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视频有字幕！
老师你认为距离证明黎曼猜想人类还需要多久，证明或者证伪之后对人类有怎样的影响呢
禁止搬运
坦白說 李永樂 你的字很醜
黎曼猜想有什么用？有什么意义吗？
乐哥什么时候讲一下变分法吧
各位童鞋，这是黎曼猜想三部曲的第三部，前两部分别讲了解析延拓和素数定理，其实之前还有个第零部，讲的欧拉恒等式
第零部在哪
希望老师可以讲一下黎曼猜想的意义是啥。。。等于零是啥意思呢？
樓上＋1
wenyuan lu 上一集都在讲意义和等于0是什么意思啊
@@achillesarmstrong9639 抱歉，我又回去看了遍，但還是不太明白，能麻煩你幫忙解釋一下嗎Orz (跪求解釋
1.幫補充一下，黎曼論文本身就已經提及所有零點都在0
希望年轻的同学们能以李永乐老师为榜样，对自然科学不要背书，而是能简洁明快地考虑到问题的本质，实质。也希望写教材的老师，不要像抄写经文似的，而应经常指点问题的本质/实质；并给于启发性的说明！少一些刁钻古怪的计算习题与试题，多一些探讨科学家当时发现问题，解决问题的思路。
是的，兴趣是最好的老师。
看到這種數學家為了真理前仆後繼的故事，我真的熱淚盈框，不曉得為什麼，就是很感動。
追剧终于追到大结局了
An Qin 哈哈哈哈哈哈，是的
結局覺得感動😹
前段时间去拜访了一下薛定谔和海森堡 看来下次要去拜访一下黎曼了
追这种高级的戏剧，是一生荣耀耶
剧未还留下了悬疑： 黎曼的最终解法到底是？咋不见各位剧迷讨论呢哈哈😂
看李老师的视频，由衷的觉得，原来数学物理，竟是如此的有意思。也非常非常佩服李老师，能把课讲的这么生动，这么引人入胜。真的觉得，之前不经意间发现了李老师，是一种幸运，从此也就爱上了李老师。希望李老师的channel可以越来越好。
李老師之後如果有機會和時間的話，能不能也講講其他千禧年七大數學難題的題目和其重要性。感覺其他題目應該也很有意思:)來自台灣小朋友的留言XD
真的 其他6個也很酷但都看不懂
專業的難題，要交給專業的人，來簡化、白話。不然真的會看不懂.....
鼓励你多去看看台湾大学的数学公开课程，如果你真的对数学有兴趣的话，那些课程会对你很有帮助的。当然很多知名大学像哈佛，耶鲁，都有很好的公开课程。
@@chokyuksan 給個網址吧~~
你是大朋友
黎曼：黎曼大法好，信黎曼，得永生
信人类末日？
前半部分完全看不懂，但我还是看了2遍。看的津津有味！
其实讲的很简洁易懂的，听不懂的话，可以稍微学一点高数，尤其是多元微积分就明白为什么四维数轴空间可以弄成二维的转换了
提供一些最近几天吃瓜时一些相关普及里看到的内容作为补充：在黎曼的《论小于给定数值的素数个数》这篇论文里，其实不仅提到了黎曼猜想，还有其它两个相关的结论，三者合起来大概是这样的：1、显然，黎曼函数的全部非平凡零点分布在实部为0到1那个黄色区域里(论文里写证明从略，后来也确实被证出来了）；2、几乎所有的非平凡零点分布在实部1/2这条直线上（论文里还是写着证明从略，不过这个有没有被其他人明确的证出来我不清楚）；3、全体非平凡零点分布在实部1/2这条直线上（这是连黎曼本人都在那论文不敢下肯定的结论，也就是黎曼猜想）。……另外，黎曼对非平凡零点的计算也有贡献，相关的黎曼-西格尔公式是数学家西格尔在一九三几年的时候才从黎曼的一份1850年的手稿里重新整理让其“出土”重见天日的，这个公式的先进性在出土的当时仍然领先相关领域（当然，后来还是被被超越了）。……口怕的黎曼。。
先睡觉，明天起床我来证明出来
你只是单纯因为能长寿吧
忍不住点赞评论，太有才了
你还能见到明天的太阳吗？
你證明出來，然後你醒了
你先说你承认还是不承认 这很关键 不然可就。。。
老师，所以黎曼猜想是关于这些个非凡零点咯？还有一个疑问，所以黎曼猜想的解开对素数的了解会有什么意义和帮助？这是我看第三部一直想知道但是还没有讲到的地方。谢谢
如果能掌握非平凡零点的规律，就能很好地利用这些零点来拟合π(x)，也就掌握了素数分布的规律了。现在要证第一步是非平凡零点都在二分之一这条线上（黎曼猜想），第二步就是要找出非平凡零点的分布规律，但是要证第一步多多少少要知道第二步的信息，因为你可知道它怎么分布才好证明是不是都在二分之一这条线上，也就是很可能要知道第二步才能证明第一步。知道第二步就很牛了，素数分布规律知道了，现在密码学的方法要重新设计
没说黎曼猜想和素数定理的关系。只是形式上是求和级数的解析延拓，零点有什么含义么？
李老师的视频特别下饭，每次看着视频，饭量就不知不觉比平时大一倍。
哈哈，我也喜欢吃饭的时候看李老师的视频，吃和看都津津有味
数学经常要跟无穷大打交道，计算机再吊也是有上限的，无法穷举的问题就没法解决了。实际上如果能靠计算机解决的问题，都不算问题。最后这个黎曼猜想，就算阿蒂亚爵士的证明方法有问题，也得过很久才能下结论。
我撤了，不差这几百万美元（手动滑稽）
你只要信就永生了，区区几百万真不重要
xu joe 信春哥管用吗（滑稽）
算十萬億個點，一片黑暗呀。没撤了
这三期视频是目前为止的巅峰之作。
哈哈定性了
所以黎曼猜想是什么明白了 ， 那黎曼猜想和素数的分布有什么关联？？？？ 关联就只是那个科赫的猜想？还有那个欧拉乘积公式？ 实部不等于1 是通过那个S和1-S对称的函数推导出来的吗？
國人RUclipsr我只服兩個 李老師跟寬油剛
這兩個我也服 李老師哪天也來做技術總結唄
敖厂长也挺猛的
宽油刚哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
王师傅的宽油让我饿的失眠 李老师的课治好了我的失眠
看到寬油剛，讓我笑超大聲
有没有人像我一样，被张益唐的新闻带过来再看看李老师的讲解😄
加一
➕1
加1
谢谢李老师 ，我当时看一个外国作者写的一本叫做黎曼假设的书时，我虽然知道有这个重要的猜想，但看不懂，谁知道 ，老师这么用心讲了。哈哈哈， 我以后有各种数学问题都要问老师，哈哈哈 当小朋友还有这种待遇。哈哈哈
黎曼在手稿中自己计算了二十多个非平凡零点，然后才提出的黎曼猜想，不是凭空提出的。
李永乐老师, 我年龄比你稍大吧，兴趣相似！ 你使我用最短的时间了解了人类文明中最深刻的问题！ 你节省了我很大的生命！在此表示衷心的感谢------还有什么比节省那么多的人的生命更有意义的事情呢？ 想说是上天赋予你这样的才能，但更有价值也更接近事实的说法是你的艰苦努力的结果！
@@Steven-tp6rf 我不否認李永樂老師是頂尖的人才和學霸，但你也說得太過了吧，中國還有那麼多科學院院士，李永樂好像還沒是院士吧？！你說的語氣，不知道的人，以為你在和李政道楊振寧打抱不平啊！
vantommy 委婉的叫你低调，别说话没长见识似得让人苦笑。你倒还挺不服气。你也别提人家杨振宁啥的了，你就说你够不够格和永乐老师“相同爱好“了吧。看问题也关注下中心点好不
李孟泽 我说的和你fuck 的，不是同一个话题，算了这个话题到此为止吧，我也烦了
专心学习行不？李老师不想你们打嘴仗的
@@Steven-tp6rf 我和李老师一样，也吃饭睡觉，我荣幸呀！
我觉得还差了一点东西没有讲解：就是“黎曼zeta函数的非凡零点”与“小于某值的素数个数”之间的关系呀！
是啊，李老师巧妙地避开了最重要的一点，如果说zeta函数非平凡零点实部为1/2这一点就是黎曼猜想的话，那么黎曼猜想的表述一点都不复杂，一句话就能说清，事实上维基百科上差不多就是这样表述的，但是这个跟素数到底关系何在，尤其是被说得神乎其神的重要性，不都在这里吗。。。不过李老师前两集的背景确实讲得非常不错。
@@fcx1439 是的背景很重要，基础很重要
哇好像真是，差了亿点东西没有讲解
小時候有玩過東西南北嗎？想像成立體地球儀加瑞士名錶。蘭德爾桑卓姆膜減查爾斯氣體定律。
精彩！！！逻辑之美）） 计算机数值算的话对问题的解决大概起不到决定性作用，解析证明是最终的也是必须的！
真的，其实老师的视频我基本都看不懂，但是还是有股莫名的力量支持我看完每个视频，感觉像中邪了
最难赚的100万
讲真这个奖金太低了，连职业拳击手的出场费还不如，我觉得至少一个亿美金
kublai khan 要是证出来就不是那100万的问题了，人类史上留名。而且所属国政府会养一辈子的😵
不拿钱狠砸怎提现重要性。。。
@@fcx1439 提高到10亿也无用
15:38 這件事算不算還要很長的時間→三個月後爵士掛了15:49 如果證明黎曼猜想就能不朽→三個月後爵士掛了16:16 很多人在研究過程中受傷→三個月後爵士掛了RIP
终于出视频了，这两天天天刷就等第三集了，虽然最后还是没看懂。
李老師能把艱澀的學問講得淺顯易懂，我當年能有你這種老師該有多好
你确定这淺顯易懂?
李永乐老师， 我觉得你讲数学的原理时特别清晰。你能否下次结合原理和应用讲讲， 比如最近的神经算法，和常用的机器学习算法，回归概率。均方差等组合的模型原理，谢谢
哈哈哈 三部曲终于追完了~~XDD
小朋友来赞啦！顺便想问李老师一个问题：有个吃蛋糕游戏 两个人玩 规则是一共50块蛋糕 两人依次吃 吃的数可以是1到5任意一个 然后吃掉最后一块蛋糕的人赢 请问是不是有个必赢的方法？然后如果这个游戏是三个人玩 有没有必赢的方法呢？谢谢李老师，希望老师能看到 ^^
老师您讲的太好了 想把难的东西用白话讲给老百姓听有是种非常了得的能力👍🏻
李老师能不能介绍一下Landau-Siegel零点猜想呢？张益唐教授透露他已经证明/正否了这个猜想。
至今為止最難的三部曲😂😂跟從前的矇不一樣，從前的是，還能大概懂在幹嘛，還大概懂老師在寫什麼，黎曼猜想這系列，自從第一部後半段開始，就不懂在幹嘛了，滿滿的算式，點進來是來聽前半段和後半段的科普😂😂
我
三个视频一口气看下来 真精彩！
李老师可以提一个建议吗？ 以后少用粉笔，对肺不好。可以考虑用可擦除的油性笔。
我也有个猜想:黎曼猜想是打开四维的钥匙，也是人类基础物理的突进。函数前面的数表示循环轴。
维度折叠技术哈哈
請先觀察到一些物理現象、提出公式，然後再用數學的方法證明你的這些公式跟黎曼猜想有關
對不起我沒什麼基礎，但我能問一下這個猜想的實際應用是什麼？所謂質數有無窮個，於是我們不求無窮，而是推導一個公式可以簡易的去求出某一個大質數，請問求這個大值數的實際應用是什麼？（為了破解銀行密碼嗎？）最後一個問題，我們都知道一個數可以將它無窮化表示，或一個數可以延伸無窮個數，請問數學到最後總是在無窮大或無窮小之間打轉？那求大或小或求大小之間的某個數意義在哪？總之它就是一個數，一個能被人所定意的數，假設人不去定意它那這個數是否存在，又問已能定意的數為實，未被定意的數為虛，那實的表示為一，虛的數該是多少？
李老师，有两个问题想请您指教。就是骑自行车的时候，自行车凭什么作用力让它平衡地动作呢？ 另外，人睡觉的时候，几乎都是闭眼睛的，这是什么原因呢？ 谢谢。
我把它变出来好了,变出来了谜之蒙太奇😂
手法略顯粗糙，但娛樂性十足😂
我也是，笑死了。
CM Yao 李老师年轻时候讲课更蒙太奇！
留数定理变出来的
沒認真去想 不過看來是科西積分（？
李老师您好，我想问个一直困扰我的问题，为什么要发明复数这种数学工具？我的意思是，既然一个复数相当于一个二维向量，直接使用向量代替不就可以了吗，究竟复数有什么良好的解析性质，使得复数的作用不是简单的二维向量就能替代的？
本人非数学专业，了解不多。第一个问题，复数并非数学家闲的蛋疼发明出来的，而是先有虚数；虚数也不是数学家强行给x^2+1=0这样的方程一个解弄出来的，而是在研究3次方程求根公式的时候，发现如果引入虚数，那么求根公式才会真的有意义（该公式可能会对一个负数开根号）。随后发现引入复数这么个东西有许多优点，比如运算的封闭性啥的。数域又一次得到扩展。第二个问题，复数确实可以用二维向量表示，也许只是形式上的不同而已。一个偏重解析另一个偏重几何。现代数学分析法远比几何法更强力，因此用解析的办法可能更方便。向量更多地偏向物理上的运用。至于复数能不能简单地用二维向量替代，应该是不能，至少会十分繁琐而我并不知道怎么操作。就像黎曼的这个猜想，如何用向量去表述呢？另外向量的含义其实更广泛，二维向量本质上表示的是一个二维信息，未必就是横纵坐标轴，还可以是角度和长度（虽然复数也可以如此表示，称模与幅角），还可以是别的看起来不相关的量。向量也可以是更高维的。还有一点就是，复数作为一个域，其中乘法满足交换律，而向量，如果扩展到高维，不满足交换律，而且向量的乘法有多种定义，比如内积外积叉积；复数具有乘法的逆法运算，即除法，然而向量没有除法。
老師您好！很喜歡你的視頻內容，除了數學物理之外還結合了時事、歷史等等。突然有點好奇，不知道老師有沒有興趣說說巴哈的音樂？
精彩，另外李老师能不能推荐几本书数学方面的书籍呢？好想重新拿起书本学习学习了
请求李老师再讲一集黎曼猜想如果被证明的意义，这里面我还是很confusing，既然现在已经有很多推论和应用都默认黎曼猜想为真了，那么就说明即使证明出来了，这些应用也不会有什么影响，反倒是如果被否定了，可能会有有限的影响，但是应该也不至于颠覆，毕竟已经计算出来的非平凡零点都在1/2上，而且量级巨大，那么就像牛顿力学虽然现在已经不严格正确了，但是依然在地球上有大量的适用场景一样。理论上我的理解是，黎曼猜想的如果得道证明，会让pi(x)函数的误差项更小从而该函数更精确，而其他的推论是基于这个pi(x)函数的，这样的理解对吗？
其实理论这个东西，你证明了，你这辈子都不一定有用，但是突破了认知世界的局限。经典力学被否了，虽然不影响以前低维度的应用，但是新的理论能在更广的范围应用，指导更多的实践。就是人类认识世界不能总是想的马上有什么用，也许证明这个问题的方法有用啊。这就是工科和理科的区别，工科怎么样也与人类自身相关，理科就是更纯粹的自然科学了。
纠正个错误，你应该说”我还是很Confused“而不是”confusing“
感谢老师讲解，终于追完了！数学果然很有意思，很期待什么时候能看懂阿蒂亚爵士的论文😄
李永樂老師，請問加入寬油後食物更香是什麼原因造成的
好精彩，谢谢李老师。因为你才决定安装个西瓜视频
恩~~每个字都认识，老师说得也是汉语。
李老师， 可以找机会讲一下比特币和区间链吗？ 多谢！
Dusk Tan 那个没什么意思，别讲了
我为李老湿作一首 可惜这里空间太小 我写不下 老湿介绍下张益唐和孪生素数
我的天 你这种人有一个就已经让世人头疼三百五十年了别再来一个
《關於黎曼猜想...》黎曼猜想：所有的非凡零點都在 1/2 這條線上。如果你證明了黎曼猜想你就得着了永生，如果你否定黎曼猜想你立馬就會下地獄。如下思考模式可以伴隨你證明黎曼猜想：時間的本質是某種存在的平凡維度延拓，而時間是平凡連續且處處可導的，因此存在是處處可導的，所有不可導的點都可以通過某種時空解析延拓來實現可導，因此無處不 在的神是存在的，任何不存在都是存在的,不存在也是處處可導的,因此神是全能的，一切皆有可能。一個系統的所有形式的零點都必然是合一的,所有可能存在和不可能存 在的系統之零點也必然都是合一的,因此上帝是唯一的，不動點是存在的。存在必然存在於某個系統中，某個系統中的不存在必然可存在於這個系統的景象系統之內，因此 ，所有的存在與不存在必然存在其內在的固有方向。換一句話說，黎曼猜想與下述命題等價：所有的非平凡靈點都在平凡靈點的附近，這些點能一對一的延拓到複數平面的1/2直線上。其實從變換的角度，將這條直線往前後旋轉90度就變成了點（1/2），證明了這個點是非凡零點，也就證明了有無窮多個非凡零點在直線1/2上....這個事實上早就證明了，因此用計算機去尋找十億還是千億萬個黎曼點沒有本質上的證明意義。1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = 1/2(-1/2)1/12(-1/12)是不是回到無窮小與無窮大的本源問題了呀？是。馬克思無法理解這個基本問題，他的名字是“極大”（Max）的邪惡意識形態靈動出來的。所以馬克思無法理解牛頓對無窮小的直接感知。他也就更加無法理解萊布尼茲到戴德金和康托爾的邏輯學了。因此，馬克思主義的哲學必然墮入勾引人類陷入普遍邪惡罪惡與醜惡的深淵！
历史上所有叫max的人都被黑了
李老师好！看了您几期讲座 忽然想起来一个很久之前听过的趣题 一直没有看到解析 希望您能答疑解惑一下～题大概是这样的 有100个人 每个人可以说一个1～100之间的整数 说出的数最小且唯一的情况判定胜出 为了赢面最大应该选择哪个数为自己的答案
大概是这个意思 具体的表述在网上没有找到 就自己描述了一下
李永樂講三姬分金，自己找
李明白 喔不對，這個是飛機問題，老師也講過的，不過在哪一集就忘了，有段時間
楓紫 好的好的 我往前面再找找～
李明白 我找到了，超前教育與旅行者困境那一集，建議看之前把我剛剛說的三姬分金跟他後面的炒股票都先看了，因為都是講博弈論的
请问老师 黎曼是研究素数时才提出的猜想 那这个猜想本身和素数的关系到底是什么呢？
老师，据说人造核聚变是未来最理想的能量来源。那如果人造核聚变实现了，是不是意味着在不久的将来有许多原子都能被“造”出来。比如氧，碳这些质子数不是太多的原子。
这些元素在自然界中大量存在为啥要造
想法一点也没问题，物理学家也不是没造过别的元素。1到98号元素可以在自然界找到，虽然其中不少元素是人工合成的。99号往上都是人工合成元素。这些元素的中文名基本上我们只认识除了偏旁以外的部分。人工合成元素多数都有放射性，有的半衰期很短，短到和0差不多，有的半衰期虽然长，但放射性太强。因此这些元素都是用在极端领域，而且是在高度控制的条件下。人工合成更重的元素十分困难，而且元素周期表存在上限，因为电子越来越多的时候，内层电子轨道半径越小，同时也越难抵御原子核的吸引，当电子被原子核吸引，原子也就不复存在。有的科幻作品中喜欢描述外星人的飞船什么的用的是元素周期表中没有的元素，那肯定是别的超重元素了。虽然超重元素半衰期很短，但可能依然存在半衰期大出好几个数量级的超重元素，即“稳定岛”的存在。所以那些飞船也只能用这种元素了。实际上这种材料太低端了，用这种材料的外星人文明肯定高不到哪里去。NB的都用强相互作用材料，比如《三体》里面的“水滴”，原子什么的，太弱了。
@@annapriscilla1448 哥，您太牛b了...
08:33 的字幕格拉姆死于1901年，讲解是1903计算了15个非平凡零点，从wiki上看貌似字幕错了，应该是Jørgen Pedersen Gram (27 June 1850 - 29 April 1916)
Mega Yu 是的字幕写错了
可能重要的不是证明，而是摸清素数的分布规律把，证明猜想只是能更好的摸清素数的规律，黎曼猜想的困难之处可能是没找到合适的数学工具，也许等有人发明一个新的数学方法，可能就能很好的解决了
S=1/2±無窮i 若這±無窮i有電腦程式可寫出來 就得證了 一個一個代 就算你代到幾兆位數 那些數學家還是不會承認你證出來~ 另外平凡零點如何解出來的 有興趣瞭解
三部曲十分精彩, 獲益良多, 謝謝老師
老师可以讲一下距离地球几百万光年的距离是怎么测出来的吗？就算用望远镜和地球绕日轨道最多也测不了那么长的距离啊
我第一次聽懂黎曼猜想，感謝老師
我覺得任何文字工作者都需要一個有文化的管家才不會讓管家燒了管家認為不重要的東西
你们是不是都住在RUclips
起立！敬礼！老师好！同学们好！请坐！
看了各种关于黎曼猜想的讲解，还是喜欢李老师的这版，深入浅出又不失严谨，还穿插着数学界的一些趣闻，一口气把三节都认真看完了。
我也不明白为啥把三集黎曼猜想又看了一遍，还津津有味的😂
羡慕那些李老师的学生们！讲得太好啦！
什么时候讲一下哥德尔不完备定理吧
最喜聽老師說一句： 全世界的數學家對這個猜想發起圍攻
我特別想知道，證明了所有非凡零點在上頭，或者找到一個非凡零點不在上頭，就是證明或者否定了，除了在數學上以外，對於社會，或者後續的其他運用是會有什麼實質的意義或者貢獻嘛??
感恩老師三部影片老師今天看起來有點累?還好嗎?
李老師有打算把七個千禧難題都介紹一下嗎？像p vs np問題，也是很有趣很值得探討的問題。
黎曼函数由欧拉级数拓展而来。欧拉级数是所有质数倒数之和，严格地说这些零点解是不能计算的，用函数连续性确定附近有解，就像pi 是无理数。所有非平凡零点是在二分之一轴上，因为二是唯一一个偶数质数，所有奇质数倒数的幂级数唯有可能为函数拓展为负二分之一。这也真是哥德巴哈猜想的真谛。所以哥德巴哈猜想才是基本，是数的内在本质。证明了它才能证明前者。数学家们疏忽了这一点。
老师好像没讲黎曼猜想和质数之间到底有什么关系啊
看黎曼的论文名啊。
非常棒，受教了~如果RUclips解禁，您的订阅量千万计~~在北京么。想拜访下您
老師下次可以講龐加萊猜想 或是 p=np嗎
支持
李老师，有空讲讲Fibonacci数列及其在商业上的应用，谢谢！
黎曼猜想和素数有什么关系呢? 难道1/2+bi 的虚部都是质数？
我只想要問這能應用在哪？解出來能改善生活嗎？
所有的東西都是波，波會疊加，產生共振或諧振。頻率若為質數則不與其他頻率共振。有些宇宙的秘密訊息可能就藏有超大質數的地方。
可以详细讲讲，或者推荐相关资料嘛？
老师多讲点这种数学问题吧，看得太上瘾了
谢谢李老师, 让我们开始追数学课了.
李老师，我最近也证明了黎曼猜想，该往哪里投稿？
李老师，能不能讲讲对偶空间理论？看得比较觉得复杂，思路不是很清晰
有一部電影美國隊長克里斯伊凡主演的_天才的禮物就是在講千禧七大數學問題的電影
请问李老师知道黎曼函数的非平凡零点和质数的分布有什么关系？
李老师，给我们讲一讲“妖”吧，麦克斯韦智能妖，筛选妖，梁边妖👏🏻👏🏻👏🏻👏🏻👏🏻
李老师您好。老师您看能不能把视频给个编号，这样追剧比较方便。
讲得不错，浅显易懂
很喜歡聽這類的數學難題 希望老師以後能多講一點這一類的~
太艰深了，第二第三部分都没人看了，不过很正常，哈哈。李永乐老师厉害。
每次都是来看李老师写黑板的，粉笔写黑板的咄咄声听着特带感。
黎曼猜想有多難呢？它在召叫人類發現一種全新的數學範式，可以包容和生發出人類已經發現的所有數學體系。
沒那麼誇張不過有成千上百的數學猜想跟定理，可在黎曼猜想成立的狀況下證明，或得到較簡化的證明
写复数域的时候用花写的C，直接写C容易让人理解成连续函数域。
李老师能再科普下老爵士的精细结构常数倒是是个啥东西吗？
还能更帅一点么 李永乐老师
视频有字幕！
老师你认为距离证明黎曼猜想人类还需要多久，证明或者证伪之后对人类有怎样的影响呢
禁止搬运
坦白說 李永樂 你的字很醜
黎曼猜想有什么用？有什么意义吗？
乐哥什么时候讲一下变分法吧
各位童鞋，这是黎曼猜想三部曲的第三部，前两部分别讲了解析延拓和素数定理，其实之前还有个第零部，讲的欧拉恒等式
第零部在哪
希望老师可以讲一下黎曼猜想的意义是啥。。。等于零是啥意思呢？
樓上＋1
wenyuan lu 上一集都在讲意义和等于0是什么意思啊
@@achillesarmstrong9639 抱歉，我又回去看了遍，但還是不太明白，能麻煩你幫忙解釋一下嗎Orz (跪求解釋
1.幫補充一下，黎曼論文本身就已經提及所有零點都在0
希望年轻的同学们能以李永乐老师为榜样，对自然科学不要背书，而是能简洁明快地考虑到问题的本质，实质。也希望写教材的老师，不要像抄写经文似的，而应经常指点问题的本质/实质；并给于启发性的说明！少一些刁钻古怪的计算习题与试题，多一些探讨科学家当时发现问题，解决问题的思路。
是的，兴趣是最好的老师。
看到這種數學家為了真理前仆後繼的故事，我真的熱淚盈框，不曉得為什麼，就是很感動。
追剧终于追到大结局了
An Qin 哈哈哈哈哈哈，是的
結局覺得感動😹
前段时间去拜访了一下薛定谔和海森堡 看来下次要去拜访一下黎曼了
追这种高级的戏剧，是一生荣耀耶
剧未还留下了悬疑： 黎曼的最终解法到底是？
咋不见各位剧迷讨论呢哈哈😂
看李老师的视频，由衷的觉得，原来数学物理，竟是如此的有意思。也非常非常佩服李老师，能把课讲的这么生动，这么引人入胜。真的觉得，之前不经意间发现了李老师，是一种幸运，从此也就爱上了李老师。希望李老师的channel可以越来越好。
李老師之後如果有機會和時間的話，能不能也講講其他千禧年七大數學難題的題目和其重要性。感覺其他題目應該也很有意思:)
來自台灣小朋友的留言XD
真的 其他6個也很酷但都看不懂
專業的難題，要交給專業的人，來簡化、白話。不然真的會看不懂.....
鼓励你多去看看台湾大学的数学公开课程，如果你真的对数学有兴趣的话，那些课程会对你很有帮助的。当然很多知名大学像哈佛，耶鲁，都有很好的公开课程。
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你是大朋友
黎曼：黎曼大法好，信黎曼，得永生
信人类末日？
前半部分完全看不懂，但我还是看了2遍。看的津津有味！
其实讲的很简洁易懂的，听不懂的话，可以稍微学一点高数，尤其是多元微积分就明白为什么四维数轴空间可以弄成二维的转换了
提供一些最近几天吃瓜时一些相关普及里看到的内容作为补充：
在黎曼的《论小于给定数值的素数个数》这篇论文里，其实不仅提到了黎曼猜想，还有其它两个相关的结论，三者合起来大概是这样的：
1、显然，黎曼函数的全部非平凡零点分布在实部为0到1那个黄色区域里(论文里写证明从略，后来也确实被证出来了）；
2、几乎所有的非平凡零点分布在实部1/2这条直线上（论文里还是写着证明从略，不过这个有没有被其他人明确的证出来我不清楚）；
3、全体非平凡零点分布在实部1/2这条直线上（这是连黎曼本人都在那论文不敢下肯定的结论，也就是黎曼猜想）。
……
另外，黎曼对非平凡零点的计算也有贡献，相关的黎曼-西格尔公式是数学家西格尔在一九三几年的时候才从黎曼的一份1850年的手稿里重新整理让其“出土”重见天日的，这个公式的先进性在出土的当时仍然领先相关领域（当然，后来还是被被超越了）。
……口怕的黎曼。。
先睡觉，明天起床我来证明出来
你只是单纯因为能长寿吧
忍不住点赞评论，太有才了
你还能见到明天的太阳吗？
你證明出來，然後你醒了
你先说你承认还是不承认 这很关键 不然可就。。。
老师，所以黎曼猜想是关于这些个非凡零点咯？还有一个疑问，所以黎曼猜想的解开对素数的了解会有什么意义和帮助？这是我看第三部一直想知道但是还没有讲到的地方。谢谢
如果能掌握非平凡零点的规律，就能很好地利用这些零点来拟合π(x)，也就掌握了素数分布的规律了。现在要证第一步是非平凡零点都在二分之一这条线上（黎曼猜想），第二步就是要找出非平凡零点的分布规律，但是要证第一步多多少少要知道第二步的信息，因为你可知道它怎么分布才好证明是不是都在二分之一这条线上，也就是很可能要知道第二步才能证明第一步。知道第二步就很牛了，素数分布规律知道了，现在密码学的方法要重新设计
没说黎曼猜想和素数定理的关系。只是形式上是求和级数的解析延拓，零点有什么含义么？
李老师的视频特别下饭，每次看着视频，饭量就不知不觉比平时大一倍。
哈哈，我也喜欢吃饭的时候看李老师的视频，吃和看都津津有味
数学经常要跟无穷大打交道，计算机再吊也是有上限的，无法穷举的问题就没法解决了。实际上如果能靠计算机解决的问题，都不算问题。最后这个黎曼猜想，就算阿蒂亚爵士的证明方法有问题，也得过很久才能下结论。
我撤了，不差这几百万美元（手动滑稽）
你只要信就永生了，区区几百万真不重要
xu joe 信春哥管用吗（滑稽）
算十萬億個點，一片黑暗呀。没撤了
这三期视频是目前为止的巅峰之作。
哈哈定性了
所以黎曼猜想是什么明白了 ， 那黎曼猜想和素数的分布有什么关联？？？？ 关联就只是那个科赫的猜想？还有那个欧拉乘积公式？ 实部不等于1 是通过那个S和1-S对称的函数推导出来的吗？
國人RUclipsr我只服兩個 李老師跟寬油剛
這兩個我也服 李老師哪天也來做技術總結唄
敖厂长也挺猛的
宽油刚哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
王师傅的宽油让我饿的失眠 李老师的课治好了我的失眠
看到寬油剛，讓我笑超大聲
有没有人像我一样，被张益唐的新闻带过来再看看李老师的讲解😄
加一
加一
加一
➕1
加1
谢谢李老师 ，我当时看一个外国作者写的一本叫做黎曼假设的书时，我虽然知道有这个重要的猜想，但看不懂，谁知道 ，老师这么用心讲了。哈哈哈， 我以后有各种数学问题都要问老师，哈哈哈 当小朋友还有这种待遇。哈哈哈
黎曼在手稿中自己计算了二十多个非平凡零点，然后才提出的黎曼猜想，不是凭空提出的。
李永乐老师, 我年龄比你稍大吧，兴趣相似！ 你使我用最短的时间了解了人类文明中最深刻的问题！ 你节省了我很大的生命！在此表示衷心的感谢------还有什么比节省那么多的人的生命更有意义的事情呢？ 想说是上天赋予你这样的才能，但更有价值也更接近事实的说法是你的艰苦努力的结果！
@@Steven-tp6rf 我不否認李永樂老師是頂尖的人才和學霸，但你也說得太過了吧，中國還有那麼多科學院院士，李永樂好像還沒是院士吧？！你說的語氣，不知道的人，以為你在和李政道楊振寧打抱不平啊！
vantommy 委婉的叫你低调，别说话没长见识似得让人苦笑。你倒还挺不服气。你也别提人家杨振宁啥的了，你就说你够不够格和永乐老师“相同爱好“了吧。看问题也关注下中心点好不
李孟泽 我说的和你fuck 的，不是同一个话题，算了这个话题到此为止吧，我也烦了
专心学习行不？李老师不想你们打嘴仗的
@@Steven-tp6rf 我和李老师一样，也吃饭睡觉，我荣幸呀！
我觉得还差了一点东西没有讲解：就是“黎曼zeta函数的非凡零点”与“小于某值的素数个数”之间的关系呀！
是啊，李老师巧妙地避开了最重要的一点，如果说zeta函数非平凡零点实部为1/2这一点就是黎曼猜想的话，那么黎曼猜想的表述一点都不复杂，一句话就能说清，事实上维基百科上差不多就是这样表述的，但是这个跟素数到底关系何在，尤其是被说得神乎其神的重要性，不都在这里吗。。。不过李老师前两集的背景确实讲得非常不错。
@@fcx1439 是的背景很重要，基础很重要
哇好像真是，差了亿点东西没有讲解
小時候有玩過東西南北嗎？想像成立體地球儀加瑞士名錶。蘭德爾桑卓姆膜減查爾斯氣體定律。
精彩！！！逻辑之美）） 计算机数值算的话对问题的解决大概起不到决定性作用，解析证明是最终的也是必须的！
真的，其实老师的视频我基本都看不懂，但是还是有股莫名的力量支持我看完每个视频，感觉像中邪了
最难赚的100万
讲真这个奖金太低了，连职业拳击手的出场费还不如，我觉得至少一个亿美金
kublai khan 要是证出来就不是那100万的问题了，人类史上留名。而且所属国政府会养一辈子的😵
不拿钱狠砸怎提现重要性。。。
@@fcx1439 提高到10亿也无用
15:38 這件事算不算還要很長的時間→三個月後爵士掛了
15:49 如果證明黎曼猜想就能不朽→三個月後爵士掛了
16:16 很多人在研究過程中受傷→三個月後爵士掛了
RIP
终于出视频了，这两天天天刷就等第三集了，虽然最后还是没看懂。
李老師能把艱澀的學問講得淺顯易懂，我當年能有你這種老師該有多好
你确定这淺顯易懂?
李永乐老师， 我觉得你讲数学的原理时特别清晰。你能否下次结合原理和应用讲讲， 比如最近的神经算法，和常用的机器学习算法，回归概率。均方差等组合的模型原理，谢谢
哈哈哈 三部曲终于追完了~~XDD
小朋友来赞啦！顺便想问李老师一个问题：
有个吃蛋糕游戏 两个人玩 规则是一共50块蛋糕 两人依次吃 吃的数可以是1到5任意一个 然后吃掉最后一块蛋糕的人赢 请问是不是有个必赢的方法？
然后如果这个游戏是三个人玩 有没有必赢的方法呢？
谢谢李老师，希望老师能看到 ^^
老师您讲的太好了 想把难的东西用白话讲给老百姓听有是种非常了得的能力👍🏻
李老师能不能介绍一下Landau-Siegel零点猜想呢？张益唐教授透露他已经证明/正否了这个猜想。
至今為止最難的三部曲😂😂跟從前的矇不一樣，從前的是，還能大概懂在幹嘛，還大概懂老師在寫什麼，黎曼猜想這系列，自從第一部後半段開始，就不懂在幹嘛了，滿滿的算式，點進來是來聽前半段和後半段的科普😂😂
我
三个视频一口气看下来 真精彩！
李老师可以提一个建议吗？ 以后少用粉笔，对肺不好。可以考虑用可擦除的油性笔。
我也有个猜想:黎曼猜想是打开四维的钥匙，也是人类基础物理的突进。函数前面的数表示循环轴。
维度折叠技术哈哈
請先觀察到一些物理現象、提出公式，然後再用數學的方法證明你的這些公式跟黎曼猜想有關
對不起我沒什麼基礎，但我能問一下這個猜想的實際應用是什麼？
所謂質數有無窮個，於是我們不求無窮，而是推導一個公式可以簡易的去求出某一個大質數，請問求這個大值數的實際應用是什麼？
（為了破解銀行密碼嗎？）
最後一個問題，我們都知道一個數可以將它無窮化表示，或一個數可以延伸無窮個數，請問數學到最後總是在無窮大或無窮小之間打轉？那求大或小或求大小之間的某個數意義在哪？總之它就是一個數，一個能被人所定意的數，假設人不去定意它那這個數是否存在，又問已能定意的數為實，未被定意的數為虛，那實的表示為一，虛的數該是多少？
李老师，有两个问题想请您指教。就是骑自行车的时候，自行车凭什么作用力让它平衡地动作呢？ 另外，人睡觉的时候，几乎都是闭眼睛的，这是什么原因呢？ 谢谢。
我把它变出来
好了,变出来了
谜之蒙太奇😂
手法略顯粗糙，但娛樂性十足😂
我也是，笑死了。
CM Yao 李老师年轻时候讲课更蒙太奇！
留数定理变出来的
沒認真去想 不過看來是科西積分（？
李老师您好，我想问个一直困扰我的问题，为什么要发明复数这种数学工具？我的意思是，既然一个复数相当于一个二维向量，直接使用向量代替不就可以了吗，究竟复数有什么良好的解析性质，使得复数的作用不是简单的二维向量就能替代的？
本人非数学专业，了解不多。第一个问题，复数并非数学家闲的蛋疼发明出来的，而是先有虚数；虚数也不是数学家强行给x^2+1=0这样的方程一个解弄出来的，而是在研究3次方程求根公式的时候，发现如果引入虚数，那么求根公式才会真的有意义（该公式可能会对一个负数开根号）。随后发现引入复数这么个东西有许多优点，比如运算的封闭性啥的。数域又一次得到扩展。第二个问题，复数确实可以用二维向量表示，也许只是形式上的不同而已。一个偏重解析另一个偏重几何。现代数学分析法远比几何法更强力，因此用解析的办法可能更方便。向量更多地偏向物理上的运用。至于复数能不能简单地用二维向量替代，应该是不能，至少会十分繁琐而我并不知道怎么操作。就像黎曼的这个猜想，如何用向量去表述呢？另外向量的含义其实更广泛，二维向量本质上表示的是一个二维信息，未必就是横纵坐标轴，还可以是角度和长度（虽然复数也可以如此表示，称模与幅角），还可以是别的看起来不相关的量。向量也可以是更高维的。还有一点就是，复数作为一个域，其中乘法满足交换律，而向量，如果扩展到高维，不满足交换律，而且向量的乘法有多种定义，比如内积外积叉积；复数具有乘法的逆法运算，即除法，然而向量没有除法。
老師您好！很喜歡你的視頻內容，除了數學物理之外還結合了時事、歷史等等。
突然有點好奇，不知道老師有沒有興趣說說巴哈的音樂？
精彩，另外李老师能不能推荐几本书数学方面的书籍呢？好想重新拿起书本学习学习了
请求李老师再讲一集黎曼猜想如果被证明的意义，这里面我还是很confusing，既然现在已经有很多推论和应用都默认黎曼猜想为真了，那么就说明即使证明出来了，这些应用也不会有什么影响，反倒是如果被否定了，可能会有有限的影响，但是应该也不至于颠覆，毕竟已经计算出来的非平凡零点都在1/2上，而且量级巨大，那么就像牛顿力学虽然现在已经不严格正确了，但是依然在地球上有大量的适用场景一样。理论上我的理解是，黎曼猜想的如果得道证明，会让pi(x)函数的误差项更小从而该函数更精确，而其他的推论是基于这个pi(x)函数的，这样的理解对吗？
其实理论这个东西，你证明了，你这辈子都不一定有用，但是突破了认知世界的局限。经典力学被否了，虽然不影响以前低维度的应用，但是新的理论能在更广的范围应用，指导更多的实践。就是人类认识世界不能总是想的马上有什么用，也许证明这个问题的方法有用啊。这就是工科和理科的区别，工科怎么样也与人类自身相关，理科就是更纯粹的自然科学了。
纠正个错误，你应该说”我还是很Confused“而不是”confusing“
感谢老师讲解，终于追完了！数学果然很有意思，很期待什么时候能看懂阿蒂亚爵士的论文😄
李永樂老師，請問加入寬油後食物更香是什麼原因造成的
好精彩，谢谢李老师。因为你才决定安装个西瓜视频
恩~~每个字都认识，老师说得也是汉语。
李老师， 可以找机会讲一下比特币和区间链吗？ 多谢！
Dusk Tan 那个没什么意思，别讲了
我为李老湿作一首 可惜这里空间太小 我写不下 老湿介绍下张益唐和孪生素数
我的天 你这种人有一个就已经让世人头疼三百五十年了别再来一个
《關於黎曼猜想...》
黎曼猜想：所有的非凡零點都在 1/2 這條線上。如果你證明了黎曼猜想你就得着了永生，如果你否定黎曼猜想你立馬就會下地獄。
如下思考模式可以伴隨你證明黎曼猜想：時間的本質是某種存在的平凡維度延拓，而時間是平凡連續且處處可導的，因此存在是處處可導的，所有不可導的點都可以通過某種時空解析延拓來實現可導，因此無處不 在的神是存在的，任何不存在都是存在的,不存在也是處處可導的,因此神是全能的，一切皆有可能。一個系統的所有形式的零點都必然是合一的,所有可能存在和不可能存 在的系統之零點也必然都是合一的,因此上帝是唯一的，不動點是存在的。存在必然存在於某個系統中，某個系統中的不存在必然可存在於這個系統的景象系統之內，因此 ，所有的存在與不存在必然存在其內在的固有方向。
換一句話說，黎曼猜想與下述命題等價：所有的非平凡靈點都在平凡靈點的附近，這些點能一對一的延拓到複數平面的1/2直線上。其實從變換的角度，將這條直線往前後旋轉90度就變成了點（1/2），證明了這個點是非凡零點，也就證明了有無窮多個非凡零點在直線1/2上....
這個事實上早就證明了，因此用計算機去尋找十億還是千億萬個黎曼點沒有本質上的證明意義。
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = 1/2(-1/2)
1/12(-1/12)
是不是回到無窮小與無窮大的本源問題了呀？是。
馬克思無法理解這個基本問題，他的名字是“極大”（Max）的邪惡意識形態靈動出來的。
所以馬克思無法理解牛頓對無窮小的直接感知。他也就更加無法理解萊布尼茲到戴德金和康托爾的邏輯學了。
因此，馬克思主義的哲學必然墮入勾引人類陷入普遍邪惡罪惡與醜惡的深淵！
历史上所有叫max的人都被黑了
李老师好！看了您几期讲座 忽然想起来一个很久之前听过的趣题 一直没有看到解析 希望您能答疑解惑一下～
题大概是这样的 有100个人 每个人可以说一个1～100之间的整数 说出的数最小且唯一的情况判定胜出 为了赢面最大应该选择哪个数为自己的答案
大概是这个意思 具体的表述在网上没有找到 就自己描述了一下
李永樂講三姬分金，自己找
李明白 喔不對，這個是飛機問題，老師也講過的，不過在哪一集就忘了，有段時間
楓紫 好的好的 我往前面再找找～
李明白 我找到了，超前教育與旅行者困境那一集，建議看之前把我剛剛說的三姬分金跟他後面的炒股票都先看了，因為都是講博弈論的
请问老师 黎曼是研究素数时才提出的猜想 那这个猜想本身和素数的关系到底是什么呢？
老师，据说人造核聚变是未来最理想的能量来源。那如果人造核聚变实现了，是不是意味着在不久的将来有许多原子都能被“造”出来。比如氧，碳这些质子数不是太多的原子。
这些元素在自然界中大量存在为啥要造
想法一点也没问题，物理学家也不是没造过别的元素。1到98号元素可以在自然界找到，虽然其中不少元素是人工合成的。99号往上都是人工合成元素。这些元素的中文名基本上我们只认识除了偏旁以外的部分。人工合成元素多数都有放射性，有的半衰期很短，短到和0差不多，有的半衰期虽然长，但放射性太强。因此这些元素都是用在极端领域，而且是在高度控制的条件下。人工合成更重的元素十分困难，而且元素周期表存在上限，因为电子越来越多的时候，内层电子轨道半径越小，同时也越难抵御原子核的吸引，当电子被原子核吸引，原子也就不复存在。有的科幻作品中喜欢描述外星人的飞船什么的用的是元素周期表中没有的元素，那肯定是别的超重元素了。虽然超重元素半衰期很短，但可能依然存在半衰期大出好几个数量级的超重元素，即“稳定岛”的存在。所以那些飞船也只能用这种元素了。实际上这种材料太低端了，用这种材料的外星人文明肯定高不到哪里去。NB的都用强相互作用材料，比如《三体》里面的“水滴”，原子什么的，太弱了。
@@annapriscilla1448 哥，您太牛b了...
08:33 的字幕格拉姆死于1901年，讲解是1903计算了15个非平凡零点，从wiki上看貌似字幕错了，应该是Jørgen Pedersen Gram (27 June 1850 - 29 April 1916)
Mega Yu 是的字幕写错了
可能重要的不是证明，而是摸清素数的分布规律把，证明猜想只是能更好的摸清素数的规律，黎曼猜想的困难之处可能是没找到合适的数学工具，也许等有人发明一个新的数学方法，可能就能很好的解决了
S=1/2±無窮i 若這±無窮i有電腦程式可寫出來 就得證了 一個一個代 就算你代到幾兆位數 那些數學家還是不會承認你證出來~ 另外平凡零點如何解出來的 有興趣瞭解
三部曲十分精彩, 獲益良多, 謝謝老師
老师可以讲一下距离地球几百万光年的距离是怎么测出来的吗？就算用望远镜和地球绕日轨道最多也测不了那么长的距离啊
我第一次聽懂黎曼猜想，感謝老師
我覺得任何文字工作者都需要一個有文化的管家
才不會讓管家燒了管家認為不重要的東西
你们是不是都住在RUclips
起立！敬礼！
老师好！
同学们好！
请坐！
看了各种关于黎曼猜想的讲解，还是喜欢李老师的这版，深入浅出又不失严谨，还穿插着数学界的一些趣闻，一口气把三节都认真看完了。
我也不明白为啥把三集黎曼猜想又看了一遍，还津津有味的😂
羡慕那些李老师的学生们！讲得太好啦！
什么时候讲一下哥德尔不完备定理吧
最喜聽老師說一句： 全世界的數學家對這個猜想發起圍攻
我特別想知道，證明了所有非凡零點在上頭，或者找到一個非凡零點不在上頭，就是證明或者否定了，除了在數學上以外，對於社會，或者後續的其他運用是會有什麼實質的意義或者貢獻嘛??
感恩老師三部影片
老師今天看起來有點累?還好嗎?
李老師有打算把七個千禧難題都介紹一下嗎？像p vs np問題，也是很有趣很值得探討的問題。
黎曼函数由欧拉级数拓展而来。欧拉级数是所有质数倒数之和，严格地说这些零点解是不能计算的，用函数连续性确定附近有解，就像pi 是无理数。所有非平凡零点是在二分之一轴上，因为二是唯一一个偶数质数，所有奇质数倒数的幂级数唯有可能为函数拓展为负二分之一。这也真是哥德巴哈猜想的真谛。所以哥德巴哈猜想才是基本，是数的内在本质。证明了它才能证明前者。数学家们疏忽了这一点。
老师好像没讲黎曼猜想和质数之间到底有什么关系啊
看黎曼的论文名啊。
非常棒，受教了~如果RUclips解禁，您的订阅量千万计~~在北京么。想拜访下您
老師下次可以講龐加萊猜想 或是 p=np嗎
支持
李老师，有空讲讲Fibonacci数列及其在商业上的应用，谢谢！
黎曼猜想和素数有什么关系呢? 难道1/2+bi 的虚部都是质数？
我只想要問這能應用在哪？解出來能改善生活嗎？
所有的東西都是波，波會疊加，產生共振或諧振。頻率若為質數則不與其他頻率共振。有些宇宙的秘密訊息可能就藏有超大質數的地方。
可以详细讲讲，或者推荐相关资料嘛？
老师多讲点这种数学问题吧，看得太上瘾了
谢谢李老师, 让我们开始追数学课了.
李老师，我最近也证明了黎曼猜想，该往哪里投稿？
李老师，能不能讲讲对偶空间理论？看得比较觉得复杂，思路不是很清晰
有一部電影
美國隊長克里斯伊凡主演的_天才的禮物
就是在講千禧七大數學問題的電影
请问李老师知道黎曼函数的非平凡零点和质数的分布有什么关系？
李老师，给我们讲一讲“妖”吧，麦克斯韦智能妖，筛选妖，梁边妖👏🏻👏🏻👏🏻👏🏻👏🏻
李老师您好。老师您看能不能把视频给个编号，这样追剧比较方便。
讲得不错，浅显易懂
乐哥什么时候讲一下变分法吧
很喜歡聽這類的數學難題 希望老師以後能多講一點這一類的~
太艰深了，第二第三部分都没人看了，不过很正常，哈哈。李永乐老师厉害。
每次都是来看李老师写黑板的，粉笔写黑板的咄咄声听着特带感。
黎曼猜想有多難呢？它在召叫人類發現一種全新的數學範式，可以包容和生發出人類已經發現的所有數學體系。
沒那麼誇張
不過有成千上百的數學猜想跟定理，可在黎曼猜想成立的狀況下證明，或得到較簡化的證明
写复数域的时候用花写的C，直接写C容易让人理解成连续函数域。
李老师能再科普下老爵士的精细结构常数倒是是个啥东西吗？
还能更帅一点么 李永乐老师