x^πを微分せよ
HTML-код
- Опубликовано: 7 сен 2024
- 厳選２００問 詳しい解説、解説動画へもワンクリックで飛べる→
note.com/kanta...
オンラインサロン→lounge.dmm.com...
新刊「中学生の知識で数学脳を鍛える！８つのアプローチで論理的思考を養う』amzn.to/2UJxzwq
ブルーバックス「大学入試数学 不朽の名問100 大人のための“数学腕試し”」amzn.to/2Q7bUvU
この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.j...
過去動画の大学別・分野別検索はHPからkantaro1966.com
連絡先 仕事の依頼 問合せ→
kantaro@momo.so-net.ne.jp
ツイッター / kantaro196611
お勧め動画
自然対数の底e ネイピア数を東大留年美女＆早稲田中退の社会不適合文系コンビが真面目に語る • 自然対数の底e ネイピア数を東大留年美女＆早...
＃数学 ＃高校数学 ＃大学入試
![Proof of the actual question “The derivative of sinx is cosx” [Osaka University].](http://i.ytimg.com/vi/jpqkGIkcAvM/mqdefault.jpg)
微分するときは、どんな指数であれ、指数-1をするという基本的な証明さえできていなかった事に気付かされました！
ありがとうございます😊
数学の予備校講師です。
教師時代に、合成関数の微分を
鈴木さんが行った証明方法で
私もやっていたら
とある先輩教師に
「dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)」と
教科書通りにやれ！と
叱られたことがありました。
正直「ふざけんな！」と思い、
今でも鈴木さんと同じやり方で
教えており、好評を得ています。
この動画で安心しました。
ましてや、この「x^nの微分」は
「nは有理数まで可」と
学校教科書は掲載されてて
無理数の場合はコラム的な扱いで
定義にまではされていなかった···
この動画でしっかり説明してくださったことに非常に感謝します。
ありがとうございます🙇
πは整数ではないので同じく対数微分法を選択しました
人類は十進法を採用しました。
みたいに言わんで…
おはようございます。
自然数 → 有理数 → 無理数 と、数学のフィールドは広がって行くのですね。
さらに、わかる（できる）ことが増えれば、それ以上にわからないことが増えてゆく。
これを、面白いと思えるかどうか…。
皆様と同様に答えはすぐ出たのですが、後は何度も動画を止めて、必死でメモしました。勉強になりました。明日も、よろしくお願いいたします。
以前に言語学者さんに説明したeについて言及されていましあね。
eを定義し導入したのは、底eの対数関数logxの微分が、1／xとシンプルになるためだったと。
そこでちょっと思ったのは、limh→∞（1＋1／h）^hが∞に発散もせず、0に収束もせず、2.71828…の無理数になっていたってことは、偶然の必然だったのか？幸運だったのか？
当時の数学者達はどんな思いをしていたんでしょうかね。
ありがとうございました。今日はバリバリ数Ⅲ微分導関数の一番最後にくる問題です。皆当たり前やないかと思っても、証明をしたことはないと思います。明日もよろしくお願いします。
ここまでやるなら指数法則が無理数にまで適用できるのも証明してほしい…
文系なので数ⅡBまでしかやらないけど、微分の指数拡張は知りたかったので、本当にありがたい
非常に内容の濃い動画になっていると思います。パターンで答えを出しがちなところを丁寧に定義からレクチャーするという。とても勉強になりました。
ありがとうございました。基礎に立ち返っての講義は楽しいです。
きちんと証明してくれてありがたいです
久々に微分の定義を復習することができました
この種の議論では，既知とする事項に注意を要しますね．
以下は，微分係数の定義から結果を得るための不等式の導出例です．
0
@@user-dl8nk5bf8v ご指摘，有難う御座います．b^{1-(1/m)}
ありがとうございます！
ありがとうございます。
毎度の定義からの丁寧な説明、ありがたいです。
17分の説明が長ったらしい。両辺に対数をとると、Ln(y)=Pi log(x),両辺を微分すると、(1/y)dy/dx=Pi/xゆえにdy/dx=y・Pi/ｘ→x^Pi＊Pi/x→Pi＊ｘ^(Pi-1)でいい。
最初微分の定義に基づいて
((x+h)^π-x^π)/h
の極限を考えてみましたが、分子の展開ができないことに気がついてあっさりと挫折してしまいました。
合成関数の微分と対数関数の微分を使って指数を下げるのには驚きました。
先生の初期の動画を見てネイピア数のことや定義に基づく各種の微分法を知ったばかりなので、今日の講義はとってもわかりやすかったです。
勉強になりました。ありがとうございました。
同じこと考えました。
2項定理と高次の無限小の無視で行けそうですが、結局そこで一般化二項係数とか使うし、あんまり意味がなさそう。
@@smbspoon-me-baby さん
このあたりって大学の数学ではどうなっているんですか？指数法則は指数が無理数の場合は証明できない、だから有理数による近似を考えて、その極限とする、というのがネットで調べてみてわかったことなんですけど。今日のテーマについては、微分そのものが線形近似なんだから、指数が無理数でも微分の公式は使える、というのが私の大雑把な理解です。
@@user-dl8nk5bf8v さん
ありがとうございます。今日手持ちの本で調べられる範囲で調べてみたのですけれど、指数が無理数の数を扱うのは極限についてのかなり高度な知識が必要らしいことは理解しました。そこまで進むにはまだまだたくさん勉強しなければなりませんが、時間がかかっても理解できるところまで進んでみたいと思います。
全く本質的でないが，個人的にはnは整数を想起させるので無理数を扱うときには別の文字で置きたい
合成関数の微分の導出忘れてたのでいい復習になりました！
じゃあ、nを虚数まで拡大するとどうするの？と思ったら先生の胸に書いとった。
書いてないぞ。先生の胸に書いてあるのはe^iπ。ここでできてんのはx ^iπ
@@menmen9610 まあ、間違ってはないやん。それがもとになっているわけだし
@イエローパンケーキ 詳しく説明すると長くなりますが、そういう風に考えています。(別の考え方をお持ちの方もいるので、断言することはできませんが、)
@イエローパンケーキ いや、一応保険かけといただけよww。めっちゃマニアックな人かもしれないし、そういうの否定してるみたくなるのも嫌だったから。
@イエローパンケーキ 俺もマクローリン展開からe^iπを求めてiπ代入する方法しか知らないけど、そうやって求めるって言いきっちゃうとマニアックな方々から批判されそうなので、他のやり方があるかもしれない、って保険かけたってことよ。
対数微分法対数微分法とよくいうけど、y=x^n=e^(nlogx)なんだから、y'=e^(nlogx)n/x=nx^(n-1)は対数とらずに合成関数の微分で自明なのでは。y=x^xとかを微分する時もわざわざ対数を両辺とるとかする必要もないし、仰々しく対数微分法なんて名前をつける必要もない気がする(まぁ対数取っても問題がわるわけではないけど)。
Super good explanation!
6:50 掛け算の順番は入れ替えていい！
算数を教えてる先生全員に知っててほしい（知ってて当然ですけど）
結果は感覚的には明らかですが、対数を経由して証明されるのは意外でした。
高校生の時に聞いたことあります。
割とメジャーじゃね...？
対数経由が最も一般的だろw
そんなんで大丈夫か
なんでここ煽ってるんだ
数学オタクきっ
まだ示していない、の基準がよくわかりませんが、数学IIIの教科書には指数が実数の冪乗の微分の証明もしっかりと載っていたと思います。
微分の根幹の説明 ブラボーです‼️
おはようございます。貫太郎先生、微分の公式証明に感謝します。ふと小生45年前の大学数学科での微分積分学の講義と、担当教授のお顔が懐かしく思い出されました。
1/log_e(a) も必要ですね？
すごい 素晴らしい
ありがとうございます。
解けた！
勉強の成果が出てきてて嬉しい…
対数微分あんまり好きじゃないなら指数絡みの微分はf(x)=e^logf(x)って変形して合成微分してる
答えは1秒で出せますから、多分自分としての最短記録？
でも、それを示せと言われると対数微分法にたどりつくまで少し時間がかかりそうです。
累乗部分が無理数では無く、有利数の場合もなかなか自分で示すのは難しい。こういうことをきっちり論証できる力が数学基礎力なのでしょうね。
本日も勉強になりました。ありがとうごいました。
う～～ん…すんばらしい！
イイね千回ぐらいか座布団100枚かｗ
与式を見たとたんにπx^π-1じゃない？と思った人が多数じゃないかと思うけど、ではなんでそれが成り立つか？ということになると説明できないのが普通じゃないかと。
それを15分そこそこで講義してしまえるのは凄い。
濃厚な時間でした。ブラボー!!🎆🎆
いいね千回は押せてない
@@user-bk3nq2uc7p 千人が押すってことな
@@yu-od8jy いや少なすぎだろ
15分そこそこ、ってのはすごいですね。及ばずながら、いいねします。
6:23 この部分、hが十分小さい時にgが常にg(x+h)=g(x)となる関数だと、分母が真に0になってこの変形ができなくなるので、一般の微分可能な関数に対してはこの方法は取れません。
説明しとるやん聞いとったか？
@@sandr2370 多分貫太郎さん自身がこの部分をちゃんと理解してないと思ったから補足
@@rairaikun1 じゃあ補足ってかいときゃ
おすすめで出てきて視聴しましたが、
濃密な時間を過ごさせて頂きました。
ありがとうございます。
高校数学やり直そうかな…。
よかった。ぱっと思ったので間違えてなかった。でもちゃんと理由もなっとくできるかたちになってるのはいいね。
最後のやり方、x^π=e^πln x に変形して、合成関数の微分をやれば簡単だよね
そもそも高校数学では 無理数 p について x^p が存在するかどうかをきちんと証明しないのだから、 高校数学の範囲で(x^π)' を形式的に求めてもあまり意味がないような気がするけど。
高校数学では、そもそもε-δを使わない点で微分すら定義があやふやですからね
高校数学ではこんなふうにお茶を濁します
数列p[n]を
p[1]=1
p[2]=1.4
p[3]=1.41
p[4]=1.414
p[5]=1.4142
のようにnが増えるにつれて√2の小数部分が増えていくと定義すると
lim[n→∞]{p[n]}=√2
である
ここで関数f(x)=a^xは全ての実数xに対して連続である
よって
a^(√2)
=a^{lim[n→∞]{p[n]}}
=lim[n→∞]{a^p[n]}
となる実数と定義できる
考え中ワイ「普通に1引けば...いや、無理数だからやめた方が良いか...
てことは対数とって微分するしかないか」
計算後ワイ「いや結局有理数と同じやないかい」
@katteにtv
高校では無理数乗の微分が普通にできることは習ってなかった気がしたので対数を取ってみたんですが、どこまでが高校で習っていてどこからが大学の範囲なのかが曖昧になってしまっていて…
対数をとって微分するのが数Ⅲの範囲なのは覚えてます。
「実教出版」さんの数学IIアクセスノートは微積分の最も簡単なやり方がのってます。2x=x^2 ほとんど恒等式です。
これはいい動画
動画時間長いのに数2までの人で数弱の方が逆に解けそうなの草
基礎から教えていただき、勉強になりました。自分ではまだできないですね。
xの定数乗のただの指数関数なので、答えは一瞬でわかりますね。
でも、指数が無理数でも問題ないことを丁寧に解説されていると思いました。ありがとうございました。
Tシャツのファッションが斬新すぎて気になる
こちらから購入できます。デザイン豊富なので覗くだけでも是非。
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
数学得意ではないのでちょっと基本的な質問で恐縮なんですが、y=log xの時、x,yって無理数はokなんでしたっけ？
y=log xということは、x=e^y なんですけど、無理数乗って高校で学ばなかった気がします。
eが無理数なので、xは無理数okとは認識していますし、ですので、今回の動画のご説明で問題となるとは思っていません。yは有理数にもなるとは思いますし。
今回の話というより、指数関数で無理数乗って可能なのかなとフッと思っての質問となります。
高校の一般の検定教科書はしっかり読まれましたか？無理数上は極限として定義されると言及されていますし(厳密な議論では無いものの)、そもそも指数関数の微積分を考える上でxは連続である必要があるので、必然的に実数全体で定義されてることは前提ですから、当然無理数でも定義されてます。数学IIの時点で指数関数と対数関数のグラフを扱う時点で無理数乗は前提となっています。
ご存じだとは思うのですが、微分のことを「ダッシュ」というのは気になります。日本の慣習でしょうか？ 欧米では必ず「プライム」といいます。ダッシュとは「ー」のことですから、これについては欧米でもダッシュと言います。向こうで微分をダッシュと言ったら、多分キョトンとされるでしょう。これまではダッシュでも良かったのでしょうが、国際交流をしていく若い人々には、微分の「チョン」は「プライム」と言ってほしいです。
根本から学べました！助かります！
俺なら普通に導関数の定義に従って、代入して、二項展開して、証明するかな。
微分・積分は本当に「奥が深い」と‥‥💦
結論:Tシャツの癖が強え。
すべての実数にたいして対数ってとれる？
正実数にならとれます
x≦0でも示すにはどうしたらいいんだろ
t=-xとか置換すればいいのかな
指数部分が非整数だとそもそもyが実数ではなくなります、、、
@@kt-gk2pj 底が負のとき、指数が整数なら実数になるけどそうじゃないと定義されないんでしたっけ。
@@user-du1te7ks2w そうですね
少し調べたのですがy=x^(1/3)のように全ての実数が取れそうな関数でも定義域はx≧0とするルールらしいです、、、
任意の実数nに対してy=x^n → y’=nx^(n-1)を証明させる入試問題もありそうですね
わかりやすっ！
数学なんたらの区別ってどうなってるんだ？
学校で微分は数学Aでやってて合成関数の微分もそこでやった
積の極限を極限の積と等価とするには条件があったような...
極限の文字と関係ない数字は前に出せるよ
a, bを正の整数としたとき、「×」という演算を初めて習う小学2年生では、それを「a×bとは、『Xが1つ増えると、Yがa個増える』という規則がある謎の存在X, Yにおいて、Xがb個存在するときのYの総数のことである」と定義するので、交換法則が成り立たないというのは極めて妥当かと思います。
実際日常生活においては交換法則は成り立ちませんもんね。1個120円のりんごを3個買ったらいくらでしょうか？という問題に交換法則を当てはめると、1個3円のりんごを120個買ったらいくらでしょうか？になります。もちろん計算結果はかわりませんが、3円のりんごがそもそもあり得ないですし、一般人が120個も買うわけがありませんもの。
@@HANKAKUEIJI 計算結果が変わらないのなら交換法則はその時点で成り立ってますよ。
マジレスとか言われそうですがさすがに論理がめちゃくちゃすぎる
@@user-hj9dk8uw4c これは論理とかじゃないんですよ。感覚的な話です。日常生活においては数字に単位をつけますよね。計算結果にも、もちろんこの単位がつくはずです。
120(円)×3(個)=360(円)
ここにおいて交換法則を考えると
3(個)×120(円)=360(個)
となり、求めたいのは何円かなのに、単位が個になってしまいました。というより、後の式は
3個のものが120円あった場合360個になる
と読めるのですが、意味不明です。つまり、これはおかしいとなるわけですね。やはりそこには順番があるというわけです。あくまで感覚の話ですよ。交換法則が成り立たないというのは言い過ぎ感ありますがね。交換法則と言い出した途端に日常生活から外れますから。交換法則は成り立つが、日常生活において用いる掛け算では自然な順番があるので、もし数式にする場合はその順に気をつけた方が良い。これくらいのマイルドな言い方が良いかもしれませんね。
@@HANKAKUEIJI
3個のりんごがあって1個120円です
↑
これが交換法則の適用
@@user-ij3gx3pi3z その場合も式は
120円×3個=360円
になるので俺の言ってる話とは違いますよ。
合成関数の微分の説明わかりやすい！
ありがとうございます。
数弱ワイ「なんか無理数でもできてた気がするし自然数と同じようにやろ！」
無理数ができるかどうか
という着眼点がそもそも無かったな
当たり前のように考えてた
有理数まで証明できてるなら有理数の粗密性から無理数でも成り立つことが明らかでは？
合成関数……ああ、本格的に数学についていけなくなったあたりだ……
鈴木さんは応用数学がお好きなようですね。
合成関数の微分法よりチェインルールって言った方が分かりやすいよね
合成関数の微分忘れかけてた。あざます。
これはいい問題だったな
無理数の次は虚数ｗ
y=x^iはy'=ix^(i-1)なのだろうか？
問題はlog(x^i)=i×logxが真か偽かってとこかな
あれ？そもそもxy平面上に連続じゃないから微分不可能？
数学の公式集を読むと、指数は自然数のｎに限るとある。これで、公式と言えるのかと思った。
複素数でも成り立つのですか？
「aが実数(特に無理数)のとき、x>0⇒x^a>0は成り立つのか？」と考えています。無理数乗を実数列の極限に戻し、指数関数の連続性を用いればよいのでしょうか... 高校範囲で示せるのかな？
実数列の極限ではなく有理数列の極限ですかね
出来ればグラフも書いて見せてほしかったです
すげー分かりやすかった
logって便利なんやなぁ…
eの説明のところt→+0になるんじゃないんですか....？
そのTシャツ、どこに売ってますか？
概要欄をご覧下さい。
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
合成函数の公式って丸覚えじゃだめですよねぇ
対数微分法最高
x>0の時点で対数微分法だなと思いました
これ高校数学の教科書に載ってる内容そのものですね
y‘=1/3x^2+C
脳死で対数微分で解きました
すみません、初っぱなから何の話かわからない…
おお！
結果はよくわかった
結局、ただの微分と同じじゃねーか！
数3で実数係数ならOKなの証明したから普通にやるわ
ヨシッ❗
せんせー、蛍光灯が映り込んじゃってます！ギリ見えるけど
中野英雄さんに似ている・・・
これから見るけど自然に考えたら
πx**π-1
だよなあ
文系俺「うーん、xのだいたい2.14乗！w」
文系かつ小卒で草
h→0を極限をとる時にg(x+h)-g(x)がどこかでg(x+h)=g(x)になっちゃって0になる可能があるのかなって思いました
それについては言及しておりますが。
早口過ぎて何言ってるかわからない 笑
π=3なので微分してy=3x^2ですね
に
ありがとうございます！
ありがとうございます。
ありがとうございます！
ありがとうございます。