강의록 다운로드 ☞ drive.google.com/file/d/1Kb4l5ujUGrflzv_cWNYYgFItReLoWtkL/view?usp=sharing ━─ ↓↓ 책갈피 ↓↓ ─━ 1. ZFC공리계의 등장 배경 06:04 2. ZFC공리계 09:36 3. ZFC의 한계와 그 후 37:06 마치며 40:20
@@이민-r6m 위 댓글분 말이 좀 거친 건 사실인 것 같지만 실용적 수학이 진짜 수학의 본질이 아닌 건 맞다고 생각해요.이상엽쌤이 항상 말씀하시는 것처럼 수학은 그 자체에 가치가 있죠.게임이 재밌어서 하는 거지 타자가 빨라지기 위해서 하는 것은 아니듯이, 수학 또한 탐구욕과 열정에 의해 개척된 것이고 따라오는 공학적 실용성 등은 부가적인 것이죠.
34:24 상엽쌤, 제가 집합론 강의를 "관계"파트 듣다가 중단했지만서도, 궁금한 게 있어요. 화면에서 "such that Any of all B belongs to A, function(B) belongs to B"라고 적힌 부분요... 칠판 3번째 줄 내용요. 이해가 안가는게, 왜 집합B를 집합A의 원소로 이용할수있단 건가요? 제가 뚝딱철학채널의 비디오를 보니까요, 아래 링크의 6분13초 부분요, ruclips.net/video/iM3hFik4GfE/видео.html 이렇게 대상문장이랑 메타문장의 위계가 다른데... 저 칠판의 문장에선 왜 같은 집합인데 위계를 다르게 상정하는건지, 그래도 되는건지 모르겠어요. 저렇게 위계가 같은데, 한 집합을 원소로 간주해 다른 집합의 원소로서 규정지어서, 같았던 위계가 달라져서, 칸토어의 역설이나 이발사의 역설같은 역설들이 생기는 거 아닌가 해서요.
멱집합공리와 분류공리꼴은 전혀 다른 것입니다. 멱집합 공리는 한 집합을 통해서 먁집합이라고 하는 더 큰 집합을 만들수 있는 공리입니다. 반면에 분류 공리꼴은... 집합이 될 수 없는 것을 제한하는 공리입니다. 논리식이 하나 있을 때... 그 논리식을 만족 하면서 다른 어떤 집합의 원소인 것들을 따로 모아서 집합을 만듭니다. 이를 통해서 논리식 하나만 달랑 정해 놓고 {x|P(x)}라고 하는 것은 집합이 아니게 됩니다.
@@Ksw-gn8vu 질문자님께서 폰노이만 자연수(집합론적 정의 방법 중 하나)에서 어떻게 되느냐고 여쭈어 보셨기 때문에 그렇게 답해주신 것 같습니다. 집합론적에서는 0={}, 1={0}, 2={0,1}, ... n={0,1,2,...,n-1}에 대해서 S(n)=n U {n}라고 할 때,(익숙한 표현으로는 S(n)=n+1) 이항 연산 덧셈을 다음과 같이 정의합니다. (2개의 수를 1개의 수로 본다 정도로 받아들이시면 됩니다.) 임의의 자연수a와 0에 대하여 a+0=a, 0+a=a로 정의합이다. 임의의 자연수a와 0이 아닌 자연수 b에 대하여 (b는 0이 아니므로 S(c)=b인 c를 생각가능합니다. 익숙한 표현으로는 c=b-1) a+b=a+S(c)=S(a+c) 로 정의합니다. 따라서 이 정의에 근거하여 1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=1 U {1} = {0} U {1} = {0,1} = 2 입니다.
만약에 집합으로 봐주지 않는 다고 했을 때, 자연수 집합은 { 0, { 0 }, { 0, { 0 } }, ... }이런 모양으로 잡아줄 수 있는데 ( 0은 공집합입니다. ) 이렇게 되면 원소를 하나 잡아줘서 N ∩ { 0 } = { 0 }이 되서 자연수 집합도 집합으로 보면 안되는거 아닌가요?
상엽쌤! 저 집합론 다음 세대의 론이 떠올랐어요. 뭔가 개체(그니까 집합론에선 집합이랑 비슷한 것)를 정의할 때, 집합론처럼 뚜렷하게 배중률을 이용해서 정의하는게 아니라, 개체의 가장자리를 후랙탈로 처리하는 거에요. 그 가장자리가 바탕(그니까 개체 이외의 외부세계, 또는 환경, 집합론과 비교하자면 여집합같은 거)과 자연스럽게 연결돼있는데, 그게 너무 작아서 보기 힘들 뿐이고, 어쨌든 개체의 가장자리는 후랙탈로 처리하고 외부계와 자연스럽게 어떻게든 (서로의 각 원소들이) 1대1 대응되게 처리하는 거에요. 근데 개체의 내부(그니까 집합론과 비교하자면, 집합의 원소나 원소로서의 집합들)는 어떻게 규정해야 좋을진 아직 잘 모르겠어요.
그리고 내포원리도, 제 새로운 집합론의 다음세대 론에선, 바꾸고싶은게, 뭔가 내부와 외부의 레이시오(비)에 따라 내포가 되게... 그니까, 후랙탈 영역인 서로 두 계의 접점(일대일 대응)부위에서 적용될, 제가 고안한 내포의 원리는, 이 레이시오에 따라 개체의 밖에 포함될지? 안에 포함될지?가 가변적으로 정해지는 거에요. 종이에 기록한 대로 고정되어버리는게 아니라.
![[지식in] 0 999...=1](http://i.ytimg.com/vi/atbkEMOkH9s/mqdefault.jpg)
![[지식in] 0 999...=1](/img/tr.png)
![[집합론] 0강. 공리적 집합론의 등장](http://i.ytimg.com/vi/HjOzLCFPFr0/mqdefault.jpg)
![[토크쇼] 서강대학교 발전기금에 대해 알려드립니다!](http://i.ytimg.com/vi/Jdriuv4Jkhk/mqdefault.jpg)
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1. ZFC공리계의 등장 배경 06:04
2. ZFC공리계 09:36
3. ZFC의 한계와 그 후 37:06
마치며 40:20
15:44
:=는 정의한다란 뜻.
거를타선이없네
진짜 보물같은영상임
이제 나머지 "정리" 이론들만 증명하면 됨. 이게 바로 진짜 수학이야. 수학은 "실용적인 학문"이 아니야. 물론 아예 틀린 건 아니고 일부는 그럼. 그리고 '답'을 찾아가는 학문이야
@@백건이-n4l 수학자들이 실용성을 따지고 연구하는 건 아니지만, 과거의 연구결과들이 오늘날에 상당히 실용적으로 쓰이고 있죠.
@@하이퍼수학 하지만 공학, 경제와 같은 "실용적인 수학"은 진짜 수학이 아님. 단순한 도구임. 수학의 본질과 거리가 멀다고. 즉 핵심적인 가치
@@이민-r6m 위 댓글분 말이 좀 거친 건 사실인 것 같지만 실용적 수학이 진짜 수학의 본질이 아닌 건 맞다고 생각해요.이상엽쌤이 항상 말씀하시는 것처럼 수학은 그 자체에 가치가 있죠.게임이 재밌어서 하는 거지 타자가 빨라지기 위해서 하는 것은 아니듯이, 수학 또한 탐구욕과 열정에 의해 개척된 것이고 따라오는 공학적 실용성 등은 부가적인 것이죠.
힐베르트: 완벽한 수학을 만들어 최고의 수학자가 될 거야!!
괴델: Ja~~~ d'Gazzaur~~~~
ㅋㅋㅋㅋ
드가자 ㅋㅋㅋ
안야사엽샘다 오늘은
우왕 기대된다..흐흐
수학시험은 싫지만 수학은 좋다 ㅎ
좋은 영상 감사합니다.
선택적 공리계 감사합니다!!
34:24 상엽쌤, 제가 집합론 강의를 "관계"파트 듣다가 중단했지만서도, 궁금한 게 있어요.
화면에서 "such that Any of all B belongs to A, function(B) belongs to B"라고 적힌 부분요... 칠판 3번째 줄 내용요.
이해가 안가는게, 왜 집합B를 집합A의 원소로 이용할수있단 건가요?
제가 뚝딱철학채널의 비디오를 보니까요, 아래 링크의 6분13초 부분요,
ruclips.net/video/iM3hFik4GfE/видео.html
이렇게 대상문장이랑 메타문장의 위계가 다른데...
저 칠판의 문장에선 왜 같은 집합인데 위계를 다르게 상정하는건지, 그래도 되는건지 모르겠어요. 저렇게 위계가 같은데, 한 집합을 원소로 간주해 다른 집합의 원소로서 규정지어서, 같았던 위계가 달라져서, 칸토어의 역설이나 이발사의 역설같은 역설들이 생기는 거 아닌가 해서요.
22:14 immediate successor?
코로나 은제 끝나냥 ㅠㅠ. 상엽쌤 팬모임 가고싶당 ㅠㅠ.
근본 그 자체
2:32 ??? : 자연수가 집합이라고?
상엽이형: 검지만 펴면 1이잖아, 검지랑 중지를 같이 펴면 2잖아, ...
???????
Zipper!
14:48 폰노이만? 본뉴만... 그는 대체...
수학의 근본 이론 관련 영상이 젤 잼따능.
선형대수학에 집합에 대한 내용이 나와서 한번 보고있습니다 ㅎㅎ 감사합니다
바나흐 타르스키 역설.. 진짜 처음 봤을때 좀 충격적이었음ㅋㅋ
2222
3333
대머리 역설요?
구가 복사가 된다고
바나흐역설땜에 머리에 가마 생기는거죠?
카테고리 이론 이야기도 해주세요!
hashtag붙이는 게 내포원리를 이용한 건가 보네요. 검색인덱스로 #뒤에 성질을 이름붙이잖아요.
공집합 공리가 다른 공리로부터 유도가 된다면 그건 정리 아닌가요? 왜 공리라고 불리나요?
존재와사건 바디우책 읽는데 큰 도움을 받습니다. 질문은 멱집합공리와 분류 공리가 비슷한데 차이점은 무엇인가요. 둘다 부분집합들에 대한 이야기 같은데여. 하나는 부분집합들의 집합을 말하고 하나는 부분집합을 말하는것 같은데. 굳이 이 두가지를 공리로 구분하는 이유가 뭔가여
멱집합공리와 분류공리꼴은 전혀 다른 것입니다.
멱집합 공리는 한 집합을 통해서 먁집합이라고 하는 더 큰 집합을 만들수 있는 공리입니다.
반면에 분류 공리꼴은... 집합이 될 수 없는 것을 제한하는 공리입니다. 논리식이 하나 있을 때... 그 논리식을 만족 하면서 다른 어떤 집합의 원소인 것들을 따로 모아서 집합을 만듭니다. 이를 통해서 논리식 하나만 달랑 정해 놓고 {x|P(x)}라고 하는 것은 집합이 아니게 됩니다.
@@hyeonsseungsseungi 답변 감사합니다
폰노이만의 자연수 정의에 근거하면 어떻게 1+1=2가 되는 거죠...? 폰노이만이 덧셈도 따로 정의했나요?
덧셈은 임의의 자연수 n에 대해서 n+1=n∪{n} 으로 정의됩니다. 1+1=1∪{1}=2 죠.
상엽쌤 해석학 강의중에 실수의 구성적정의 강의를 찾아보시면 자세히 나와있을 겁니다.
@@하이퍼수학 감사합니다
@@하이퍼수학 그냥 페아노공리계로 생각하는것이 보편적이지 않나요?
@@Ksw-gn8vu 질문자님께서 폰노이만 자연수(집합론적 정의 방법 중 하나)에서 어떻게 되느냐고 여쭈어 보셨기 때문에 그렇게 답해주신 것 같습니다.
집합론적에서는 0={}, 1={0}, 2={0,1},
... n={0,1,2,...,n-1}에 대해서
S(n)=n U {n}라고 할 때,(익숙한 표현으로는 S(n)=n+1)
이항 연산 덧셈을 다음과 같이 정의합니다.
(2개의 수를 1개의 수로 본다 정도로 받아들이시면 됩니다.)
임의의 자연수a와 0에 대하여 a+0=a, 0+a=a로 정의합이다.
임의의 자연수a와 0이 아닌 자연수 b에 대하여
(b는 0이 아니므로 S(c)=b인 c를 생각가능합니다. 익숙한 표현으로는 c=b-1)
a+b=a+S(c)=S(a+c) 로 정의합니다.
따라서 이 정의에 근거하여 1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=1 U {1} = {0} U {1} = {0,1} = 2 입니다.
힐베르트 프로그램... uncomputable numbers는 전혀 못다루지 않을지..ㅠㅠ
신상이다!
그럼 정칙성공리에 의하면 {1,{1}}은 집합이 아닌가요?
A={1, {1}}이라 하면 A는 공집합이 아니고, A와 서로소가 되는 A의 원소 1={공집합}이 존재하므로 집합이 맞습니다.
퇴근할때 가볍게보려고했는데 41분 ...
가볍게 41분...
으억...
항상 잘 보고있습니다
최근에 볼만한 컨텐츠가 많지 않은데 잘 되었네요
상엽쌤, 이거 칸토어의 연속체 가설에 대한 최신 진척이라는데요,
이거 보셨나요? 이거 해설하는게 재밌지 않을까요?
ruclips.net/video/9uASADiYe_8/видео.html
그 괴델의 불완전성 정리에 대한 대표적인 예시요?
A = { B, 1, 2 }
B = { 1, 2 }
이렇게 잡아줬을 때, A ∩ B = { 1, 2 } = B 즉, 공집합이 아닌 집합이 튀어나오는데 그러면 A는 집합으로 봐주지 않는 건가요?
만약에 집합으로 봐주지 않는 다고 했을 때, 자연수 집합은 { 0, { 0 }, { 0, { 0 } }, ... }이런 모양으로 잡아줄 수 있는데 ( 0은 공집합입니다. ) 이렇게 되면 원소를 하나 잡아줘서 N ∩ { 0 } = { 0 }이 되서 자연수 집합도 집합으로 보면 안되는거 아닌가요?
수학에서 집합은 보통 자연수를 원소로 잡는다고 들었습니다. 근데 그렇게 되면 폰 노이만식 자연수 정의에 따라 서로 다른 원소가 2개 이상인 집합은 정칙성 공리에 의해서 집합이 아니게 되는거 아닌가요?
그 경우는 A={1, 2, {1 ,2}}가 됩니다.
따라서 A의 원소중에 1은 A와 서로 소이므로...
A는 집합이 됩니다.
@@hyeonsseungsseungi 답변 감사합니다. 꼭 첫번째 원소만을 뽑아서 하나요?
@@이인수-y4l {B, {1,2}}를 잘못 쓰신 거죠?
이거 봣엇는데 기억이 안난다 ㅠ
25:42
새로운 내용으로 안목을 넓혔지만, 솔직히 너무 어렵습니다. 형식수학은 정말 머리를 복잡하게 만듭니다. 재미있게 수학을 공부하다가, 정의를 넘지 못하고 물러서야 합니다.
꼭 저 내용을 이해할 필요는 없다고 봅니다. 그저 내가 쉽게 다루는 수학이론들에는 알고보면 사소한것들에까지 모두 저런 체계적인 근거들이 다 마련되어 있다는 것을 인지하면 되지 않나 싶네요.
프로 수학자들이
저렇게 작업해 두었다!
정도로만 알고 있으면 됩니다
수학이 저런 공리들로부터 정의된다.만 알아도 됩니다.
누군가는 형식수학에서 통찰을 얻어 머리가 맑아지고, 재미를 느낄겁니다. 선생님 본인에게 도움이 안된다고 생각하시면 그냥 지나가시면 될 듯 합니다
수학이 정의와 공리 위에 연역적으로 구축된 100% 추상학문이지만, 부정의 용어도 있듯이 인간의 직관과 인식기능에 근거하면 논리 구조가 좀 더 간결해지고 정신이 덜 헷갈리지 않을까 생각해 봤습니다.
공리는 증명없이 그냥 당연히 맞다고 하는거 아닌가요? 정칙성 공리를 증명하셨는데, 증명이 된다면 굳이 공리로 해야 하나요? 그냥 정리(theorem)이라고 하면 안되나요?
ㅎㅇㅇ!
상엽쌤! 저 집합론 다음 세대의 론이 떠올랐어요.
뭔가 개체(그니까 집합론에선 집합이랑 비슷한 것)를 정의할 때, 집합론처럼 뚜렷하게 배중률을 이용해서 정의하는게 아니라, 개체의 가장자리를 후랙탈로 처리하는 거에요.
그 가장자리가 바탕(그니까 개체 이외의 외부세계, 또는 환경, 집합론과 비교하자면 여집합같은 거)과 자연스럽게 연결돼있는데, 그게 너무 작아서 보기 힘들 뿐이고, 어쨌든 개체의 가장자리는 후랙탈로 처리하고 외부계와 자연스럽게 어떻게든 (서로의 각 원소들이) 1대1 대응되게 처리하는 거에요.
근데 개체의 내부(그니까 집합론과 비교하자면, 집합의 원소나 원소로서의 집합들)는 어떻게 규정해야 좋을진 아직 잘 모르겠어요.
그리고 내포원리도, 제 새로운 집합론의 다음세대 론에선, 바꾸고싶은게, 뭔가 내부와 외부의 레이시오(비)에 따라 내포가 되게... 그니까, 후랙탈 영역인 서로 두 계의 접점(일대일 대응)부위에서 적용될, 제가 고안한 내포의 원리는, 이 레이시오에 따라 개체의 밖에 포함될지? 안에 포함될지?가 가변적으로 정해지는 거에요. 종이에 기록한 대로 고정되어버리는게 아니라.
더 정리해서 깔끔하게 써주세요
배중률을 토대로 하지 않은 수학 체계는 뭐가 있을까요?
직관주의 였던가요? 그런 수학도 있었어요. 현대 수학의 많은 부분을 포기해야 했었지만요.
@@하호준-b4j 네 직관주의인데 무한도 포기하고 막 그래서 수학이 반토막 났을 뻔했죠
어떤 교수님이 온라인 수업시간에 배중률과 귀류법 설명하시면서 지뢰찾기를 5분정도 천천히 설명하시면서 진행하셨다고 하네요.
지뢰찾기를 하면 직접적으로 지뢰의 위치를 알아내는 경우 뿐만아니라, 간접적으로 정보를 얻는 경우도 많으니까요. 참 교수님이신듯
옹... 머리가 비워지면 봐야지
수리 철학과 교수랑 철학과 교수가 싸우면 누가 이기나요?
1*1=2 이라는 공리 논쟁도 있었나요?
만약 수학을 깊게 공부하고 싶다면 영국 프랑스 중 어디가 더 좋은 선택일까요? 그리고 이유도 적어주세요
27:52