=ylog(x)が成り立つかをきちんと示せると思います。但しexp(x)=sigma[k=0 to infinity]x^k/k!,
log(x)=sigma[k=1 to infinity]x^k/k.
複素解析の応用です。
話がずれるかもしれませんが、複素関数では z^a = e^(a log z) と定義します。この中に出てくる対数関数が厄介で、z=r(cos θ + i sin θ)のとき、log z = log r + iθ (log rは通常の自然対数)となります。偏角θは2πの整数倍を足したものもその複素数の偏角になるので、log z そのものは多価になります。
これが原因で正の数では成立していたlog z^2 = 2 log z や log z + log z = 2 log z は成り立たなくなります。
(左辺は偏角2θに2πの整数倍足したもの、右辺は偏角θに2πの整数倍足したものの全体を2倍するので、偏角2θに2πの偶数倍足したものだから、歯抜けの状態になります。)
a,b がただの実数だった場合、さっきみたいに歯抜けの様子が単純にならないので、あえて書くなら a log z + b log z ⊃ (a+b) log z となります。このようなわけで、虚数が絡んでくると、指数法則(z^a z^b = z^(a+b) )は破たんしやすくなります。
ちなみに i^i = e^(-(2n+1/2)π) (nは整数) となり、値はたくさん出てきますが、すべて正の実数です。
自分も昔、全く同じ疑問にあたりまして、調べた事があります。この動画のような話が出てくるので、どうも高校数学までの範囲では、指数法則は底が正の時しか成り立たない、と限定するようです。考え方を大学数学の範囲にまで広げると底が負の時にも拡張できるそうなんですが、それには複素関数という難しい分野を勉強することになるそうです。
底が負の場合の指数関数は、以下のように考えると扱い方の頭の整理ができると思います。
（参考文献：「解析入門Ⅰ」 杉浦光夫著 東京大学出版会）
----------
複素数zに対し、その極形式z=|z|e^(iθ)を考えます（iは虚数単位、θは偏角）。
そのとき、zの対数を考えます。zは複素数なので、log(-3)とかlog(2+5i)とか、高校数学では考えられないものも含めて考えるということです。
zの対数は、
log(z) = log{|z|e^(iθ)} = log|z|+iθ ※
となりますが、元々のzはθに2nπを加えても変わらない（周期性を持つ。sinとcosで構成される極形式の形を思い浮かべてください。）ので、その対数※は多価関数になります。
で、その多価性を排除するため、θの範囲を限定し、例えば、0≦θ
地震でも編集しない潔さ。
よくよく考えると、実数から複素数に拡張したときにどの法則が適用可能でどの法則がダメになるのかって、試せばわかることではあるけどそういう一覧を教科書で習うわけじゃないから、やってみて初めてわかること結構ありそう
理学部数学科です。以下が私の考えです。定義の仕方によっては、少し違ったりするところもあるかもしれませんが、高校数学をやるうえでは以下で大丈夫だと思われます。間違ってたらすみません。
・（実数xの０乗)＝１は決まり事（環、群ににおいてそのように定義される。）なので、示す必要はない。
例えば、2の0乗＝１は決まり事
・基本的に負の数の冪を考えることができるのは０乗と自然数乗のみ。
例えば、(ー1.7)の２乗、（－2）の3乗などは問題なく定義される。
しかし－3の１．５乗などは定義されていない。（つまり考えてはいけない。）
・指数法則というのはいつでも成り立つという万能な法則ではない。どんな時にどの指数法則が成り立つのかは意識しておく必要がある。（例えば、行列の積を考えた時、A^ｍ・Ａ^ｎ＝Ａ^（ｍ＋ｎ）は成立するが、（ＡＢ）^ｍ＝Ａ^ｍ・Ｂ^ｍは成立しない。）
実数の指数法則の場合、底が負になり指数が自然数または０でない場合（例えば、(ー1.7)の2.3乗とか）は対象外なので、指数法則が成立していなくてもおかしくはないのである。
そもそもx^yにはgeometricなべき
x^y = exp( b log a )
と帰納的に方程式
x^0 = 1, x^(y+1) = x^y×x
から定義されるarithmeticなべきの２つがあります
本来前者はx>0,y任意で定義され、後者はx≠0,y整数またはx任意yは非負整数で定義される別物なので違う表記をすべきものなので、昔は区別していた時代もあったそうです
しかしどちらも共通定義域では一致してるので現代では区別しないのが主流であり、読み手に文脈から判断してもらう事になっているようです
もちろんそれが困難な場合は書き手がキチンと明示しなくてはいけません
本問の場合どちらに解釈するかで答えが違ってしまい、どちらの意味にも取れてしまうので解答するのに十分な情報が与えられてないと言えると思います
底が0以上の数の場合と複素数の場合(というか、複素数とみなした場合)とでべき乗数の定義の仕方が異なります。これらをごちゃ混ぜにしてしまったことが原因ですね。
底を複素数とみなした場合、底は絶対値と偏角を持った数として表します。計算は以下の通りです。数IIIの範囲でフォローできます。
(-1/2)^(2*-1/2)
=(1/2(cos(π+2nπ)+isin(π+2nπ))^2)^(-1/2)
=1/4(cos(2π+4nπ)+isin(2π+4nπ))^(-1/2)
=2(cos(-π-2nπ)+isin(-π-2nπ))
=-2
先に2乗することで途中式3行目に偏角2π+4nπの数が出てきます。数IIの範囲では偏角を考えないので偏角を0としてしまい計算結果が変わりました。
要は、複素数平面上で2π+4nπ回転した数と0回転した数を取り違えたことが原因です。偏角を明記しなければどちらも1/4となって、同じに見えます。
素人考え
xが0の時、以外は
何かしらの数xを底として、複数回同じ数をかけることになる(xが1/2だとしても、1/2乗を2回、複数回かけている)
1という数の因数は1以外に存在しない(ここ掘ると長い)と考えると、底が1の時以外、複数回の乗数を持って1になるのは不成立
って思って式書かずに思考が止まって答えだけ書いてしまう
こういう問題でも式を使って解いて、自分以外の誰かにちゃんとした説明出来る人って本当にすごい
指数法則と微積分は深入りすると沼となる分野の1つです 端的に言ってしまえば指数法則は底が正、冪数が実数の場合のみに考えます 底が負の場合でも冪数が分母奇数の有理数の場合(2/6のような約分して分母奇数となる場合や、2/1のような整数も含む)は指数法則が成立しますが、証明が複雑になるので通常は指数法則の主張に含めないようです 底が負の場合はマイナスをくくりだして底が正の場合に帰着して指数法則を適用すべきでしょう
ちなちに指数法則は冪数が有理数の場合なら高校数学で証明できますが、かなり難しいです 私はこれを完全に証明しきった高校生向けの参考書を見たことがありません 何なら冪数が整数の場合の指数法則すらまともに証明していません また、冪数が実数範囲で指数法則を証明することは大学1年生レベルの数学が必要となります(主にε-δ論法)
指数法則を整数に拡張することの厳密な証明
www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=www.ge.kochi-ct.ac.jp/~hori/sisuu.pdf&ved=2ahUKEwjaqeLBtrnzAhVYfXAKHRvtB_AQFnoECAcQAQ&usg=AOvVaw3OV87yJ-8Pg5ARMS4E_QzK
有理数に拡張(一部)
www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=math.dge.toyota-ct.ac.jp/katsutani/text/fnd/f8-7.pdf&ved=2ahUKEwijicG1t7nzAhWEPXAKHSwpA3wQFnoECAwQAQ&usg=AOvVaw3BllUAexgehYMYz5vyp4VL
地震カットしないの笑った
そっちのほうがなんか面白い笑
目がマジになってる貫太郎さんきゃわわ♥
3:19
カメラ見てる時の表情
授業中に寝てるのがバレて怒られる瞬間みたいで緊迫感あるｗ
指数法則は底が負の場合、指数部分が分母が奇数の有理数の場合成り立つようです。動画内で考えていたx=-1/2は分母が偶数なので成り立たない例ですね。
0^0は、まだ高校教員だった時に若手の研究授業で、1と考えないといけないな、という教師の発言があり、気になって調べたことがあります。調べた結果、数学基礎論の本によれば、1と定義されています。（x^xの極限とかではなくて、本質的に1になると…）
ですから、この方程式の解は、0，-1，1だと思います。
7:28くらいのところ、分母の√-1/2は（√1/2）iなので（-1/2）^（-1/2）は-√2iになると思いますが、2乗すると-2になるのは変わらないですね。結局、(a^m)^n=(a^n)^mがどういう条件の時に成り立つと考えるべきなのかというところに戻りますね。その辺については、退職してから数学の本質を追及することをやめてしまったので、よくわかってないのと調べるリンクとかも今はわからない状態ですので…。
数学基礎論の話は、「前提条件をこのように設定すると0^0=1になる」という話であり、この"前提条件"は数学界全体で統一されているものではないので、x=0を解とするのは微妙なところです。
解析学の分野では「0^0未定義派」が多いので、今回の問題では0^0を未定義として扱うのが妥当かと。
@@ぱわふる-e6z 前提条件というのではなく、数学基礎論でのa^bの定義によれば…というのが正確ですね。
仰るように、数学基礎論での定義が数学全般の前提になっているとかどうかは私は知らないので、解析学では、0を解とするか微妙というのもわかるような気がします。指摘していただきありがとうございます。
私が調べて読んだ数学基礎論は書籍ですが、数学者のyoutubeで、たまたま数学基礎論での0^0=1の証明の説明が上がってありました。ご参考まで。
鈴木貫太郎先生へ
いつも動画を通してお世話になっております。
とても興味深く、取り組みやすい問題を分かりやすく解説してくださり誠にありがとうございます。感謝の気持ちを申し上げます。
地震がご無事で何よりでございました。
私は数学は素人ですが、個人的にこの様ではないだろうかと、取り組んでみました。
x^(2x)=(x^2)^x=(x^x)^2
でx=-1/2で結果が異なることですが、
x
3:19
地震がきた瞬間
負の巾乗の場合、対数関数lnを複素数に拡張して多価関数として扱わないと指数法則が破綻する恐れがあります。
対数関数を複素数に拡張した場合、一般の指数関数は
a^b＝exp(b*ln(a))
で定義されます。
ln(a)＝ln|a|+i*arg(a)
が成り立つことが知られています。
(偏角argがあるので一般に複素数に拡張した対数関数は多価になる。)
これを今回の問題に当てはめれば、
x^(2x)＝exp(2x*ln(x))＝exp(2x*ln|x|+2xi*arg(x))＝exp(ln2-i*(2n+1)π)＝exp(ln2)exp(-i*(2n+1)π)＝2*(-1)＝-2
(x^2)^x＝exp(x*ln(x^2))＝exp(x*ln(exp(2*ln(x))))＝exp(x*ln(exp(2*(ln|x|+i*arg(x)))))＝exp(x*ln(exp(2*(ln(1/2)+i*(2n+1)π))))＝exp(x*(ln(1/4)+i*(4n+2)π))＝exp((-1/2)*(ln(1/4)+i*(4n+2)))＝exp(ln(2)-i*(2n+1)π)＝exp(ln(2))exp(-i*(2n+1)π)＝-2
となり、x^(2x)と(x^2)^xのどちらで計算しても-2となります。
√(-2)*√(-3)＝-√(6)(≠√(6))の計算(負の根号はそのままでは屋根を1つにできない)と理屈は似ているかもしれません。
致命的な間違いがあったので修正しました。
ln(x^2) の計算前のままで良かったのでは。でも±2となるので悩んでいます。
@@BOKUHAGOTOU 途中で、x
負のべき乗は多価関数になりますよね
なぜか負の実数の平方根のとき、つまり指数が1/2のときだけは、主値以外は無視するという暗黙の了解が許されている不思議
√(-1)=(-1)^(1/2)=i
こんな見覚えのある式ですら
i=(-1)^(1/2)=(-1)^(2*1/4)=((-1)^2)^(1/4)=1^(1/4)=1
というパラドックスか成立してしまう…
おはようございます。とても興味深い問題です。突然の地震にも冷静に対処され、数学の研究に没頭される貫太郎先生のお姿に敬服しました。
私は不勉強ながら、詳しいことは分かりません。この特殊方程式には、問題を解くための仮定条件が必要かもしれません。
aが負かつnが分数のときに、(a^m)^n=a^(m*n)は成り立たないと考えるべきではないでしょうか？
例えば、a=-1, m=2, n=1/2のとき、[(-1)^2]^(1/2) は形から言って正の平方根しか考えないです。
しかしこれを(-1)^[2*(1/2)]とした時点で、『正の平方根しか考慮しない』という前提が崩れてしまっています。
したがって、1の平方根（1と-1の2つ）のどちらが出てくるのかが、式変形で変わってしまうのでしょう。
追記：複素関数をサラッと見直して、そういえば複素数のべき関数は偏角のために、多価関数だったことを思い出しました。
xが負の実数の時は、一般にはx^(2x)=(x^2)^x=(x^x)^2 の指数法則は成り立たないので、検算するには、左辺の式で合っているか確認するしかありません😅
x が 0 でない場合、a,b を実数として、x^(ab)=(x^a)^b が成立するならば
x が負でも x^a=(x^2)^(a/2)=(|x|^2)^(a/2)=|x|^a となりおかしなことになるので
a,b は実数でも（有理数でも）成立しないのでは？
a,b は整数ならばよいですが…
（すでに誰かがコメントしていたらごめんなさい…）
数学は中学までの範囲しか知らないので解答になってるかわかりませんが、まず、平方根が多価関数なので分岐点があって、x^xは二つの分枝を持つと思います。re^i thetaの他にπだけ位相がズレた根があると思います。
対数関数も分岐点があるのでこちらも分枝がありますが、普通は主値を取るので対数関数から来る位相は無視すると思います。
それで、結局分枝は、平方根から来た、πだけ位相がズレたものとズレてないものがそれぞれあると思いますが、前者は全体に負の符号が付くだけなので結局答えは変わらないと思います。
さて、指数法則が成り立つかどうかですが、成り立ちます。ただし、分枝を考慮しなくてはなりません。7:32のところで（1/4）^-1/2から＋2しか出てきませんでしたが、実際には半整数べき関数の分枝があるので-2も出てきます。他方、x^xの二乗の方も分岐点を調べれば±2が出てくると思います。
おはようございます。先生には地震の被害がなさそうで一安心でした。でも、毎日、遅い時間に収録・編集されておられるのですね。お体大切に。
地震びっくりしたw
何事もなく再開して安心しました
50年前を思い出す絵でした。数学は日常生活には全く必要ないですが分からない事を知ろうとする人類の心を思い出しました。
これは面白いですね
単純に「実数の範囲では」という条件がつくのでしょうが
個人的には「行列の掛け算はひっくり返せない」っていうのと似たものを感じました
複素数と行列は似通ってる概念でもありますしそういうところでつながってるんじゃないかなーと
まさかの地震のシーンが撮影されているとは...ご無事で何よりです。
動画後半の x0で場合分けしているところで虚数にプラスとマイナスという概念があるのか？という疑問が湧きました。xが虚数でも良いと仮定した時に、x^2x = 1の最初の方でx = a + bi として解が求められるのか（虚数の虚数乗？）とも。
実数でない複素数には大小関係は入りません。
たとえばi>0とします。このとき、大小関係のルールからi^2>0のはずですが、-1>0ということになり、矛盾。
i0のはずなので、上と同様に矛盾。
i＝0ならi^2＝0^2のはずですが、これも矛盾。
なのでiと0に大小関係が入りません。
ありがとうございます。ご指摘いただいて、私の最初のコメントは虚数と複素数の書き方がごっちゃになっていることに気づきました。以下が書きたかったことになります。
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動画後半の x0で場合分けしているところで複素数にプラスとマイナスという概念があるのか？という疑問が湧きました。xが複素数でも良いと仮定した時に、x^2x = 1の最初の方でx = a + bi として解が求められるのか（複素数の複素数乗？）とも。
地震きても数学やるの好き
忘却しましたが、対数は複素数まで拡張できることを大学で学びました。指数は簡単でexp（ix）＝cos x + i sin x になり、三角関数に繋がります。
e^ix,cosx,sinxのテイラー展開を知っていればすぐに分かりますね！
テイラー展開自体を証明するのが1番難しい、、、
x^2が正であるのはxが虚数ではないことが前提です。
後にxが虚数を考えていることが違う仮定で論じていて論理が破綻しているのでは
実数の定義域で二乗が正と結論しているのにのちの理論では虚数の定義域であるかのように論じています。
Xの定義域を取り違えているのが間違いですよね
RUclipsにて細々と動画を配信している者です。
私も気になったので調べてみました。
まず始めに指数法則
a^(m/n)=(a^m)のn乗根=(aのn乗根)^m…①
が、成り立たなければならないですよね。
以下、底aが負のときについて考えます。
すると①が成り立つために原則として、mは整数、nは正奇数でなければならないそうです。
というのもnが正偶数のときは、①が成り立たないことがあるためです。
aのn乗根は複素数となり、複数の値を取り得るので、(aのn乗根)^mは不適当。
またnが正偶数、mが奇数のとき、a^mは負となり、(a^m)のn乗根は複素数になり不適当。
nが正偶数、mが偶数のとき、a^mは正、(a^m)のn乗根も正になりますが、m/nを既約した分数をm'/n'とすると、 (a^m')のn'乗根が正の数にならない事もあり不適当。
以上のことから底aが負のときは、a^rのrは有理数でなくてはならず、rの既約分数の分母は正奇数です。
またa^(rs)=(a^r)^s…②を満たすのは、rとs有理数で既約分数の分母は正奇数のときです。
なのでrとsの分母が正偶数のときは、②を満たさないことがしばしば起こります。
なのでx=-1/2のとき
x^(2x)=(-1/2)^(2(-1/2))=(-1/2)^(-1)=-2
(x^2)^x=((-1/2)^2)^(-1/2)=(1/4)^(-1/2)=2
(x^x)^2=((-1/2)^(-1/2))^2=(±√2i)^2=-2
となり、x^(2x)≠(x^2)^xとなってしまいます。
（ｘ＾ｘ）＾２と（ｘ＾２）＾ｘで自分なりに考えてみましたが、ｘ＝＋－１として動画を拝見しました。数学も奥が深いですね。コメントを読みながら、いろいろ思いをはせました。地震など、こうしてつつがなく暮らせることがありがたいです。
地震があるときに、自信のない問題だなんて...不謹慎なこと言ってはいけませんね。
f(x)=√xは実関数だとf(4)=2ですが、複素関数だとみるとf(4) = {+2, -2} のようないわゆる多価関数になっていて、複素数を経由しないといけない議論をするとこのあたりの影響が出てくるのかなと思いました。
数学熱中すると地震はあまり問題ないような雰囲気！熱いですね皆さん。
a^(xy)=(a^x)^yが成り立つのは、
x,y：整数 → a≠0で成立
x,y：整数以外の実数 → a>0で成立
という条件があるからですね。
この性質をうまく使った1=2の嘘証明をAKITOの特〇点が動画を出しているので、気になる人は「1=2の証明（part4）」という動画を見てみるといいかもしれないです。
√-1=i とすべきか√-1=-i
とすべきかという事を考えてゆくと奇数乗根であるとか偶数乗根であると言う様な区別は無用で√の中には負でない実数を入れるべきで、その様に約束すべきであると言うことになってゆくのでは無いだろうか？理由は二つ考えられる。一つはその様に制限しても表記できる数の範囲が狭まらないで、意味が明確になると言うこと。 ³√-2であれば-³√2と表記すればよく意味も明確である。もう一つは√ の計算法則
√a × √b = √(a×b)
√a / √b = √ (a/b)
その他が間違いなく使えるという事だと思います。
関数であれば束一性が確保されていないとダメではないでしょうか？
任意の定義域の元に対して、対応する値域の元は常に一つでなければいけません。
30年くらい前、受験を経験した頃の話になりますが、
高校までの範囲では、与えられた式は関数として扱うのが前提でした。
y＝ｘ＾2としたとき
ｙの逆関数ｙ＾-1は、ｘ＞0の逆関数であれば関数として扱えますが、
-1＜ｘ＜1であれば、ｙの定義域内の値に対して値域内に条件を満たす値が二つ存在する定義域の区間があるため、
関数ではなく集合として扱わないといけません。
関数に与えられる性質は用いることができません。
受験でも逆関数が関数になっているのは暗黙の了解だったと思います。
関数は束一性が確保されなければならないということは、教科書の隅の方に書いてあったのですが、
受験で聞かれる事はまずないため、意識して問題を解く人はほとんどいませんでした。
小学校から高校までの12年間の積み重ねのため、意識を変えるのは難しいです。
高専数学までなので高校数学に毛が生えたくらいしか習ってないけど
logに真数条件があるように
指数法則も底がa>0という条件付きだった気がします
大学に行くとa
自分も高専出だけど、専門科目も演習を宿題としてたくさんやって欲しかった
ただ黒板に自分の講義用ノートをひたすら書き写す先生、それをひたすらノートにとる生徒…… 貴殿も高専出身なら、自分が貫太郎さんの動画に嵌ってるわけを察してくれると思います。 余計なことですが 高専数学は2年生から大学理系で使う教養課程の教科書では？ ε‐δ方式が初っ端から登場し面食らった記憶があります。
数学者の気持ちが微小にわかるいい動画
Sir, yan you activate automatic translate for foreign students? Thanks.
おはようございます。
貫太郎先生は、いつも「入試問題は解けるように作ってある。」とおっしゃっていますが、解く側との "暗黙の了解" みたいなのもあるのかと感じさせられる疑問ですね。
根底に「そんな解釈したら、解けるものも解けねぇだろ、あぁ？」みたいな。
大学院の数学科などでは、あえて問題自体を違う方向から見る目が要求されるのでしょうか？
その問題を解けるように担保しているのが「定義」でなければならないですよね。
貫太郎先生も口を酸っぱくして言う通り、数学は定義ありきだし、定義があるから、例えば問題文に「二等辺三角形」が出てきたら「問題に出てくる三角形は”二つの辺が等しい”ということは断定していい」と一般性を持って考えられるわけだし。というか、考えられなければならないでしょう。
古賀先生やAKITO先生の動画でも、入試問題の文章や高校数学の教え方に疑問を呈するものがありましたが、こういう部分をあやふやにして入試対策の為の数学を教えるのは納得いかないですね。「大学レベルの話で考えなくてよい」ということも明確化するようなやり方はできないのでしょうか。
@@tokusatuotaku さん
貫太郎先生の「数学は定義ありき」というお話、まさにその通りだと思います。
「平行四辺形」を、「２組の対辺の長さがそれぞれ等しい四辺形」とか「対角線が互いに中点で交わる四辺形」とか、当たり前と考えていることに別の角度から光を当ててみるというのは、どんな場面においても大事なことですね。
地震のリアクション冷静すぎるw
一部の指数法則や対数法則は複素数上だと成立しないらしいですね。
wikipediaとかにも書いてあるようです。
(x^m)^n＝(x^n)^m
が成り立つには、x, m, nはそれぞれどんな数（整数なのか、有理数なのか、実数なのか、複素数なのかなど）でなければならないかって話しですね。
どう考えればいいんだろうか。
x、yの実数2軸と虚数軸の3軸で考えて、3次元グラフが連続、不連続が解れば良さそうな気がするが、イメージが難しいなぁ。
0^0が未定義なのを0^0＝1と定義すれば連続になるならば、それはそれで良いかと思う。
0^0は定義されていませんが、x^xやx^2xのx→0は、x同士が等しいという前提があるため定義出来ます。x^xもx^2xも、x→0の極限は1なので、x=0は解の1つです。x
x同士が等しいと定義できるってどうゆうことですか？
@@Ashin-rx8wf 定義できるなんていってなくない？
「等しいと定義できる」の「と」は、「という風に」の意味ではなく「とすると」や「ときに」の意味で使っていると思われ
極限の値がすべての方向から同じ値に収束しようが、その点での値が定義されてないなら解にはなりません。
極限って解になり得なくない？あくまで限り無く近づけてるだけでしょ？
あくまで素人考えですが、xは変数、２は定数だから「繋ぎ方」によって動作に不具合が起こるのかな？と思います。
やはり直下型の震源近くでは緊急速報は効果を発揮できませんね。
x^xを考える時はx>0で定義するから、x^xの２乗と解釈するときはxは正でなければならないとか？
x>0でなければならないのがy=x^xのグラフを考える時だけでいいのかわからないですが。
x^2x の計算は、指数部分を先に計算してから、底x に先に計算した累乗を施す事になります。複素数の範囲の指数関数の定義では、bが整数でないと、一般には指数法則(x^a)^b=x^ab は成り立ちません！
逆に、aもbも両方整数である時に、(x^a)^b=(x^b)^a=x^ab が初めて成り立ちます。
なんとなくでしかないのですが、xの2乗のx乗の時に、2乗したら正になるって言っているところで、既にxが実数であると決めてしまっているからじゃないでしょうか？
xが虚数かもしれないと考えると、2乗しても正になるとは限らないので、そこでxの定義があやふやになっているように感じました。
地震、ご無事で良かったです。
これからも動画よろしくお願いします。
xは実数です。
ご返信ありがとうございます！
確かに実数って書いていますね。
大変失礼いたしました。
難しいですね。
高校数学で考えるのであれば指数関数の底は 1 以外の正の数ということになりますので、y=x^(2x) を y=(x^x)^2 と見たときと y=(x^2)^x と見たときには違う関数を扱っていることになると思いました。指数法則にちょっと無理があるのが原因なんでしょうか。
これ以上、ということであれば、複素関数の知識でも必要になってくるのかな？
道が果てしなく遠くて、しかも終わりが見えないから、自分がどこに立っているのかもわからなくなり、途方に暮れてしまう。
先日、ある著名な数学研究者の RUclipsr の方が、「数学わからん」とツイートしていた。
私たちは程度の違いこそあれ、死ぬまで何かの中途に位置していて、満足することはない。
でも、満足してしまったら生きてる意味もなくなってしまう。まだまだ誰かさんののように、 "Verweile doch, du bist so schön!" などとは口にしたくないですね。
あらまぁ、教養が漏れ出ていますね（笑）。
最後のドイツ語、「何だろう？」と思ったら、ファウストでしたか。オジサン、学がないからググっちゃったよ。
@@vacuumcarexpo さん
ファウストなんて、２ページしか読んでないですよ。そのドイツ語はググりました。😂😂😂
@@anti_simulacre7907 2ページも読んでるじゃないか❗こっちは表紙見ただけで気絶するぞ（笑）。
@@vacuumcarexpo さん
😂😂😂
とりあえずえみさん化け物。
久々に「学校が必要ない人」という人種にあった気がします。RUclipsありがとう。
Hな動画じゃないけど、幼稚園の時にカッコイイなと思ったPCゲームのBGMを10年越しに発見した時の感動は凄かった！
質問です。x>0の範囲で両辺にlog_x（※底がxの対数）を取ると解なしになるのはなぜですか？
x^2x=1
log_x[x^2x]=log_x[1]
左辺=(2x)log_x[x]=2x
右辺=0
よって2x=0となり、x>0と反するため解なし
このやり方はなぜダメなんでしょう？
対数をとるときは、真数>0、底>0だけではなく、底≠1も忘れずに。
@@kantaro1966 ご返信ありがとうございます。
底であるx≠1の範囲で上記計算しようとしても矛盾するのは何故なのでしょうか・・？
教えてヨビノリ子さん（違
いよいよ複素関数と解析接続に踏み込みますか
元々は2乗の意味を持たないものに勝手に持たせてしまっているので
必要性は担保されてるけど、十分性は担保されてないのかなと思いました
累乗の性質は全て正の数で議論するのが普通なので
今思えば、y=(x)^2xとy=(x²)^x
ってグラフが違うんだから解も違ってくるのは当たり前でしたね笑
ちなみに、y=(x)^2xは切れた二次関数っぽいグラフで、y=(x²)^xは-∞で0に近づく三次関数っぽいグラフです
これが、後の貫太郎のパラドックスである😆
定義を拡張しているため、複素数空間まで考える必要があるのかと。
虚数をz軸(奥行)にとるグラフを考えると、例えばy=x^2は、馬の鞍みたいな面のグラフになります。
この考え方でy=x^xは、横からみると)(みたいな面のグラフになって、一つのxで２つのyの値を持つので、実数空間では、このようなパラドックスが起きると考えられます😊
量子の世界もこんな感じなのかなと勝手に想像しています💡
相対論でも、“ⅰ” を式に導入すると三次元空間で言う “距離“ とみなせる、ってありませんでしたっけ？
@21 Century さん、返信ありがとうございます。
式の上で、"マイナス何とかの自乗" を "プラス何とか i の自乗" と読み替えると、距離を与える式と同じ形になるというヤツです。
√(x^2-y^2) ＝√(x^2+((yi)^2)) ← 式で示すとこうなるような…。
@21 Century さん、ご丁寧にありがとうございます。
長々と話すことは可能だけれど端的に言うならと√-正の数=i√正の数としてしまうところが良くないと思う、√-1を「二乗して-1となる数」と読むならiか-iであってこの辺りは高校数学くらいだと虚数の定義と指数の指数部分が有理数のときの定義を合流させた時に整合性が保たれていないです、二次方程式の解の公式で√部分に−が出てきた時にそれを√-1=iとしてしまって良いのは、二つの解が共役(±√)だからです(これも代数方程式的には深い話があるんだろうけど)
地震もあった中、今日もありがとうございました。多くの方のご意見も勉強になります。
a
寝れなくなったのでこの問題に限ったことを書きます．一般にはa^mn=a^nmは成り立たないので
(x^x)^2=1
と
(x^2)^x=1
の方程式は全くの別物です．で，動画のように考えて正解です．
ここまでしつこく考えられるのは普通に数学の才能があるので，数学科への進学をお勧めします．学問に早いも遅いもありません．
指数を自然数から実数まで拡張はいいのですが、あくまでも底は正の数ですよね？
x^2x=(x^2)^x=(x^x)^2はxが正の範囲でしか成立しないと思うんですが。
おはようございます。ｘ＜０の場合、２つの値をとる？円の方程式x^2+y^2＝１で、ｘの値１つにつき。ｙは２つの値をとります。それと、考え方は同じではないでしょうか？ｙ＝ｘ^[2x]は陰関数の特殊な曲線でしょうか？
次に私の疑問ですが、x→０で、ｙ＝ｘ^[2x] は １に収束しますが、ｘ＝０はこの方程式の解にはならないのでしょうか？明日もよろしくお願いします。
x→0はx=0じゃないんやで
@@tkym4533 様 ご連絡頂きありがとうございます。
@@Rozlia0214 様 ご連絡頂きありがとうございます。確かに収束値と解とは違いますね。
少なくとも陰関数ではないです。
@@smbspoon-me-baby なるほど ご連絡ありがとうございました。
x
疑問なんですけど、0^0はなぜ定義されていないのですか？定義されていても良い気がするのですが
1として定義してしまう学派もあります。ただし、少数派です。
0^xはxがどんな値でも0。x^0はxがどんな値でも1。0^0を定義してしまうとどちらかに矛盾してしまうからかな。
でも0^xでx
aを0でない任意の実数として、指数法則より
0^0＝0^a/0^a＝0/0
なんで「0除算」だから定められない、という考え方もあります。
不定形だからです。
例えば任意の正の実数値に収束させることができます。
a>0を任意の実数とすると、自然対数eに対し
e^(log(a)) = a
になります。
そこで、任意の実数 x
循環小数や無理数、何でもありの実数次元をもつ値を、2次元3次元とかの離散した整数次元の空間に落とし込んで見える化する過程でなんかよくわかんない事が起きている感じがします。
撮影した時間が明確にわかる。笑
強く揺れた地域にお住まいじゃないかと思いますが、被害なかったでしょうか。
こういうのは事前に何も伝えずにヨビノリさんを呼んでいきなり解説させるあのシリーズでお願いします
複素関数論で解決しそう。
最後の極形式で表すのが一般解の求め方のような気がします。そもそもマイナスでは不連続な関数ですから。
よびのりさんがいいと思います！！
y=a^x において a
これは数学のプロに聞いてみるしかなさそうですね
高校数学で習う指数法則は、正の実数のベキ乗に対してしか定義していないに勝手にｘ＜０まで定義域を広げた結果でしょ。
負の実数の実数乗は一般に複素数になるのでベキ乗を複素数の範囲に拡張する必要がある
w^z := e^(zlog(w)) [w,z∈C]
logは多価関数なので複素数上でのベキ乗w^zは一意の値を持つとは限らず複数の値を持つ
負の数の分数乗は定義されません。
例：(-2)^(1/3)0
により、同じ式で答えが2つ出るからです。
答えはすぐ出ますが・・・ですね。
問題を見たときまず、ｘ≠0 はともかくとして ｘ＜0 で定義するの？でした。
自分もパソコンにグラフを描かせてみましたが、カッコをつけないとｘ＞0 でしか定義されませんが、カッコをつけると負でも定義されたので益々？？
です。
疑問を感じながら学ぶことはとても良いことですね。
（√－１）²を計算するときに、先に（－１）²とすると間違った答えになるので、
底（底というのは動画で言うところのaではなくｘのことです）が負の数の時は指数法則の掛け算の交換法則は成り立たないと、
高校で習った記憶があるのですが、その話とは違うのでしょうか？
すみません。わたしは素人なのでよくわからないのですが、疑問に思ったので。
一般の複素数の場合指数を書き直すとイコールにはならない、というのですね。
逆に言えば何が実数の場合の指数の交換を可としているんでしょうか。
これはいわゆる多価関数に関する知識を用いて説明できますね。大きな指数を複素数に施すと偏角が大きくなりすぎ、結果単価性を担保されている定義域から外れてしまうわけで、このことに気をつけている限り指数の交換もオッケーです。
シンプルなのにこんなに奥深いとは。
どう解釈するか。
視野が拡がりました
【(X^2)^X=X^2X=(X^X)^2】に対して『(X^2)^X』で求める場合はこの式でいいけど、『(X^X)^2』で求める場合は求めたXに絶対値をつけて値を出すという定義を行う必要があるということでいいのではないだろうか？
(a^n)^m=(a^m)^n
を証明しようとして、どこで破綻するか考えれば良いのでは？
複素数の範囲ではe^2nπの自由度が生じてしまうので、「〜の場合」みたいな制約を掛けないと成立しない。
追記:
(1^2)^(1/2)の場合で単純に言うと、
元の数を1ではなくてe^2nπと考えると1^2はe^4nπとなるべきなのに、複素数の範囲で考えないために単純に1^2=1(=e^2nπ)とされてしまっている。
大学の複素関数の授業でやった、
√a√b＝√abはa,bが負のときは使えない、ってやつを思い出した。(√(-1)√(-1)＝−1、√(-1)(-1)＝1)
a＝bとすれば、この動画と同じ問題の一例に帰着しそうかな。
上の式は、両辺を2乗するとab＝abに帰着するけど、そもそも両辺2乗は同値性を保たない(右向き⇒しか成り立たない)から、√a√b＝√abって公式は常に成り立つわけではなくて、√a√bと√abの符号が等しいときだけ成り立つ、っていうのが正しい解釈だったはず。
x＝±1であることは暗算でも導き出せるけど、それ以外に答えがないことを証明しようとするととてつもなく難しい問題ですね。
マイナスの時は2乗とルートの計算の順番を入れ替えられないと思いました
√(-4)²と(√-4)²は違いますし
そもそも中身が非負の実数の場合の√記号と異なり、√(負の数)や√(非実数の複素数)には、1つの数を表すという指示機能がありません。これは別の方に書いた返信コメントの「複素数には大小関係が入らない」ことにも関連します。
たとえば√-4は±2iを両方表し得ますし、√ではないですが、1の複素3乗根を表すωだって(1±√3i)/2の両方のうち1つを表す、と考えるのが妥当です。
後者はより分かりやすい例です。ωの本質とは「1の3乗根は、複素数の範囲で1,ω,ω^2である」ことに他なりません。
@@smbspoon-me-baby √-4が±2iを表すというのはどういうことでしょうか
smb2019 spoon-me-baby 高校の教科書では「a > 0 に対し √(-a) = (√a)i とする」というようなことが書いてあります
@@ピーチメラルバ さん そうなんですか！私はそれは間違いだと思うな。高校生向きな定義だとは思うけど、有害でしかない。
なぜ間違い、そして有害かと思うかといいますと、√-a(a>0)を認めてる時点で、もう大小関係のない複素数の世界に踏み込んでいるのに(いくら√の中は実数とはいえ)、いまだに√記号を実数と同じルールに縛ろうとしているから。ためしに√(-4i)という数を考えて欲しいです。そのロジックなら√(-4i)というのは1つの複素数のみを表さなきゃ整合性が取れませんよね。でも、何を基準に+を決めるんですか？
証拠にシルビア・ナサーの書いたジョン・ナッシュの伝記からの引用を…と思いましたが、正確に思い出せないんでやめときます。大雑把にいえば、ナッシュいわく
「√-1はiでもあり、-iでもある」とのことなんですけどね。
@@kt-gk2pj さん ktさんならお分かりになるでしょう。正負というのも大小関係です。だから実数の世界までなら「+2」と「-2」を区別することに意義がある。
でも、「+2i」と「-2i」となるとどっちをどっちと定めてもその先の理論に破綻は生じないんですよ。複素数には大小関係がなく、仮に虚軸下方向を+iの方向と定めても、すべての数の偏角が一斉に-1倍になるだけですから。
だから√-4が±2iのどちらを指すのか定めても無意味なんです。もっといえば、√-4iのような場合に困ります。
limと∫の交換が計算する関数の特徴によって出来たり出来なかったりする場合があるように、指数関数も関数が滑らかで無いと交換法則が成り立たないとかありそうですね
「滑らかな関数」であるかどうかという問題な気がします。考えているxの区間で滑らかであれば、その区間で解を導出するのは何の問題もない気がします。出題者側がきちんと関数がなめらかである区間を示しておけば、動画のように解くことは可能ではないでしょうか？
xが実数でも、x^xが取る範囲を複素数に拡張すればxは負の範囲でも実数解を持つようです。（すでにほかの方のコメにありますね）
この問題の場合、xが正の範囲であれば実数平面で解けますが、xが負の範囲であれば複素平面で解く必要があります。（当方で作図したところ複素平面上で渦を描きます）
カギは(x^m)^n=x^(mn)の適用の是非でしょうね。
少なくとも、xが負を含む実数ならムリですね。
だから「解けない」が正解。
フツー「方程式の解」っていうときは「その解以外に解はない」
ということを同時に言いますからね。
だから、こんな奇をてらわないで、せいぜいxは正の実数
にしとけばちゃんとした問題になると思いますよ。
(-1/2)^(-1/2)のところで1/√(-1/2)=1/{1/(√2i)}としていますが、1/√(-1/2)=1/{(1/√2)i}ではないでしょうか。1/i=-iなので結局(-1/2)^(-1/2)=-√2では？(--√2)^2=2なので指数法則は成立すると思います。
興味深い問いですね
ん〜、私なりに色々考えてみたんですが、多分これだろうと確信をもてるものがなかなか出てきませんでした...
これは魔術師たくみ先生の出番でしょうか？笑
とにかく、貫太郎さんご無事そうで何よりです
初コメです
言及してる方もいますが、複素解析の話になると思います
関連するワードとしては、リーマン面、分岐、主値などを調べてみるの勧めます
関数の表示によって定義域が異なるのは普通のことのような。イコールの式変形は両方の表示で定義されている範囲で等しいと言っているだけで、定義域を含めた関数が等しいと言っているわけではない、と解釈すべきな気がします。ちょっと解析接続と近い考え方な気もします。（私は工学系なので厳密な議論は自信ありません。）
複素関数とか難しい分野の話出てきてますけど、その前に指数の計算の順序みたいなのって定義されてないんですかね？
四則演算と同レベルのルールに「括弧は先に計算する」とか「基本は左から」とかあるじゃないですか
例えば3^3^3^3^3･･･みたいなのを実際に書いてみると、左から計算したときと右から計算したときでは明らかに値が変わるから、どっちから計算しましょうね、というルールがあったりしないのかな、と。
そもそも(a^m)^n a^mn (a^n)^m この法則の前提条件にa>0はないんでしたっけ？
無いからこんな面倒な議論起きるのかな
多分、a>0以外のaを考え出すと複素関数とか数学的議論が必要なんでしょうね
実数の範囲での√の定義は2乗根のうち負でない方をとる約束があるところを、複素数の範囲で√の計算をしてく内に負の方が出ちゃったみたいな感じですかね
指数対数てこういうところが難しいよな
地震の最中だったんですね！被害がなさそうで何よりでした
底は何でもいいですが…2にしときますね
In8=3が意味するのは2^3=8として対数と指数を相互に行き来できるようにするならば
In(x^2x)=In(1),つまり2^0=x^2xとなりますが、これは真数条件を満たせなくなります…
まぁ、定義が実数に限ってますから曖昧ですが…
昨日撮影されたのですか。大丈夫でしたでしょうか。
考えたことがなかった話で新鮮でした。