집합론이란 집합을 다루는 것이다. 이 집합은 공리화 이전의 집합론인 Naive set theory와 공리화 이후의 집합론인 Axiomatic set theory로 나뉜다. 1. 무한집합의 등장 01:30 무한집합은 갈릴레이, 코시 등 일부 수학자들이 말했으나 본격적으로 조명된 건 데데킨트 이후이다. 그는 "자기 자신의 진부분집합과 1:1 대응이 가능한 집합이 무한집합"이라고 정의했다. (이해는 안 된다, 추후 강의 수강이 필요해보인다.) 칸토어는 한 무한집합보다 더 큰 무한집합을 만들 방법을 찾아냈는데 그것이 칸토어의 정리이다. (부분집합을 묶어둔 집합인 멱집합을 이용) 2. 연속체 가설 08:18 자연수 집합의 원소의 개수(알레프 null)와 (0,1) 사이 모든 실수의 개수(시그마)를 비교해보자. 알레프널 < 시그마 가 나온다. 아무리 범위가 좁아도 실수가 자연수보다 더 많기 때문이다. (라고 하는데 직관적으로 이해는 안 된다. 추후 강의 수강이 필요할듯하다.) 원소의 개수가 알레프널보다는 많고, 시그마보다 작은 집합은 존재할까? 없다. 이를 연속체 가설이라고 한다. 1940 괴델은 이것이 거짓이라고 증명하는 것이 불가능함을 증명했고, 1963 코헨은 연속체 가설이 참임을 증명하는 게 불가능함을 증명했다. 따라서, 연속체 가설은 참도, 거짓도 아닌 이상한 것이 되어버렸다. 3. 러셀의 역설 12:16 버트런트 러셀은 무한집합 전체를 아우르는 무한집합이 있을 수 없다고 말했다. 왜냐면 그 가상의 집합 X가 있다고 했을때, 그의 멱집합 P(X)가 존재하기 때문이다. 이를 러셀의 역설이라고 한다. 무한 집합의 등장, 연속체 가설, 러셀의 역설 등 일련의 논리적 모순들로 수학계는 집합이 무엇인지 엄밀하게 정의하려 하기 시작했고, 공리화(axiomatization)를 시도. 이 공리화 이후의 집합론을 공리적 집합론이라 부름. (아마 이후의 강의는 공리적 집합론을 배울 것으로 예상됨) 17:13 페르마가 그러했듯, 너도 할 수 있다. 꿈을 크게 꾸고, 할 수 있다고 믿어라. 호기심을 가지고, 그 호기심을 해결할 도구들을 길러나가라.
정리) 1. 소박한 집합론 무한집합의 정의: 자신의 진부분집합과의 일대일대응이 가능한 집합 Aleph0: 자연수의 집합(무한집합)의 크기 Sigma: (0, 1) 구간에 있는 실수의 집합의 크기 Aleph0 < Sigma 연속체 가설: 크기가 Aleph0보다 크고 Sigma보다 작은 집합이 존재하는가? ☞ 거짓임을 증명할 수 없음이 증명됨(1940) ☞ 참임을 증명할 수 없음이 증명됨(1963) 칸토어의 정리: 무한집합에 대해 자신의 멱집합은 자신보다 크기가 크다 2. 공리적 집합론 세상의 모든것의 집합이라는 것이 존재한다면, 칸토어의 정리에 의해 그것의 멱집합은 크기가 더 크므로 모순 → 집합인 것과 집합이 될 수 없는 것을 분별할 논리가 필요해짐, 집합을 공리체계로 다루기
원래 댓글을 잘 달지 않는 타입인데 첫강부터 너무 인상이 깊어서 댓글 남기고 갑니다. 정말 준비를 많이 하고 정리가 잘된 강의라는게 느껴집니다. 첫째,둘째 셋째 단원을 나누어 명확하게 공리적 집합론이 등장하게 된 배경에 대해서 순차적이고 연역적으로 잘 설명이 되어있네요~ 무한집합의 등장이라는 소챕터를 통해 칸토어의 정리를 잘 유도 해냈고, 뒤에 나올 러셀의 역설을 설명 하기위해 연속체 가설을 두번째 챕터에서 언급을 하고, 마지막으로 러셀의 역설을 통해 모순을 극복하고자 공리화를 통해 공리적 집합론이 탄생하였다~! 짧은(?) 강의지만 같은 수학강사로써 정말 배울게 많다는게 느껴집니다. 강의 전달력은 말할것도 없고 수업 흐름의 진행에 대한 철저한 체계적인 강의구성에 박수를 보내드립니다~! :) 앞으로도 좋은 강의 부탁드립니다! 응원합니다
고등학교 문과 졸업해서 어쩌다가 대학교 이과에 진학한 아이가 선형대수를 배워야 하는 상황이라, 관련 정보를 찾던 중 들어왔다가 휴일 내내 시청하고 있습니다. 아직도 가끔 소수의 규칙성 유무 발견이라는 허황된 상상을 하는 학부형이지만, 덕분에 훌륭한 강의 들을 수 있게 되어 감사합니다.
생각할 수 있는 모든 것들을 모은 집합 X이 존재할 수 없음을 칸토어의 정리로 증명할 때, X의 멱집합이 X보다 크기가 크다는 것으로 설명하셨는데 저는 여기서 과연 모든 집합은 자신의 모든 부분집합들을 원소로 가지는 멱집합이 언제나 존재하는가?라는 의문이 드네요 만약 멱집합이 정의되지 않을 수 있는 집합이 존재한다면 그 설명에는 구멍이 날 테니까요...강의 잘 들었습니다!
선생님 강의 잘듣고 있습니다. 제 생각인데 연속체 가설을 증명할때, 예를들어 0과 1사이 구간을 실수개로 무한히 나눈 값을 알파라 하고 자연수의 한 칸 차이를 1이라 하면 알파를 무한히 더한 값이 1을 무한히 더한 값보다 크다는 것을 보이면 되지 않을까요? 정적분과 급수로 이 문제를 풀어보면 어떨까 싶어서요 그 후에 알파들의 합보다 작고 1의 합보다 작은 집합은 없다 (시그마 집합보다 작고 알레프 집합보다 큰 집합은 없다) 니까 이건 두 집합을 무한대로 보내니 샌드위치 정리 느낌으로 가운데 값이 같아진다(?) 이런 느낌으로 가면어떨까요?
입시가 끝난 고3입니다. 건축학과에 진학하게 되어 무엇을 할까? 고민하였는데 공간을 다루기 위해서 위상수학강의에 들어갔다 집합론으로 들어왔습니다. 이런 귀한 강의를 무료로 공개해주셔서 감사합니다. 꼭 이상엽 선생님에게 배운 수학개념을 녹인 멋있는 건축물을 설계하겠습니다.
공리적 집합론 이후로 수학이 과학에서 예술로 넘어온 것 같은 느낌;;;;; 유클리드 기하학이랑 느낌이 달라요ㅠㅠ 진리의 탐구에서 모델을 창작하는 것으로 넘어간 느낌이에요. T와 F로 나누는 것은 논리학 방식을 따르는 것 같은데...그냥 공집합은 공집합이라고 하는게 좋고....
괴델의 불완전성 정리는 두 가지로 이루어져 있습니다. 기초적인 산술이 간단한 공리들의 집합을 통해서 완전하게 주어질 수 없다는 것과 그런 기초적인 산술을 포함하는 좋은 이론은 스스로에 대한 정합성을 증명할 수 없다는 것입니다. 나중에 이 유튜브에서 잘 설명해주셨으면 좋겠네요. 괴델의 불완전성 정리에 대해 관심있으시다면 한국어 책으로는 괴델, 에셔, 바흐를 추천드리고요. 영어로는 peter smith의 an introduction to godel's theorem을 추천드립니다. 논리학 전공한 사람에게 듣자하니 괴델, 에셔, 바흐는 조금 오도적이긴 하지만 어쨌든 번역된 한국어 책 중에는 가장 좋습니다.
선생님 저 질문있어요 집합 관련 된건 아니에요.. 적분을 통해서 울퉁불퉁한 도형의 넓이를 구하잖아요 근데 저는 적분을 할줄몰라요.. 그래서 제가 생각한건 공간을 구부리는거에요 예를들어서 살에 울툴불퉁한 선분을 그렷으면 살을 구부려서 직선을 만들수 있잖아요 당연히 살이 늘어나고 그래서 길이는 변하겟지만 공간에서 구부리먼 선분의 길이는 변하지 않잖아요 제가 수학적인 지식이 없어서 수학적인 수식이 없어서 애매한 질문인데 공간을 구부려서 울퉁불퉁한 도형의 넓이를 다각형 넓이 구하는 방법으로 구할수 있을까요? 이걸 증명 하는건 너무 고난이도 인거 같구 된다 안된다만 말씀해주세요 제가 증명해볼게요
흥미진진!! 그런데 중간에 말씀하신 질문에 대해서 선생님은 명제와 명제함수(조건)를 다른 대상으로 보시나요? 아니면 조건도 하나의 명제로 보시나요? 생각해보니 만약 다른 대상으로 본다면.. 그럼 명제간의 연산자와 조건간의 연산자 또한 한번은 구분을 해줘야하는 걸까요? 예를 들어 명제간의 함의 연산자와 조건간의 함의 연산자를 그럼 다르게 봐야할까요? 아니면 명제나 조건이나 궁극적으로 참 또는 거짓 논리만을 가진다는 것을 생각해서 명제와 조건을 같은 대상으로 봐야할까요? 선생님은 어떻게 가르치시는 궁금합니다♡
S={X is a set | X는 X에 속하지 않는다} S는 S의 원소인가? S가 만약 S의 원소라면 S의 정의에 의하여 S는 S에 속하지 않는다. (모순) 마찬가지로, S가 만약 S의 원소가 아니라면, S의 정의에 의하여 S는 S의 원소이다. (모순) 이런 모순이 생긴 이유는 집합과 원소를 따로 생각했기 때문이고, 이것을 해결하기 위해 naive set theory 대신 axiomatic set theory가 등장한다.
선생님 강의 즐겁게 듣고 잇습니다 ㅎㅎ 혹시 마이크를 좀더 잡음이 없고 목소리를 집중적으로 잡아내는 제품으로 바꿔주실 수 있나요? 그것만 바뀌면 더 집중이 잘 될 텐데ㅋㅋ아쉬워요. 녹음 수준이 마치 직캠으로 대충 찍은 유명 노량진강사 강의중 농담 모음집 수준이에요 ㅎㅎ. 이토록 격이 높은 강의에 잇어서 옥의티인 것 같습니다! 잘 듣고 잇습니다. 감사합니다.
12:15 명제와 조건의 차이? 제 생각엔, 명제는 참과 거짓으로 나눌 수 있는 주장, 이분법적 논리로 결론이 날 수 있는 주장같구요; 그래서 Law of Excluded Middle 이게 한국어론 뭔지 모르겠는데, 아무튼 흑백논리가 적용가능한 주장같아요. 조건이란 것은 이분법적 논리로 결과가 나올 수 없는 주장같아요. 흑백논리를 통해서 결과가 나오지 않는 주장요. 맞나요? 명제는 뭔가... 나만 생각하고, 즉 아상을 꽉 쥐고 자기 잣대로 데이터를 처리하는 알고리즘 같구요, 조건은 뭔가... condition이니까, 주변환경?, 자기 잣대 없이 주변환경에 그때그때 맞춰서 데이터를 처리하는 알고리즘 같아요.
![[집합론] 1강. 명제와 논리](http://i.ytimg.com/vi/MvJvu2iUrNA/mqdefault.jpg)
![[집합론] 1강. 명제와 논리](/img/tr.png)
![[지식in] 정말로 점이 모이면 선이 될까?](http://i.ytimg.com/vi/YZKp8cLS4Fw/mqdefault.jpg)
인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요.
집합론이란 집합을 다루는 것이다. 이 집합은 공리화 이전의 집합론인 Naive set theory와 공리화 이후의 집합론인 Axiomatic set theory로 나뉜다.
1. 무한집합의 등장 01:30
무한집합은 갈릴레이, 코시 등 일부 수학자들이 말했으나 본격적으로 조명된 건 데데킨트 이후이다. 그는 "자기 자신의 진부분집합과 1:1 대응이 가능한 집합이 무한집합"이라고 정의했다. (이해는 안 된다, 추후 강의 수강이 필요해보인다.)
칸토어는 한 무한집합보다 더 큰 무한집합을 만들 방법을 찾아냈는데 그것이 칸토어의 정리이다. (부분집합을 묶어둔 집합인 멱집합을 이용)
2. 연속체 가설 08:18
자연수 집합의 원소의 개수(알레프 null)와 (0,1) 사이 모든 실수의 개수(시그마)를 비교해보자. 알레프널 < 시그마 가 나온다. 아무리 범위가 좁아도 실수가 자연수보다 더 많기 때문이다. (라고 하는데 직관적으로 이해는 안 된다. 추후 강의 수강이 필요할듯하다.)
원소의 개수가 알레프널보다는 많고, 시그마보다 작은 집합은 존재할까? 없다. 이를 연속체 가설이라고 한다.
1940 괴델은 이것이 거짓이라고 증명하는 것이 불가능함을 증명했고, 1963 코헨은 연속체 가설이 참임을 증명하는 게 불가능함을 증명했다.
따라서, 연속체 가설은 참도, 거짓도 아닌 이상한 것이 되어버렸다.
3. 러셀의 역설 12:16
버트런트 러셀은 무한집합 전체를 아우르는 무한집합이 있을 수 없다고 말했다. 왜냐면 그 가상의 집합 X가 있다고 했을때, 그의 멱집합 P(X)가 존재하기 때문이다. 이를 러셀의 역설이라고 한다.
무한 집합의 등장, 연속체 가설, 러셀의 역설 등 일련의 논리적 모순들로 수학계는 집합이 무엇인지 엄밀하게 정의하려 하기 시작했고, 공리화(axiomatization)를 시도. 이 공리화 이후의 집합론을 공리적 집합론이라 부름. (아마 이후의 강의는 공리적 집합론을 배울 것으로 예상됨)
17:13 페르마가 그러했듯, 너도 할 수 있다. 꿈을 크게 꾸고, 할 수 있다고 믿어라. 호기심을 가지고, 그 호기심을 해결할 도구들을 길러나가라.
지나가는 철학도입니다! 수학 공부 시작에 도움 받아보고자 합니다 선생님! 앞으로 완강까지 잘 부탁드립니닷!!!
직장에서 은퇴한 후 수학을 제대로 공부해 보고 싶은 갈증을 느껴왔으나 독학을 할 능력이 없어 답답했는데 우연히
좋은 강좌를 발견해서 기대가 많이 되네요.. 앞으로 열심히 강의를 따라가 보겠습니다
파이팅입니다! 멋있으세요 =)
수학을 취미로 공부하고 싶은 공대생으로써 집합론부터 보고 있었는데 몇일 전에 무심코 들렀다가 구독한 선생님 채널에서 집합론 강의가 나오니 너무 기쁘네요...!!! 앞으로 꼭 챙겨보겠습니다!
넷플 보다가 질려서 유튜브 켰는데 이게 더 재미있습니다
바로 구독박고 정주행하겠습니다
정리)
1. 소박한 집합론
무한집합의 정의: 자신의 진부분집합과의 일대일대응이 가능한 집합
Aleph0: 자연수의 집합(무한집합)의 크기
Sigma: (0, 1) 구간에 있는 실수의 집합의 크기
Aleph0 < Sigma
연속체 가설: 크기가 Aleph0보다 크고 Sigma보다 작은 집합이 존재하는가?
☞ 거짓임을 증명할 수 없음이 증명됨(1940)
☞ 참임을 증명할 수 없음이 증명됨(1963)
칸토어의 정리: 무한집합에 대해 자신의 멱집합은 자신보다 크기가 크다
2. 공리적 집합론
세상의 모든것의 집합이라는 것이 존재한다면, 칸토어의 정리에 의해 그것의 멱집합은 크기가 더 크므로 모순
→ 집합인 것과 집합이 될 수 없는 것을 분별할 논리가 필요해짐, 집합을 공리체계로 다루기
진짜 제가 정말 찾던 분을 찾은 것 같아 행복합니다. 디자인 석사과정을 준비 중인데, 이런 순수학문에 대한 내용과 통찰이 정말 흥미로워서 보고 있습니다. 감사합니다,.
설명을 이해하기 쉽게 정말 잘해주시네요~ 좋은영상 감사합니다
이런 강의! 정말감사합니다 ㅜㅜㅜㅜ 더 많이 해주세용 ㅜㅜㅜ
정말 재밌어요! 교양수학책만 훑다보니까 심화된 지식도 알고싶었던 참이거든요 좋은 영상 감사합니다 기대돼요!
현 고1이에요
영상재밌게 보고있어요ㅎㅎ
댓글들 보는데 수학을 취미로 배운다..정말 멋진거같아요 응원할게요 !
하 세상에 이제야 집합론 0화를 봤는데 다음화를 안 볼 수가 없네요 ㅋㅋㅋ 수학 잘 하는 사람들이 너무 멋있어서 취미로 해보고 싶다고 생각만 했었는데 마침 저 같은 사람을 위한 채널이 여기 있었네요! 선생님의 도움을 받아 수학 공부 시작해보려 합니다~
이상하게 평소에 궁금했던 수학적질문들은 상엽쌤 채널만 오면 다 해결이 되는 것 같아요... 여윽시 👍
진짜 너무 훌륭한 강의에요 너무 재밌습니다
책을 읽으면서도 이해 되지 않는 부분들이 정말 쉽게 이해되었어요. 대학공부하다가 극한의 개념을 완벽하게 이해하지 못해서 이상엽 선생님의 집합론과 해석학을 보고 이해해 보려고 왔습니다.
선생님 감사합니다.
선형대수 공부하다가 결국 집합론으로 왔습니다...ㅋㅋㅋㅋㅋ
전 위상시작하려다가….
수학토크 잘봤습니다~ 하브루타같이 한국에서도 수학의 붐이 일어나길!! 경쟁이 아닌 토크로!
하브루타?
소위 인문계 종사자인데.. 강의로 많은 걸 배웁니다. 철학에서도 수학과 과학적인 개념이나 발상들이 많이 나오는데 컨셉을 분명하게 전달하고 있어서 다른 학문과 접점을 구하기 좋게 되어 있네요.
애 땜시 공간벡터 검색하다 여기 까지 와서 위상수학 듣고 집합론 먼저 들으라 해서 왔어요. ㅎ~
듣다보니 중독성 있네요. 구독 좋아요 꽉 누릅니다!! 최고!!!
대학교 수업 듣고 이해 안 됐던 부분이 이제 끼워 맞춰지는 것 같네요! 설명 너무 잘하시는 것 같아요!!!!!!
수학의 세계란 참 신비하군요 ㅎㅎ 강의 잘 보고 있습니다!
최고의 강의 너무나도 감사합니다!
정말 큰 걸 배웠어요 감사해요 이상엽 쌤 ^^
원래 댓글을 잘 달지 않는 타입인데 첫강부터 너무 인상이 깊어서 댓글 남기고 갑니다. 정말 준비를 많이 하고 정리가 잘된 강의라는게 느껴집니다. 첫째,둘째 셋째 단원을 나누어 명확하게 공리적 집합론이 등장하게 된 배경에 대해서 순차적이고 연역적으로 잘 설명이 되어있네요~ 무한집합의 등장이라는 소챕터를 통해 칸토어의 정리를 잘 유도 해냈고, 뒤에 나올 러셀의 역설을 설명 하기위해 연속체 가설을 두번째 챕터에서 언급을 하고, 마지막으로 러셀의 역설을 통해 모순을 극복하고자 공리화를 통해 공리적 집합론이 탄생하였다~! 짧은(?) 강의지만 같은 수학강사로써 정말 배울게 많다는게 느껴집니다. 강의 전달력은 말할것도 없고 수업 흐름의 진행에 대한 철저한 체계적인 강의구성에 박수를 보내드립니다~! :) 앞으로도 좋은 강의 부탁드립니다! 응원합니다
고맙습니다. 강의 잘 듣었습니다.
고등학교때 다른건 다 좋아했는데 집합론이 어찌 지루하고 싫증나던지.. 그런데 이 동영상을 보니 나름 충격적이면서도 궁금증이 생기네요. 집합이라는 것을 다시 공부해볼까합니다. 감사해요!!
고1학생인데 이제 겨울방학이니 완강하겠습니다! 강의 올려주셔서 감사합니다!
좋은 강의 감사합니다.
감사합니다 좋은 강의.
너무 재밌어요 잘보고 있습니다 감사합니다 선생님!!
계절학기 준비하다가 ㅋㅋㅋ 평소에 궁금했던 요 재생목록 눌러버렸어요
설레네요 내일 1강 들어갑니다!
정말 재밌게 잘 들었습니다! (다만 무슨 내용인지 정확히 파악이 안되니ㅠㅠ 어리둥절 하면서 내용을 봤네요... ㅋㅋ)
교양으로써의 수학 강의 응원합니다!
공돌이 형님 존경헙니다..
ㅓ
팬이에요 ㅎㅎ ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
정말 재밌고 흥미로웠습니다 좋은영상감사합니다
감사합니다..!!! 너무재밌어요 ㅎㅎㅎ
수학적 궁금증이 해결되네요
정말재미있게봤습니다. 감사합니다
대학교에서 이렇게 재밌게 가르쳐줬다면 임용포기 하지않았을텐데라는 핑계를 들게만드는 강의네요👍👍
너무도 재밌고 인상깊게 잘 들었습니다. 감사합니다. 내가 학생때에도 이런 수준의 내용을 들었더라면 하는 아쉬움이 짙게 들지만 한편으로는 이제서라도 이런 내용을 배울 수 있게 되어 행운이라고도 생각합니다.
고등학교 문과 졸업해서 어쩌다가 대학교 이과에 진학한 아이가 선형대수를 배워야 하는 상황이라, 관련 정보를 찾던 중 들어왔다가 휴일 내내 시청하고 있습니다.
아직도 가끔 소수의 규칙성 유무 발견이라는 허황된 상상을 하는 학부형이지만, 덕분에 훌륭한 강의 들을 수 있게 되어 감사합니다.
너무 재밌네요 ㅋㅋㅋㅋ 정말 최고에요
또 봐도 재밌어요 ㅎㅎ 잘봤습니다
분홍색 옷이 참 예쁘네용!! 정주행 갑니다~~!
집합론 시험기간...선생님 강의들으면서 복습하러왔습니다
재밌어용 잘봤습니다 ㅎㅎ
15:00 소오름
멋있어요 항상 힘내세요
재미있게 잘 봤습니다!
집합론 한국어 강의 감사합니다 😂
오오오 스승님, 제가 페르마같은 존재가 될게요! 저는 칸토어의 뒤를 잇고 싶어요!
홧팅 !!
집합론 궁금했는데 감사합니다
현직 중학교 수학교사입니다. 진심 임용판으로 가시면 많은 분들이 도움을 받을 것 같네요. 어려운 전공 내용을 쉽게 풀어내는 능력 부럽습니다ㅜㅜ
임용판이 뭔가요?
고시아닐까요
감사합니다
발이 닿는 지면을 쳐다보며, 몸이 계속 떠오르는 모습을 상상해보면 우주팽창 속도로, 여전히 거리는 무한이 아닙니다, 즉 커져가는 행위는 영원히 지속되지만 단어가 나타내는 고정된 정의가 되지 않기때문인것 같아요,
입시도 끝나고 놀 것 다 놀았으니, 슬슬 저의 부족함을 채우고 가고 싶습니다. 우선 수학적 역량부터 충분히 확보해야지요 ㅎㅎ
진짜 너무 재밌어요 ㅎ
예비교사 입니다. 재밌게 잘보고 있습니다.^^
이해가 갈듯말듯 하지만 재밌습니다. 이럴수가. 수학이 재밌다뇨!! 감사합니다.
너무 재밌습ㄴ다!!
와 고1 노잼 집합 문제풀다가 이거보니까 ㅈㄴ 재밌어 ㅓㅓㅓㅓ
생각할 수 있는 모든 것들을 모은 집합 X이 존재할 수 없음을 칸토어의 정리로 증명할 때, X의 멱집합이 X보다 크기가 크다는 것으로 설명하셨는데 저는 여기서 과연 모든 집합은 자신의 모든 부분집합들을 원소로 가지는 멱집합이 언제나 존재하는가?라는 의문이 드네요 만약 멱집합이 정의되지 않을 수 있는 집합이 존재한다면 그 설명에는 구멍이 날 테니까요...강의 잘 들었습니다!
원소의 개수가 0인 공집합도 부분집합은 자신을 포함하므로 1개를 갖습니다.고로 모든 집합의 멱집합은 존재하죠.
교양수학 너무 좋아요!
스스로의 탐구를 위해 시작합니다.
전체집합이 존재하지 않음을 설명하신 논리는, 사실 많은 학생들도 생각해낼 수 있는 사실인데
실제로는 더 난해하고 엄밀한 내용이 있었던 건가용??? 중요한 사실이었다고 하셔서, 깜짝 놀랐네요 ㅎㅎ
하... 보면서 자괴감 드네요. 난 6년이나 대학 다녔는동안 뭘 공부한간지... 집합론의 뒷부분이 이런 재밌는 내용이었다는걸 전혀 몰랐습니다. 수학 다시 공부하고 싶어지네요 ;;;;
지금도 늦지 않았습니다..ㅋㅋ 지금 안하면 다시 돌아가도 안하게 될 거 같아요..
13:08
Q. (0,1) 을 평면위 모든 점이랑 어떻게 일대일 대응 시키죠?
선생님 강의 잘듣고 있습니다.
제 생각인데
연속체 가설을 증명할때,
예를들어 0과 1사이 구간을 실수개로 무한히 나눈 값을 알파라 하고
자연수의 한 칸 차이를 1이라 하면
알파를 무한히 더한 값이
1을 무한히 더한 값보다
크다는 것을 보이면 되지 않을까요?
정적분과 급수로 이 문제를 풀어보면 어떨까 싶어서요
그 후에 알파들의 합보다 작고
1의 합보다 작은 집합은 없다
(시그마 집합보다 작고 알레프 집합보다 큰 집합은 없다)
니까
이건 두 집합을 무한대로 보내니
샌드위치 정리 느낌으로
가운데 값이 같아진다(?) 이런 느낌으로 가면어떨까요?
입시가 끝난 고3입니다. 건축학과에 진학하게 되어 무엇을 할까? 고민하였는데 공간을 다루기 위해서 위상수학강의에 들어갔다 집합론으로 들어왔습니다. 이런 귀한 강의를 무료로 공개해주셔서 감사합니다. 꼭 이상엽 선생님에게 배운 수학개념을 녹인 멋있는 건축물을 설계하겠습니다.
어릴때 함수를 배울 때 y=2x가 왜 일대일대응이지? 라는 의문을 가졌었는데.
모든 정의역이 단 한가지의 치역값에 대응해서
@@이창복-q5o그것은 상수함수 아닌가요 일대일대응은 모든 정의역이 치역에 대응하는 함수, 치역과 공역이 같은 함수입니다
수학사책으로 어떤 책을 읽어야 하나요?
가장 큰 집합 X를 정의하면 그의 멱집합 P(X)가 X보다 더 큰 집합이 되어버린다는 모순에서 가장 큰 자연수를 결정하는 듯한 느낌이 들었네요. 그런데 가장 큰 자연수는 없다고 결론지은 것과 다르게 공리를 만들어 모순을 해결한다는 게 흥미롭군요 'ㅅ'
무한이라는 불명료한 개념을 진부분집합과의 일대일대응이라는 명료한 개념으로써 정의했군요.
다시 취미로 수학을 시작합니다. 잘부탁드립니다
선생님 강의로 수학공부를 해 보고 싶은데 집합론, 해석학, 선형대수학을 어떠 순서로 들어야 하나요?
듣고싶은거 들으셈
재밌네요
P대NP 문제도 연속체 가설 같은 답이 나올수도 있겠군요
취미로 수학 공부하려고 들어왔습니다ㅎㅎ
한국어오 들을수 화질 좋은 집합론 좋아요
멱집합을 공부해보지 않아서 궁금한건데 어떤 집합의 멱집합의 멱집합같은 것도 존재하나요?
당연히 존재합니다.
집합론의 공리에 모든 집합은 멱집합을 가진다는 게 있습니다. 어떤 집합 A의 멱집합 P(A)도 집합이므로 그 멱집합 P(P(A))도 존재합니다.
고1에 나오는 집합과 연산만 공부한 상태인데 집합론 8화까지 보는게 의미가 있을까요? 아님 이영상을 보려면 집합과 무한의 개념을 좀더 배우고 올까요?
공리적 집합론 이후로 수학이 과학에서 예술로 넘어온 것 같은 느낌;;;;;
유클리드 기하학이랑 느낌이 달라요ㅠㅠ
진리의 탐구에서 모델을 창작하는 것으로 넘어간 느낌이에요.
T와 F로 나누는 것은 논리학 방식을 따르는 것 같은데...그냥 공집합은 공집합이라고 하는게 좋고....
영상 내용 중에서 괴델이 거짓이란 걸 증명하다는 게 불가능하다는 것은 괴델의 불완전성의 정리와 관련이 있는건가요?? 나중에 괴델의 불완전성의 정리에 관해서 설명주세요!
제가 이말하려고했는뎁ㅎㅎ
괴델의 불완전성 정리는 두 가지로 이루어져 있습니다. 기초적인 산술이 간단한 공리들의 집합을 통해서 완전하게 주어질 수 없다는 것과 그런 기초적인 산술을 포함하는 좋은 이론은 스스로에 대한 정합성을 증명할 수 없다는 것입니다. 나중에 이 유튜브에서 잘 설명해주셨으면 좋겠네요. 괴델의 불완전성 정리에 대해 관심있으시다면 한국어 책으로는 괴델, 에셔, 바흐를 추천드리고요. 영어로는 peter smith의 an introduction to godel's theorem을 추천드립니다. 논리학 전공한 사람에게 듣자하니 괴델, 에셔, 바흐는 조금 오도적이긴 하지만 어쨌든 번역된 한국어 책 중에는 가장 좋습니다.
@@BAekend 괴델 에셔 바흐........... 이거 난이도 최최상급아닌가요.. 관심은 있는데 엄두가 안나는책 1등.. 아참 음악에 대한 내용이 많이 나오는거같은데 피아노 쳐본적없고 음표도 전혀모르는 사람 인데 볼수있을까요?
스앵님 집합론을 배우는 궁극적인 목표라고할까요 집합론의 궁극적인 목표랄께 있을까요?
선생님 저 질문있어요 집합 관련 된건 아니에요.. 적분을 통해서 울퉁불퉁한 도형의 넓이를 구하잖아요 근데 저는 적분을 할줄몰라요.. 그래서 제가 생각한건 공간을 구부리는거에요 예를들어서 살에 울툴불퉁한 선분을 그렷으면 살을 구부려서 직선을 만들수 있잖아요 당연히 살이 늘어나고 그래서 길이는 변하겟지만 공간에서 구부리먼 선분의 길이는 변하지 않잖아요 제가 수학적인 지식이 없어서 수학적인 수식이 없어서 애매한 질문인데 공간을 구부려서 울퉁불퉁한 도형의 넓이를 다각형 넓이 구하는 방법으로 구할수 있을까요? 이걸 증명 하는건 너무 고난이도 인거 같구 된다 안된다만 말씀해주세요 제가 증명해볼게요
집합론은 어느 책부터 시작하는게 좋을까요? 공대생입니다..
새로운 세계가 열리는군요
가즈아~
교양으로서 수학을 공부해보고싶은데 강의와 곁들여 볼 만한 책을 추천해주실 수 있을까요?
흥미진진!! 그런데 중간에 말씀하신 질문에 대해서 선생님은 명제와 명제함수(조건)를 다른 대상으로 보시나요? 아니면 조건도 하나의 명제로 보시나요? 생각해보니 만약 다른 대상으로 본다면.. 그럼 명제간의 연산자와 조건간의 연산자 또한 한번은 구분을 해줘야하는 걸까요? 예를 들어 명제간의 함의 연산자와 조건간의 함의 연산자를 그럼 다르게 봐야할까요? 아니면 명제나 조건이나 궁극적으로 참 또는 거짓 논리만을 가진다는 것을 생각해서 명제와 조건을 같은 대상으로 봐야할까요? 선생님은 어떻게 가르치시는 궁금합니다♡
집합의 크기는 원소의 개수인가요??
자연수 전체의 멱집합은 실수의 무한집합보다 큰가요 작은가요?
똑같습니다.
@이학근 아뇨. 자연수의 멱집합과 실수 집합의 크기는 서로 같고, 실수 집합보단 작고 자연수 집합보단 큰 크기의 집합이 있느냐가 연속체 가설입니다. 둘은 다릅니다.
@이학근 틀렸다 헛소리네
집합론 책을 보니까 X집합을 원소로 갖는 집합 X로 러셀의 역리를 설명하던데 잘 이해가 안되서 풀이해주실수 있나요?
S={X is a set | X는 X에 속하지 않는다} S는 S의 원소인가? S가 만약 S의 원소라면 S의 정의에 의하여 S는 S에 속하지 않는다. (모순)
마찬가지로, S가 만약 S의 원소가 아니라면, S의 정의에 의하여 S는 S의 원소이다. (모순) 이런 모순이 생긴 이유는 집합과 원소를 따로 생각했기 때문이고, 이것을 해결하기 위해 naive set theory 대신 axiomatic set theory가 등장한다.
이분 점점 댓글이 늘어나는 것같어
집합론 재생목록 중 0강만 강의록이 없는건가요?
너무 재밌어요ㅠㅠ
옷이뻐용
선생님 강의 즐겁게 듣고 잇습니다 ㅎㅎ 혹시 마이크를 좀더 잡음이 없고 목소리를 집중적으로 잡아내는 제품으로 바꿔주실 수 있나요? 그것만 바뀌면 더 집중이 잘 될 텐데ㅋㅋ아쉬워요. 녹음 수준이 마치 직캠으로 대충 찍은 유명 노량진강사 강의중 농담 모음집 수준이에요 ㅎㅎ. 이토록 격이 높은 강의에 잇어서 옥의티인 것 같습니다! 잘 듣고 잇습니다. 감사합니다.
무한대 무한을 수학적으로 생각하다보면
진짜 미쳐버리는게 당연할듯
어릴때 하늘을 넘어 하늘은?
12:15 명제와 조건의 차이? 제 생각엔, 명제는 참과 거짓으로 나눌 수 있는 주장, 이분법적 논리로 결론이 날 수 있는 주장같구요; 그래서 Law of Excluded Middle 이게 한국어론 뭔지 모르겠는데, 아무튼 흑백논리가 적용가능한 주장같아요.
조건이란 것은 이분법적 논리로 결과가 나올 수 없는 주장같아요. 흑백논리를 통해서 결과가 나오지 않는 주장요.
맞나요?
명제는 뭔가... 나만 생각하고, 즉 아상을 꽉 쥐고 자기 잣대로 데이터를 처리하는 알고리즘 같구요,
조건은 뭔가... condition이니까, 주변환경?, 자기 잣대 없이 주변환경에 그때그때 맞춰서 데이터를 처리하는 알고리즘 같아요.
답을 할수 있는지 없는지의 차이일 듯요. 명제는 참이든 거짓이든 결정할 수 없는 것이든 확정적으로 답하는게 가능하지만, 조건은 미지수가 정해지지 않은 한 답을 할 수가 없죠
잼있게 봤습니다^^*
무한 빼기 무한은 영이 아니라는 말인가요?
무한은 수가 아니기 때문에 극한값으로는 사칙연산이 되지만 그 자체로는 사칙연산을 할 수가 없습니다.