自然数 n, m に対して、加算の逆として構成された減算 n - m は自然数の範囲に収まらないからこれを整数とする。整数は加減算でも閉じている。 加算の繰り返しを乗算とする。整数 a, 自然数 n に対して、乗算の逆として構成された除算 a / n は自然数の範囲に収まらないからこれを有理数とする。有理数は加減算でも乗除算でも閉じている。 乗算の繰り返しを冪乗とする。有理数 a, 自然数 n に対して、べき乗の逆として構成された冪根 {n}√a は有理数の範囲に収まらないからこれを「有理数＋」と呼ぶことにする。 この「有理数＋」は加減算で閉じない。繰り返しと逆演算で自然数→整数→有理数までは自然に拡張できるけどその次の段階では破綻する。 任意の実数を表記することが不可能であることはこの説明で十分だけど、ルート同士の加算に限って話をするならこの話はまだ掘り下げられそうな気がする。
ルートの足し算がそれ以上簡単に表せないこと、表せないけど実数の数直線上に確かにあるということが実感できました。深く考えたことがなかったので面白かったです。途中の説明は逆に難しかった…
知ってて当たり前、当たり前だから当然、で思考が止まるのではなく、当たり前のことをきちんと理論で説明してもらえて理解が進んだ。とても楽しい。
実体と表記の区別で、色の例えは秀逸でした。
実数論をここまで噛み砕けるなら、このノリで超実数もできないかな…なんて。
うちの中学では、√1,√2,√3…を定規みたいに書いていった。すると、「数同士の幅」が違うことがわかる。だから足してはいけない。
乗除は単位が違うものでもできる。速さや密度がその例。
と習った。
今思えば随分良い教え方してもらったな。
めちゃくちゃいい先生
ほーーー
8:21
しかも正しいのがすげぇｗいい先生だな
√2メモリの定規と√3メモリの定規をつなぎ合わせると０を挟んでa√2＋b√3の単位の長さを測れる。
わかんなくなった時にずんだもんが毎回思いださせる作りになっててめっちゃわかりやすかった
小泉進次郎「√2に√3を足すと、√2+√3になります」
ＷＷＷセンス良いですねぇ😊
野球〇〇の孝太郎の方が頭いいの〜
これほんと好き
普通この構文は当たり前のこと言ってて不自然というものだけど これは当たり前のこと言ってなくて不自然じゃない
当たり前
公理系はきちんと覚えていませんでしたが、ルートの計算がこの説明でしっかりイメージ出来ました
コーシー列は特にイメージが分かりやすかったです
生涯学習者です。解説が鮮やか！ 初学者の疑問にこれほど丁寧に応えていただけると学習意欲が高まります。
定義のイメージ化って批判もあるでしょうが、やっぱりありがたいです。
議論に大きな誤りが含まれています。
動画内でも触れていますが、N上で引き算、Z上で割り算は演算として定義されません。
しかし、Zの定義でN上の引き算、Qの定義でZ上の割り算を用いています。
これではZやQは定義できません。
ZをN上の和により定義する方法を提示します。
a, b, c, d∈Nに対して、
a+d=b+c
が成り立つとき、
(a, b)〜(c, d)
という関係を定めます。この関係は同値関係になっており、これにより得られる同値類を整数として定めていきます。
和、積を
(a, b) + (c, d) = (a+b, c+d)
(a, b)(c, d) = (ac+bd, ad+bc)
として定めます。
(a, 0)をa、(0, 0)を0, (0, a)を-aとして定めると、整数の集合が得られます。
そして、先程定めた和、積を整数の和、積とすると我々のよく知る整数となります。
（厳密には、N×N上の同値関係による同値類の集合からZへの同型として定め、和や積のwell-defined性も確認しますがここでは省略します。
また、-aはaの加法逆元として定義しますし、その存在や唯一性も証明の必要があります。
詳しく知りたい場合は初学者向けの代数学の本などを読むと良いでしょう。）
Qも同様の方法でZ上の積により定義することができます。
わかりやすい解説ありがとうございます！たしかに、おおきなもんだいですね…！！！！😮😮😮
おそらく来年代数学をやって"演算"を学ぶ予定なので、少し先取りできました。論理数学ってやっぱいいですね！😊
これを詳しくしてやっと初学者かよ
その部分に関しては動画内で一応の補足が入っています。なので誤りとはいってもそれ自体がまずいのではなく、循環論法に引っかかりを覚えた方向けの導線がないのが問題といえそうだと感じました。
加えて、こういった議論は代数学の初学者向けの書籍に書いてあるものなのでしょうか？私は在学する大学数学のカリキュラムに愚直に従って教科書を買いそれを勉強してきたので、こういった内容が書かれた代数学の本を知らないです。
ここの話は動画内だと11:12の上に生えている補足部分を厳密にした話やね
値に直す前の段階を表記しているからsinとかと同じでルートも関数で指数関数の別の表記なんだよ。
√2の値は1.414....と無限に続くからいちいち計算式に書くのは面倒だから簡単な表記にして見やすくしている。
だからルートの足し算で中身を足してもそれは関数の引数を足しただけなので誤りになる。
デデキントの切断理論をようやく理解できました。コーシー列については存じませんでした。
つまり実数は集合の濃度が実数無限で、有理数(可算無限)の有限個の直積集合では表せないから、有限個の有理数で一意に定まる表記方法が無い…ってコト！？
可算無限と実数無限の間の隔たりにこんな意味があったなんて面白かったです。
メチャクチャ解りやすかった。動画の共有を有難うございます。
わかりやすかったです。
コーシー列の取り方によって四則演算の結果がかわってしまうか心配な方は内田位相の付録を見ることをおすすめします。
めっちゃ難しいことをめっちゃ分かりやすく説明してる素晴らしい動画、特にニックネームと表記の違いの説明が素晴らしい
「収束する数列とコーシー列は同じもの」だけ少し引っかかったけど
数学科の1年ですが大学の授業では
いきなり連続性の公理が与えられて
そこから定義定理証明地獄で結局
意味不明でついていけなかったので
この動画で実数への恐怖心が減って
助かりました
今年の4月から数学科に入学する者です。いきなりの質問で恐縮ですが、授業の復習って1日に何時間かけますか？
数学科へようこそ...(同情の目)
一概に「〇時間復習すれば十分」みたいなことは言えませんが、授業中に「は？わけわかんね～～～」ってなったところに印でもつけといて、そこが納得できるぐらいまで復習したらいいんじゃないでしょうかと思っております。
証明の過程とかは割と全部わけわかんないと思いますが、流れのあらすじの展開さえわかれば丸暗記の必要はないです。(余裕があれば自力でも証明したほうがいいと思いますが...)
それより、新しく出てきた用語の意味とか使い方を覚えるのに時間をかけたほうがいいです。(n敗)
復習も大事ですが、マセ〇とかの簡単な演習書でざっと予習して内容をわかった気になっておくと後々精神的にラクです。
あとは「この科目面白そうやんけ！」とかいっていろいろ履修しまくると課題がヤバくなって復習どころじゃなくなるので気をつけてください。
それではよき数学科生活(ライフ)を...
一応ないと思いますが、私が1日に何時間復習してたかが知りたかった場合、答えは0時間になります。いやテスト前にちょっとやってたか…？普段は面白そうな問題解くのに時間溶かしてました。
@@gyu-tansio ご丁寧な返信ありがとうございます。
【総選挙】数学系RUclipsr人気ランキング に載ってるチャンネルは参考になりますよね。
有理数を二つの開集合に分割し、その下側の集合そのものを無理数と定義することで、有理数から実数を定義できるということか。
√2は集合であるって予想外の定義をサラッと言われて脳内大パニックになったわ。
ゆる数学ラジオすぎる。
あれは無駄話がメインみたいになってるからこっちの方がありがたい
@@yuss6513 存在してたのか。びっくり。
自然数 n, m に対して、加算の逆として構成された減算 n - m は自然数の範囲に収まらないからこれを整数とする。整数は加減算でも閉じている。
加算の繰り返しを乗算とする。整数 a, 自然数 n に対して、乗算の逆として構成された除算 a / n は自然数の範囲に収まらないからこれを有理数とする。有理数は加減算でも乗除算でも閉じている。
乗算の繰り返しを冪乗とする。有理数 a, 自然数 n に対して、べき乗の逆として構成された冪根 {n}√a は有理数の範囲に収まらないからこれを「有理数＋」と呼ぶことにする。
この「有理数＋」は加減算で閉じない。繰り返しと逆演算で自然数→整数→有理数までは自然に拡張できるけどその次の段階では破綻する。
任意の実数を表記することが不可能であることはこの説明で十分だけど、ルート同士の加算に限って話をするならこの話はまだ掘り下げられそうな気がする。
色の認識には必ず範囲があるから、名前がないってのは色の側から（正確には色に名前をつけるという立場から）は誤りなんだけどね（混ぜっ返し）。 有理数の近所の無理数の皆様についても、最寄りの有理数の名前で呼ぼうね、というのが色の世界
簡単な話だと思って観てたら思ったよりむずくてびびった
整数、実数全体の集合はは加法についての群であるが、自然数全体の集合は加法について群を成さない。
今日の学校の授業がちょうど√2+√3についてやった
足し算ができない理由は
(右辺)=√a+√b
(左辺)=√a+b
(右辺)^2=a+2√ab+b
(左辺)^2=a+b
(右辺)≠(左辺)
だと教わりました
現実の世界には確かにその特徴を持つものが存在するのに実際の数字列にすると近似するしかないっていうのは面白いですよねぇ。
不思議な感じがします。
サムネ表題は、「2 / 3 はなぜ計算できないのか？」的な雰囲気を感じた
計算結果としての数は実数として存在するけど、"完全"な表記(10進数展開)は不可能で近似値しか書けない、という意味で√2+√3と一緒ですね。
分数(有理数)の場合は、全ての有理数にa/bという"ニックネーム"を付けられることが実数との違いなのかな？
数学的思考苦手な自分には、ゆっくりと解説してくれて有難いですね🎉
自然数は１からって認識のところに、ゼロから始める言われた辺りから頭が熱暴走し始めた
ほとんどの実数は計算不可能なので、表記はともかく近似アルゴリズムさえない (チューリングマシンの集合は可算無限集合、実数の集合は非可算無限集合)
あと√2 + √3 は代数的数として「x^4 - 10x + 1 の最大の実零点」と定義できるから有理数を使ったニックネームがある。変なニックネームだけど√3の定義も「x^2 - 3 = 0の正の零点」
数値欲しいならx^4+2x^2-12x+1=0をニュートン法で計算すれば良いだけだから、手計算でも出来る。
気軽に視聴したら非常に難しい話だった(笑)
わかりやすいです
我々が認識できる文字（と有限の長さの文字列）は可算無限個であるのに対して実数は非可算無限個あるから、
実数のほとんどは存在はすれどその一つ一つを捉えることは出来ないのだ
実数は非可算であるにもかかわらず、ZF公理系には可算なモデルが存在するのだ
意味不明なのだ…
自然数の引き算という式を整数のアイデンティティとするなら、この時点では例えば1-6と2-7は、基本的には別の数であると考えるべきだと思います。
動画ではいきなりa-b(a
実際の数学では、二つの自然数a,bについてa
y=(x+1)-xは、xがいくつであっても傾きが同じだけど、
y=√(x+1)-√xは、xがいくつなのかによって傾きが違う。
hizyou ni omosirokatta demo sappari rikai dekinakatta
数学ガールで似たような話を見ましたが動画だと動きもあって違ったわかりやすさがあると思いました。
もし、この動画が数学ガールと独立に考えられたのだとしたら、参考文献が同じか、とても自然な発想なのだなとも思います。
ちなみに、実数の部分としての有理数と、純粋な有理数などは区別する必要があるのでしょうか？そもそも、この拡大の仕方は無矛盾性が同値なのでしょうか？という点が気になりました。
どの巻にでてきます？
@@user-qj8ur5wn5s 読んだのがだいぶ前なのであまり覚えていませんが、ゲーデルの不完全性定理か、秘密ノートの「数を作ろう」にあったと思います
ありがとうございます。読んでみます。
わかりやすい！
こんにちは。こちらの動画、全国の中学1年生の数学の授業の時間に取り上げて欲しいレベルのお話だと思います。
数学が苦手な私にも数学の重要な世界観が凄く理解できる動画です。
すっごく良い動画だなぁ
充実した内容で、しかもかわいいキャラがでてきて動いたり大きくなったりと従来のゆっくり動画のものより、より楽しかったです！ありがとうございます！^^
「1+1=2」。おそらく現代人が最初に学ぶ「計算式」であり、それ以降なんとなくで「書いて計算」してきた「数字」にもこんな歴史があったとは。こういう話題に小学生の頃に出会いたかった……
◎とても非常に参考になりましたね！！まさか其処迄専門的な解説をして頂けるとは、此れはもう良い恩恵と見て宜しいですよね！もし次の人間に生まれ変われば、此の計算方法を採り入れてみたいですよね！
偏差値35の高校では√2＋√3が√5だと言い張る生徒がいるのでこの動画を授業で見せたいと思います
なんかこれって「デジタル」と「アナログ」の関係に似てる気がしました。
もしかして、根本的には有理数までを扱う(実数なら近い有理数で表す)のがデジタルで、実数を実数のまま扱うのがアナログと言えたりします…？
デジタルは離散、アナログは連続なのでそうですね
足し算はできる
これ以上シンプルな表記をしないだけで
名前とニックネームの説明は直感的で面白いですね
名付けの一意性を見てないから名前は複数有り得そうな感じがしちゃうが
これは「表記ができない」のと、あとは「f(x)+f(y)=f(x+y)」が成り立つかどうかだと思ってて
その意味でいうと√xどころか分数の1/xだって成立しない
・自然数から自然数を引くと、自然数にならないことがある
・実数に実数を足すと、必ず実数になる
しかし、上記の実数を+記号を使わずに表す方法が無い、ということかな
√はあくまで平方根を示す記号であって係数にならないから√としてまとめられないって考えてました
分かりやすい
ずんだくん可愛いな
逆に、足し算できてしまうことがすごすぎたのでは？
2＋3＝5を◯◯＋◯◯◯と認識せず、機械的に覚えると√2＋√3＝√5とやってしまう。なぜ小学校で玉や棒の教材があるかって、そういうことよね。
○○+○○○を、2+3という抽象的な概念に変換するのが数学の面白さでしょ。その変換の過程で、一緒にしていいところとしてはいけないところを混同してしまうのは自然な流れ。むしろ、√を習う段階でまだ数字を数えてる方が問題じゃないか？
@@カランコエ-j4i
個数を意識している人は2√2＋3√2＝5√2とできるが、意識してないと5√4と間違えると思う。
ルートは指数が0.5の指数関数だから
底が揃ってないと足し算引き算を1つの真数で表せない
直感的には正方形をくっつけたら良いのかなと思いました
√2は元々面積が2平方センチメートルの正方形の1辺の長さがいくつになるのかという議論から始まっているので、面積が2平方センチメートルの正方形と面積が3平方センチメートルの正方形を1辺が1直線に並ぶようにくっつけて置いた時、全体の長さはある数値を持つはずだけど、人類はその値に名前を付けてないから仕方なく√2+√3と呼ぶしかないってことですね。
感動した
計算できる。ルート5じゃないだけ。
おおー……それぞれの違いは知ってたけど、どう拡張されていったのかとかあんま考えてこなかったなぁ。
分数でも２つの数字と－の文字で表記しているのだから、無理矢理ルート同士の加算の記号を作れば良い。意味があるかどうかわからないけど。
この表を複素数まで拡張して欲しい
根号の中身同士を足すことはできないということを示すために根号の記号√はわざわざ上部まで覆っているのだと思っている
そうそう、小数も分数も計算できるので、√2+√3も一つの数になると思って苦労した思い出
掛け算はすぐ分かったけど、足し算がどうにもならなくて
誰も一つの数にならないってことに驚いてなかったことが驚きでした
「もっと詳しく知りたい人は、説明欄にある参考文献を見てください。」
の説明欄ってどこ？
高校生になれば分かるけど、
2^2+3^2=(2+3)^2
ってできないのと同じようなもん
(たまたま成立する場合を除く)
「切断の集合」じゃくて「切断の集合の上限」を対象にすればと思ってしまった
どっちにしても結論は一緒だけど
「切断の集合」だと分かり難くない？
中学の時、草の色と茶色を混ぜたら、美術の先生に絶賛されたー
複素数の説明まで発展できそう
導入すごい
そんなこと言ったら、分数も演算記号をのこして記載したものだと思うのだけどね
そう言えばそうね。小学校で12+34をそのまま書いたら×
中学校で１÷2をそのまま書いたら×で、1/2なら○（「計算」してないやん）
3√2－√2+√3は√2+√3にしないとだめなのに、それ以上は「計算」しなくていい。
自分は子供のころ何も疑問なかったけど、案外こういう点でつまづいてる子いるかも
私も学生の頃から1/2も0.5も、50/100も全部等しいから正解やん、と考えてたけど、小学、中学、高校と「どこまでの計算でOKになるか」って言う設問上のルールがあったからそれに則る事で一応納得してた。
そもそも有理数って概念が自然界では厳密に表現することが出来ないあくまで概念のみの存在だから整数と同列に考えるって言うのが確かにちょっと無理があるかもね。
表記するのに無限個の数字が必要な特別な数字が無限個存在するってこれもうわかんねえな
ペアノの公理のことですかね？
中学生の頃√〇は無限小数だから書き切ることができない、√〇+√⬜︎=無限小数だからその小数を足すことは出来ても書き切ることはできない。だから√〇+√⬜︎にすれば書くことが出るんだな〜と思ってたね。
平方根同士の掛け算ができることは2乗を考えたら簡単に証明できるから、
その後で足し算も2乗してみたらいいと思うんだけど(視聴前)
平方根に限った話をしてるわけじゃなかった…(視聴後)
19:17
直積集合を「集合の足し算」と呼ぶことってあるのでしょうか？ この名称だとむしろ和集合が想起されるように思いますが。
某ヤンキー「知ってっか？√2と√3って√5とちげぇってよ」
デデキント切断ってやつか？
実数って、ある値以下の有理数の集合の中から可能な限り最大値を使用するってことなのか。
ある値が集合に含まれる（有理数）なら最大値をそのまま使用し、含まれない（無理数）なら計算に合わせた精度である値に近い有理数を選択するってことか。
確かに、無理数って無限に続くけど、計算上ではどこかの桁で切り捨てて有理数として扱ってるな。それを集合から選択してるって考えはなかったな。これ、もっと早いうちに教えてくれると集合を学ぶ意義（の１つ）が分かって良いな。
解析概論のトラウマが……↑
デデキントだっけ？随分昔に読んだ
このずんだもんなんで怒ってる声なの？
だね、ちょっとサイコパスっぽくて怖いずんだもんだね(笑)
ダウナーずんだもんの声
√2+√3はほぼ円周率
いいこと知った（？）
3.14まで合ってたはず
最近のモニタは30bitカラー、10億色以上表現できるのだ
表記と概念
逆に掛け算はしてもいいのが個人的には割と謎
22:00 切断した点未満のすべての有理数の集合、とありますが、例えば、ある場所で切断して、そのすぐとなりでまた切断した際に、切断点は異なるから違う実数のはずなのに含まれる有理数はふたつの切断で同じ、つまり２つは同じ実数となり矛盾してしまう、ということはないのでしょうか？
すぐとなり、といっても、ある有理数の近くにはいくらでも別の有理数があるので、切断した点が真に異なるなら、そこには正の長さ分の差があるので、それらに対応した切断は、集合として、「ある長さ正の区間に含まれる有理数全体」だけの差分として現れます。よって問題ないです。
@@motton5926
感覚的には、実数直線上には有理数と無理数とが順番を持って並んでいる（例えば実数直線上のある場所では、有理数、無理数、無理数、有理数…というように）とイメージしていたのですが、これは誤りでしょうか？
@@あんこレアチーズケーキ （他者の持っている「イメージ」の正しさを正確に判定するのは難しいですが・・）ある解像度で見るとそう見えるかもしれませんが、実はそれらの有理数や無理数の間には、さらに別の有理数や無理数があります。
必要に応じていくらでも細かく刻めるので、ある有理数の「1つ隣の」有理数（あるいは無理数）は確定できないです。
例えば3という有理数に近い有理数として3.1をとると
その2つの間にはさらに3.01というのもあるし、3と3.01の間には3.001というのもあります。
これは有理数の時点でもそうだし、無理数を加えてもそうです。
3と3.1の間には、例えば「3+(√2)*0.01」という無理数があります。
切断は、ある数未満というような形をしているので、最大値がなく、
切断Aに含まれる有理数から1個だけを追い出した別の切断A’を作ることはできません。
（切断する点が3だとすると、Aには、2.9とか2.99とか2.999は含まれるけど3は含まれない、というイメージ）
@@あんこレアチーズケーキ有理数は加算無限（順番に数えていける）ですが、実数は非可算無限（順番に数えられない）ですので、どちらも無限にあることは等しいですが、有理数が砂粒なら、実数は水のようなものです。
@@yarukinonaineko
無限の性質によるものなのですね。ご教授ありがとうございます。
昔、美術のテストで色彩を問う問題に対して「緑茶」と答えた奴がいた。
そう言われると緑茶って赤紫とか青緑とかと同じような表記やな
おおー。意外に根本的。ペアノの公理を丁寧に説明するの意外に難しいのよね。
演算について少し説明不足かも？
二つの色を足したら名前の無い色ができたとしても見たことの無い色ができたことはあるか？
②+③=⑤ですか？って話なだけなんよな
√2とかは代数的数なのでその方法で定義すれば一応できそう
無理数だから無理っす〜
足せるじゃん。実数√2+√3は一意に定まる。
１÷0が割れないのとは、わけが違うんだよ。
√2+√3が答えなのでは？この2つを足して＝で表せる数がないのだから
無理やり二乗して、また平方根取った値でも答えだけど、数学はそれ以上計算できない所まで書くのがスマートだから、最終的に√2+√3になるんじゃね？
ただし、√4+√9は＝で表せる次のスマートな値があるから計算が続く、つまり√同士の足し算は可能ではある
すまん、もしかしたら√を習ったばかりの（今は小学生向けなのか？）方に向けた動画かも知れない。私のコメの意味が分からない方はスルーしてください
一次独立(線形独立)なんですかね(特に素数の√)
いやこの問題は実数を構築する話は関係ないでしょｗ
ルートというのは「f(x):2乗してxになる正の実数」という関数なわけで
その関数がf(x)+f(y)=f(x+y)を満たさないよってだけの話
例えばf(x)=x^2だって2^2+3^2=5^2としていいわけじゃない
でもこれは実数の構築とは関係ないよね？有理数で閉じた話だよこれ
ルート表記が視覚的に関数と認識されにくいから余計な考察しちゃってるだけだと思うなあ
関数のinputに対する操作とoutputに対する操作を混同してはいけませんというだけのことだよ
√2 + √3 を無限小数ではないもっと簡潔な表記ができないか？という問題なのだから、「√x + √y = √(x+y) が成り立たない」以上の強い議論が必要でしょう。
コレジャナイモンの声だ
成程ね わかりやすい
√2+√3=√2(1+√(3/2))でしょ(だからなんだ)
ずんだもんの声怒ってて草
そもそも、√がどういうモノだったか思い出せないし、話の半分も分かんねぇ…なんでこんな動画開いたんだ、俺…orz
そんな理由やったんかぁ😮
簡単にオカシイ例として、√1 ＋ √ 1 ＝ √２ ではない
とはいえ他の数でも成り立たないことを証明するのは手間ですね
√a+√b = √a+b (a,b≥0) とすると、
(√a+√b)² = (√a+b)²
a+b+2√ab = a+b
2√ab = 0
ab = 0
a = 0 or b = 0
の場合のみに成立し、a,b 両方に 0 以外を入れると上に矛盾して成り立たない、とかですかね？
√９＋√４＝√２５は可能だが、√９＋√４＝√９＋４＝√１３とはならない。