✓ Почему число 0,123456789101112131415161718... иррациональное? | Ботай со мной
HTML-код
- Опубликовано: 8 фев 2025
- #БотайСоМной #042
Почему число 0,1234567891011121314... иррациональное?
(после запятой выписаны подряд все натуральные числа)
Это кусок недавнего стрима: • Действительные числа, ...
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.r...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trus...
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donational...
Регулярная помощь (RUclips): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/eg...
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:
Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
Подготовка к ЕГЭ. Задания 1-12: trushinbv.ru/eg...
Подготовка к ЕГЭ. Задания 13 и 15: trushinbv.ru/eg...
Подготовка к ЕГЭ. Задание 14: trushinbv.ru/ege14
Подготовка к ЕГЭ. Задание 16: trushinbv.ru/ege16
Подготовка к ЕГЭ. Задание 17: trushinbv.ru/ege17
Подготовка к ЕГЭ. Задание 18: trushinbv.ru/ege18
Подготовка к ЕГЭ. Задание 19: trushinbv.ru/ege19
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/co...
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
Группа "Олимпиады, ЕГЭ и ОГЭ по математике": ege_tru...
Группа "TrushinBV.ru": trushin...
Личная страница: trushinbv
Группа "TrushinBV.ru": / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
RUclips-канал: / trushinbv
ну теперь надо видео, где доказывается, что рациональные дроби могут быть только с периодом
Да-да, я уже пообещал в соседнем комментарии )
Можно доказать, что любое периодическое число будет рациональным. Допустим мы имеем число k=x.(y) , где y- это период (не обязательно однозначное число, а также может быть любым n-значным числом, где n
@@embedded_ число Пи бесконечное
@@istinaanitsi3342 ты к чему это написал?)
@@embedded_ чтобы ты думал, непривычно?
С такого доказательства я чуть со стула не упал) очень просто, красиво и понятно
)
Новая заставка, огонь:)
Красиво. Это доказательство можно "обобщить". Вместо нуля можно взять любую цифру.
Простое и красивое доказательство!
тоже самое если я правильно понимаю будет и не только для нулей, а вообще для любого набора цифр повторяющегося да и вообще если каждая последующая цифра меняется на ту которой еще не было ранее после такойже которая предшествовала, то из этого уже можно сделать вывод, что число будет без периуда
Можно доказать, что любое периодическое число будет рациональным. Допустим мы имеем число k=x.(y) , где y- это период (не обязательно однозначное число, а также может быть любым n-значным числом, где n
@Jean Pierre Pornaleff x.(y)-y= x
Так вопрос-то противоположный: надо доказать, что если рациональное, то является периодической дробью. Вроде это через остатки делать надо, но точное доказательство я не продумывал.
Прошу прощения за некропостинг.
Предположим есть период длиной n, тогда находим место где 2n нулей, а такое точно будет, потому что у нас ряд натуральных чисел. Как бы все решение
Помню это число из учебника алгебры) Как раз в теме про иррациональные.
🤔🤔🤔
Новая заставочка
Но ведь «100000…00» может встретиться до того, как цифры начнут повторяться
Да, я тоже про это подумал, и поэтому здесь -- 2:24 -- сказал не менее, чем 2n нулей.
Можно сказать так: рассмотрим место начала повтора, тогда после него встретится число 10^(k) где k>=2n
@@trushinbv все равно не понял, почму
@@hbdrealist1650 есть натуральные числа, и когда они начнут повторяться, они всёравно будут идти по порядку и когда-нибудь будет число, у которого нулей больше чем чисел в периоде, значит там нет периуда и оно иррациональное.
Разрешите докопаться, и забрать один балл на оппонировании. То самое число "1 и 2n нулей", может встретиться в этом ряду до момента, когда начинается цикл, поэтому "одинаковый кусочек" может и не попасть в выбранную вами область (одинаковые кусочки могут начинаться позже). Понятно, как доказательство подправить, но формально, это дырка :)
Красиво, но по моему, не совсем корректное доказательство. А что если один с 2n нулями находится до периодизации.
какая тут переодичность если мы сами в конец ряда добавляем новое число которое всегда n+1.. ?
Залипательно. Вселенная стала шире, Вселенная расширяется - вместе с математикой
Я Трещина люблю и он этим злоупотребляет😊
Трушина
Не могли бы вы ответить, может ли быть такое, что два иррациональных числа, имеющие одинаковую запись в бесконечной десятичной дроби, записываются в виде степени по-разному.
Ну к примеру
a^(m/n) и c^(k/l), и чтобы это не было как 2^(3/2) и 2^(6/4)
два иррациональных числа, имеющие одинаковую запись в бесконечной десятичной дроби это будет одно и тоже число принцип однозначности для записи чисел в десятичной записи
Смотрите,
a^(m/n) = c^(k/l)
a^(ml) = c^(kn)
Дальше, и основной следует, что есть такое b, что a = b^p, и с = b^q
Интересно, а такое число является трансцендентным?🤔
Это широко известная в узких кругах постоянная Чемперноуна (выдумана в 1933 г ). В 1937 г Курт Малер доказал её трансцендентность. Потому она ни разу не может быть рациональной чтобы тут Труш вам не намазывал мелом на доске.
Я не могу понять, объясните пожалуйста еще подробнее, может в текстовом виде пойму
А вот цифры в этом иррациональном числе распределены равномерно? Если возьмём очень длинную последовательность этих цифр, то каждая цифра будет составлять очень близкую к одной десятой доли? С увеличением длины цепи она будет стремится к одной десятой?. А если брать пары цифр, то их доля будет стремится к одной сотой? Тройки, к одной тысячной? И так далее. Это число не только иррационально, но и траечцендентно.
Его невозможно представить в виде обыкновенной дроби с натуральными числителем и знаменателем.
Снимаю паузу с 12ой сексунды, и смотрю, что же тут можно ещё придумать)
Было бы интереснее увидеть трансцедентность
Я недавно про это думал. Идея доказательства не то чтобы сложная: надо доказать, что существует бесконечно много дробей p/q, которые приближают наше число с точностью не меньше чем q^{-10}, после чего применить теорему Рота, которая говорит, что алгебраические числа с точностью больше чем q^{-2-eps} не приближаются для больших q.
А чтобы найти такое точное приближение достаточно видимо посмотреть на начальный кусок, который состоит из всех чисел до 10^n-1 и воспользоваться «почти периодичностью» (с точностью до первых цифр)
Достаточно знать один факт про рациональные числа
Почему рассматривается только пример периодичности с нулями? Почему не 9? Единицами? Вообще произвольным набором цифр?
Для определенности ) можно любую цифру взять
@@mistersmith6752 то есть Вы утверждаете что, примером с нулями показано, что периодичность любого набора цифр в данном числе "сломается" не так ли?
@@IvanMysterys Стоп , у Вас вопрос был почему нули , а не другие цифры - можно любые вместо нулей взять. А доказательство вполне приемлемо =)
@@mistersmith6752 Обратите внимание на точность формулировки. Слово "только" именно подчеркивает интерес в доказательстве для общего случая.
@@IvanMysterys )) хех , символ(цифра) значения не имеет. Это доказательство для общего случая и есть. Хотите пусть будут не нули . Хоть 8-ки , хоть 3-ки , хоть a b c ...
Раз мы записываем все рациональные числа (а их бесконечное количество и размер каждого может быть бесконечным) значит, в какой то момент, мы дойдем до числа с бесконечным количеством нулей, в котором период с n нулей будет повторяться бесконечное количество раз и число внезапно станет рациональным. Единственное, что мне тут не нравится, это то, что так можно для каждой из 10 цифр сказать)
Мы натуральные выписываем )
Мне кажется ключевая мысль доказательства в том, что размер периода n конечное число, а размер числа с нулями бесконечное такикак мы все натуральные выписываем. Именно поэтому мы вообще встретим 2n число, размером. И ее в ролике не озвучили.
В ролике сказано, что мы выписали все натуральные числа, поэтому мы встретим любое число )
@@trushinbv Может быть я не понимаю. Но, да, мы встретим любое. При этом если мы встретим любое и n может быть любое, то как одно "догонит" другое? Никак. Значит наше утверждение справедливо только если n конечное или бесконечное, но бесконечность эта меньше чем бесконечность натуральных чисел с нулями, тогда числа с нулями покроют всегда любой период n, даже бесконечный. Если же нет, то непонятно.
Вы подметили очень интересный факт насчет того, что будет n колличество нулей идущих в ряд где то там в далеке, если мы запишем все натуральные числа. Такое же колличество нулей можно найти в корне из 2. Но как доказать, что это колличество нулей будет где то далеко??? То бишь, что первый 0 этого ряда будет идти как минимум после n числа после запятой?
Вот это вы не объяснили
Если ты спрашиваешь про то, почему это число (с 2n нулями) не будет до периода. то ответ такой: оно может быть до периода начала переносного повторения. Но для доказательства иррациональности нам нужно не ровно это число, а любое имеющие >= 2n нулей. А таких бесконечно много
Mir Mirov, докажи! Я не уверен, что «такое же колЛичество нулей можно найти в корне из двух». «Такое» - это какое? Если ты имел в виду бесконечное количество нулей, то это доказывало бы, что корень из двух просто рациональное число, конечная десятичная дробь, что совершенно не так.
Так а разве в конце не может быть периода (000...000), который мы просто отсекаем за ненадобностью?)))
🤣
Не может. После 1 с n нулями будет ещё много чисел, многие из которых даже без нулей.
@@tolich3 судя по «)))», это была шутка 😜
Тогда число будет рациональное :)
Еще такой вопрос. Число 1/3 имеет период в 10ричной системе. В 12ричной системе он не имеет периода. Может ли быть так что число в одной системе является иррациональным, а в другой нет ?
0,333333333... в десятичной - это 0,4 в 12-ричной
Рациональность никак не связана с системой счисления. Рациональные -- это те, которые можно представить как целое делить на натуральное. А понятие "целое" и "натуральное" никак не зависят от систем счисления.
Вас возможно запутывает то, что не пишется периодичный ноль. 1/3 =0,(3) а 1/2 =0,5 и здесь как бы одна треть идёт до бесконечности, а одна вторая только из одного знака после запятой состоит. Но это не так, это договорённость в записи. Одна вторая вполне может быть записана так: 1/2 =0,5(0) У неё просто ноль в периоде. Иррациональность, как уже сказали, здесь не при чём.
1/3 это не число, 1/3 это действие.
Число это 0.(3)
@@apathy4229 смешно, откройте форточку:)
Запись 1/3 также является записью числа в формате простой дроби. Не знал, что числа можно записывать в различных форматах?)
Мне кажется, что в доказательстве есть слабое место. Число 10^(2n) может появиться до периода и тогда всё рассуждение не является полным.
10 в любой большей степени нам тем более подходит )
@@trushinbv лучше рассмотреть число 10^(2n+k), где k - количество цифр до первого периода. Тогда нули этого числа наверняка попадают в один из периодов.
А не проще ли такое док-во? - Рано или поздно будет следующая цифра, которая сразу рушит "периодность" этого числа, и это следует чисто из банального правила n+1 (0, 1, 2, 3...)
Маленько нечетко - поправлю. Сначала надо бы проговорить, что число, состаленное из любой последовательности цифр длинной n строго меньше числа, составленного из любой последовательности цифр длинной 2n. Из этого следует, что запись 1+n нолей встретится позже, чем последовательность длинной n.
Математика - это странная штука, но рекомендации ютуба все-таки вне конкуренции
Что-то я вобще не понял прикола. Тот факт, что после запятой все числа натуральные, уже сам по себе доказывает, что никаких периодов там не будет.
Потому что натуральные числа все друг от друга отличаются и идут в ряд без каких-либо повторов. По мне так ответ заложен в самом условии.
Борис, вы же сами указали, что в периоде n количество чисел, а когда-нибудь будет 2n. По такой логике вам нужно было доказать, что когда-нибудь будет число, которое будет больше периода.
ты не понял что такое иррациональность
Кто? )
@@trushinbv а теперь ты не понял кто, видимо это глобально
@@istinaanitsi3342
А что такое иррациональность?
@@trushinbv очень глубокий вопрос, можешь посмотреть в моем блоге, тебе как увлекающемуся математикой будет проще понять идею, учти что солово рацио для чисел имеет смысл пропорции
@@istinaanitsi3342
Так а в чем же я неправ? )
ничего не понял, какие-то кусочки... колбаски что ли?
можно более кратко сформулировать,
какое бы вы период не обнаружили, следующее добавленное натурально число сломает этот ваш период: так как он будет содержать отличие как минимум в одну цифру в следующей серии вашей периодичности
мало того что такое число иррациональное, оно и не алгебраическое , не может быть получено никакими вычислениями. это просто одно уникальное число во всем вещественном континууме.
единственно не понятно, в чем смысл таких чисел, бесполезные, жвачка для мозга и не более. по моему не стоит заострят на нем свое мнимание, сущестуют задачи намного интреснее и практичнее.
А если там не нули?
Где там? В числе 1000000000000000?
@@trushinbv в другом числе. Почему именно 10000000000000000 должно повторяться, а не 7554328016327, например?
@@retrogrvd1367 мы же выписали все натуральные числа, значит там точно встретится число вида 10000000000000000, у которого нулей сильно больше, чем длина периода
@@trushinbv а может последовательность начнет повторяться раньше?
@@trushinbv хорошо бы проверить эту последовательность на каком-нибудь супер компьютере)
Ну когда закончатся все натуральные числа, он повторится
Справедливости ради вместо нуля можно было взять абсолютно любое число (1,2, 43 и т.д.), по идее как алгоритм бы не поменялся...
очень круто,но я ничего не понял
Нужно что-то понимать про представление дроби в десятичном виде, почему рациональные числа обязаны содержать период. Надо будет сделать видео по этому поводу )
@@кеншинбродягаова ой (
пару лет уже не заглядывал
Ладно. Подожди. Дай понять, :о/
P.S. Хм :о/
Интересно, а можно самую маленькую десятчную дробь записать как 0,(0)1? (нет)
Это отдалённо похоже на идею бесконечно малых чисел в гипердействительных числах. Но чтобы это понять, наверное сначала стоит сдать егэ и поизучать простой мат. анализ для первокурсников в университете.
Не факт что я прав,но 0.(0)1 =0
@@i3fonov 0,(0)1 это не ноль, это просто некорректная запись.
@@DiamondSane или lim (x->0) x
А почему луну назвали луной? А почему число пи -- 3,14? А почему золотое сечение именно золотое? Такие же тупые вопросы
Ох уж эти математики. Такая дичь, однако они посещают всю жизнь этому 😅
Кривое какое-то доказательство.
Не может повторятся, ибо кажое новое число приписывается а дроби в виде n+1.
N+1 Карл!!!)))
Можно было бы доказать одним предложением по свойству чисел.
По какому? )
Просто припомнить что каждое число является комбинацией цифр.
@@АлександрКлимов-ф5ъ, и как это доказывает иррациональность? )
Борис Трушин, так же как и твоё.
Так период может начаться после того, как встретится 10^2n, можно взять 10^(k+n), где k - количество цифр после запятой до первого периода