Let's name the points A, B, C, D, E, F serially from left top to right bottom. Focusing on triangle BCD tells us that the triangle is right triangle, so if we let the point that makes BCDC' rectangle C', BC'=1, C'D=3, CC'B=EC'B=90 degrees. That means EC'B is right triangle, so we can measure the length BE, that is, sqrt((3+4)²+1²)=5sqrt(2). Since ABFE is a square, the diagonal becomes xsqrt(2), therefore x=5.
저는 도형에서 길이가 3인 선분과 4인 선분이 평행해서 두 선분을 연장해서 평행사변형을 작도하고 이 평행사변형에 조금도 포함되지 않는 선분이면서 x보다 작은 정사각형의 한 변 위에 있는 선분의 길이를 h라 하고 평행사변형의 한 변이면서 정사각형의 한 변 위에 있지 않은 변의 길이를 y+4로 해서 x^2-xh=y+4(넓이의 합 이용) x^2+h^2=(y+4)^2(피타고라스)를 얻고 그림에서 길이가 1인 선분과 평행하는 직선을 작도하되, 작도한 평행사변형의 변 중에서 정사각형의 한 변에 포함되는 선분(단,길이가 3인 선분에 더 가까운 선분)의 끝 점 중, 정사각형의 꼭짓점이 아닌 점 A라고 이름을 붙이고 A를 지나는 직선을 그려서 길이가 3인 선분과 만나는 점을 B라고 한 뒤, 직사각형의 성질로 선분AB가 1임을 보여서 (3-y)^2+1=(x-h)^2(피타고라스)를 얻어서 총3개의 식을 연립하여 y=9/4 또는 y=(3+루트21)/2를 얻고 연립하여 얻어진 관계식 x^2=8y+7에 각각 대입하여 x=5 또는 x=(2루트3)+(루트7)을 구했어서 올리신 영상의 풀이보단 더 복잡하지만, 두 개의 값이 나왔는데 그럼 5가 아닌 다른 값은 불가능한지 의문이 남는데 생각해봐야겠네요. 😮 부연설명으로, 넓이의 합을 이용해 얻은 관계식은 삼각형의 합동조건 SAS합동을 이용해 보인 겁니다. 평행선의 엇각과 동위각의 크기가 같다는 것과 평행사변형의 마주보는 변의 길이와 각이 같다는 것을 이용했습니다.
1. 우측 상단 꼭지점에서 길이 1짜리 선과 평행하는 길이 1짜리 보조선을 긋는다. 2. 길이 4짜리 선을 오른쪽으로 쭉 연장해주는 보조선을 긋는다. 3. 우측상단 꼭지점과 좌측하단 꼭지점을 잇는 보조선을 긋는다. 4. 밑변 길이 7, 높이 1인 직각 삼각형이 만들어진다(빗변은 문제 속 정사각형의 대각선이다). 5. 피타고라스의 정리에 따라 정사각형의 대각선 길이는 루트50이다(7²+1²=y²) 6. 대각선 길이가 루트50이니, x²+x²=루트50의 제곱이다. 7. 루트50의 제곱은 50이니, 결국 x²=25이므로 x=5
만약 이걸 수능에서 봤다면.. 1. 샤프심 2개를 준비하자 2. 길이가 4인 변 위에 샤프심을 올려놓고 끊어 길이가 4인 샤프심을 얻는다. 3. 길이가 1인 변 위에 샤프심을 올려놓고 끊어 길이가 1인 샤프심을 얻는다. 4. 변에 4인거랑 1인거를 갖다댔더니 대충 맞으므로 5라고 간주한다(?)
대각선처럼 그어진 1,3,4 를 빗변으로 하는 직각삼각형을 생각합니다.(모두 닮음이라는 것에 착안합니다) 계산하기 쉽게 빗변 1일 삼각형의 각변을 a,b,1 로 놓습니다. 닮음으로 다른 삼각형들은 (3a, 3b, 3)(4a,4b,4)로 잡아버리고 큰 정사각형 가로와 세로가 똑같다고 하면 a,b 의 비율이 3,4가 나오고 빗변이 1이니 3:4:5 삼각형이라 쉽게 x 값을 구할 수 있습니다.
1. 길이 1인 선분에서 아래쪽으로 3만큼 연장선을 그은 다음 2. 왼쪽 아래 꼭지점에서 연장선 쪽으로 보조선을 긋고 3. 오른쪽 위 꼭지점에서 연장선 쪽으로 보조선을 그으면 4. 변의 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형이 2개 생기는데 5. 이 두 삼각형이 합동이므로 연장선 쪽에서 모이는 두 각의 합이 90도 6. 따라서 이 사각형은 한 변이 5인 정사각형입니다.
길이 1 있는걸로 한 변의 길이로하는 정사각형으로 만들면 그 정사각형의 중심?으로 뭔가 대칭들이 만들어지니 큰 정사각형의 중심 또한 그 중심과 같다 => 작은 정사각형의 중심과 3+1/2, 1/2을 너비 높이로 하는 직각삼각형의 빗변이 X의 루트 1/2배이다: 저는 이렇게 했습니다.
큰 정사각형을 좌표축으로 보고 길이가 4인 선분과 x축의 각을 세타로 설정해주면 중앙의 두 점을 (4cos, 4sin) (x-3cos,x-3sin) 으로 나타낼 수 있습니다. 또한 두 점을 잇는 선분을 빗변으로 보고 좌표축에 수직인 선분을 그어 직각삼각형을 만들어 보면 4cos-sin=x-3cos 4sin+cos=x-3sin x를 소거하면 tan=3/4가 나오더라구요 3:4:5인 직각삼각형이 나왔으니 나머지는 계산하면 x는 5가 나옵니다
(1) 4를 나타낸는 변을 1만큼 수직 방향(윗쪽으로)으로 이동하여 3을 나타내는 변과 일치합니다. (2) 이번에는 3을 나타내는 변을 수직방향으로(이래로) 이동하여 4를 나타내는 변과 일치 합니다. (3) 길이가 7인 평행한 두변이 나타나는 데, 그 두변으로 하는 직사각형을 작도하면(가로의 길이 7 세로의 길이 1), 그 대각선이 문제의 대각선과 일치합니다. .... 루트 50
@@cakemath 그리고 나중에 확인해봤는데 문제의 그림은 일부러 좀 삐뚤게 그린거 같은데 실제로는 정가운데 1x1 짜리 정사각형 바깥으로 345 피타고라스 삼각형 네개가 감싸는 형태로 되어있는 거더라구요. 삼각형 넓이가 각각 6(=3x4/2)이고 가운데 정사각형 넓이가 1, 합쳐서 넓이 25(=5x5). 수능문제도 이딴식으로 풀어서 선생님들한테 많이 혼났는데…
우리나라 교육과정에서 나오는 문제들을 피하려고 주로 구글을 많이 뒤져보고 외국 채널도 많이 보는 편이에요😊근데 외국 문제들이 대부분 우리나라 사람들에겐 쉬운 문제라 적당한 문제를 찾기가 어렵죠 ㅎㅎ 이번 문제는 좀 잘 고른 편인거 같아요. 보기보다 간편하게 풀리기도 하구요😊
선분의 길이가 1인 선과 선분의 길이가 4인 선이 만나는 점을 P라고 했을 때, 정사각형의 오른쪽 아래 있는 점을 A로 두고 선분AP를 그으면 직각삼각형이 두개 나온다. 선분AP를 a라고 했을 때, x^2=4^2+a=3^2+(1+a)^2가 나오며, 계산하면 a가 3이라는 결론이 나와 두 직각삼각형은 3:4:5라는 피타고라스의 비를 가짐을 알 수 있고, 이를 통해 x가 5라는 값을 구할 수 있다.
고등 수학에 절여진 풀이인데 4랑 밑변사이의 각을 변수로 두고 가로 세로의 길이를 같게 두면 7sinx +cosx = 7cos x - sinx 로 두니까 sinx = 3/5 cos x = 4/5나와서 3/5 * 7 + 4/5 =5로 나오네요. 예전에는 도형 문제 잘만 풀었는데 고등학교 이후부터는 대수적 접근이 생각이 필요없고 안정적으로 풀려서 편안한 것 같네요.
문제의 그림이 실제와 맞게 그리진 않았지만... 너무 맞게 그리면 쉽게 맞출 수 있어서 그렇게 그리셨다고 보고 좌상단 꼭지점에서도 길이가 4인 선분에 수선을 내리면, 그 새로 그린 선분의 길이도 4가 되고 그 새로 그린 선분에 길이가 3인 대각선을 연장하면 가운데에 한 변에 길이가 1인 정사각형이 만들어집니다. 이런 식으로 다른 곳도 그렇게 연장해서 그리면 바람개비 모양으로 3 : 4 : 5의 비율인 삼각형 4개가 90도씩 회전하는 형태와 그 가운데 한 변의 길이가 1인 정사각형 형태로 만들어집니다. 따라서 주어진 그림에서는 1이라고 적인 선분을 연장하였을때 우하단 꼭지점을 향하지 않게 그려진 부분은 오점이지 않을까 싶습니다.
그냥 대각선만 구하면 루트 2로 나눠서 한변의 길이를 구할수 있겠다 싶어서 생각해보니, 우리 왜 최단거리같은거 생각할떄 지그재그나 크게 한번 꺾는거랑 거리 차이 안나는게 문득 떠올라서 원점하고 ( 7,1) 거리랑 대각선 길이가 같은거같길래 구하니 바로 나오네요. 괜히 보조선 그어서 시도해보려다가 머리아파서 포기함 ㅋㅋㅋㅋㅋ
정사각형의 4짜리 길이인 변의 방향의 벡터와 1 길이 짜리 변의 방향의 벡터가 기저벡터인 좌표계를 생각하면 이 좌표계는 직교좌표계 정사각형 왼쪽 아래 점에서 오른쪽 위 점까지는 7e1 + 1e2 따라서 대각선의 길이는 루트 50 따라서 한변의길이는 5 이렇게 풀었네용 결과적으로 영상 풀이랑 같네용
제 풀이는 다음과 같습니다: 먼저 길이4인 빗변과 밑변이 이루는 각을 θ라 합시다. 길이 3인 빗변과 윗변이 이루는 각도 θ이네요. 따라서, x= 7 sinθ + cosθ = 7 cosθ - sinθ 이며 합성하면 sin(θ+α) = cos(θ+α); cosα=7/sqrt(50), sinα= 1/sqrt(50) 이군요. α는 아주 작은 예각이고, 범위 안에서 θ+α=π/4 네요. 또 cosθ=cos(π/4-α) = 7/10 +1/10 =4/5; sinθ =sin(π/4-α) =7/10-1/10=3/5 이네요. 따라서 x=5 입니다.
@@cakemath길이라 1인 선분을 y축, 길이가 4인 선분을 x축으로 잡으면,(즉, 원점을 길이가 1인 선분의 아래 끝점으로 설정하면) 정사각형의 왼쪽 아래 꼭지점의 좌표는 (-4,0), 오른쪽 위쪽의 꼭지점의 좌표는 (3,1)이므로 두 점 사이의 거리가 곧 대각선의 길이임을 이용하면 루트 50이라는 값을 얻을 수 있지요
저 1짜리 선분을 우상단으로 쭈욱 올리면 변이 7과 1인 직각삼각형이 만들어집니다
그럼 나머지 변의 길이가 루트50으로 나오는데 이게 정사각형의 대각선 길이가 됩니다
그러므로 x는 5
Let's name the points A, B, C, D, E, F serially from left top to right bottom. Focusing on triangle BCD tells us that the triangle is right triangle, so if we let the point that makes BCDC' rectangle C', BC'=1, C'D=3, CC'B=EC'B=90 degrees. That means EC'B is right triangle, so we can measure the length BE, that is, sqrt((3+4)²+1²)=5sqrt(2). Since ABFE is a square, the diagonal becomes xsqrt(2), therefore x=5.
영상 풀이도 이거랑 같은 내용이네요. 오늘도 잘 보고 갑니다;)
항상 좋은 풀이 남겨주셔서 감사해요 기진님😊
중간을 길이가 1인 정사각형으로 만들고 그 작은 정사각형의 꼭짓점에서 가장 바깥의 큰 정사각형의 각 꼭짓점을 이으면 큰 정사각형이 길이가 1인 정사각형과 길이비가 3:4:5 인 직각삼각형 4개로 만들어지기 때문에 x=5 가 되는 풀이도 있는 것 같네요..!
오 저는 생각하지 못했던 방법이네요😊이따가 이렇게 한번 해봐야겠어요!👍
오 저도 그 생각했서 댓글 달라고 했는데 있었네요 역시 댓글에 다양한 풀이가 많아요 ㄷㄷ
저도 이거랑 비슷하게 큰 정사각형을 180'C회전시켜 겹쳐서 가운데 한변이 1인 정사각형 만들어 푸는 생각했어요!!
맞아요 제가 비율과 각도를 정확하게 그릴 수가 없기 때문에 사실 완벽한 그림은 아닙니다😊
저는 도형에서 길이가 3인 선분과 4인 선분이 평행해서 두 선분을 연장해서 평행사변형을 작도하고 이 평행사변형에 조금도 포함되지 않는 선분이면서 x보다 작은 정사각형의 한 변 위에 있는 선분의 길이를 h라 하고 평행사변형의 한 변이면서 정사각형의 한 변 위에 있지 않은 변의 길이를 y+4로 해서
x^2-xh=y+4(넓이의 합 이용)
x^2+h^2=(y+4)^2(피타고라스)를 얻고
그림에서 길이가 1인 선분과 평행하는 직선을 작도하되, 작도한 평행사변형의 변 중에서 정사각형의 한 변에 포함되는 선분(단,길이가 3인 선분에 더 가까운 선분)의 끝 점 중, 정사각형의 꼭짓점이 아닌 점 A라고 이름을 붙이고 A를 지나는 직선을 그려서 길이가 3인 선분과 만나는 점을 B라고 한 뒤, 직사각형의 성질로 선분AB가 1임을 보여서
(3-y)^2+1=(x-h)^2(피타고라스)를 얻어서
총3개의 식을 연립하여
y=9/4 또는 y=(3+루트21)/2를 얻고
연립하여 얻어진 관계식 x^2=8y+7에 각각 대입하여 x=5 또는 x=(2루트3)+(루트7)을 구했어서 올리신 영상의 풀이보단 더 복잡하지만, 두 개의 값이 나왔는데 그럼 5가 아닌 다른 값은 불가능한지 의문이 남는데 생각해봐야겠네요. 😮
부연설명으로, 넓이의 합을 이용해 얻은 관계식은
삼각형의 합동조건 SAS합동을 이용해 보인 겁니다. 평행선의 엇각과 동위각의 크기가 같다는 것과 평행사변형의 마주보는 변의 길이와 각이 같다는 것을 이용했습니다.
오 이따가 이 방법으로 한번 풀어보고 확인해볼게요😊
이런 아이디어 문제 너무 좋습니다ㅠ
가장 간단하지만 가장 생각하기 어려운 선이었네요.
저도 이 문제 참 맘에 드네요😊
이런 간단한 문제가 연상하기가 정말 어려운듯... 자력으로 풀때 그 허무함과 황홀함이 공존하는 이상한 감정이 도형문제를 풀게 하죠..
맞아요. 이게 진짜 단순하게 생각해서 선 하나 그어주면 끝나는 문제인데 다른 유혹(?)이 깔려있어서 그 생각을 오히려 가로막았던 것 같아요😊이걸 생각해서 한방에 풀어낼 때의 짜릿함은 정말 최고죠😊
선 긋는건 생각했는데 두 삼각형의 닮음비를 쓰니 분수가 나오는 복잡한 풀이를 생각했네요😅
직사각형을 새로 만든다는 걸 생각하는것도 굉장히 창의적인 방법인갓 같아요!
저는 오히려 닮음을 생각 못하고 바로 크게 직각삼각형 만드는게 떠올랐어요. 최근에 원의 공통접선 구하는 문제를 수업했는데 그 때 쓰는 방식과 같거든요😊
같은 풀이인데 복잡하고 간단한게 어딨음
@@user-ny9xi1jq3u계산량이 다른데 왜 차이가 없다고 생각하는거임
@@user-ny9xi1jq3u 식이 같아도 계산 과정이 다르면 다른 풀이라고 말하죠. 저 상황도 마찬가지예요.
고등학교 이상의 방법으로 풀어내는것 보다 중학교 또는 초등학교 수준으로 풀어내는게 더 힘든거 같아요
개인적으로 공식을 많이 안쓰고 중학도형 과정만으로 푸는 것을 좋아합니다😊물론 그것만르로 안되는 문제도 있지만요😅
그게 진짜 어려운거죠
1. 우측 상단 꼭지점에서 길이 1짜리 선과 평행하는 길이 1짜리 보조선을 긋는다.
2. 길이 4짜리 선을 오른쪽으로 쭉 연장해주는 보조선을 긋는다.
3. 우측상단 꼭지점과 좌측하단 꼭지점을 잇는 보조선을 긋는다.
4. 밑변 길이 7, 높이 1인 직각 삼각형이 만들어진다(빗변은 문제 속 정사각형의 대각선이다).
5. 피타고라스의 정리에 따라 정사각형의 대각선 길이는 루트50이다(7²+1²=y²)
6. 대각선 길이가 루트50이니, x²+x²=루트50의 제곱이다.
7. 루트50의 제곱은 50이니, 결국 x²=25이므로 x=5
만약 이걸 수능에서 봤다면..
1. 샤프심 2개를 준비하자
2. 길이가 4인 변 위에 샤프심을 올려놓고 끊어 길이가 4인 샤프심을 얻는다.
3. 길이가 1인 변 위에 샤프심을 올려놓고 끊어 길이가 1인 샤프심을 얻는다.
4. 변에 4인거랑 1인거를 갖다댔더니 대충 맞으므로 5라고 간주한다(?)
아주 예전에 이렇게 30번 문제를 맞아온 학생이 있었어요😊
대각선처럼 그어진 1,3,4 를 빗변으로 하는 직각삼각형을 생각합니다.(모두 닮음이라는 것에 착안합니다) 계산하기 쉽게 빗변 1일 삼각형의 각변을 a,b,1 로 놓습니다. 닮음으로 다른 삼각형들은 (3a, 3b, 3)(4a,4b,4)로 잡아버리고 큰 정사각형 가로와 세로가 똑같다고 하면 a,b 의 비율이 3,4가 나오고 빗변이 1이니 3:4:5 삼각형이라 쉽게 x 값을 구할 수 있습니다.
1. 길이 1인 선분에서 아래쪽으로 3만큼 연장선을 그은 다음
2. 왼쪽 아래 꼭지점에서 연장선 쪽으로 보조선을 긋고
3. 오른쪽 위 꼭지점에서 연장선 쪽으로 보조선을 그으면
4. 변의 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형이 2개 생기는데
5. 이 두 삼각형이 합동이므로 연장선 쪽에서 모이는 두 각의 합이 90도
6. 따라서 이 사각형은 한 변이 5인 정사각형입니다.
오 이렇게 그려서 한번 풀어봐야겠어요!😊
와우
길이 1 있는걸로 한 변의 길이로하는 정사각형으로 만들면 그 정사각형의 중심?으로 뭔가 대칭들이 만들어지니 큰 정사각형의 중심 또한 그 중심과 같다 => 작은 정사각형의 중심과 3+1/2, 1/2을 너비 높이로 하는 직각삼각형의 빗변이 X의 루트 1/2배이다: 저는 이렇게 했습니다.
출근해서 10분정도 문제풀어보면서 재밌게 하루를 시작합니다. 참신한 문제들 많이 찾아주세요 ^^
감사합니다!! 좋은 문제 많이 찾아서 올릴게요😊
저는 정사각형의 대칭과 두 선분의 평행을 이용해서 대각선을 구했는데 영상 속 풀이가 더 깔끔하네요!!
대칭을 이용한 것은 어떤건지 궁금하네요😊
삼각비를 이용해서 풀수도 있습니다..
정삼각형의 밑면을 x축, 옆면을 y축이라 생각하고 중앙의 두 점을 cos, sin으로 나타내서 풀면
삼각비를 구할 수 있고 5:4:3의 비가 나오네요
큰 정사각형을 좌표축으로 보고
길이가 4인 선분과 x축의 각을 세타로 설정해주면
중앙의 두 점을 (4cos, 4sin) (x-3cos,x-3sin) 으로 나타낼 수 있습니다.
또한 두 점을 잇는 선분을 빗변으로 보고 좌표축에 수직인 선분을 그어 직각삼각형을 만들어 보면
4cos-sin=x-3cos
4sin+cos=x-3sin
x를 소거하면 tan=3/4가 나오더라구요
3:4:5인 직각삼각형이 나왔으니 나머지는 계산하면 x는 5가 나옵니다
오 좋은 풀이 감사합니다😊👍저는 생각지 못했던 방법이에요 ㅎㅎ오히려 제가 이렇게 배워갑니다!
(1) 4를 나타낸는 변을 1만큼 수직 방향(윗쪽으로)으로 이동하여 3을 나타내는 변과 일치합니다. (2) 이번에는 3을 나타내는 변을 수직방향으로(이래로) 이동하여 4를 나타내는 변과 일치 합니다. (3) 길이가 7인 평행한 두변이 나타나는 데, 그 두변으로 하는 직사각형을 작도하면(가로의 길이 7 세로의 길이 1), 그 대각선이 문제의 대각선과 일치합니다. .... 루트 50
중간에 길이 1짜리를 북서쪽으로 3만큼 연장해서 거기에 점을 찍고 변이 각각 3, 4인 직각이등변 삼각형 2개 만들면 정사각형의 대각선이 빗변인 각 변 길이 3루트2 4루트2 5루트2인 직각삼각형이 하나 더 보여서 그렇게 풀어도 될거같네요
오 변을 연장한다는 생각도 좋은 생각입니다😊👍
와우👍👍👍
정사각형에 대각선 값은?
2×2 정사각형에 대각선 값은?
가로 세로 2인 삼각형에 대변은?
3×3 정사각형에
가로 세로 3인삼각형에 대변은?
1.황색이다
2.검은색이다
3.설사다
4.쾌변이다
5.(2×2)+(2×2)=루트8×루트8=대변이다
6.(3×3)+(3×3)=루트18×루트17=대변이다
정답은?
1:1:sqrt2 를 이용하면 전부 바로 나오죠😊
측량을 하다보니 각거리가 익숙해서 각 하나를 세타로 설정하고, 높이의 합=x / 폭의 합=x 연립방정식으로 풀었는데 훨씬 간단한 방법이 있었네요. 재밌는 문제였습니다~
재미있게 봐주셔서 감사합니다😊 수학 문제엔 다양한 풀이가 있으니 모두 좋은 풀이라고 생각해요😊
정말 쉽게 이해할 수 있었어요!
문제 풀이 보면서도 감탄만 나왔네요!
감사합니다!
시청해주셔서 감사합니다😊
저는 직교좌표계가 연상됨과 동시에 당연히 유클리디안 거리가 생각나서 이 문제는 쉬웠네요
오 역시 아는 것이 힘입니다😊👍
저는 대각선길이 구할때 닮음을 썼는데 직사각형을 만들 수 도 있었네요 ㅋㅋ
오 저는 오히려 닮음은 생각을 못했어요. 최근에 원의 공통 접선의 길이 구하는 수업을 했어서 그 때 써먹었던 방법이 먼저 떠올랐네요😊
가운데에 한변의 길이가 1인 정사각형을 그리면 합동인 직각삼각형 4개에 정사각형 1개. 3:4:5로 해결!
오! 그렇게 다 이어본다면 피타고라스의 정리를 증명할 수 있는 도형도 나오겠네요😊👍
좌표평면처럼 생각해도 되지요. (0,0)과 (7,1)이면 두 점 사이의 거리가 루트 50이니까요
대치동에서 KMO랑 영재고 수학만 3년 동안 공부하다 보니까 저걸 보면 차라리 저런게 입시 문제에 나왔으면 좋겠다는 생각이 드네요... ㅋㅋ
저게 올림피아드 문제라고 하니까 참 우리나라 학생들의 사교육이 다른 나라에 비해 엄청 심화되었다는게 느껴지네요.... ㅠㅠ
사교육이 다른 나라에 비해 심화되었다기보다 우리나라 수학 시험 출제 난이도가 높다보니 사교육에서도 어려운걸 많이 가르치고 있죠😅
직관적으로 느껴서 5일거 같은데 하고 그게 답이 되는지 대입해보면 쉽긴 한데… 정식으로 찾으려면 좀 복잡하긴 하네요.
5가 그냥 나온건 3,4,5 피타고라스의 수죠. 직각삼각형을 써야 할거 같은데 3,4가 나왔으면 5가 자동으로…
직관이 중요하다는 것을 요즘 새삼 느끼고 있습니다😊
@@cakemath
그리고 나중에 확인해봤는데 문제의 그림은 일부러 좀 삐뚤게 그린거 같은데 실제로는 정가운데 1x1 짜리 정사각형 바깥으로 345 피타고라스 삼각형 네개가 감싸는 형태로 되어있는 거더라구요. 삼각형 넓이가 각각 6(=3x4/2)이고 가운데 정사각형 넓이가 1, 합쳐서 넓이 25(=5x5).
수능문제도 이딴식으로 풀어서 선생님들한테 많이 혼났는데…
x²+x²= 대각선²
즉 대각선만 구하면되는데 대각선을 그은걸 y넣으면 결국 y²= 4²+1²+3²
즉 2x²= 26 x=루트13
오 틀렸네 ㅋㅋ
@@2나경아빠ㅂㅅ
썸네일에서 보고 풀려고 했을땐 도저히 답이 안보였었는데 방법을 알고나니 되게 쉽게 느껴지네요ㅎㅎ 혹시 이런 문제들은 어디서 찾아내시는건지 알수있을까요? 갑자기 궁금해져서요!
우리나라 교육과정에서 나오는 문제들을 피하려고 주로 구글을 많이 뒤져보고 외국 채널도 많이 보는 편이에요😊근데 외국 문제들이 대부분 우리나라 사람들에겐 쉬운 문제라 적당한 문제를 찾기가 어렵죠 ㅎㅎ 이번 문제는 좀 잘 고른 편인거 같아요. 보기보다 간편하게 풀리기도 하구요😊
닮음으로 풀어도 될거 같아요! 똑같은 보조선을 그으면 엇각이고, 닮은 3:4의 비가 나오는 닮은 삼각형이 나오니까
x랑 길이가 같은 수직 보조선 2개 그은 다음에 문자 2개 설정하고 그것들로 x를 2가지 방식으로 표현하고 보니 그 두개를 등호로 이으면 문자 하나가 사라져서 문자 두개 값 구하고 x까지 구했는데… 복잡하게 생각하는 게 늘 좋은 건 아닌가 봅니다.
그렇다고 단순한 풀이가 또 꼭 좋은 것은 아니죠 ㅎㅎ여러가지 방법으로 생각해보는 게 중요한 것 같습니다😊
선분의 길이가 1인 선과 선분의 길이가 4인 선이 만나는 점을 P라고 했을 때, 정사각형의 오른쪽 아래 있는 점을 A로 두고 선분AP를 그으면 직각삼각형이 두개 나온다. 선분AP를 a라고 했을 때, x^2=4^2+a=3^2+(1+a)^2가 나오며, 계산하면 a가 3이라는 결론이 나와 두 직각삼각형은 3:4:5라는 피타고라스의 비를 가짐을 알 수 있고, 이를 통해 x가 5라는 값을 구할 수 있다.
저는 4를 그대로 1만큼 올렸습니다 그러면 밑변은 (3+4)인 7, 높이는 1인 직각삼각형이 만들어져요
그래서 피타고라스 쓰면 빗변은 49+1인 sqrt(50) 따라서 x는 5가되요!
원리는 같았는데 접근방법만 조금 다르네요
오 4를 올린다는 생각은 못해봤는데 좋은 아이디어인거 같아요😊
다행히 나한텐 쉬웠네. 앞으로도 재밌는 문제 많이 올려줘 ㅋㅋ
네 ㅎㅎ시청해주셔서 감사해요😊
오랜만에 수학문제 풀어보니 좋네요
오랜만에 풀어보셨다니 기쁘네요😊감사합니다!
고등 수학에 절여진 풀이인데 4랑 밑변사이의 각을 변수로 두고 가로 세로의 길이를 같게 두면
7sinx +cosx = 7cos x - sinx 로 두니까 sinx = 3/5 cos x = 4/5나와서 3/5 * 7 + 4/5 =5로 나오네요.
예전에는 도형 문제 잘만 풀었는데 고등학교 이후부터는 대수적 접근이 생각이 필요없고 안정적으로 풀려서 편안한 것 같네요.
오 삼각함수를 이용하셨군요😊👍
코사인법칙을 써서 풀었는데 도형을 아래로 끌어내려서(?) 푸는 방법은 생각 못했네요. 도형문제는 항상 복잡하게 가는것보다는 직관적으로 가는 방법이 낫네요!
버릇처럼 그냥 코사인 법칙으로 밀었는데 영상에서 생각보다 너무 간단하게 간단하게 풀어서 놀랐네요
고등학생들이 오히려 쉬운 문제를 어렵게 접근하기도 하죠😊도형 문제의 경우 삼각함수를 이용하는 게 많이 나오지만 중학도형을 생각하는 것도 중요한 것 같아요!
처음 보조선에서 생각이 멈춰서 영상을 시청했는데 직각삼각형을 만드니 훨씬 쉽게 문제가 풀리네요. 신기합니다!
문제의 그림이 실제와 맞게 그리진 않았지만... 너무 맞게 그리면 쉽게 맞출 수 있어서 그렇게 그리셨다고 보고
좌상단 꼭지점에서도 길이가 4인 선분에 수선을 내리면, 그 새로 그린 선분의 길이도 4가 되고 그 새로 그린 선분에 길이가 3인 대각선을 연장하면 가운데에 한 변에 길이가 1인 정사각형이 만들어집니다. 이런 식으로 다른 곳도 그렇게 연장해서 그리면 바람개비 모양으로 3 : 4 : 5의 비율인 삼각형 4개가 90도씩 회전하는 형태와 그 가운데 한 변의 길이가 1인 정사각형 형태로 만들어집니다. 따라서 주어진 그림에서는 1이라고 적인 선분을 연장하였을때 우하단 꼭지점을 향하지 않게 그려진 부분은 오점이지 않을까 싶습니다.
와 댜각선 긋자마자 딱 떠오르면서 감동이 몰려오네요
헉 감동까지😊👍
3하고 4이면 5인가? 가 자동으로 튀어나오긴 했는데 ㅋㅋㅋㅋㅋ 풀이랑 상관 없이 자동으로 연상된거라 푼건 아님...
역시 등차수열과 345 피타고라스의 수는 국룰인가요😊
큰 사각형이 왜 정사각형이에요? 모든 내각이 90도라는걸 그림에서 알 수 있나요?
썸네일에 정사각형이라고 써있습니다😊영상에서는 그 부분이 삭제되었나봐요 ㅠ
이 사각형이 왜 정사각형이라는 조건이 먼저 증명 되어야 할거 같은데요?단순히 두변의 길이가 같고 마주보는 각이 서로 직각이라는 조건 만으로는 부족한거 같아요
애초에 문제에 정사각형으로 정의가 되어있습니다😊 (썸네일에 적혀있어요)
그냥 1인 선분 연장해서 우측 아래 꼭짓점이랑 연결하고 대충 3이라 놓은 다음 성립하는지 확인하면 5초컷 가능
(물론 전 멍청하게 닮음비로 대각선 구해서 답을 구한 다음에 이걸 깨달았죠)
선을 연장해서 밑변 7, 높이 1의 삼각형을 피타고라스 정리로 루트50 만들고 5루트2는 특수삼각형 45도로 1:루트2=x:5루트2 해서 x=5해서 풀었네요
문제풀이 영상은 어떻게 촬영 하신걸까요??
큰 정사각형 안에 한 변의 길이가 1인 작은 정사각형을 그려 큰 정사각형과 작은 정사각형의 중심이 일치한다는 식으로 풀어도 되나요,
오 뭔가 창의적인 발상 같아요! 저도 그 방법 생각해볼게요😊
341저선을 대각으로 회전하면서 보면 넑이가6인 직각삼각현4개 넑이가 1인 정사각형 1개가 만들어집니다 다더하면 25 루트하면 5
2024학년도 수능 대비 7월 더프리미엄 모의고사 기하 28번에 이 아이디어 쓰는 문제가 출제됐네요 ㅋㅋ
오 이건 모의고사인가보네요! 이번 모의고사에 나왔다니 신기하네요😊
오!! 케키수학은 역시 재미가 있습니다 ㅎㅎ 감사합니다.
요즘은 음함수적분(삼각치환적분) 공부를 하는중인데...많이 어렵네요...T1T
삼각치환적분은 고등학교 과정까지라면 써먹을 수 있는 경우가 한정적이지만 이걸 넘어서면 공부해야 할 게 많아지죠^^;
대각선 그려서 피타고라스로 대각선 구하고 하면 5! 하면서 들어왔는데 딱 그 풀이가 있네요 ㅋㅋ 뿌듯하다
하이파이브 한번 하시죠😊🙌ㅎㅎㅎ
5!=120 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
아 당했다.. 이 문제를 만든 넘의 의도를 전혀 간파하지 못했다
궁금한게 있는데 저게 항상 정사각형인가요?
네 전제조건 자체가 정사각형입니다😊
재밌어요🙂
영상 아직 안봄. 썸넬만 보면서 생각해봤는데, 그냥 대각선 쫙긋고 어차피 맞꼭지각이니까 대각석을 그어서 생긴 두 직각삼각형의 닮음이 쓰면 대각선길이가 나오고 그걸로 이제 x구하면 되는거아닌가?
좀 더 간단한 방법이 있죠😊
길이가 1인선을 접어보니까 바로 보이네요❤😊
오 좀 더 구체적으로 설명해주실 수 있으세요?😊
접으면 길이가 4인 변이랑 3인 변이 이어져서 7이 되는데 그러니까 삼각형이 보였어요. 삼각형에서 높이가 일정하면 넓이가 같다는게 떠올라서 점을 옮겼더니 직각삼각형이 보이더라고요
오 그렇게 접는다는 뜻이었군요! 접는다는 생각을 하는 것 자체가 굉장히 창의적인 것 같아요😊
대각선의 길이만 알면 X는 자동으로 구해진다 생각해보면 보조선 하나 그으면 되겠네용
맞습니다😊구하려는 것을 위해 필요한 것을 파악하는 게 젤 중요하죠👍
사인 법칙이랑 코사인 법칙으로도 풀 수 있네요.
오 그 방법은 생각 못해봤었네요😊
썸네일만 보고서 선분 긋고 평행이란거 확인해서 대각선 길이로 푸는 저 풀이과정으로 풀었네요
굿입니다! 평행선을 관통하는 선!😊
아 선생님 이번꺼는 너무 순합니다 ㅋㅋ
살짝 매운맛 부탁드립니다
네 담에 살짝 매운맛으로 준비할게요😊
재밌어요~
재밌게 봐주셔서 너무 감사합니다😊
1을 이동해서 직사각형을 만들면 세로의 x길이가 짧아져서 대각선의 길이가 7보다 더 작은 수가 나오지 않나?
삼각형 두개의 관점에서 보면 밑변이 4인 빗변+밑변이 3인 빗변이잖아요 7보다크죠
문제 좋네요
감사합니다 석훈님😊
그냥 대각선만 구하면 루트 2로 나눠서 한변의 길이를 구할수 있겠다 싶어서 생각해보니, 우리 왜 최단거리같은거 생각할떄 지그재그나 크게 한번 꺾는거랑 거리 차이 안나는게 문득 떠올라서 원점하고 ( 7,1) 거리랑 대각선 길이가 같은거같길래 구하니 바로 나오네요. 괜히 보조선 그어서 시도해보려다가 머리아파서 포기함 ㅋㅋㅋㅋㅋ
수능에 찌들어버린 나는
보자마자 좌표평면에 놓을 생각밖에 안떠올랐다..!
풀리긴 한다만 뭔가 뇌가 정형화된 느낌이네..
저는 오히려 좌표평면에 올릴 생각을 못했네요😅
삼각비이용한 연립도 있습니다.
저는 썸넬보고 삼각비로 암산해
답구하고 영상봤는데 케잌님 아이디어가 더 명료하네요😂
삼각비로도 한번 생각해봐야겠어요😊
아름다워
그냥 4×1삼각형을 180°회전시켜서
7×1삼각형 하나로 만들면 바로 풀리는데
피타고라스형 전화안받네
고등학생이라면 코사인 법칙 써서 풀 수 있을 것 같아요.저는 코사인 법칙으로 풀었어요.
오 좋은 방법입니다! 요즘 코사인법칙 사인법칙 사용하는 문제가 항상 나오고 있죠😊
도형 문제 재밌어요
이번 문제는 개인적으로도 특히 재미있는거 같아요😊
좌표평면에 이동시켜서 풀었는데 훨씬 쉬운방법이 있었다니..
너무 쉽게 풀 수 있는 문제인데 댓글에서 코사인법칙같은게 나오는거보고 놀랐음
문제를 봤을 때 첫인상이라는 게 있는거 같아요. 그래서 각자 첫인상에서 떠오르는 것을 토대로 풀어나가는 게 아닐까 싶어요😊
분수 계산도 해보면 충분히 빠르긴 하네요
와 똑같이 풀었어
굿입니다😊👍
평행한 두 선이 보이면 관통하는 직선을 그을것.
문제를 정사각형으로 나레이션으로 줬네요..
정사각형이 아니라고 보면 무한이 많을텐데?라고 생각했네요
썸네일에 써있어서 문제엔 공간 때문에 안썼는데 담부턴 영상에서도 표시를 해두어야겠어요😊
보조선 잘그어두고 닮음 이용해서 분수로 계산해두고있었네..ㅜㅜ
직각삼각형 하나 만들고 코사인 법칙 쓸 생각했는데, 훨씬 쉬운게 있었네요 ㅋㅋ 허무하다
생각보다 정답률이 엄청 낮네요!!!
그렇죠? ㅎㅎ저도 같은 생각이었습니다! 저랑 동문이시네요😊
@@cakemath 헉!!!!한양인이셨다니?!?!너무 반갑습니다!!!!^^
반갑습니다😊
한국 수능이었다면 작도프로그램으로 문제만들어서 그림이 정확하기 때문에
3:4:5로 샤프심비법 사용했을듯
틀에 박힌 사고라서 그런가 ㅋㅋ
4cos+3cos-sin = 4sin+3sin+cos = x
3cos = 4sin -> cos = 4/5, sin = 3/5 -> x = 5
이렇게 풀었네요 ㅋㅋㅋ
정사각형의 4짜리 길이인 변의 방향의 벡터와
1 길이 짜리 변의 방향의 벡터가 기저벡터인 좌표계를 생각하면 이 좌표계는 직교좌표계
정사각형 왼쪽 아래 점에서
오른쪽 위 점까지는
7e1 + 1e2
따라서 대각선의 길이는 루트 50
따라서 한변의길이는 5
이렇게 풀었네용
결과적으로 영상 풀이랑 같네용
네 ㅎㅎ좌표로 접근했느냐의 차이만 있네요😊
7년 전에 봤던 바스카라 증명법을 떠올리고 맞춰버렸네요...
오 역시 아는 것이 힘입니다😊
올림피아드가 창의적인 생각을 하게 하는 문제를 푸는 거군요
20초만에 풀었다 처음 안보이면 영원히 안보이고 첨에 보이면 걍 풀리는듯
직관이 제일 중요한 문제들이 그런편이죠😊
맞았다.!
훌륭하십니다! ㅎㅎㅎ😊
제 풀이는 다음과 같습니다: 먼저 길이4인 빗변과 밑변이 이루는 각을 θ라 합시다. 길이 3인 빗변과 윗변이 이루는 각도 θ이네요.
따라서,
x= 7 sinθ + cosθ = 7 cosθ - sinθ
이며 합성하면 sin(θ+α) = cos(θ+α); cosα=7/sqrt(50), sinα= 1/sqrt(50) 이군요.
α는 아주 작은 예각이고, 범위 안에서 θ+α=π/4 네요. 또 cosθ=cos(π/4-α) = 7/10 +1/10 =4/5; sinθ =sin(π/4-α) =7/10-1/10=3/5 이네요. 따라서 x=5 입니다.
오 삼각함수를 이용해서 푸셨군요😊
이게 암산으로 된다고? 하고 들어와봤더니 x=5 맞네
발상만 잘 해내면 암산으로 1분컷되는 문제지만 발상 못해냈으면 30분은 족히 매달렸을듯
풀이 진짜 달달하네
정병훈의 좌표풀이
유명한 풀이방법인가요?😮
@@cakemath 네
결국은 대각선 길이로만 따지면 3+4=7이고 정사각형 문제니까 결국은 7나누기 루트2아닌가요? 그거를 쉽게하면 7루트2 나누기 2 아닌가?
그냥 좌표평면 도입하면 1분 컷
진짜 그렇게 풀었네
좌표를 어떻게 잡았는지 설명해주실 수 있으세요?😊저는 몇으로 놓아야할지 직관적으로 보이진 않아서요😅
@@cakemath길이라 1인 선분을 y축, 길이가 4인 선분을 x축으로 잡으면,(즉, 원점을 길이가 1인 선분의 아래 끝점으로 설정하면) 정사각형의 왼쪽 아래 꼭지점의 좌표는 (-4,0), 오른쪽 위쪽의 꼭지점의 좌표는 (3,1)이므로 두 점 사이의 거리가 곧 대각선의 길이임을 이용하면 루트 50이라는 값을 얻을 수 있지요
오 x축과 y축을 정사각형 안에 있는 선분으로 잡는 것은 정말 참신한 발상이네요😊👍👍
난 넓이로 구했는데 왜 3루트2가 나오지?
졸업한지 10년인데 풀 수 있는거보니 이게 올림피아드 문제가 맞나 싶네요
x가 3보다도 길고 4보다도 기니까 5아닐까?
맞았다!
천재적이십니다😊👍
이번건 좀 쎘네요 ㄷㄷ
글죠? ㅎㅎ저도 문제 보는 순간 이건 꼭 해야겠다는 생각이 들더라구요😊
처음에 말했던 선으로 접근했다가 못풀었네요 ;)
그 선이 우리를 강하게 유혹하죠😊
엄청 쉽네요? 초등학생 올림피아드인가
네 외국 올림피아드 문제라고 하는데 학년은 나오질 않네요. 아마 초등문제일듯해요😊