ЧТО ТАКОЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА? От простого к сложному. 1) СТЕПЕНЬ - Что такое «2 в степени 3»? - Это 2³ = 2•2•2 = 8. - А что такое «2 в степени 4»? - Это 2⁴ = 2•2•2•2 = 16. 2) ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ СТЕПЕНЬ - Когда степень числа 2 увеличивается на единицу, надо умножать предыдущий результат на 2, а если уменьшается, то наоборот делить на 2. Ряд «2⁴, 2³, 2², 2¹, 2⁰, 2`¹, 2`², 2`³, 2`⁴» примет вид «16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16» (сорри, не нашёл на клавиатуре знак минуса для степеней, нашёл только это```). 3) ДРОБНАЯ СТЕПЕНЬ - А что находится МЕЖДУ этими числами? Например, что такое «2 в степени 2.5»?... - Это 2, которая каким-то образом участвует в ряде перемножений 2.5 раза... Э-э-эм... Какое-то плавное перемножение?... - Можем представить «2 в степени 0.5» в более популярном виде: 2⁰·⁵ = «2 в степени ½» = ²√2 = √2. Это корень из двух. - А-а-а, это то самое «волшебное» число, которое проявляется в пропорциях листа А4, и при умножении на само себя даёт 2. (√2)¹ = 2⁰·⁵ ≈ 1.4142... (что-то между 1 и 2). (√2)² = 2¹ = 2. (√2)³ = 2¹·⁵ ≈ 2.8284... (что-то между 2 и 4). (√2)⁴ = 2² = 4. (√2)⁵ = 2²·⁵ ≈ 5.6569... (что-то между 4 и 8). - Да, всё верно. Если нарисуешь график y(х) = 2 в степени x, думаю, тебе будет понятнее. Можно представить более дробные степени: 2³ = 8 2³·¹⁴¹⁵⁹²⁶ ≈ 8.824977... 4) ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ В СТЕПЕНИ - Что будет, если -2 умножить на -2? - Будет 4. - Положительное число? Несмотря на то, что перемножали между собой отрицательные числа? - Ну, да. Минус на минус даёт плюс. - Правильно. Вдаваться о причинах сегодня уже не будем. А если ещё раз умножить на -2? - Будет -8, отрицательное. - Верно! Только посмотри на эти мающиеся «качели», то +, то - (-2)¹ = -2 (-2)² = +4 (-2)³ = -8 (-2)⁴ = +16 ... и т.д. 5) ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ В ДРОБНОЙ СТЕПЕНИ - А что будет, если возвести отрицательное число в дробную степень?... - Э-эм... Шта?... А например? - Ну, например: сколько будет -2 в степени 2.5? - Так-с. Из выражений выше мы знаем: А) ...про отрицательные числа в целой степени: (-2)⁰ = 1 = +1 (-2)¹ = 1·(-2) = -2 (-2)² = 1·(-2)·(-2) = +4 (-2)³ = 1·(-2)·(-2)·(-2) = -8 Знак переключается: то плюс, то минус. Б) ...про положительные числа в дробной степени: 2²·⁵ ≈ 5.6569... (что-то между 4 и 8). - Да. Чему же равно отрицательное в дробной степени (-2)²·⁵? - Должно быть что-то между +4 и -8. Вроде бы 5.6569... Но мне непонятно, оно будет отрицательное или положительное?... - Оно будет где-то между: немного отрицательное и немного положительное. - Как это возможно?? - Благодаря дополнительному измерению! Понятие «частично отрицательного» выходит за рамки нашей оси действительных чисел. В пределах оси знак должен быть строго определён: либо плюс, либо минус. Значение того, насколько знак +/- получается размытым, перетекает в дополнительную ось - ось мнимых чисел. Действительное + мнимое = комплексное. Мнимая часть комплексного числа словно отвечает на вопрос: «Насколько действительная часть "НЕ СМОГЛА" определиться со своим знаком +/-?». Если мы рассматриваем -2 в степени 2 и начнём плавно увеличивать степень: (-2)² = 4 (-2)²·¹ ≈ 4.1 + [1.3i] (-2)²·² ≈ 3.7 + [2.7i] (-2)²·³ ≈ 2.9 + [4.0i] (-2)²·⁴ ≈ 1.6 + [5.0i] (-2)²·⁵ ≈ 0 + [5.6569i] то заметим, как результат начнёт плавно исчезать из привычной нам «вселенной действительных чисел». Число (-2)²·⁵ находится полностью во власти «мнимой вселенной» и равно примерно 5.6569·i, где i обозначает мнимую единицу: i = (-1)⁰·⁵ = √-1. Затем мы увидим, как мнимая часть уменьшается, а наша действительная появляется обратно, но уже в отрицательном виде: (-2)²·⁶ ≈ -1.9 + [5.8i] (-2)²·⁷ ≈ -3.8 + [5.3i] (-2)²·⁸ ≈ -5.6 + [4.1i] (-2)²·⁹ ≈ -7.1 + [2.3i] (-2)³ = -8.0 + [0.0i] = -8. Число 4 плавно умножилось в число -8 благодаря дополнительному «мнимому измерению». Во многих случаях, комплексное число удобно рассматривать как точку на плоскости, которая имеет две координаты (Re - действительная часть, Im - мнимая часть).
Поздравляю, ты "открыл" теорию множеств. Формальное определение натуральных чисел «натуральными числами называются ординалы, расположенные в интервале между первым и вторым предельными ординалами» явным образом следует из законов Конвея в этой книге. P.S. И "спасибо" 😄за то, что я не программист.
@@LightCone Но Кнут - скандинавское имя и пишется и произносится Knut. Германская фамилия Knuth - производна от этого имени. Германские слова не имеют французских смягчений в английском языке, можете загуглить Knuth Machine, произносится "Т". Так же как "кемикал", а не "чемикал", или "зинан" вместо "ксенон" - такова особенность произношения греческого корня.
@@luilui1634 ок, буду знать. Спасибо! Хотя на Вики в транскрипции написано kəˈnuːθ И сам Knuth сказал, что его фамилия произносится Ka-NOOTH. Пруф: cs.stanford.edu/~knuth/faq.html
Только недавно прочитал книгу Кнута и тут видео. Очень не ожиданно и приятно. Спасибо за видео.
О, ничё се. А я как раз однажды решил про комплексные числа написать в стиле поэтапного диалога учителя и студента. о_о
ЧТО ТАКОЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА?
От простого к сложному.
1) СТЕПЕНЬ
- Что такое «2 в степени 3»?
- Это 2³ = 2•2•2 = 8.
- А что такое «2 в степени 4»?
- Это 2⁴ = 2•2•2•2 = 16.
2) ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ СТЕПЕНЬ
- Когда степень числа 2 увеличивается на единицу, надо умножать предыдущий результат на 2, а если уменьшается, то наоборот делить на 2.
Ряд «2⁴, 2³, 2², 2¹, 2⁰, 2`¹, 2`², 2`³, 2`⁴»
примет вид «16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16»
(сорри, не нашёл на клавиатуре знак минуса для степеней, нашёл только это```).
3) ДРОБНАЯ СТЕПЕНЬ
- А что находится МЕЖДУ этими числами? Например, что такое «2 в степени 2.5»?...
- Это 2, которая каким-то образом участвует в ряде перемножений 2.5 раза... Э-э-эм... Какое-то плавное перемножение?...
- Можем представить «2 в степени 0.5» в более популярном виде:
2⁰·⁵ = «2 в степени ½» = ²√2 = √2.
Это корень из двух.
- А-а-а, это то самое «волшебное» число, которое проявляется в пропорциях листа А4, и при умножении на само себя даёт 2.
(√2)¹ = 2⁰·⁵ ≈ 1.4142... (что-то между 1 и 2).
(√2)² = 2¹ = 2.
(√2)³ = 2¹·⁵ ≈ 2.8284... (что-то между 2 и 4).
(√2)⁴ = 2² = 4.
(√2)⁵ = 2²·⁵ ≈ 5.6569... (что-то между 4 и 8).
- Да, всё верно. Если нарисуешь график y(х) = 2 в степени x, думаю, тебе будет понятнее. Можно представить более дробные степени:
2³ = 8
2³·¹⁴¹⁵⁹²⁶ ≈ 8.824977...
4) ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ В СТЕПЕНИ
- Что будет, если -2 умножить на -2?
- Будет 4.
- Положительное число? Несмотря на то, что перемножали между собой отрицательные числа?
- Ну, да. Минус на минус даёт плюс.
- Правильно. Вдаваться о причинах сегодня уже не будем. А если ещё раз умножить на -2?
- Будет -8, отрицательное.
- Верно! Только посмотри на эти мающиеся «качели», то +, то -
(-2)¹ = -2
(-2)² = +4
(-2)³ = -8
(-2)⁴ = +16
... и т.д.
5) ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ В ДРОБНОЙ СТЕПЕНИ
- А что будет, если возвести отрицательное число в дробную степень?...
- Э-эм... Шта?... А например?
- Ну, например: сколько будет -2 в степени 2.5?
- Так-с. Из выражений выше мы знаем:
А) ...про отрицательные числа в целой степени:
(-2)⁰ = 1 = +1
(-2)¹ = 1·(-2) = -2
(-2)² = 1·(-2)·(-2) = +4
(-2)³ = 1·(-2)·(-2)·(-2) = -8
Знак переключается: то плюс, то минус.
Б) ...про положительные числа в дробной степени:
2²·⁵ ≈ 5.6569... (что-то между 4 и 8).
- Да. Чему же равно отрицательное в дробной степени (-2)²·⁵?
- Должно быть что-то между +4 и -8. Вроде бы 5.6569... Но мне непонятно, оно будет отрицательное или положительное?...
- Оно будет где-то между: немного отрицательное и немного положительное.
- Как это возможно??
- Благодаря дополнительному измерению!
Понятие «частично отрицательного» выходит за рамки нашей оси действительных чисел. В пределах оси знак должен быть строго определён: либо плюс, либо минус. Значение того, насколько знак +/- получается размытым, перетекает в дополнительную ось - ось мнимых чисел.
Действительное + мнимое = комплексное.
Мнимая часть комплексного числа словно отвечает на вопрос: «Насколько действительная часть "НЕ СМОГЛА" определиться со своим знаком +/-?».
Если мы рассматриваем -2 в степени 2 и начнём плавно увеличивать степень:
(-2)² = 4
(-2)²·¹ ≈ 4.1 + [1.3i]
(-2)²·² ≈ 3.7 + [2.7i]
(-2)²·³ ≈ 2.9 + [4.0i]
(-2)²·⁴ ≈ 1.6 + [5.0i]
(-2)²·⁵ ≈ 0 + [5.6569i]
то заметим, как результат начнёт плавно исчезать из привычной нам «вселенной действительных чисел». Число (-2)²·⁵ находится полностью во власти «мнимой вселенной» и равно примерно 5.6569·i,
где i обозначает мнимую единицу:
i = (-1)⁰·⁵ = √-1.
Затем мы увидим, как мнимая часть уменьшается, а наша действительная появляется обратно, но уже в отрицательном виде:
(-2)²·⁶ ≈ -1.9 + [5.8i]
(-2)²·⁷ ≈ -3.8 + [5.3i]
(-2)²·⁸ ≈ -5.6 + [4.1i]
(-2)²·⁹ ≈ -7.1 + [2.3i]
(-2)³ = -8.0 + [0.0i] = -8.
Число 4 плавно умножилось в число -8 благодаря дополнительному «мнимому измерению».
Во многих случаях, комплексное число удобно рассматривать как точку на плоскости, которая имеет две координаты (Re - действительная часть, Im - мнимая часть).
ruclips.net/video/9uvkUswBCJY/видео.html
Поздравляю, ты "открыл" теорию множеств. Формальное определение натуральных чисел «натуральными числами называются ординалы, расположенные в интервале между первым и вторым предельными ординалами» явным образом следует из законов Конвея в этой книге.
P.S. И "спасибо" 😄за то, что я не программист.
Можно видео про теорию аппроксимации??
Таа что же это за числа такие!
Интересно. Но подача и претенциозность в начале видео как у некоторых сектантов которых автор так не любит, дальше норм
Дональд Кнут
Ну да, Knuth обычно переводится как Кнут.
Но я читал в оригинале.
@@LightCone Но Кнут - скандинавское имя и пишется и произносится Knut. Германская фамилия Knuth - производна от этого имени. Германские слова не имеют французских смягчений в английском языке, можете загуглить Knuth Machine, произносится "Т". Так же как "кемикал", а не "чемикал", или "зинан" вместо "ксенон" - такова особенность произношения греческого корня.
@@luilui1634 ок, буду знать. Спасибо!
Хотя на Вики в транскрипции написано kəˈnuːθ
И сам Knuth сказал, что его фамилия произносится Ka-NOOTH.
Пруф: cs.stanford.edu/~knuth/faq.html
@@LightCone а по-моему, точнее всего было бы КнуЦ. Но почему-то все либо Кнут, либо как вы Кнус.
Уважаемый LightCone ! Можете ли высказать свое мнение по поводу циклов от Зотьева ruclips.net/video/Hujl7A0UCNY/видео.html
Фрик. Разве по названию ролика не видно?