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李永乐老师我是來自香港的學生請你做更多的影片你是第一個讓我感受到學習的意義的老師老師謝謝你！！！
Seeking Chasing 可以感受出來，這老師是老天安排來的。
游仁傑 我第一次追更數學視頻⋯
我觉得老师最重要的是，把数学从束之高阁的领域解释给我们听了，让我们开始觉得，啊，生活里到处都是数学原理耶。有种欣喜若狂的感觉，这也许就是兴趣产生的爱。
香港人揮手
想独立吗
李永樂老師您好，我是來自台灣的化學老師，雖然我本身喜愛物理和化學，但您是第一個我看到可以用簡單的語言卻可以描述這麼難的科學概念，真的很佩服您！希望李老師能夠多多跟我們說說有關愛因斯坦的相對論，相信您一定可以用簡單的方法帶給我們新的觀點！
早点碰上李永乐老师，我也能考进清华
star fucks 可是要碰到李老師要先考上人大附中...
他的影片很好看 但可以不要寫黑板嗎？ 到底為什麼要寫字
中国有古话，看三遍不如读一遍，读三遍不如写一遍，写作是对思想认识最深的
Daniel Wu 写黑板可以记录，他讲的很多跟数学相关的东西，公式算式得写（终不能用说的），还有很多要画表，画画
中国真的非常缺少这样的科普视频！感谢李老师！
在中国如假包换的稀有的李老师大概率会尴尬表示：不用谢。
澄清一下，当数学家说道 “黎曼几何”，他们通常指的是带有度量张量的微分几何，而不是李老师这里描述的球面几何。微分几何的研究使用大量微积分和线性代数的工具，跟本视频中讨论的 “公理化几何” 是非常不一样的对象。爱因斯坦用的数学工具也是这种微分几何意义下的 “黎曼几何”。作为另一个范畴的研究，“公理化几何” 包括欧氏几何，罗氏几何（又称为非欧几何或者双曲几何），球面几何（仅有少数人称之为黎曼几何）等等。这种研究跟中学几何相似，从公理出发进行纯逻辑演绎得到定理。两种范畴的几何之间也有关系 - 欧氏几何，双曲几何，球面几何虽然是抽象的公理几何，但它们都可以实现为曲率为常数的黎曼流形，从而成为微分几何和黎曼几何的研究对象。然而一般意义上的黎曼几何容许曲率在每一点每个方向都不一样，这些无穷多种形态的黎曼流形绝大多数不能对应到任何用公理描述的几何。爱因斯坦面对的就是时空形态的无穷多种可能性。
就像无理数的基数大于有理数的基数一样，是吗？
谢谢科普，了解了更多
一脸懵逼
快按讚以免別人以為我看不懂
这样理解对否：马鞍形和球形都是微分几何的特殊形态（曲率为常数），因此可以以欧式几何的方式公理化。好比变速运动中的匀加速或者匀减速运动（加速度为常数）？
李老師說的可真精闢又易懂，為我們科普了許多數學知識，然後我又是那種喜歡懂一堆課外知識，對課內知識沒啥興趣的人😂😂
感谢李老师，这第二次看视频才顿悟为什么球面上作直线必定是大圆🤣，1. 两点定一线；2. 两点之间直线最短。球面上两点之间沿大圆路径最短，因此球面作直线是大圆。
請問大圓的定義是?我還是看不懂
Ren chan 大圆是指圆的半径等于球的半径。证明：球面两点过大圆距离最短；证：过两点可以做很多个圆与球面相切，交线为圆弧。两点直接相连，则连线即为圆弧的弦，由于弦长固定，半径越大（或者圆弧曲率小），则圆弧越短（小圆弧）。由于是切球面，最大半径即为大圆（过球心的圆），证毕。
谢谢你的解释，原来学过但不用都还给老师了，你说了我才反应过来球面上的直线是大圆
这个在Riemannian geometry里面叫做geodesic(测地线)， 所有的geodesics被称作这个空间的“”直线“”。
Xuan Pang 看了你的评论才反应过来！
李老师你讲的真好！
李永樂老師教學非常好，我都好喜歡
謝謝李老師👍👍👍👍
真是精辟!
你就是個屁精
这个比较给力
李永乐老师好，我想问一下怎样在双曲面上画小于180度的三角形呢？希望得到解答，非常感谢！
社会结构越来越严谨，生产力划分越来越细，专业倾向越来越严重，所以，渊博的老师也会越来越少。虽然在中国物理，数学基本算不分家学科，也有李永乐老师这样水准的毕业生很多，但是从事教师职业的，那就太稀罕了。非常支持且珍惜这位老师，打算给孩子订阅一下你的课程
哈哈哈哈哈哈一听见老罗我就精神了，老罗是我们初中的物理老师
李永乐老师的视频，是我闲暇之余唯一追逐的剧集。没有其他。
有点过了吧
讲的太好了！！
在德国读书的我，告诉大家一个秘密。爱因斯坦的故事：”爱因斯坦从小不爱学习，上课长期睡觉，经常被老师点名批评，考试也只能考1分。而当他发现自己对物理的热爱后，从此发奋读书，成为一代传奇。“我要说的是， 1分在德国是满分！！1分在德国是满分！！1分在德国是满分！！
德文不好学吧？
我参观过爱因斯丹的故居，我见过他高中的成绩单，他理科全是满分。绝对是天才，就法语不行，哈哈。
小时候有个鸡汤说爱因斯坦小时候数学只考了五分，鼓励大家努力学习，可是他没告诉你满分五分
@@danielw1765 这个鸡汤应该是只考了一分，因为在德国一分满分四分及格五分挂科
ulm吧 我在这读书呢
他法语就学了半年，不行也正常，因为还要学拉丁语，德语和意大利语，各位自诩学霸的看看能不能跟人家比
去年也去过普林斯顿故居， 但那里已经不作为参观地了，在他家后院子坐了半个小时吧， 很大的房子， 很大的后院啊。
多谢李老师
看了这位李永乐老师的几个视频，惊为天人！许多相当深奥难懂的科学原理，他能深入浅出地讲个明白，附带有关的名人轶事，听来还妙趣横生！真乃人材！！！ 为何发此感言，只因30多年前本人也曾是教物理的教书匠。。。
李永乐知识面很丰富，绝大多数解释准确且清晰。是难得的科普人才。黎曼几何有趣。
谢谢老师
李永乐老师可以讲讲概率论吗？贝叶斯定理之类的
李老师可以出书或者编教材呀，造福更多学生！讲得真好！！！
我从不喜欢数学到喜欢，就是一个大飞跃，谢谢李老师！！！！
看到很多讚美视频，交流心底話!由物理改投数學，因為很多问题用数學角度更通用易明白，更重要是留傳下一代
數學真神奇， 可以依不同的現實情況， 創造出新的數學體系， 妙極了。
真的教得很好
一个正在研究数学的大龄小朋友，感谢李老师👨🏫
最後一句講的很好。數學經常是走在其他科學的前面。主要的原因是，由數學所推論得出的結果，都是百分之百正確的。其他的科學，則是需要透過實驗才能大概得出一個規律或定律。但是，任何實驗，都不能保證在不同環境下，都可以得到相同的結果。如果有數學的結果做支持，往這個方向去做就對了。就算有誤差，也不是結果的問題，而是其他的問題。由此，就可以再發現其他有可以研究的問題了！
一句也没听懂，但是很喜欢。看了很多很多集。也已订阅:)
李永乐老师，我想问个问题，如果是纬线（非赤道）上的两个点，根据两点决定一条直线的假设，只有这条纬线能同时经过这两个点，那岂不是否定了你说的圆上所有直线必是大圆（即圆心与球心重合）的结论？
支持李老师
第一次看到李永乐老师的名字是考研复习（10年前了）的时候，好像记得是李永乐的高数400题，全部研究透了，豁然开朗，最后考研高数149分（满分150）。感谢李老师，您是我的苦海明灯。
不是一个人啊。。。有两个李永乐
yanke peng 好吧，因为讲的课都很好，真人也见过长得也差不多，以为是一个人.....
考研的那个李永乐是个老爷爷……
哈哈
jinfei zou 此李非彼李…
首先 感謝 李老師 的影片 讓我從中學習到 許多 知識 ，下列是我看到這部影片 所想到的觀點 所以我來分享 我對於第五個原理 是基於什麼 來認同是存在的 ，首先 兩點成一線 表示線段 至少包含一點，那麼 就有可能符合 第五項原理所表達的 直線外的某一點，再來就是為什麼說 只有一條平行線呢? 小畫家 有個功能 你先畫出一條線段 然後複製該條線段 並且 將複製的線段 貼上 在原有線段的垂直 或 水平方向的任一點 兩條線段 都是平行的 再來不管 你複製幾次 看起來 像是打破第五原理所敘述的 只有一條平行線規則 但 其實並沒有，因為.....每做一次複製與貼上 都是基於【一個標的物】在說白點，兩條線段:A 與 :複A ，第三條線段 可以也是 複A或是 複複A ，我想結論應該就是 相對性質 例如 對與錯 是一組 也可以說 是兩個點 且互有關連的線 對吧 類似這樣的感覺 0.0 更白話來說 第五個原理想表達的意思 就像是 藥品 人體試驗中 常聽到的【對照組】 跟【營養組】 應該是這兩個名詞 ~_~ 結論就是相對性質一定是以【2】為單位 這是小弟的淺見~_~....如有謬誤 還請見諒=.=
講解得好精彩，聽得入迷了…
受益匪淺，若是當年的數學老師有此風範，敝人之數學必定突飛猛進也。
我小学三年级数学期末考试还不及格，四年级换了个数学老师，对数学产生了很大兴趣，以后从小学到中考，数学基本上都是满分，兴趣真是最好的老师！
其實要用雷曼幾何不是因為空間是曲的 例如一個球體可以放在更大的歐拉空間研究。愛因斯坦用雷曼幾何的主要原因是因為雷曼幾何（流形）不需要放在一個為度更大的歐拉空間才可以研究 也就是不用把宇宙放在一個更大的空間。雷曼幾何只在乎內在特性intrinsic property. 最後幾句不太準確 但作為科普的解釋很不錯。
Great videos! it would be even better if you make some English ones!
Haozhe Zhu need English subtitle translation
請問在提出另外的第五公理前,可否再提出與前四公理性質相仿的公理以使能與另外的第五公理證明為矛盾關係?
李老师，请问球中的两条纬线不是平行线吗？纬线之间也不相交啊？
李永乐老师，能不能用数学解释人类是怎么进化成人类的呀
李老师，说说你的学习方法吧，希望造福人群，哈哈哈哈
@李老师，黎曼的那个，为什么没有平行的呢，纬线与纬线之间不就是球面上的平行线吗
看过李老师的很多视频了，非常好，点赞却不多。真正有价值的视频看的人少，而娱乐八卦耸人听闻的垃圾却大行其道，也是时代的悲哀。
不是只有这个时代。所有的时代能静心研究宇宙最深奥理论的都是少数
認同！
为什么你看的是有价值的，别人看的是垃圾呢？
注意看视频，哪有时间写评论啊！毕竟与娱乐节目不同。
我有一个问题啊：在球面上，过直线外一点，为什么不能像作两条纬线那样，纬线是直线吗？即使纬线未必是大圆。
请教李老师，球面上一条直线（大圆）外的一点，做一个平行于这个大圆所在平面的小圆，也可以不和大圆相交啊？这个怎么理解？
真的太有趣了,又说得够浅白
李永乐老师，黎曼几何里面，两个面平行，一个点在其中一个面上，一条线在另一个面上，不就不会有可能相交了吗？怎么就必然相交呢？这点是否错误？
以前听过一个以讹传讹的小故事，说爱因斯坦数学很差，考试只得了1分，可依然能成大科学家，以此来激励小朋友。但实际上，德国的分数中，1分代表最高分，非常难拿到的，4分代表刚刚及格。
我看過他的成績單，其實是個成績很優秀的學生
解决问题的关键，在于提出正确的问题啊
李老師, 可否開一課TENSOR ANALYSIS.
现在凌晨12:42，我已经连续看了十个视频了，今晚注定不眠夜😂
我也是 中毒了
我想睡觉，但是停不下来哈哈哈
文科生仿佛发现了新天地一样
是的呢我也觉得中毒了
我现在凌晨两点13...
数学是表示事物的数量和位置关系的方法和技术，因此，它与艺术更相近。爱因斯坦对数学似乎也持类似的观点。他对小提琴演奏的喜爱似乎也是出于他对古典音乐具有的重复，对称及和谐等精美表达形式的喜爱
老师可不可以讲一下全同态加密
精彩
藉由模擬實際案例來教導數學(應用數學)，與藉由理論形式教導數學(純數學)。在高中以下得數學教育上總得分出個優劣最適。
高！实在是高！
可以再細講一下幾何（非歐氏幾何）嗎
老師 跪求介紹暗物質o>_
真有意思，从小就喜欢做数学，长大后现实还是做了一个普通人，如果当年有这些视频，可能回去继续学习数学吧
在仿射空間中(affine space)，引入規度場 (metric tensor field) 和不變距離，就是黎曼幾何。這才是基本概念。
这是后来发展形成系统体系以后的标准定义，李老师的授课是从非欧几何出现的历史发展过程本身来讲的。你在十几分钟中的油管科普视频讲度规和仿射还怎么科普
有沒有可能圖論以及拓撲學的概論可以聽呢?
李永乐老師,我想问圆周率是甚麼
这件外套很适合李老师
老师，麻烦解释一下纬线。纬线不是平行吗？
以前觉得有人研究数学很不理解，现在终于有通俗易懂的解释了
平面几何定律与立体几何定律是不同的，比如过直线外的一点，有无数条与之不相交的线，而同一个平面里只有一条。是前人打开了后人的智慧。
老师为啥不直接在bilibili发视频?
就是說其實只要用矩陣的復合計算就能把所有的羅輯表達出來
希望李永乐老师可以把罗巴切夫斯基的证明过程讲一下，我想找原文没有找到
Lllee Le 對啊。講清楚。
空间几何，你在桌面上放跟筷子，离桌面一定距离拿根筷子跟它平行，然后旋转一下，那个旋转平面上所有角度的筷子都跟桌面上的平行
@@johncheng2835 那不叫平行好嗎 那叫做歪斜 跟羅氏幾何根本不是一回事
李老师是理科生的福利
可以分析一下地磁翻轉嗎
李老师,让我放下多年的数学又拿起来了,小罗:“我要搞他”
李老师，人物事迹可能搞错了，您似乎说的是波尔约：“1820年，在大学就读的波尔约继承了父亲对平行公设的研究。开始，他也是从正面入手，试图用欧氏其他公设来证明平行公设，结果失败了。其父坚决反对儿子堕入在他看来是前途渺茫的深渊，1820年写信责令儿子必须停止这项研究，信中说：“它将剥夺你所有闲暇、健康、思维的平衡及你一生所有的快乐。这个无底的黑暗或许可以吞吃掉一千个灯塔式的牛顿，这个夜任何时候也不会在大地上光明。”但波尔约并未被如此骇人听闻的言词所吓倒，他一方面深入了解和分析前人的研究过程；另方面又对自己所作研究进行认真的反思。”波尔约和罗巴切夫斯基都对非欧几何做出了巨大贡献；罗巴切夫斯基七岁时候父亲就去世了，生活比较困难；他的见解在于：如果第五公设真的能够独立于欧几里得几何学的其它公理和公设，那么，只需要替换第五条，就可以建立一种新的、逻辑上相容的几何学--罗氏几何而老师课堂上讲的方法，正是波尔约的方法@李永乐老师
真！知識型youtuber
老師可以請你講解一個東西嗎？時間的存在方法，時間是如何存在我們生活中的，像是可能因為空間的震動導致時間流動，或著時間就像空間一樣是宇宙的抽象化，等等等，麻煩老師了
李老师这次讲的罗氏几何关于第五公设的替换和矛盾推导的观点特别高，但是这个矛盾没咋理解，讲的是替换后的依旧逻辑自洽的意思吗？
Hello 李永乐老师，相对的，在地球🌍上，不同纬度的线(32和38纬度线)是否可以称为球面上的平行线? 如果可以，是否就可以推翻黎曼的5定论 (没有平行线)?
James Lim 你说的那些纬度圆不是大圆。李老师说的圆是大圆
纬线除了赤道线都不是球面上的直线，只有经线才是球面上的直线
所以直線是架構在同個空間才可以比較嗎？因為不同空間如果空間扭曲不同空間的兩條直線在第三者看起來就無法是平行線了嗎？
👏👏👏👏
李老师字幕有个小错误。欧氏几何打成了欧式几何。
我以前的數學老師只會教解題技巧,, 唉現在的學生真幸福可以看這些
圆上的线能定义为“直线”吗？
我覺得歐式幾何第5條理論應該這樣說，第一條直線之外的一點，可以劃出很多條直線經過此點，但這些直線中只有一條是與第一條直線是平行的。非歐式幾何說的好像是圓週線多於直線，因為一條彎曲的線只要將它不斷延長就會是一個圓圈，所以非歐式說的是圓週線的一部份，即是曲線，而宇宙的時空剛好就是扭曲了的(有了質量就會扭曲了時空)，所以可以被愛恩斯坦利用來運算他的宇宙理論了。
用球面来形容是为了让大家更直观去看待非欧几何。。 。其实他们讲的都是二维平面。不是想曲面。而第5公设，非欧几何和欧式几何相互矛盾的
@@wizard2681 愛恩斯坦管他們歐式或非歐式的原意是解釋二維還是三維，一說到曲線就是三維了，剛好就能利用來解釋他的宇宙理論了，他的相對論就多一些支持去立論了。
赞
话说要是改变第一公理：两点定一条直线为两点定若干直线会推导出什么？是什么样的空间呢？
其实严格说球面上是没直线的，因为所有的线都是闭合的。直线应该是无限延伸不相交的吧？所以只有切线是直线。
罗巴切夫斯基的父亲是个文员，在小罗七岁时就去世了。李老师“老罗”这一段应该说的是匈牙利数学家鲍耶·雅诺什
羅氏幾何找了一下我還是沒看懂，但黎曼幾何太厲害了。
在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条平行线
Einstein 昰張量分析開創者，多維度分析非常方便，數學一方之大師，化繁為簡。
可否科普一下Liu Jiayi的文章：RT2 2 does not imply WKL0. www.cambridge.org/core/journals/journal-of-symbolic-logic/article/rt22-does-not-imply-wkl0/02D5803E33B2592CF66322D13A9D6EC0. 谢谢李老师.
这里的问题基本都是概念定义和逻辑推理的问题，「数学」的定义是什么？其中是否包括概念定义和逻辑推理在内？直线的定义是什么？平行的定义是什么？反证法是逻辑推理证明方法中的一种方法。数学需要概念定义和逻辑推理，但概念定义和逻辑推理不一定都是数学问题，其它学科也有概念定义和逻辑推理，因此，概念定义和逻辑推理应用范围比数学更广泛，概念定义和逻辑推理能力与数学能力同等重要。爱因斯坦的数学很厉害，但概念定义和逻辑推理不一定也很厉害，相对论经不起反证法反证
球面上的直线，是1个圆。圆外的1个点，画上另1个圆，2个圆不相交。2个圆算是平行吧？
曲线可以当作是直线吗，直线的定义和曲线的定义是一样的吗
我小孩其實喜歡數學不过太难放棄，年纪大再学成年人角度觀察事物，后悔當年放棄数學改用物理!因為数學才是基本才是意义主旨
数学不好不可能成为顶尖的物理学家
有阿 法拉第
@@EricLin-qr7gi 这也是为什么法拉第的理论需要依靠麦克斯韦的数学工具才能真正具有实用价值
他曾经不好过 只不过后来练好了
不一定，可以合作，李政道物理出色，楊振寧數學出色
@@user-bv3et6jo5f 但是李政道就很少听到了， 反而每次都会说到杨振宁，还有杨振宁后来不也搞出了杨米尔斯理论吗。所以才说很少听到实验物理学家。
今天你发表了self辩论赛
great
数学好还是不好是相对的，看跟谁比😂
想問一下 為什麼在球面上畫不到 另一條平行線 像切橙那樣 直切2片出來 不就等於有2條平行線了嗎? 求大神解答!
圆上的直线必须是大圆。
所谓直线，是连接两点最短距离的线。在球面上，只有过球心的圆周线才满足这个条件，才是直线。
![Sean Rii, Karyon, Sharzkii - Taungule [My Love] (Official Music Video)](http://i.ytimg.com/vi/eJoMuypbSzQ/mqdefault.jpg)
李永乐老师
我是來自香港的學生
請你做更多的影片
你是第一個讓我感受到學習的意義的老師
老師謝謝你！！！
Seeking Chasing 可以感受出來，這老師是老天安排來的。
游仁傑 我第一次追更數學視頻⋯
我觉得老师最重要的是，把数学从束之高阁的领域解释给我们听了，让我们开始觉得，啊，生活里到处都是数学原理耶。有种欣喜若狂的感觉，这也许就是兴趣产生的爱。
香港人揮手
想独立吗
李永樂老師您好，我是來自台灣的化學老師，雖然我本身喜愛物理和化學，但您是第一個我看到可以用簡單的語言卻可以描述這麼難的科學概念，真的很佩服您！希望李老師能夠多多跟我們說說有關愛因斯坦的相對論，相信您一定可以用簡單的方法帶給我們新的觀點！
早点碰上李永乐老师，我也能考进清华
star fucks 可是要碰到李老師要先考上人大附中...
他的影片很好看 但可以不要寫黑板嗎？ 到底為什麼要寫字
中国有古话，看三遍不如读一遍，读三遍不如写一遍，写作是对思想认识最深的
Daniel Wu 写黑板可以记录，他讲的很多跟数学相关的东西，公式算式得写（终不能用说的），还有很多要画表，画画
中国真的非常缺少这样的科普视频！感谢李老师！
在中国如假包换的稀有的李老师大概率会尴尬表示：不用谢。
澄清一下，当数学家说道 “黎曼几何”，他们通常指的是带有度量张量的微分几何，而不是李老师这里描述的球面几何。微分几何的研究使用大量微积分和线性代数的工具，跟本视频中讨论的 “公理化几何” 是非常不一样的对象。爱因斯坦用的数学工具也是这种微分几何意义下的 “黎曼几何”。作为另一个范畴的研究，“公理化几何” 包括欧氏几何，罗氏几何（又称为非欧几何或者双曲几何），球面几何（仅有少数人称之为黎曼几何）等等。这种研究跟中学几何相似，从公理出发进行纯逻辑演绎得到定理。两种范畴的几何之间也有关系 - 欧氏几何，双曲几何，球面几何虽然是抽象的公理几何，但它们都可以实现为曲率为常数的黎曼流形，从而成为微分几何和黎曼几何的研究对象。然而一般意义上的黎曼几何容许曲率在每一点每个方向都不一样，这些无穷多种形态的黎曼流形绝大多数不能对应到任何用公理描述的几何。爱因斯坦面对的就是时空形态的无穷多种可能性。
就像无理数的基数大于有理数的基数一样，是吗？
谢谢科普，了解了更多
一脸懵逼
快按讚以免別人以為我看不懂
这样理解对否：马鞍形和球形都是微分几何的特殊形态（曲率为常数），因此可以以欧式几何的方式公理化。好比变速运动中的匀加速或者匀减速运动（加速度为常数）？
李老師說的可真精闢又易懂，為我們科普了許多數學知識，然後我又是那種喜歡懂一堆課外知識，對課內知識沒啥興趣的人😂😂
感谢李老师，这第二次看视频才顿悟为什么球面上作直线必定是大圆🤣，1. 两点定一线；2. 两点之间直线最短。球面上两点之间沿大圆路径最短，因此球面作直线是大圆。
請問大圓的定義是?我還是看不懂
Ren chan 大圆是指圆的半径等于球的半径。
证明：球面两点过大圆距离最短；
证：过两点可以做很多个圆与球面相切，交线为圆弧。两点直接相连，则连线即为圆弧的弦，由于弦长固定，半径越大（或者圆弧曲率小），则圆弧越短（小圆弧）。由于是切球面，最大半径即为大圆（过球心的圆），证毕。
谢谢你的解释，原来学过但不用都还给老师了，你说了我才反应过来球面上的直线是大圆
这个在Riemannian geometry里面叫做geodesic(测地线)， 所有的geodesics被称作这个空间的“”直线“”。
Xuan Pang 看了你的评论才反应过来！
李老师你讲的真好！
李永樂老師教學非常好，我都好喜歡
謝謝李老師👍👍👍👍
真是精辟!
你就是個屁精
这个比较给力
李永乐老师好，我想问一下怎样在双曲面上画小于180度的三角形呢？希望得到解答，非常感谢！
社会结构越来越严谨，生产力划分越来越细，专业倾向越来越严重，所以，渊博的老师也会越来越少。虽然在中国物理，数学基本算不分家学科，也有李永乐老师这样水准的毕业生很多，但是从事教师职业的，那就太稀罕了。非常支持且珍惜这位老师，打算给孩子订阅一下你的课程
哈哈哈哈哈哈一听见老罗我就精神了，老罗是我们初中的物理老师
李永乐老师的视频，是我闲暇之余唯一追逐的剧集。没有其他。
有点过了吧
讲的太好了！！
在德国读书的我，告诉大家一个秘密。爱因斯坦的故事：”爱因斯坦从小不爱学习，上课长期睡觉，经常被老师点名批评，考试也只能考1分。而当他发现自己对物理的热爱后，从此发奋读书，成为一代传奇。“我要说的是， 1分在德国是满分！！1分在德国是满分！！1分在德国是满分！！
德文不好学吧？
我参观过爱因斯丹的故居，我见过他高中的成绩单，他理科全是满分。绝对是天才，就法语不行，哈哈。
小时候有个鸡汤说爱因斯坦小时候数学只考了五分，鼓励大家努力学习，可是他没告诉你满分五分
@@danielw1765 这个鸡汤应该是只考了一分，因为在德国一分满分四分及格五分挂科
ulm吧 我在这读书呢
他法语就学了半年，不行也正常，因为还要学拉丁语，德语和意大利语，各位自诩学霸的看看能不能跟人家比
去年也去过普林斯顿故居， 但那里已经不作为参观地了，在他家后院子坐了半个小时吧， 很大的房子， 很大的后院啊。
多谢李老师
看了这位李永乐老师的几个视频，惊为天人！许多相当深奥难懂的科学原理，他能深入浅出地讲个明白，附带有关的名人轶事，听来还妙趣横生！真乃人材！！！ 为何发此感言，只因30多年前本人也曾是教物理的教书匠。。。
李永乐知识面很丰富，绝大多数解释准确且清晰。是难得的科普人才。
黎曼几何有趣。
谢谢老师
李永乐老师可以讲讲概率论吗？贝叶斯定理之类的
李老师可以出书或者编教材呀，造福更多学生！讲得真好！！！
我从不喜欢数学到喜欢，就是一个大飞跃，谢谢李老师！！！！
看到很多讚美视频，交流心底話!由物理改投数學，因為很多问题用数學角度更通用易明白，更重要是留傳下一代
數學真神奇， 可以依不同的現實情況， 創造出新的數學體系， 妙極了。
真的教得很好
一个正在研究数学的大龄小朋友，感谢李老师👨🏫
最後一句講的很好。數學經常是走在其他科學的前面。
主要的原因是，由數學所推論得出的結果，都是百分之百正確的。
其他的科學，則是需要透過實驗才能大概得出一個規律或定律。
但是，任何實驗，都不能保證在不同環境下，都可以得到相同的結果。
如果有數學的結果做支持，往這個方向去做就對了。就算有誤差，也不是結果的問題，而是其他的問題。
由此，就可以再發現其他有可以研究的問題了！
一句也没听懂，但是很喜欢。看了很多很多集。也已订阅:)
李永乐老师，我想问个问题，如果是纬线（非赤道）上的两个点，根据两点决定一条直线的假设，只有这条纬线能同时经过这两个点，那岂不是否定了你说的圆上所有直线必是大圆（即圆心与球心重合）的结论？
支持李老师
第一次看到李永乐老师的名字是考研复习（10年前了）的时候，好像记得是李永乐的高数400题，全部研究透了，豁然开朗，最后考研高数149分（满分150）。感谢李老师，您是我的苦海明灯。
不是一个人啊。。。有两个李永乐
yanke peng 好吧，因为讲的课都很好，真人也见过长得也差不多，以为是一个人.....
考研的那个李永乐是个老爷爷……
哈哈
jinfei zou 此李非彼李…
首先 感謝 李老師 的影片 讓我從中學習到 許多 知識 ，下列是我看到這部影片 所想到的觀點 所以我來分享 我對於第五個原理 是基於什麼 來認同是存在的 ，首先 兩點成一線 表示線段 至少包含一點，那麼 就有可能符合 第五項原理所表達的 直線外的某一點，再來就是為什麼說 只有一條平行線呢? 小畫家 有個功能 你先畫出一條線段 然後複製該條線段 並且 將複製的線段 貼上 在原有線段的垂直 或 水平方向的任一點 兩條線段 都是平行的
再來不管 你複製幾次 看起來 像是打破第五原理所敘述的 只有一條平行線規則 但 其實並沒有，因為.....每做一次複製與貼上 都是基於【一個標的物】
在說白點，兩條線段:A 與 :複A ，第三條線段 可以也是 複A或是 複複A ，我想結論應該就是 相對性質 例如 對與錯 是一組 也可以說 是兩個點 且互有關連的線 對吧 類似這樣的感覺 0.0 更白話來說 第五個原理想表達的意思 就像是 藥品 人體試驗中 常聽到的【對照組】 跟【營養組】 應該是這兩個名詞 ~_~ 結論就是相對性質一定是以【2】為單位 這是小弟的淺見~_~....如有謬誤 還請見諒=.=
講解得好精彩，聽得入迷了…
受益匪淺，若是當年的數學老師有此風範，敝人之數學必定突飛猛進也。
我小学三年级数学期末考试还不及格，四年级换了个数学老师，对数学产生了很大兴趣，以后从小学到中考，数学基本上都是满分，兴趣真是最好的老师！
其實要用雷曼幾何不是因為空間是曲的 例如一個球體可以放在更大的歐拉空間研究。愛因斯坦用雷曼幾何的主要原因是因為雷曼幾何（流形）不需要放在一個為度更大的歐拉空間才可以研究 也就是不用把宇宙放在一個更大的空間。雷曼幾何只在乎內在特性intrinsic property. 最後幾句不太準確 但作為科普的解釋很不錯。
Great videos! it would be even better if you make some English ones!
Haozhe Zhu need English subtitle translation
請問在提出另外的第五公理前,可否再提出與前四公理性質相仿的公理以使能與另外的第五公理證明為矛盾關係?
李老师，请问球中的两条纬线不是平行线吗？纬线之间也不相交啊？
李永乐老师，能不能用数学解释人类是怎么进化成人类的呀
李老师，说说你的学习方法吧，希望造福人群，哈哈哈哈
@李老师，黎曼的那个，为什么没有平行的呢，纬线与纬线之间不就是球面上的平行线吗
看过李老师的很多视频了，非常好，点赞却不多。
真正有价值的视频看的人少，而娱乐八卦耸人听闻的垃圾却大行其道，也是时代的悲哀。
不是只有这个时代。所有的时代能静心研究宇宙最深奥理论的都是少数
認同！
为什么你看的是有价值的，别人看的是垃圾呢？
注意看视频，哪有时间写评论啊！毕竟与娱乐节目不同。
我有一个问题啊：在球面上，过直线外一点，为什么不能像作两条纬线那样，纬线是直线吗？即使纬线未必是大圆。
请教李老师，球面上一条直线（大圆）外的一点，做一个平行于这个大圆所在平面的小圆，也可以不和大圆相交啊？这个怎么理解？
真的太有趣了,又说得够浅白
李永乐老师，黎曼几何里面，两个面平行，一个点在其中一个面上，一条线在另一个面上，不就不会有可能相交了吗？怎么就必然相交呢？这点是否错误？
以前听过一个以讹传讹的小故事，说爱因斯坦数学很差，考试只得了1分，可依然能成大科学家，以此来激励小朋友。但实际上，德国的分数中，1分代表最高分，非常难拿到的，4分代表刚刚及格。
我看過他的成績單，其實是個成績很優秀的學生
解决问题的关键，在于提出正确的问题啊
李老師, 可否開一課TENSOR ANALYSIS.
现在凌晨12:42，我已经连续看了十个视频了，今晚注定不眠夜😂
我也是 中毒了
我想睡觉，但是停不下来哈哈哈
文科生仿佛发现了新天地一样
是的呢我也觉得中毒了
我现在凌晨两点13...
数学是表示事物的数量和位置关系的方法和技术，因此，它与艺术更相近。爱因斯坦对数学似乎也持类似的观点。他对小提琴演奏的喜爱似乎也是出于他对古典音乐具有的重复，对称及和谐等精美表达形式的喜爱
老师可不可以讲一下全同态加密
精彩
藉由模擬實際案例來教導數學(應用數學)，
與藉由理論形式教導數學(純數學)。
在高中以下得數學教育上總得分出個優劣最適。
高！实在是高！
可以再細講一下幾何（非歐氏幾何）嗎
老師 跪求介紹暗物質o>_
真有意思，从小就喜欢做数学，长大后现实还是做了一个普通人，如果当年有这些视频，可能回去继续学习数学吧
在仿射空間中(affine space)，引入規度場 (metric tensor field) 和不變距離，就是黎曼幾何。這才是基本概念。
这是后来发展形成系统体系以后的标准定义，李老师的授课是从非欧几何出现的历史发展过程本身来讲的。你在十几分钟中的油管科普视频讲度规和仿射还怎么科普
有沒有可能圖論以及拓撲學的概論可以聽呢?
李永乐老師,我想问圆周率是甚麼
这件外套很适合李老师
老师，麻烦解释一下纬线。纬线不是平行吗？
以前觉得有人研究数学很不理解，现在终于有通俗易懂的解释了
平面几何定律与立体几何定律是不同的，比如过直线外的一点，有无数条与之不相交的线，而同一个平面里只有一条。是前人打开了后人的智慧。
老师为啥不直接在bilibili发视频?
就是說其實只要用矩陣的復合計算就能把所有的羅輯表達出來
希望李永乐老师可以把罗巴切夫斯基的证明过程讲一下，我想找原文没有找到
Lllee Le 對啊。講清楚。
空间几何，你在桌面上放跟筷子，离桌面一定距离拿根筷子跟它平行，然后旋转一下，那个旋转平面上所有角度的筷子都跟桌面上的平行
@@johncheng2835 那不叫平行好嗎 那叫做歪斜 跟羅氏幾何根本不是一回事
李老师是理科生的福利
可以分析一下地磁翻轉嗎
李老师,让我放下多年的数学又拿起来了,小罗:“我要搞他”
李老师，人物事迹可能搞错了，您似乎说的是波尔约：“1820年，在大学就读的波尔约继承了父亲对平行公设的研究。开始，他也是从正面入手，试图用欧氏其他公设来证明平行公设，结果失败了。其父坚决反对儿子堕入在他看来是前途渺茫的深渊，1820年写信责令儿子必须停止这项研究，信中说：“它将剥夺你所有闲暇、健康、思维的平衡及你一生所有的快乐。这个无底的黑暗或许可以吞吃掉一千个灯塔式的牛顿，这个夜任何时候也不会在大地上光明。”但波尔约并未被如此骇人听闻的言词所吓倒，他一方面深入了解和分析前人的研究过程；另方面又对自己所作研究进行认真的反思。”
波尔约和罗巴切夫斯基都对非欧几何做出了巨大贡献；罗巴切夫斯基七岁时候父亲就去世了，生活比较困难；他的见解在于：如果第五公设真的能够独立于欧几里得几何学的其它公理和公设，那么，只需要替换第五条，就可以建立一种新的、逻辑上相容的几何学--罗氏几何
而老师课堂上讲的方法，正是波尔约的方法
@李永乐老师
真！知識型youtuber
老師可以請你講解一個東西嗎？
時間的存在方法，時間是如何存在我們生活中的，像是可能因為空間的震動導致時間流動，或著時間就像空間一樣是宇宙的抽象化，等等等，麻煩老師了
李老师这次讲的罗氏几何关于第五公设的替换和矛盾推导的观点特别高，但是这个矛盾没咋理解，讲的是替换后的依旧逻辑自洽的意思吗？
Hello 李永乐老师，相对的，在地球🌍上，不同纬度的线(32和38纬度线)是否可以称为球面上的平行线? 如果可以，是否就可以推翻黎曼的5定论 (没有平行线)?
James Lim 你说的那些纬度圆不是大圆。李老师说的圆是大圆
纬线除了赤道线都不是球面上的直线，只有经线才是球面上的直线
所以直線是架構在同個空間才可以比較嗎？因為不同空間如果空間扭曲不同空間的兩條直線在第三者看起來就無法是平行線了嗎？
👏👏👏👏
李老师字幕有个小错误。欧氏几何打成了欧式几何。
我以前的數學老師只會教解題技巧,, 唉現在的學生真幸福可以看這些
圆上的线能定义为“直线”吗？
我覺得歐式幾何第5條理論應該這樣說，第一條直線之外的一點，可以劃出很多條直線經過此點，但這些直線中只有一條是與第一條直線是平行的。
非歐式幾何說的好像是圓週線多於直線，因為一條彎曲的線只要將它不斷延長就會是一個圓圈，所以非歐式說的是圓週線的一部份，即是曲線，而宇宙的時空剛好就是扭曲了的(有了質量就會扭曲了時空)，所以可以被愛恩斯坦利用來運算他的宇宙理論了。
用球面来形容是为了让大家更直观去看待非欧几何。。 。其实他们讲的都是二维平面。不是想曲面。而第5公设，非欧几何和欧式几何相互矛盾的
@@wizard2681 愛恩斯坦管他們歐式或非歐式的原意是解釋二維還是三維，一說到曲線就是三維了，剛好就能利用來解釋他的宇宙理論了，他的相對論就多一些支持去立論了。
赞
话说要是改变第一公理：两点定一条直线为两点定若干直线会推导出什么？是什么样的空间呢？
其实严格说球面上是没直线的，因为所有的线都是闭合的。直线应该是无限延伸不相交的吧？所以只有切线是直线。
罗巴切夫斯基的父亲是个文员，在小罗七岁时就去世了。李老师“老罗”这一段应该说的是匈牙利数学家鲍耶·雅诺什
羅氏幾何找了一下我還是沒看懂，但黎曼幾何太厲害了。
在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条平行线
Einstein 昰張量分析開創者，多維度分析非常方便，數學一方之大師，化繁為簡。
可否科普一下Liu Jiayi的文章：RT2 2 does not imply WKL0. www.cambridge.org/core/journals/journal-of-symbolic-logic/article/rt22-does-not-imply-wkl0/02D5803E33B2592CF66322D13A9D6EC0. 谢谢李老师.
这里的问题基本都是概念定义和逻辑推理的问题，「数学」的定义是什么？其中是否包括概念定义和逻辑推理在内？直线的定义是什么？平行的定义是什么？反证法是逻辑推理证明方法中的一种方法。数学需要概念定义和逻辑推理，但概念定义和逻辑推理不一定都是数学问题，其它学科也有概念定义和逻辑推理，因此，概念定义和逻辑推理应用范围比数学更广泛，概念定义和逻辑推理能力与数学能力同等重要。爱因斯坦的数学很厉害，但概念定义和逻辑推理不一定也很厉害，相对论经不起反证法反证
球面上的直线，是1个圆。
圆外的1个点，画上另1个圆，2个圆不相交。
2个圆算是平行吧？
曲线可以当作是直线吗，直线的定义和曲线的定义是一样的吗
我小孩其實喜歡數學不过太难放棄，年纪大再学成年人角度觀察事物，后悔當年放棄数學改用物理!因為数學才是基本才是意义主旨
数学不好不可能成为顶尖的物理学家
有阿 法拉第
@@EricLin-qr7gi 这也是为什么法拉第的理论需要依靠麦克斯韦的数学工具才能真正具有实用价值
他曾经不好过 只不过后来练好了
不一定，可以合作，李政道物理出色，楊振寧數學出色
@@user-bv3et6jo5f 但是李政道就很少听到了， 反而每次都会说到杨振宁，还有杨振宁后来不也搞出了杨米尔斯理论吗。所以才说很少听到实验物理学家。
今天你发表了self辩论赛
great
数学好还是不好是相对的，看跟谁比😂
想問一下 為什麼在球面上畫不到 另一條平行線 像切橙那樣 直切2片出來 不就等於有2條平行線了嗎? 求大神解答!
圆上的直线必须是大圆。
所谓直线，是连接两点最短距离的线。在球面上，只有过球心的圆周线才满足这个条件，才是直线。