无穷大和无穷大+1谁更大？直线上的点多还是平面上的点多？李永乐老师讲神奇的希尔伯特旅馆
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- Опубликовано: 2 окт 2024
- 数学家希尔伯特提出了一个著名的问题：
如果一个旅店有无穷多个房间，每个房间都住满了人，现在又来了一个人，还能把所有人安排进旅店吗？
这个问题还有许多变形，
例如来了3个人，来了无穷多个人， 来了无穷多个巴士，每个巴士上有无穷多个人，又能不能安排好呢？
按照数学原理，这些情况下旅客其实都可以住进去。
这涉及到无限集合中“势”的概念。
只要能够建立一一对应的关系， 两个集合就是等势的，元素个数就是一样多的。
所以全体正整数和全体正偶数一样多，全体正数和全体实数一样多，
直线上的点和平面上的点一样多。。。
具体怎么回事？点开视频看看吧!
大家有什么喜欢看的视频内容可以在评论区留言！
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视频有字幕
禁止搬运！
老師給大家講講核能吧，很多人一聽到就怕
@@stephensu4371 用核发电。
老师讲讲原子弹氢弹中子弹
讲讲用爱发电
可否解释一下为什么有理数和实数不能建立一一对应关系呢？
興高采烈的去住旅店
結果整晚沒睡一直在換房間...
哈哈哈哈哈哈哈哈好
原本的人肯定气得不住了
GG WP 那就有空房间了！
哈哈。就算换一个房间用一秒钟，宇宙爆炸了都还没换完。
累死了。。。😭
本日難題
永樂老師的
「了」和「3」的區別
万
哈哈哈哈
7:33 希尔伯特的黑板....写到快写完了,突然变大
兴高采烈的进来 一脸懵逼的出去。哪个小朋友问的这些问题。站粗来保证给他一块红领巾
你的ID居然是我一个初中同学的名字
他说的小朋友一般都是人大附高中往上的
给那个小朋友买一万块钱试题做
五道口理工学院的
学过测度论和实变函数就知道了
其实这里面包含了一个非常重要的信息，就是平面和直线所能够包含的信息量是一致的，因为都能够一一对应。这其实很好的解释了为什么不同维度的空间可以产生投影效应，而且是精准的投影
你這句話讓我瞬間理解的維度的概念
有意思
强！
但是直线怎么能精准投影到平面呀？
@@xxjamxsugar712 了解一下矩阵乘法运算
一个小朋友对应一个李老师的视频，无穷多个小朋友对应无穷多个李老师的视频，所以小朋友和李老师的视频是等势的XD
無窮多的小朋友把知識還給李老師了
李老師便得到無窮多的知識
这便是知识守恒定律？
优秀
评论区里人才多
1号房间说：我不挪！
故事结束。。。
哈哈
问题迎刃而解...
一句话杀死后来入住者
你会被无穷多的旅客打死
一句話讓希爾伯特懵逼
《论希尔伯特是如何发财的》
CEDA ZHOU 錢也無窮多XD
研究這，暫時還沒有前途，所以他沒發財，倒是有研究賭博的機率漏洞，發財的
你敢讓無限多的人挪房間
人家就敢把你打到連原子都不剩
角度清奇233
庞氏骗局吗，还钱=借钱-1？
貌似学习多年的数学，定理也是一字不差的写在书里，但从来没有注意和理解，听了李老师的解释突然懂了！感谢！
骗那个人最后一间房是空的让他自己走过去，然后他永远也到不了那间房XD
聰明😂
那個人說：我學過集合論你別騙我，根本沒有這個空的房間
恐怖的是這條走廊上到處都是到不了房間的屍骨............... =.="
@@卡咩-w9u 哪个SCP来着？无穷的楼梯间。
@@yumuzhang6377 好像是087
希尔伯特:1号房的亲,你.....1号房房客:滚!
穷和穷-1元，哪个更穷？
陳獨秀同學你坐下
60秒和59秒，那个时间更少
hahaha greatgreat 你只需要知道61秒比59秒多就可以
59秒多一些
60秒和59秒那个时间少我不知道，但真正的粉丝知道你时间不多了
我還記得一開始學微積分的時候老師總是強調無限不是一個超大數字而是一個無法計算的概念，所以經常被強調有無限就想辦法約走例如放到分母就可以做到無限趨近0
我也記得是無法計算的概念，但好像不是簡單置換到分母就能解決的事，有先決條件去推演的，最好的做法還是約去以避免計算
每次看李老师的视频都会颠覆我的世界观😄
希尔伯特不但有无穷多房间，还有无穷多的巴士🚌停车位
最近幾天都訂不到旅館 我用這個問題跑去找老闆理論理論
然後我就被踢出來了……
「那不是希爾伯特老板」
李老师，有个地方您应该是说错了。全体正数和全体有理数是等势，而全体实数比他们高一阶。参考《从一到无穷大》。
所以那旅店里的房间跟小叮当口袋里的空间有着异曲同工之妙
我觉得你们可以每个人给我捐一块钱，让我先富起来，先富带动后富。😏😏😏一样的心情，懵懵
我们集体每人给你一块钱，然后反过来在都给我一块钱，以此类推我们之后就都是亿万富翁了
一直以为所有无穷集合都相等的我，看到最后，如遭雷劈😱😱😱
大家好，我叫彭由，姓孝
JULIAN ALEMANIA 哈哈哈哈哈
你好，在下萧鹏悠
又是你 XD
哈哈哈哈哈
诶？在下骁烹油 请多多指教
所以說李老師會的東西和永樂大典的內容也是一樣多的?^_^
这个旅店像是鬼故事😂
可以塞進無窮多人的希爾伯特旅館 必須是房號有限(才會發生"住滿")空間無限的...這樣的東西不是一個scp項目嗎
最後直線上的坐標和平面上坐標的對應法有點看不懂耶？？？
是那條直線是一條0到1的線段嗎？
a和b那些都是整數嗎？
為什麼都是 0.a1 b1 a2 b2 …
為什麼是要那個「0.……」？？？
導遊說A住第200萬號房，走了4小時終於到了，門打不開！
幹！看錯看到2000萬號，天黑還沒走到....
2019年10月1日後.現在只要你站在旅館大廳到任何一個房間走路不超過8分鐘.
这旅店是没头脑设计的
令我想起中学时期读过的故事书«无限中的有限»
全集有六本
1. 无限中的有限
2. 未知中的已知
3. 抽象中的形象
4. 变量中的常量
5. 否定中的肯定
6. 偶然中的必然
个人最喜欢«偶然中的必然», 希望李老师可以讲述里面的故事给我这个小朋友听
这套书我也 读过，薄薄的小册子，老爸是数学老师，学校图书馆更新时搬回来的，可惜现在找不到了。
这套书我初中时也看过，十分喜爱
聽你這樣講我也想看了
這套書我初中時也看過，台灣的學校圖書館不知為何，有進一些中國編輯或編譯的數理科普讀物
Josephus Day-N-Night
老师真棒，现在的小孩真幸福。我82年的当年只有买得到的教辅书，没有互联网把这么优秀的老师的知识传播给大家，即使是重点学校，数学老师也水平有限。
就这么一段话都病句不断，你那“重点学校”的老师的确水平有限啊
@@ldr_12 所以现在重新学，因为当时就算是重点学校的老师也教不好😁😁😁
科普一下：比较无穷大之间的大小，通过比较它们的“势（或称基数）”来实现，而不是简单地+1或者-1。阿列夫数Aleph-0, 是最小的无限基数，也就是自然数的个数。根据连续统假设，Aleph-1，是第二小的无线基数，其等于2^(Aleph-0)，即为实数的个数。也就是说，不存在大于有理数集合且小于实数集合的势。同时，也没有最大的基数，因为Aleph-n+1=2^(Aleph-n)，这说明没有最大的无穷大。看懂了就赞一下~
那，無窮大有多少個層級？
假設：無窮大=無窮大+1
證明：無窮大-無窮大=1
結果：0=1 假設不成立
但你沒證明無窮大減無窮大=0
也沒證明0不等於1
@@yuanyi02
無窮大=無窮大 無窮大-無窮大=0
1=0+1 若0=1 1=1+1又1=1 不合
我不專業 只是覺得老師講的我沒能理解就是了
@@乂暗黑狂魔乂显然， 无穷大跟无穷大并不能简单进行加减乘除，因为它根本就不是个具体的数
無窮大不是具體數字，拿它進行簡單加減怕不是腦子有洞
舉個例子。假設黃河是a水永不乾竭可以一直流無限時間。那麼他流經一個小鎮的水量等於♾️！一條小溪是b也有相同無限時間永不乾竭、那麼小溪流經一個小鎮的水量也是♾️。但是不管任何時間點或♾️的時間點。黃河流經小鎮的水量永遠大於小溪！任何時間點a-b永遠都可得到一個質數！所以♾️=♾️+1不成立。
希尔伯收了无穷多的房租，付了无穷多的水电费，但每个人的房租都大于需要的为他支付的水电费，那么希尔伯赚钱了吗？
好问题
张也在 无穷不能比大小
賠錢生意沒人做
从势的角度肯定是亏钱的
可以建立等式关系，所以没赚
这应算是初步的抽象思维，大部分的平民百姓已接受不了。谢谢李老师帮助提高大众的水平。
Bill Y. 完全看不懂路过
上过大学数学课的应该知道？ 我是数学系毕业的有学过 不知道其他专业有没有
De Moivre 高中數學課就教過了
学过高数都知道吧。。
学过高数的人不多。我们更需要有本事的老师把高深的问题通俗化。希望李老师多讲数学历史。
不論浩南出價多少，我都高他一塊錢。＿這就叫氣勢
曾沛然 乌鸦：这么深奥的锅我可不背
你這樣我很難辨啊
道理我都懂，但是具体到这个问题：“无穷和穷+1谁更大？” ，老板一般都是“无穷” ，我们都是“穷+1”，还是无穷大。
无穷就是没有在一个单位卖力的干八小时，穷+1就是在一个单位卖力的干八小时，还加班一小时，你说哪个更穷？
这种叫等阶无穷大。 如果正无穷的平方和正无穷比。那正无穷的平方和正无穷比就是高阶无穷大。
尼瑪，整個晚上都在換房間，還能不能好好睡覺了，我申請再多加一個假設:今天晚上有無窮多個小時可以睡覺，另外，每次換房間至少要給我兩個小時休息
當你熟睡到三點被要求換房。。。
聽起來不合理啊!等勢就代表一樣多?? 是這樣嗎? 拿直線和平面來舉例，任意一條直線L我們都可以找到一個平面S去包含他，亦即直線L上所有的點都在此平面S上，但我又可以在此平面S上找出無窮多個點不在直線L上，這樣直線L的點怎麼會和平面S上的點一樣多呢?
微觀直綫 平面要無限延長和細分直綫也在無限延長和細分 他們最終都可以找到對應 你再找更多其他直綫就不在勢上 無限是動態不是靜態
旅店有无穷个房 那为什么它会满呢
Thomas Li 无穷多房间满了的意思应该是对任意一个房间n，都有人住
那移动n => n + 1时，n + 1的房间已经有人了。他移到那里去？
比势是错误的。因为无穷大，表示不会满。满就是错误的理解无限。 满=》有限。无限=》不会满。所以假定无极的房间会满本身就是错误的。前提错误，结论就无意义了。所以没有讨论的价值。
李白字一日 你正在錯誤地理解數學，因為n是變數，然後希望你可以以這個提示認知你自己的錯誤。樓上說得沒錯，老師實際上要表達的是在每一個整數的房間都有住人。
n是变数能改变满的事实？满就是不变。
雖然有點看懵逼了，不過還是謝謝李老師。我以前的數學老師估計哭暈在廁所裡了，上他的課我跑去和周公下五子棋了。上你的課有種不明覺厲的感覺
记得小时候看到正整数和正偶数因为一一对应，所以一样多，就想当然地以为无穷都是一样多。结果高中数学课，老师讲到无理数，说了句 有理数在数轴上只有一点点，而无理数占了数轴的绝大部分。我当时就懵了，无理数和有理数不都是无穷多么，怎么就无理数要多了呢，当时也不知为什么没问老师，结果就一直悬而未决了。没想到今天看了李老师这个视频，突然懂了，真的感谢！
這個小朋友很厲害
為了一個人 半夜讓無窮多的旅客換房 ....為富不仁.... 呵呵
希爾伯特:多人混戰
这个小朋友到底是谁
这个小朋友叫 陈独秀
这个小朋友叫 陈水扁
这小朋友叫一一对应
只是方便開場白的流暢吧，感覺普通的小朋友問不了這麼深的問題。
那是另一個李老師
讲得真好。
看过李老师的视频后突然好想再去把以前的数理化课都再上一遍😩
第4个例子不对啊。实数集与正数集不等势，没有一一对应关系啊。y=logx只能找到所有正数到实数的对应关系，但并没有所有实数到正数的反向关系。
假如李老师带女朋友去酒店开房，前台说房间满了，请问李老师，你会怎么办？你要不要给前台普及下………
带了一巴士的女朋友吗
带来了无穷多的巴士里有无穷多的女朋友
无穷房间的旅馆不存在
Play Fun 欺负老实人来吧……
老师说了来了１个和３个人的情况，你“欺负”老师没有明确说来２个人的情况，按老师的说法就是ｎ－>ｎ＋２的，老师是正人君子和女朋友分别住１号，２号房间的，不会只让酒店前台用ｎ－> n + 1腾房间的。
一家酒店竟然有无限多房间？请问这家酒店在哪个交易所上市？我想把全部积蓄都用来买他们的股票。
那麼 我的財產*好幾百億=馬雲的財產
可以建立一一對應關係
所以得證我跟馬雲一樣有錢??
很明显不一样 因为你的钱不是无穷多
yu sheng 假如说财产度量空间是连续的话还是可以建立映射的。
旅客里面的人听着，警察查房啦👮
今天考试离散数学考了这个旅馆的题还好提前看过视频。。。
李老师讲解的是实变函数的最基本的概念--势。 比较无限集合的谁大谁小是比较集合的“势”。 有的无限集合的势小，有的无限集合的势要大。势最小的无限集合是“无限可列”集合。所有有理数的集合是可列的，所以势最小。所谓可列就是可以集合的每一个元素都可以有序的一一列出。实变函数第一课就讲给你怎么证明有理数是可列的，证明很简单。
老师以后只答大人的问题就好了，小朋友的问题有时候太不靠谱。
老师指的小朋友是我们这种的😂
多出来那个睡大厅凳子就是了。不住滚
房间无穷多为什么会住满？
修无穷多旅馆的无穷多工程队来住的话
苏su 因為有無窮多的人
无穷和有限根本不是同一个维度的概念啊，所以根本不能用有限的逻辑去理解无穷的概念啊，就像不能用人的逻辑去解释神的存在一样。
拼床就不用那么累了..看上谁就顺便来个双飞....
………………
李老师很棒
我算过，（1+∞）=x.
x=∞
∞-∞=1
既然是究極無限大 那當然是無限久的時間也一定無法裝滿人
永乐大帝永远都是以“有小朋友问我……”开头，是不是太谦虚了👀
最后4.的说明是错误的。从（例如）对角论证法可得知正数（或者自然数集）的势小于实数的势，因此它们俩之间无法建立集合同构（双射），显然非等势。
科學講到最後都變成哲學
然而數學並不是科學 哈 XD
數學不是科學，但“應用數學”就是.
哲学的终点是宗教
科學本來就是哲學分拆出來的 可以解答的叫科學 解答不了的叫哲學
PHD就是哲學博士
無限一種概念吧？有人可以給我舉個列子比較特殊的例子嗎？
看老師上課 都能把我以前學過的東西串起來 也能回憶當初老師是怎樣上課的 整個融會貫通的感覺真的很好🤗
愛死李永樂老師了😘😘😘
翰翰翰 谢谢
爱死鸡魔人了
單位不同，不能相加，無限只貓的單位是無限(要判定為無限要以整體而言)，一只貓單位是貓，所以無限只可以相加其他無限，因為那一只貓理應已經在原本無限當中，你要勉強將它們加起來無限還是無限，已經加好了，你把一只貓抽出來就不是無限了。
2倍速刷李永乐老师的视频真的是太快乐了w
老師的影片是說
有理數跟實數不能一一對應
可是正數可以跟實數一一對應？
嗯
1:48 立即感到怪怪的…
老師，想問0加上無限等於1能否成立?
若這個數式并不成立，那麼0如何增加至得出1的答案?
若這是成立，那麼當中的無限，是否是「奇異點」的數字化呈現模式?
若這數式是因為0和1與無限在數學上并無關係，那麼我們如何確立數字，在世界上是準確的量詞?
（當中含有商科有關成本的概念，鑒於在修讀商科時，看見一幅有關公司的剛成立和已經開發業務的成本-盈利的關係圖表，不明白0至1與1至2的盈利增長比例為甚麼分別這麽大，加上早前有關奇異點的討論，突發奇想地想了這個問題，還望老師指導）
0+1=1啊
@@matcha_uo3ts4pm5h 有少少唔同，我呢度多左一個公司發展為一個背景，而你提既答案，1既等距，用係公司成立時及擴展時既增幅，係有唔相等既問題。
我大膽假設一個背景，市場對某服務/產品存在穩定性需求，公司未成立時，數值為0，而1為開始脫離損失既狀況，而之後公司既穩健發展，它的數字增幅卻不一定是1，甚至有時候，公司在開始有盈利時，也不一定是0至1，而是可能0至3等其他比例，而數字作為人對事物既量度器，加上數學既統計嚴謹，為甚麼會出現盈利等同，卻增幅（間距）比例不等的問題。
他的旅店賺翻了
他每間房間都是虧錢的
错了，有无数间房意味着有无限的钱和雇佣无数的人。既然无穷不能比大小，就证明不了亏了还是赚了。
@@moieric9 賠錢的生意沒人做的
一開始能蓋無窮大的旅店代表有無限的錢，但有無限的營運成本打平無限的錢， 所以只要有一個人就賺了。
可以用無窮級數發散的特性來說明
這間旅店應該是賺錢的，並且每個月營收都是正無窮大
只要合理安排人員與伙食水電等支出
讓每間房間裡的人交錢後，收入大於旅店人員服務該間房間的成本，那麼每間房間都是正收益，總收益就趨近於正無窮
所有正整數與所有實數不是等勢的，你舉y=log(x)時，x只能對應到一部份的y而已，但所有的y無法一一對應到x，所以所有實數比所有正整數多
這可以用對角證明法證
舉0~1之間所有實數，並且嘗試對每一個實數做編號
1: 0.14159...
2: 0.71828...
3: 0.41421...
4: 0.73205...
5: 0.23606...
...
現在我把第n號數的第n個數字+1 (9變成0)
請問：0.22517...是第幾號實數？
你會發現，這個數的第n個數一定與第n號實數的第n個數不一樣，因為被我+1了
所以他無法被編號
既然有實數無法被編號，那麼所有實數就比所有正整數多
懇請老師更正，謝謝
对的，我也感觉他说错了。而且视频中说 正数和实数等势，有理数和实数不等势，很矛盾啊。正数和有理数等势，他俩和实数不等势。
李老师究竟是物理老师，还是数学老师呢？好厉害哦！
现在物理老师，以前数学老师
虽然只有小学，但是大概明白是概念学
视频禁止搬运
有字幕
李永樂到底是哪裡人
东北的吧
勾起我在中学时读过的科普书【从一到无穷大】的回忆。没康托的集合论实在解释不了问题，即使放在现在还是觉得违背直观，难怪那时他被人猛烈攻击。向康托致敬。
小朋友想問李老師：黑板上的（3、万，了）怎麼分辨？
哈哈哈
糊了
李老师：请认真听我说
整数和实数不是一样多的吧？ Z 与 Q 都是可数的，但是R不可数啊。
我有1块钱，把它分给0个朋友我是不是就有无数的钱了
dkskd dkfbs 常数除以一个趋近于0的极限才能得到无穷大，常数零不能作为除数，无意义。
要勉強說把1塊錢分給0個人 , 那就是沒有人 ( 包括自己 ) 能得到這1塊錢 , 所以這1塊錢就怎麼都不會被人花掉 , 這1塊錢永遠都存在 , 然後就看似是無窮的錯覺
就像你正要把手上的1塊錢分給別人 , 然後突然你和全世界的人都同時消失 , [慢播] 那1塊錢掉到地上 , 發出了清脆悅耳的聲響
的那樣
如果自己也消失才能算是除以零
别忘了，你自己也是人，你说给0个人，就是没有人能拿到钱，包括你自己，所以你会一分钱都没有
這就不叫分錢了，沒受益方損失方，怎可以叫分呢？
我覺得其實這個旅店本身就有問題，有無限多房間本身就是個奇怪而不存在的概念；或者說，住滿有無限多房間本身也是奇怪的概念
所以集合论现在是一个公理化的体系，而不是对可数的自然界现象的直接反应，想真正理解无穷还是得靠逻辑，而不是举个例子。这里的根本原因是自然数集，整数集和奇数偶数集这些可数集都是等势的，并且无穷集和他的某个真子集等势，有限集是没有这个性质的
無限本身就是一個概念阿
你現實中有什麼東西是無限的
要舉例無限編出來的故事不一定會比旅館好吧？
那，为什么不让新来的直接住新房间，要让别人搬家…
因為每個房間都有人
将直线上的点和平面上的点一一对应那里好像有bug吧，当a1=b2,a2=b1时，直线上都是同一个点，平面上却不是。我觉得要证明直线和平面上的点一样多还是把希尔伯特老爷子再请出来一次比较好（希尔伯特曲线）🌚🌚
永乐大帝威武！
講到第四點的時候真的沒法忍了，無窮多個巴士，聽上去滿滿的惡意有沒有
第五个例子看不懂，懵了，何方神圣来解释😝
Steven _01' 也没看懂。。
就是说能用一个小于1的正实数表示直线上的点，同时能用一对小于1的正实数表示平面上的点。直线上的点确定坐标后把它小数点后的奇数位作为横坐标小数点后各位，偶数位作为纵坐标小数点后各位，就能唯一确定一个平面上的点；反之确定平面上的一个点，也能唯一确定一个直线上的点。所以是双射。
@@xiaozhang0914 哦哦，听你这么说，我比较明白了，谢谢你！
高数定义无穷大为函数的某种变化趋势（严谨的定义请自行Google）。实际上，无穷大根本不是一个数。
感覺。。。。
事實的建立 成立在它無法被推翻
我說出了一句會流傳千古的至理名言了!!!!!
到最後真的有點深😂感謝🙏🏻
卧槽，我活了30多年人生第一次觉得一个样貌一般的男人比抖音上的大胸大长腿美女还要美得多的多的多，怎么办？
老师好，先顶再看。
您好
这个是不是说明的是countably infinite 的set可以one to one map到natural number set。即cardinal ity of countably infinite的set等于cardinality of natural number
跟0.9循環小數=1的感覺很像
奇异点和奇异点+1哪个更大😂
老師的數學課都很精采哈哈哈
如果我有無窮多的錢那有多好啊
把旅店住满了这条伪信息去掉，就不会有人觉得违和了
未命名 旅店住满并不是伪信息，理解最后老师讲的等势，就明白旅店住满和可以继续住人在数学上完全合理，虽然是反直觉的。
無窮大 + 1,, 還是 無窮大
無窮大 + 無窮大 , 還是 無窮大
無窮大 * 無窮大, 還是 無窮大
因此, 無窮大 並不是一個非常大非常大的 "定" 值.
由於 無窮大 不是 一個 定值 ,
所以
無窮大 / 無窮大 是一個 無意義 的問題, 其解並不是 1,
無窮大 - 無窮大 也是 無意義 的問題, 其解也不是 0.
設 x 趨近 無窮大 , 因為 x = x 自己等於自己 是確定的, 所以 x - x = 0
設 x 趨近 無窮大 , 設 y 趨近 無窮大 , 因為 不保証 x = y , 所以 論 x - y 到底是什麼, 這就無意義了
Ted ED 有希爾伯特旅店的影片/視頻