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両辺nで割って six=2/nよってn=1/3
これ好き
天才現る
n=0で場合分けしなきゃ!!
ドラ・ヤキスキーの公式
求めるのはxだけど？
高校だとここまで習わないのに大学だと知ってることが前提で講義が始まり、こんなおもろいことをスッと受け入れてる教授素敵と思った記憶がある
これは高校範囲じゃないので高校生はわからなくても焦る必要はないです
よかったぁぁぁ、、、このコメなかったら焦ってるとこだった、、
「世界が広がる」って言われると知りたくなるー！
よかった、本当によかった、
このコメあげたい
息抜きに見るRUclipsで数学の動画見るような子達は、「自分が知らなかったんだから他の受験生も知ってるはずない、知れてラッキー」くらいに思ったらいいのにね
テイラー展開・オイラーの公式の導出が、今まで見たどの動画よりも一番わかりやすかったです。スッキリしました、ありがとうございます！
もう10年以上前に大学を卒業したものですが、こんな上質な動画を観ることができる今の学生がとても羨ましいです。こういう動画を高校時代に見れたら、未来が変わっていたのかもしれません。話の内容自体は高校数学から発展したものですが、この動画の世界（複素関数論）は、登っていくと、コーシー積分の式や解析接続等の非常に魅力的なトピックへと繋がっていきます。この動画を観て、何かときめいた高校生が発奮し、自力で高みまで学習を続けることで、未来の数学者が生まれるかもしれませんね。そう考えるととても素敵な動画と感じました。投稿ありがとうございます。ところで、サラッと使用されましたが、複素係数の2次式の場合、解の公式は「本当に」使用できるのでしょうか？（これもまた、深い世界が広がる話になりますが…笑）
うんつかえる
テイラー展開もオイラーの公式も高校範囲で理解できると思ってなかったから感動した
数学は小学校から最新の研究まで、少しの新たな発想の積み重ねで全て繋がってると思うと、ワクワクしますね。テイラー展開も高校数学にちょっとアイデア足すだけで出てくるのは面白いですね。
@@shooto54 さん話が飛びますが「この世にはダメな生徒はいない。ダメな先生がいるだけである」というどこかの言葉を思い出しました。
@@北島正隆-d5x 教師に暴力振るってる奴も先生のせいってこと？
@@ネピア-x2e ある日突然先生に暴力を振う人なんてなかなかいないからそれまでに予兆があったはず、それに気が付けなかった先生が悪い
@@ネピア-x2e 先生って語源的には、先に生まれた経験を生かして教える人って事だから、広義で解釈すると親も先生ダメ親の愛情不足とかで、そういう生徒が育つだろうね。稀に先天的なDNAのバグでサイコパスってパターンもあるから、それは仕方ないけど。
数学嫌いなはずなのに気づいたら動画の内容に夢中になってた……さすが河野さん他と比べたことないから分からんけどきっとめちゃめちゃ教え方お上手なんやろなぁ
オイラーの公式をここまで簡単に理解できる動画はない
なんか、そういうデータあるんすか？
それってあなたの感想ですよね？
@ぬーぷでぃんぐ 落ち着こう
おいらの公式
河野玄斗は好きだけどコメ欄がちょっと幼いよね。僕の感想
テイラー展開の仕組みがこんなに分かりやすく説明できるとは日本最強の頭脳は明快にするという並の頭脳派にはできないことも平然とやってしまうのか……
もう数学から何年も離れてしまったから100%の理解はできなかったけど虚数を使うと-1〜1って覚えてた範囲が拡大することはわかった！虚数って凄い、、、
sinx＝2six＝2/n6＝2/nn＝1/3じゃないの？
答えすり替えんなやw
n≠0が不適当なのを一応言わないとダメやで
@@ああああ-s7h8u n=2/six と見ればおけ
最初見た時何言っとるんや？ってなったけど理解したら発想が面白すぎて笑った
よくあるやつタイプのコメントやな。
sinx=2 (与式)six・n=2 (交換法則)6n=2 (錯乱)n=1/3 (QED)
これは強い(確信)
最初に数の概念見つけた先駆者ニキはこんなことになるなんて考えもせんかったやろなぁ…
ピタゴラス「それな」
ピタゴラス教団「無理数は実在しない。いいね？」
ヒッパソス「1:1:√2...？奇妙だな...」
小泉進次郎「sinX＝2となるXはsinXが2になるXのことです」
まぁでもコセカントやから考え悪くないやで
@@めるた-k3w 確かに
「1+1=2になるのは1+1=2と定義されているからです」
あ・た・り・ま・え (妻より)
ホント、進次郎なら言いかねん(棒)。
11:46ここまでくるとあの有名なバーゼル問題まで後一歩。
マクローリン展開ってかっこいいよな(小並感)
高校生だけどくっそおもしろかった理系でよかったって心から思った
教授がオイラーの公式詳しくやってくれてなくてよくわかってなかったけどめっちゃ分かりやすかったもう忘れないわ
同じく笑
マクロリーン展開とオイラーの公式懐かしいなー。1番最初のsinx=2から、まさかマクロリーン展開やオイラーの公式が出てきて、話が大きくなるとは…。
これ本質は-isin(ix)=(e^(x)-e^(-x))/2=sinh(x)で虚数を介して三角関数と双曲線関数が繋がっていることだと思うんだよな。二次曲線でx^2とy^2を持つ円と双曲線が虚数で結ばれるのは面白いと思う。
思いついたんですけど、(cosx)^2+(sinx)^2=1と組み合わせると、e^(ix)=(+-√3+2)iがすぐ出ますね
虚数単位iの自然対数が整数を基準に周期してるってのが何よりも面白い
というより「周期」の定義的に必ず整数が絡みます
@@ボブやねん それを面白く感じてるんじゃないですかね…知らんけど
マクローリン展開が出てくるなんて面白いなぁ
すげー。なんか完璧にわかったわけじゃないけどなんとなく分かった。
@@あは-k9j いいね正解大卒
I have no idea why I'm getting Japanese math vids in my recommendations but I don't mind
大学閉鎖になったので、勉強耐久動画出してほしいです
ほんとにいるんだこういうひと
@@oo2500 それな
消えちゃった
Xの値を複素数まで拡張してやれば可能なのかぁ
学生の時に置いてきた知識をこんなところで拾うことになるとは。絶句。感謝。
sinxはx=0で正則だから、マクローリン展開ができるんですね。そして、x=0の近傍(収束円盤内)で考えているから、何回でも項別微分が可能なのですね。
iのi乗やlog(i)が一意の値にならないって習った時は、実数の常識が通用しなすぎて頭おかしくなりそうだった
何気なく見たけどわかり易すぎて理解できてオイラーの公式に感動した
最高に面白かったです。オイラーの公式にこういう使い方があるとは、、
複素関数のlogを実数関数のlogと同じ扱いするのってwell-definedなんですか？
@@秋山真凛-z8k logz=log_e|z| +i(argz)じゃなくてもwell-definedになるってことですか？
つい最近習ったとこや！こっちの方が分かりやすすぎる！
こうのげんとさんのおかげで人生変わりました！すごい勉強集中できます！
毎回こんな面白い動画作っててネタ切れないのが不思議
三角関数は±1以下という思い込みがぶっ壊れました。実態として認識できる領域より外の世界を描くために虚数があるということでしょうか。虚数を知って10年以上たつけど、初めて概念の一端を理解できて感動しました。
ありがとうございます！合コンで使います！
酒飲みながらでも理解でできました！応援してます！
数学には様々な考え方があるということがわかりましたので僕も何かに役立てたいです‼️
久しぶりに見たら複素関数論の内容入ってて草
複素関数って高校の範囲になりませんでしたっけ？
複素平面だけなんですよ。そのせいで高校生の時にこいついる？って思ってました。大学に入り趣味で数学と物理を進めた末に、虚数がこんなに美しい世界を作り出していたと知ったときは感動しましたね。
自語りキモすぎで「草」w🤪
数学的に怪しい内容が含まれるから、大真面目に聞くんじゃなくてそういうトピックもあるんだなってくらいの気持ちで聞くべき。内容が悪いって意味ではなくて、高校で極限をごまかして教えるのとおんなじ気持ちだと思う。
バグを見つけるような感覚になりますね
7:35 この数式が最も美しい数式といわれるのは、e,π,i,0,1という数学において根幹をなす概念がすべてつかわれているからです
美しいと言うより贅沢ですね
わかりやすい。大学の内容が入ってるのがまたいい。プログラミングも教えてほしい。
冪級数はマジで応用範囲広くて楽しい
数学科卒社会人です。数学解説RUclipsrの方々影響か、一般の人たちの数学科卒の株が上がっている気がします。
拡張すればどんな方程式でも一応解はかける。
解くことは原理的に可能だけど、解が発見されていない方程式はありますよね（ナビエストークス方程式）
一般解を導くのはかなり大変そうですね。たとえばアインシュタイン方程式なんかは特殊解を見つけるだけでも名前がつくほど解を求めるのは大変です。
すみません、質問です。3:20 で-cosx=3!a(3)+4!a(4)x+.......と続いていますが、-cosx=3!a(3) + 4!a(4)x + 5!×3a(5)x^2 + 6!×4a(6)x^3......という風になってあとからの計算が合わなくなってしまうんですが、どこか間違っているとこがあるんでしょうか？
6ヶ月越しで申し訳ないのですが...正しくは、-cosx=3!a(3)+4!a(4)x+5×4×3×a(5)x^2+6×5×4×a(6)x^3+⋯⋯だと思います！おそらく記述を簡略化するために階乗を用いているので、微分の過程を分かりやすく記述するなら-cosx=3×2×1×a(3)+4×3×2×a(4)x^1+5×4×3×a(5)x^2+6×5×4×a(6)x^3+⋯⋯というふうになりますね！
いろんな人の数学の動画を見てるけど、この人のがいちばんわかりやすく、嫌味もないと思います。
高校生です、すごく感動した！テイラー展開からのオイラーの公式の導出からのsinXの公式化これが理解できるのを心から喜びます、あと、河野さんが導いたsinXの公式とsinhの公式似てるようで少し違うですね使い方も知りませんがなにが違うのか知りたいと思いました
理系院まで来てちょっとは算数できるようになったと勘違いしてたけど、なんか目に張り付いてた鱗20枚くらい引きちぎられた気分になりました。
痛そう（小並感）
@@PositiveOpinion 細かいこと言うけどテイラー展開な。テイラー展開を用いて導出される公式がオイラーの公式
@@green-soy-beans 学部で習うレベルなんてなんて全部、算数だよ
こういう学習系の動画はでしゃばる奴同士のしょうもない言い争いが見られておもしろいから好きw
別に数学使わない院だってあるだろ
一瞬でオイラーの公式を説明する有能
実数係数では無いのに、二次方程式に解の公式を適応してもいいのですか？
マクローリン展開からのオイラー公式への導入、大変勉強になりました！ただ、理解できないのがその先のオイラー等式の導きです。マクローリン展開がx＝0まわりでの展開であることからこの導出だとオイラーの公式もx＝0周りでしか成立しないと思うのですが、それにも関わらずπという比較的大きな数字を代入しても問題ない理由が分からないです。知識不足で申し訳ございません。ご教示いただけると幸いです。
複素指数函数（exponentの頭を取って、exp(z)と略することが多いので、以下はこの表記とします。）は、原点周りで絶対収束することを定理としています。厳密性を欠くことを承知でかなり簡単に書くと、複素空間上ではexp(z)はただの単位円であり、各点はあっちゃっこっちゃ飛んでいかず、原点を唯一の焦点とする円周上で無限に回り続けますよということをマクローリン展開は示しているのです。ただし、多価函数になるので、点が何周回ったかを条件付けないと、解がえらいことになります。この条件解を主値といいます。ところで、一般の複素函数は一意的に収束するか全く保証がなく、留数定理というものを用いて、不確定な動きをどうにか把握せざるを得ないのですが、exp(z)の別名が正則函数であることからもわかるとおり、非常に素性が良いのです。ほかに正則函数であるものとして、正弦関数（拡張概念である双曲正弦函数を含む。）が挙げられます。余弦函数は階微分したら正弦函数に一致するから、おまけです。本題に戻りますが、exp(z)の指数が０とは弧度法による角度表示０ラジアンであることと同義です。ｚは複素数（ドイツ語のzahlの頭）であるので、何で角度と関係するのかと疑問に思うかもしれませんが、Eulerの公式とDe Moivreの定理を使えば、指数と円の中心角（複素解析では特に偏角といいます。）との動きが連動していることを把握できます。まさにｚ＝iθ（偏角の表示はθの代わりにψを使うこともあります。）は代数と幾何とが連繋していることの証左です。惜しむらくは、円周率πの定義が（円周長/直径距離）であるせいで、e^(iπ)＋１＝０という半円周での解析で終わってしまっているところです。正円本来の定義である「任意の一点（焦点といいいます。）から同一距離にある無数の点を連続的に繋いだ軌跡」を鑑みれば、当然、一周回って１に戻れるやろうということで、倍円周率τ（タウ）を用いたe^(iτ)＝１を主張する勢力もあります。
大学一年で数学嫌いになりかけてたワイ、再び数学好きになる。
13:45のように、log(2ー√3)＝－log(2＋√3)と変形できるのはなぜですか？このように変形できる条件や公式があるのか、それとも偶然ですか？どなたか教えていただけると嬉しいです🙇
真数を有理化してるんだと思います。2-√3の分子分母に2+√3をかけると1/(2+√3) となるので、(2+√3)^-1と見て-1をlogの前に出してます
@@完全数-w1u 操作はそれやってるんですが、有理化は対象を有理数に直すことなので、今回は単なる変形かと、、
ちょうど同じところでつまづいていました。助かりました。
e^ix = cosx + isinx の導出は面白かった、俺にとって新しい方法。
最高に綺麗じゃないですか！
僕数学好きだと思ってたけど動画とコメント見てそれが幻想だってことに気づいたわ
本物だ( °_° )数学に取り憑かれた人って一定数いますよね私も新入生ですが早稲田でさえ線形代数の有志回答問題でブリュア分解の証明とかいうの出されて解けちゃってる訳の分からない人います😅
15分でこの内容は結構価値ある
sinxを多項式にするとこで思考が停止しました🤸
受験生になったらわかるよ
教科書のコラムでオイラーの公式見て感動した
え、何年生で出てきますか？
@@大東亜共榮圏 高3、新学校だと高2
教科書って侮れないよね
オイラーの公式、超懐かしいですな。理系出身のおじさんです。
突き詰めると、三角関数もパイ(円周率)も自然対数も”比率” 計算結果が２となるサインＸって空間がねじ曲がっていることになる
ｘｙｚ空間を考えるみたいに、ｘを実数、Yを虚数、Zを演算結果と考えるといいのかもですね。これを言い切れる自信がないですが。
虚数まで拡張して考えると色々な数学のバグみたいなの見つけられて楽しいです。簡単なモノだと1^x＝2ややこしいやつだとsin（sinθ）＝1まぁ、他にもありますがキリないのでここまでにします。
1^x=2本当に初めて見かけて面白そうなので、解いてみました。zのw乗=exp(wlogz)で、z=1。log1は複素関数論ではlog1=2niπ。nは任意の整数。よって、1^w=exp(w2niπ)=2=exp(log2)exp(2miπ)=exp(log2+2miπ)・・・このlog2は実関数としてのlog2。よって、2wniπ=log2+2miπ実関数として考えれば、n=0であり、解が存在しないが、n≠0なら両辺を2niπで割ってw=-i(log2)/2nπ+m/n (nは0以外の任意の整数。mは任意の整数)
理系なんだけど、最近数学の動画見るのハマってしまった
数学の時間に先生がされたオイラーさんとネイピアさんの話は感動した
完全に忘れてたけどなんとなく記憶が蘇ってきた
オイラーの公式、電気自動車用の永久磁石同期モータのベクトル制御理論で実務で使用してます。sinxの多項式表現は１パルス制御で使用してます。解説頂いた内容、仕事で役立っております。
X+X二乗+X三乗・・・・・のXに0を代入すると、全部0になるっとさらっと、説明されましたが、何故そうなるのか教えてください。∞の概念が入ってくるのでそうはならないように思うのですが・・・
多項式で表せるとすると、この係数を満たす必要があるけど、そもそもの多項式で表される証明にはなってません。
近似させてるだけですね
ほんまわかりやすい
sinx=2両辺を6で割ってn=1/3
方程式の解は実数解という縛りがなければ存在するわけですね。どんな屁理屈をぶっ込んでくるのかなと思って視聴したのですが、オイラーの公式がいかにして導出されるのかがわかりやすく説明されていました。電気電子工学の勉強をするために大学に進学、そこでオイラーの公式は知っているのが前提ということで講義を進められ、早々に挫折したという苦い経験があります。いまはプログラミング関連で頑張っています。
実数の計算は1次元ですが、虚数は2次元なので違う次元での計算です。ですから、数学の法則が変わっているのです。分かり易い他の例を挙げると、通常は10進数の計算をしていますが、2進数の世界では１＋１＝１０です。１＋１をしているのに２を超えいます。って、おかしな事を言っていますよね。sinx=2も虚数の世界で計算しているので、同じようなものです。で、望月新一氏が「宇宙祭対比ミューラー理論」という新しい数学の理論を創り、この理論に従えばABC予想が解けると発表しましたが、その理論が正しいのかどうか世界では意見が分かれています。この理論は正しくないという意見の方が多数派だそうです。果たして、この理論は正しいのか？？？河野さんの見解をお伺いしたいところです。
細かいことだけど、無限に続くxの冪の足し算は“多項式(polynomial)”ではなくて、正しくは“級数(series)”です。あとは、最初の問題を提示する際、xの定義域を“複素数の範囲”と明示していないのは反則っぽいですね。せめて変数記号を、xでなくて、zを使うなどして欲しかったです。
分かりやすい…
高尚なはなし、ありがとうございます。折角ですから解説音声のレベルを標準値まで上げて聞きやすくすること。公式や計算式の大事な部分は活字で表示してくれるとも少し分かりやすくなりそうですねえ。sinX>1 があり得る、虚数を使えば、だとしたら図解ではどんなイメージでしょうか？
これが4元数まで行くと訳がわからなくなってくる…
電気回路分野のフェーザ表示にオイラーの公式をよく使うのでいい復習になりました
大学の授業を90分受けるのと同じくらい価値のある15分
素人質問で恐縮ですが、sinXをXの方程式で表すとき、Xの0以上条しか考えないのは何故ですか？X＝0のとき定義されなくなるからですか？そうだとしても、X＝0のとき𓏸𓏸それ以外の時、sinX＝××とかにならないと言い切れるんですか？
わかりやすい！
だってぇ、sinは-1から1までしかないじゃあないですか泣。
最近大学でオイラーの公式とテイラー展開やったけどこっちの方が分かりやすいww
解法を見てスッキリですけど、3Dグラフを見ると超スッキリですよね一目瞭然なのでぜひ紹介して欲しかったです😉
理系浪人生のわい、テイラー展開知れて感動早く大学生になりたい
頑張ってください💪('ω'💪)
一旦ε-δ論法が待ち受けてます
安心せえ情報系ならテイラー展開習いつつそこまで難しい数式は出てこない
がんばれ
オイラーの公式丸暗記で大学卒業しちゃったけど、今理解できるとめっちゃ感動した
6:31 で思わず｢すげぇ！｣って声出してしまった…！！
e^(ix)=cosx+i*sinxx=πとおくとe^(iπ)=cosπ+i*sinπe^(iπ)=-1e^(iπ)+1=0これ大好きすぎて理系になった理系になってから大嫌いになった
めちゃくちゃわかりやすかった！
本人は絶対知ってると思うけど項並びかえてて草
確かにwwまぁ絶対収束しないといけないとか、そんな無限級数の厳密性の話はここでやると長くだろうしねーやるとしたら、まず、級数の収束性から入って、その後、正項級数でない限り、無限級数内の項の入れ替えは勝手には出来ないことを言ってそれから、絶対収束つまりΣ|a_n|が収束すれば元のΣa_nも収束するってことを前提に数列{a_n}の全項が0でなくlim[n→∞] |a_n+1/a_n|=cと極限値が存在する時、c
@@1つ星 悪い人じゃないんだろうけどめちゃめちゃ喋るやん
@@mulant8219 そりゃ数学の証明だもん
@@n.r.3569 その通りなんだけどさ笑
くっさいくっさいいい人
高校で文系を選択、大学を法学部中退のワイ、数３って実に面白いとつくづく感じた今日この頃。
気づいたらオイラーの公式理解して草
「草」って何ですか？🤪🤪🤪時代は「わろける」だぞ！乗り遅れるな！
数Ⅲ履修済みの高校生でオイラーの公式はもっと自分とは遠い世界にあると思ってましたが、のほほんと動画見てたらオイラーの公式理解できててビビりましたw
院生にしてめちゃめちゃ勉強になった
@SS やってないんです。。
まあしゃあない
もっと直感的にわからないかなーと考えて見たy = sin(π/2 + xi) と問題文のxを実部π/2の虚数と仮定するとy = cos(xi) = (e^(x)+e^(-x))/2 と実数だけのグラフに変換できてy=2と交わるところが解となる(e^(x)+e^(-x))/2はyが1以上なら解があるのでy=2でなくても解なしにはならなさそうですね
なかなか上手いね。
９０分の講義でやっと分かるような内容が１５分程度で簡単かつクリアに理解できた。うーん、色々な意味で考えさせられる。
司法試験に合格した時の一日ルーティンみたいです！
おもしれぇぇぇぇぇ、さいこぉぉぉう！！！しびれるぅぅぅ
両辺nで割って six=2/n
よってn=1/3
これ好き
天才現る
n=0で場合分けしなきゃ!!
ドラ・ヤキスキーの公式
求めるのはxだけど？
高校だとここまで習わないのに大学だと知ってることが前提で講義が始まり、こんなおもろいことをスッと受け入れてる教授素敵と思った記憶がある
これは高校範囲じゃないので高校生はわからなくても焦る必要はないです
よかったぁぁぁ、、、このコメなかったら焦ってるとこだった、、
「世界が広がる」って言われると知りたくなるー！
よかった、本当によかった、
このコメあげたい
息抜きに見るRUclipsで数学の動画見るような子達は、
「自分が知らなかったんだから他の受験生も知ってるはずない、知れてラッキー」
くらいに思ったらいいのにね
テイラー展開・オイラーの公式の導出が、今まで見たどの動画よりも一番わかりやすかったです。
スッキリしました、ありがとうございます！
もう10年以上前に大学を卒業したものですが、こんな上質な動画を観ることができる今の学生がとても羨ましいです。
こういう動画を高校時代に見れたら、未来が変わっていたのかもしれません。
話の内容自体は高校数学から発展したものですが、この動画の世界（複素関数論）は、登っていくと、コーシー積分の式や解析接続等の非常に魅力的なトピックへと繋がっていきます。
この動画を観て、何かときめいた高校生が発奮し、自力で高みまで学習を続けることで、未来の数学者が生まれるかもしれませんね。
そう考えるととても素敵な動画と感じました。投稿ありがとうございます。
ところで、サラッと使用されましたが、複素係数の2次式の場合、解の公式は「本当に」使用できるのでしょうか？
（これもまた、深い世界が広がる話になりますが…笑）
うんつかえる
テイラー展開もオイラーの公式も高校範囲で理解できると思ってなかったから感動した
数学は小学校から最新の研究まで、少しの新たな発想の積み重ねで全て繋がってると思うと、ワクワクしますね。
テイラー展開も高校数学にちょっとアイデア足すだけで出てくるのは面白いですね。
@@shooto54 さん
話が飛びますが「この世にはダメな生徒はいない。ダメな先生がいるだけである」というどこかの言葉を思い出しました。
@@北島正隆-d5x 教師に暴力振るってる奴も先生のせいってこと？
@@ネピア-x2e
ある日突然先生に暴力を振う人なんてなかなかいないからそれまでに予兆があったはず、それに気が付けなかった先生が悪い
@@ネピア-x2e
先生って語源的には、先に生まれた経験を生かして教える人って事だから、広義で解釈すると親も先生
ダメ親の愛情不足とかで、そういう生徒が育つだろうね。
稀に先天的なDNAのバグでサイコパスってパターンもあるから、それは仕方ないけど。
数学嫌いなはずなのに気づいたら動画の内容に夢中になってた……さすが河野さん
他と比べたことないから分からんけどきっとめちゃめちゃ教え方お上手なんやろなぁ
オイラーの公式をここまで簡単に理解できる動画はない
なんか、そういうデータあるんすか？
それってあなたの感想ですよね？
@ぬーぷでぃんぐ 落ち着こう
おいらの公式
河野玄斗は好きだけどコメ欄がちょっと幼いよね。僕の感想
テイラー展開の仕組みがこんなに分かりやすく説明できるとは
日本最強の頭脳は明快にするという並の頭脳派にはできないことも平然とやってしまうのか……
もう数学から何年も離れてしまったから100%の理解はできなかったけど虚数を使うと-1〜1って覚えてた範囲が拡大することはわかった！虚数って凄い、、、
sinx＝2
six＝2/n
6＝2/n
n＝1/3
じゃないの？
答えすり替えんなやw
n≠0が不適当なのを一応言わないとダメやで
@@ああああ-s7h8u n=2/six と見ればおけ
最初見た時何言っとるんや？ってなったけど理解したら発想が面白すぎて笑った
よくあるやつタイプのコメントやな。
sinx=2 (与式)
six・n=2 (交換法則)
6n=2 (錯乱)
n=1/3 (QED)
これは強い(確信)
最初に数の概念見つけた先駆者ニキはこんなことになるなんて考えもせんかったやろなぁ…
ピタゴラス「それな」
ピタゴラス教団「無理数は実在しない。いいね？」
ヒッパソス「1:1:√2...？奇妙だな...」
小泉進次郎「sinX＝2となるXはsinXが2になるXのことです」
まぁでもコセカントやから考え悪くないやで
@@めるた-k3w 確かに
「1+1=2になるのは1+1=2と定義されているからです」
あ・た・り・ま・え
(妻より)
ホント、進次郎なら言いかねん(棒)。
11:46
ここまでくるとあの有名なバーゼル問題まで後一歩。
マクローリン展開ってかっこいいよな(小並感)
高校生だけどくっそおもしろかった
理系でよかったって心から思った
教授がオイラーの公式詳しくやってくれてなくてよくわかってなかったけどめっちゃ分かりやすかった
もう忘れないわ
同じく笑
マクロリーン展開とオイラーの公式懐かしいなー。
1番最初のsinx=2から、まさかマクロリーン展開やオイラーの公式が出てきて、話が大きくなるとは…。
これ本質は
-isin(ix)
=(e^(x)-e^(-x))/2
=sinh(x)
で虚数を介して三角関数と双曲線関数が繋がっていることだと思うんだよな。
二次曲線でx^2とy^2を持つ円と双曲線が虚数で結ばれるのは面白いと思う。
思いついたんですけど、
(cosx)^2+(sinx)^2=1と組み合わせると、e^(ix)=(+-√3+2)iがすぐ出ますね
虚数単位iの自然対数が整数を基準に周期してるってのが何よりも面白い
というより「周期」の定義的に必ず整数が絡みます
@@ボブやねん それを面白く感じてるんじゃないですかね…知らんけど
マクローリン展開が出てくるなんて面白いなぁ
すげー。なんか完璧にわかったわけじゃないけどなんとなく分かった。
@@あは-k9j いいね正解大卒
I have no idea why I'm getting Japanese math vids in my recommendations but I don't mind
大学閉鎖になったので、勉強耐久動画出してほしいです
ほんとにいるんだ
こういうひと
@@oo2500 それな
消えちゃった
Xの値を複素数まで拡張してやれば可能なのかぁ
学生の時に置いてきた知識をこんなところで拾うことになるとは。絶句。感謝。
sinxはx=0で正則だから、マクローリン展開ができるんですね。
そして、x=0の近傍(収束円盤内)で考えているから、何回でも項別微分が可能なのですね。
iのi乗やlog(i)が一意の値にならないって習った時は、実数の常識が通用しなすぎて頭おかしくなりそうだった
何気なく見たけどわかり易すぎて理解できてオイラーの公式に感動した
最高に面白かったです。オイラーの公式にこういう使い方があるとは、、
複素関数のlogを実数関数のlogと同じ扱いするのってwell-definedなんですか？
@@秋山真凛-z8k logz=log_e|z| +i(argz)じゃなくてもwell-definedになるってことですか？
つい最近習ったとこや！
こっちの方が分かりやすすぎる！
こうのげんとさんのおかげで人生変わりました！すごい勉強集中できます！
毎回こんな面白い動画作っててネタ切れないのが不思議
三角関数は±1以下という思い込みがぶっ壊れました。
実態として認識できる領域より外の世界を描くために虚数があるということでしょうか。
虚数を知って10年以上たつけど、初めて概念の一端を理解できて感動しました。
ありがとうございます！合コンで使います！
酒飲みながらでも理解でできました！
応援してます！
数学には様々な考え方があるということがわかりましたので僕も何かに役立てたいです‼️
久しぶりに見たら複素関数論の内容入ってて草
複素関数って高校の範囲になりませんでしたっけ？
複素平面だけなんですよ。
そのせいで高校生の時にこいついる？
って思ってました。
大学に入り趣味で数学と物理を進めた末に、
虚数がこんなに美しい世界を作り出していたと
知ったときは感動しましたね。
自語りキモすぎで「草」w🤪
数学的に怪しい内容が含まれるから、大真面目に聞くんじゃなくてそういうトピックもあるんだなってくらいの気持ちで聞くべき。
内容が悪いって意味ではなくて、高校で極限をごまかして教えるのとおんなじ気持ちだと思う。
バグを見つけるような感覚になりますね
7:35 この数式が最も美しい数式といわれるのは、e,π,i,0,1という数学において根幹をなす概念がすべてつかわれているからです
美しいと言うより贅沢ですね
わかりやすい。
大学の内容が入ってるのがまたいい。
プログラミングも教えてほしい。
冪級数はマジで応用範囲広くて楽しい
数学科卒社会人です。数学解説RUclipsrの方々影響か、一般の人たちの数学科卒の株が上がっている気がします。
拡張すればどんな方程式でも一応解はかける。
解くことは原理的に可能だけど、解が発見されていない方程式はありますよね（ナビエストークス方程式）
一般解を導くのはかなり大変そうですね。
たとえばアインシュタイン方程式なんかは特殊解を見つけるだけでも名前がつくほど解を求めるのは大変です。
すみません、質問です。
3:20 で
-cosx=3!a(3)+4!a(4)x+.......
と続いていますが、
-cosx=3!a(3) + 4!a(4)x + 5!×3a(5)x^2
+ 6!×4a(6)x^3......
という風になってあとからの計算が合わなくなってしまうんですが、どこか間違っているとこがあるんでしょうか？
6ヶ月越しで申し訳ないのですが...
正しくは、-cosx=3!a(3)+4!a(4)x+5×4×3×a(5)x^2+6×5×4×a(6)x^3+⋯⋯
だと思います！おそらく記述を簡略化するために階乗を用いているので、微分の過程を分かりやすく記述するなら
-cosx=3×2×1×a(3)+4×3×2×a(4)x^1+5×4×3×a(5)x^2+6×5×4×a(6)x^3+⋯⋯
というふうになりますね！
いろんな人の数学の動画を見てるけど、この人のがいちばんわかりやすく、嫌味もないと思います。
高校生です、すごく感動した！テイラー展開からのオイラーの公式の導出からのsinXの公式化これが理解できるのを心から喜びます、あと、河野さんが導いたsinXの公式とsinhの公式似てるようで少し違うですね使い方も知りませんがなにが違うのか知りたいと思いました
理系院まで来てちょっとは算数できるようになったと勘違いしてたけど、なんか目に張り付いてた鱗20枚くらい引きちぎられた気分になりました。
痛そう（小並感）
@@PositiveOpinion 細かいこと言うけどテイラー展開な。テイラー展開を用いて導出される公式がオイラーの公式
@@green-soy-beans 学部で習うレベルなんてなんて全部、算数だよ
こういう学習系の動画はでしゃばる奴同士のしょうもない言い争いが見られておもしろいから好きw
別に数学使わない院だってあるだろ
一瞬でオイラーの公式を説明する有能
実数係数では無いのに、二次方程式に解の公式を適応してもいいのですか？
マクローリン展開からのオイラー公式への導入、大変勉強になりました！
ただ、理解できないのがその先のオイラー等式の導きです。
マクローリン展開がx＝0まわりでの展開であることからこの導出だとオイラーの公式もx＝0周りでしか成立しないと思うのですが、それにも関わらずπという比較的大きな数字を代入しても問題ない理由が分からないです。知識不足で申し訳ございません。ご教示いただけると幸いです。
複素指数函数（exponentの頭を取って、exp(z)と略することが多いので、以下はこの表記とします。）は、原点周りで絶対収束することを定理としています。厳密性を欠くことを承知でかなり簡単に書くと、複素空間上ではexp(z)はただの単位円であり、各点はあっちゃっこっちゃ飛んでいかず、原点を唯一の焦点とする円周上で無限に回り続けますよということをマクローリン展開は示しているのです。ただし、多価函数になるので、点が何周回ったかを条件付けないと、解がえらいことになります。この条件解を主値といいます。
ところで、一般の複素函数は一意的に収束するか全く保証がなく、留数定理というものを用いて、不確定な動きをどうにか把握せざるを得ないのですが、exp(z)の別名が正則函数であることからもわかるとおり、非常に素性が良いのです。ほかに正則函数であるものとして、正弦関数（拡張概念である双曲正弦函数を含む。）が挙げられます。余弦函数は階微分したら正弦函数に一致するから、おまけです。
本題に戻りますが、exp(z)の指数が０とは弧度法による角度表示０ラジアンであることと同義です。ｚは複素数（ドイツ語のzahlの頭）であるので、何で角度と関係するのかと疑問に思うかもしれませんが、Eulerの公式とDe Moivreの定理を使えば、指数と円の中心角（複素解析では特に偏角といいます。）との動きが連動していることを把握できます。まさにｚ＝iθ（偏角の表示はθの代わりにψを使うこともあります。）は代数と幾何とが連繋していることの証左です。
惜しむらくは、円周率πの定義が（円周長/直径距離）であるせいで、e^(iπ)＋１＝０という半円周での解析で終わってしまっているところです。正円本来の定義である「任意の一点（焦点といいいます。）から同一距離にある無数の点を連続的に繋いだ軌跡」を鑑みれば、当然、一周回って１に戻れるやろうということで、倍円周率τ（タウ）を用いたe^(iτ)＝１を主張する勢力もあります。
大学一年で数学嫌いになりかけてたワイ、再び数学好きになる。
13:45のように、log(2ー√3)＝－log(2＋√3)と変形できるのはなぜですか？このように変形できる条件や公式があるのか、それとも偶然ですか？どなたか教えていただけると嬉しいです🙇
真数を有理化してるんだと思います。2-√3の分子分母に2+√3をかけると1/(2+√3) となるので、(2+√3)^-1と見て-1をlogの前に出してます
@@完全数-w1u 操作はそれやってるんですが、有理化は対象を有理数に直すことなので、今回は単なる変形かと、、
ちょうど同じところでつまづいていました。助かりました。
e^ix = cosx + isinx の導出は面白かった、俺にとって新しい方法。
最高に綺麗じゃないですか！
僕数学好きだと思ってたけど動画とコメント見てそれが幻想だってことに気づいたわ
本物だ( °_° )
数学に取り憑かれた人って一定数いますよね
私も新入生ですが早稲田でさえ線形代数の有志回答問題でブリュア分解の証明とかいうの出されて解けちゃってる訳の分からない人います😅
15分でこの内容は結構価値ある
sinxを多項式にするとこで思考が停止しました🤸
受験生になったらわかるよ
教科書のコラムでオイラーの公式見て感動した
え、何年生で出てきますか？
@@大東亜共榮圏 高3、新学校だと高2
教科書って侮れないよね
オイラーの公式、超懐かしいですな。
理系出身のおじさんです。
突き詰めると、三角関数もパイ(円周率)も自然対数も”比率” 計算結果が２となるサインＸって空間がねじ曲がっていることになる
ｘｙｚ空間を考えるみたいに、ｘを実数、Yを虚数、Zを演算結果と考えるといいのかもですね。これを言い切れる自信がないですが。
虚数まで拡張して考えると色々な数学のバグみたいなの見つけられて楽しいです。
簡単なモノだと1^x＝2
ややこしいやつだとsin（sinθ）＝1
まぁ、他にもありますがキリないのでここまでにします。
1^x=2
本当に初めて見かけて面白そうなので、解いてみました。zのw乗=exp(wlogz)で、z=1。log1は複素関数論ではlog1=2niπ。nは任意の整数。よって、
1^w=exp(w2niπ)=2=exp(log2)exp(2miπ)=exp(log2+2miπ)・・・このlog2は実関数としてのlog2。
よって、
2wniπ=log2+2miπ
実関数として考えれば、n=0であり、解が存在しないが、n≠0なら両辺を2niπで割って
w=-i(log2)/2nπ+m/n (nは0以外の任意の整数。mは任意の整数)
理系なんだけど、最近数学の動画見るのハマってしまった
数学の時間に先生がされたオイラーさんとネイピアさんの話は感動した
完全に忘れてたけどなんとなく記憶が蘇ってきた
オイラーの公式、電気自動車用の永久磁石同期モータのベクトル制御理論で実務で使用してます。
sinxの多項式表現は１パルス制御で使用してます。
解説頂いた内容、仕事で役立っております。
X+X二乗+X三乗・・・・・のXに0を代入すると、全部0になるっとさらっと、説明されましたが、何故そうなるのか教えてください。∞の概念が入ってくるのでそうはならないように思うのですが・・・
多項式で表せるとすると、この係数を満たす必要があるけど、
そもそもの多項式で表される証明にはなってません。
近似させてるだけですね
ほんまわかりやすい
sinx=2
両辺を6で割って
n=1/3
方程式の解は実数解という縛りがなければ存在するわけですね。
どんな屁理屈をぶっ込んでくるのかなと思って視聴したのですが、オイラーの公式がいかにして導出されるのかがわかりやすく説明されていました。電気電子工学の勉強をするために大学に進学、そこでオイラーの公式は知っているのが前提ということで講義を進められ、早々に挫折したという苦い経験があります。いまはプログラミング関連で頑張っています。
実数の計算は1次元ですが、虚数は2次元なので違う次元での計算です。ですから、数学の法則が変わっているのです。
分かり易い他の例を挙げると、通常は10進数の計算をしていますが、2進数の世界では１＋１＝１０です。
１＋１をしているのに２を超えいます。って、おかしな事を言っていますよね。
sinx=2も虚数の世界で計算しているので、同じようなものです。
で、望月新一氏が「宇宙祭対比ミューラー理論」という新しい数学の理論を創り、この理論に従えばABC予想が解けると発表しましたが、その理論が正しいのかどうか世界では意見が分かれています。この理論は正しくないという意見の方が多数派だそうです。
果たして、この理論は正しいのか？？？
河野さんの見解をお伺いしたいところです。
細かいことだけど、無限に続くxの冪の足し算は“多項式(polynomial)”ではなくて、正しくは“級数(series)”です。
あとは、最初の問題を提示する際、xの定義域を“複素数の範囲”と明示していないのは反則っぽいですね。せめて変数記号を、xでなくて、zを使うなどして欲しかったです。
分かりやすい…
高尚なはなし、ありがとうございます。
折角ですから解説音声のレベルを標準値まで上げて聞きやすくすること。
公式や計算式の大事な部分は活字で表示してくれるとも少し分かりやすくなりそうですねえ。
sinX>1 があり得る、虚数を使えば、だとしたら図解ではどんなイメージでしょうか？
これが4元数まで行くと訳がわからなくなってくる…
電気回路分野のフェーザ表示にオイラーの公式をよく使うのでいい復習になりました
大学の授業を90分受けるのと同じくらい価値のある15分
素人質問で恐縮ですが、sinXをXの方程式で表すとき、Xの0以上条しか考えないのは何故ですか？
X＝0のとき定義されなくなるからですか？
そうだとしても、X＝0のとき𓏸𓏸
それ以外の時、sinX＝××とかにならないと言い切れるんですか？
わかりやすい！
だってぇ、sinは-1から1までしかないじゃあないですか泣。
最近大学でオイラーの公式とテイラー展開やったけどこっちの方が分かりやすいww
解法を見てスッキリですけど、3Dグラフを見ると超スッキリですよね
一目瞭然なのでぜひ紹介して欲しかったです😉
理系浪人生のわい、テイラー展開知れて感動
早く大学生になりたい
頑張ってください💪('ω'💪)
一旦ε-δ論法が待ち受けてます
安心せえ情報系ならテイラー展開習いつつそこまで難しい数式は出てこない
がんばれ
オイラーの公式丸暗記で大学卒業しちゃったけど、
今理解できるとめっちゃ感動した
6:31 で思わず｢すげぇ！｣って声出してしまった…！！
e^(ix)=cosx+i*sinx
x=πとおくと
e^(iπ)=cosπ+i*sinπ
e^(iπ)=-1
e^(iπ)+1=0
これ大好きすぎて理系になった
理系になってから大嫌いになった
めちゃくちゃわかりやすかった！
本人は絶対知ってると思うけど項並びかえてて草
確かにww
まぁ絶対収束しないといけないとか、
そんな無限級数の厳密性の話は
ここでやると長くだろうしねー
やるとしたら、
まず、級数の収束性から入って、
その後、正項級数でない限り、
無限級数内の
項の入れ替えは
勝手には出来ないことを言って
それから、絶対収束つまりΣ|a_n|が収束すれば
元のΣa_nも収束するってことを前提に
数列{a_n}の全項が0でなく
lim[n→∞] |a_n+1/a_n|=cと
極限値が存在する時、
c
@@1つ星
悪い人じゃないんだろうけど
めちゃめちゃ喋るやん
@@mulant8219 そりゃ数学の証明だもん
@@n.r.3569 その通りなんだけどさ笑
くっさいくっさいいい人
高校で文系を選択、大学を法学部中退のワイ、数３って実に面白いとつくづく感じた今日この頃。
気づいたらオイラーの公式理解して草
「草」って何ですか？🤪🤪🤪
時代は「わろける」だぞ！乗り遅れるな！
数Ⅲ履修済みの高校生でオイラーの公式はもっと自分とは遠い世界にあると思ってましたが、のほほんと動画見てたらオイラーの公式理解できててビビりましたw
院生にしてめちゃめちゃ勉強になった
@SS やってないんです。。
まあしゃあない
もっと直感的にわからないかなーと考えて見た
y = sin(π/2 + xi) と問題文のxを実部π/2の虚数と仮定すると
y = cos(xi) = (e^(x)+e^(-x))/2 と実数だけのグラフに変換できてy=2と交わるところが解となる
(e^(x)+e^(-x))/2はyが1以上なら解があるのでy=2でなくても解なしにはならなさそうですね
なかなか上手いね。
９０分の講義でやっと分かるような内容が１５分程度で簡単かつクリアに理解できた。うーん、色々な意味で考えさせられる。
司法試験に合格した時の一日ルーティンみたいです！
おもしれぇぇぇぇぇ、さいこぉぉぉう！！！
しびれるぅぅぅ