Brüche vergleichen für Fortgeschrittene
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- Опубликовано: 30 июл 2024
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0:00 Einleitung
0:45 "Grobe Vorstellung"
2:31 "Gleicher Nenner"
4:47 Werbung: Fabulous
5:57 "Gleicher Zähler"
7:05 "Über Kreuz multiplizieren"
9:24 "Horizontales Kürzen"
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7:20 „Links oben mal rechts unten plus links unten mal rechts oben. Und mit dem Nenner unten mal unten hast du auch schon das richtige Ergebnis gefunden.“
Das mit dem über Kreuz multiplizieren schreit für mich nach Determinante einer 2x2 Matrix. Quasi die 2 Brüche als Spalten einer Matrix auffassen, ist die Determinante kleiner als Null so ist der erste Bruch kleiner und ist sie größer als Null so ist der erste Bruch größer. :D
Oha das ist mega cool!
Ich hab mir überlegt, wie man das noch geometrisch verstehen kann (basierend auf 3Blue1Brown Essence of Linear Algebra Kapitel über Determinanten). Die Spalten der 2x2 Matrix geben an, wo die Basisvektoren (1,0) und (0,1) nach der linearen Abbildung landen. Ist die Determinante positiv, so wird die Orientierung beibehalten, das heisst der erste Spaltenvektor ist RECHTS von dem zweiten Spaltenvektor. Ist die Determinante negativ, so ist es umgekehrt.
Heissen die Einträge der Matrix
(a, b,
c, d)
so landet (1, 0) auf dem Spaltenvektor (a, c) und (0, 1) auf (b, d). (Wir wollen die Brüche a/c und b/d vergleichen)
Wenn alle Werte a,b,c,d positiv sind, so sind die "neuen Basisvektoren" alle im ersten Quadranten. Wenn man im Gegenuhrzeigersinn von der x-Achse zur y-Achse wandert dann trifft man die Vektoren (a, c) und (b, d)
Im Fall 1, wo man hier zuerst (a,c) trifft und dann (b.d) so ist die Determinante positiv ( denn (a, c) ist rechts von (b, d) ) und wenn man sich Geraden durch diese Vektoren vorstellt und da die Steigung berechnet, so hat die Gerade durch (a, c) die *kleinere Steigung* (!) als die durch (b, d) also als Ungleichung formuliert c/a < d/b.
Dies ist fast die ursprüngliche Ungleichung mit den Brüchen, aber es sind die Kehrwerte. Wenn man nun auf beiden Seiten den Kehrwert nimmt, so dreht sich die Richtung der Ungleichung (man kann auch auf beiden Seiten mal a, mal b, durch c, durch d rechnen um aufs gleiche zu kommen) und wir erhalten a/c > b/d Also der erste Bruch ist grösser als der zweite.
Der zweite Fall, wo die Determinante negativ ist, ist analog (die Ungleichung hat halt die andere Richtung weil (b, d) vor (a, c) kommt).
Oder man realisiert einfach, dass überkreuz multiplizieren der „Bruch zweier Brüche“ ist, also die Multiplikation des Kehrwertes, der die Relation der beiden Brüche angibt. Also größer oder kleiner als…😄
@@wollek4941 viel zu einfach xD
Das horizontale Kürzen finde ich eine coole Idee, befürchte jedoch, dass das beinahe unmöglich ist einem "schwächerem" Schüler beizubringen, ohne diesen komplett zu verwirren.
Glaub mir, es gibt leider auch Schüler, die aus der Schule kommen und nichts davon verstehen, weil sie darauf hängen bleiben sich zu Fragen, was ein Bruch ist und was das soll. Traurig aber wahr, hab mehrmals versucht solchen Kindern Nachhilfe zu geben und außer deren Lehrer in Frage zu stellen hab ich da nicht viel erreichen können ... :/
Man darf es dann nicht „Kürzen“ nennen. Man muss sagen, dass man die Zahlen einfach mit anderen dividiert oder multipliziert. Und dann kann man damit kommen, dass die Relation immernoch gleich ist. Denn mit Kürzen verbinden Schüler einen Vorgang, bei dem der Zahlenwert gleich bleibt.
@Raufasertapete Hm naja Dyskalkulie ist ja wirjlich keine Zahlen verknüpfen können. Es fehlt bei denen eher das Gurundverständnins von Rechen operationen und kopfrechnen ist auch irgendwie nur sehr langsam gegangen. Alles was über plus und minus von zahlen über 20 war, ging nur sehr schwer.
@@rolfkreuzer4466
Das wäre schön, wenn die Schüler mit dem Kürzen diesen Vorgang verbinden würden. In der Realität ist es aber in der Vorstellung von (insbesondere schwächeren) Schülern eher so, dass es sich nach dem kürzen von 2/6 zu 1/3 um eine andere Zahl handelt, immerhin sind ja sowohl Nenner als auch Zähler jetzt andere Zahlen als vorher. Selbst bei Abiturienten hält sich diese Vorstellung oft hartnäckig. Am eindringlichsten merkt man es, wenn die Schüler "teilen" und "multiplizieren" von Brüchen synonym zu "kürzen" bzw. "erweitern" benutzen. Wenn in der Nachhilfe 1/2 + 2/3 gerechnet werden sollte, dann hieß es oft von den Schülern (nachdem ich daran erinnert habe, dass wir beide Brüche auf einen Nenner bringen müssen): Dann rechnen wir den ersten Bruch mal 3 und den zweiten mal 2.
Genausowenig ist den meisten Schülern klar, warum man beim addieren gleichnamiger Brüche nur die Zähler addiert, beim multiplizieren aber sowohl Zähler als auch Nenner multipliziert oder warum man nur bei der Addition/Subtraktion von Brüchen diese vorher gleichnamig machen muss, bei der Multiplikation jedoch nicht, geschweige denn warum die Division dasselbe wie eine Multiplikation mit dem Kehrwert ist. Das Verständnis der rationalen Zahlen ist von jeder Menge Fehlvorstellungen geprägt, die aufgearbeitet werden müssen. Tatsächlich ist das Verständis der Dezimalzahlen deutlich intuitiver für die meisten Schüler, was man auch daran erkennt, dass im Zweifelsfall lieber eine (gerundete) Dezimalrepräsentation aufgeschrieben wird (sehe ich sogar bei Studenten) als ein exaktes (Zwischen-)Ergebnis wie 27/43 oder sqrt(2)/2 stehen zu lassen.
@Raufasertapete nein, keine Chance. Einfach nur ewig beschixxener Matheunterricht. Ich unterrichte seit Jahren Schüler in Mittelstufe und kurz vorm Abi. Bruchrechnen ist für die allermeisten ein Buch mit sieben Siegeln. Die wissen nicht, dass es eine Teilaufgabe ist oder was ein Teiler ist, wie man erweitert, kürzt oder sonstwie rechnet. Mit Intuition bringst du die vollkommen raus. Die haben nur gelernt, etwas in den TR einzugeben und das Ergebnis abzuschreiben.
Wenn die Differenz aus Zähler und Nenner gleich ist, dann ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer. Bsp. 7/10 < 13/16
Ein Korollar des Überkreuzmultiplizierens, denn das Produkt (n-k)(n+k), mit natürlichen Zahlen n und k, ist genau dann größtmöglich, wenn k=0.
Nachtrag: k muss keine natürliche, sondern kann eine beliebige reelle Zahl sein.
@@xCorvus7x genau und wenn wir k=1 wählen können wir immer sagen, dass das Ergebnis immer n^2 -1 ergibt. Das hatte ich in der dritten Klasse immer als eigenen Trick beim multiplizieren benutzt und meine Lehrerin wollte mir damals weiß machen, dass der Weg nicht funktionieren würde. Hab’s damals als Kind etwas persönlich genommen 😅
Bei 12tel ist auch die Uhr ein klasse Vorstellung.
Sehr schön aufbereitet und erklärt. Gefällt mir!
Dein letztes Beispiel war ja schon im Thumbnail zu sehen und ich hätte zwar nicht mit 10 multipliziert, sondern intuitiv beide Brüche mit 1/10 verglichen.
Da 10/99 > 1/10 und 15/151 < 1/10 ist gilt eben 10/99 > 15/151.
Kommt natürlich auf das Gleiche hinaus, aber dein Bezugspunkt "1" wirkt irgendwie mathematischer ^^
Das wollte ich auch schreiben x3
So klar erklärt ! Danke!!
Mit Dir macht Mathe mehr als 2.0 mal so viel Spaß :3 Danke für Deine tollen Videos!
Jaaaaaaa, endlich mal was schlaues Neues.
Danke 🎉🎉🎉🎉🎉🎉🎉
DANKE DOR
!
Wenn ich z.B. 2/3 und 3/4 vergleiche, dann schaue ich was fehlt: bei 2/3 fehlt 1/3 aufs ganze. Bei 3/4 fehlt 1/4 aufs Ganze. Da mit 1/4 weniger fehlt, ist 3/4 größer.
Nettes Video :D Hab mich lange nicht mit Brüchen auseinandergesetzt. Bisschen mein Wissen aufgefrischt.
Super Video!
Leider wird das Thema Bruchrechnen an den allermeisten deutschen Schulen nicht mehr vernünftig unterrichtet, obwohl das Thema m. E. spannend ist, Spaß macht und zu den wichtigsten Grundlagen für die Sek II gehört. Du solltest mal als Berater bei der KMK anfangen und den Laden auf Vordermann bringen!
wir hatten das damals extrem ausführlich im unterricht gelernt. trotzdem komisch warum die meisten das nicht gerallt haben.
Das ist nicht nur spannend, sondern für den Rest des Lebens überlebenswichtig.
@@wollek4941 ja, nicht dass man sich etwas bricht.
Nur weil man die KMK berät, heißt das nicht, dass das auch umgesetzt wird. Politik ist ein zähes Geschäft.
Ich benutze noch gerne die Methode über reziproke Zahlen. Beim letzten Beispiel lief das sehr gut: 10/99 ? 15/151 würde bei mir zu 99/10 ¿ 151/15. Beim Bilden des reziproken Wertes muss man bedenken, dass sich das VergleichsZeichen umkehrt. Hier kann man dann wieder intuitiv beurteilen 99/10 < 151/15, dann noch VergleichsZeichen umkehren und man bekommt 10/99 > 15/151
Cooles tshirt 👌🏼
Bei dem letzten Vergleich habe ich den linken bruch mit 1,5 erweitert und konnte so grob erkennen was größer ist
Wenn die Brüche nicht zu nahe beieinander liegen, hilft oft die Frage, ob sie größer oder kleiner als 0,5 sind (andere leicht zu übersehene Zahlen wie 0,1 gehen natürlich auch). Das lässt sich auch noch erweitern zur Fragestellung, wie die Verhältnisse von Zähler und Nenner jeweils zueinander sind.
15/149 vs 10/99 zu vergleichen wär noch bisschen schwieriger gewesen als 15/151
2 Wochen nachdem ich die Schule abgeschlossen habe, finde ich Mathe interessant.
Kannste dir nicht ausdenken.
ging mir 4 Monate danach genauso haha
ich verarsch mich gefühlt selbst
Sehr gutes Video. Waren einige Tipps dabei, die mir noch nicht so klar waren. 👍
Was ich noch als Trick kenne ist folgendes: Man vergleicht den Rest der bis zum Ganzen fehlt anstelle der Originalbrüche. Also z.B. ist 4/5 größer als 5/6? Vergleicht man 1/5 mit 1/6 sieht man direkt, dass 1/5 größer ist. Daraus folgt dann aber logisch, dass 5/6 der größer der ursprünglichen Brüche gewesen sein muss, da ja weniger bis zum Ganzen fehlt.
Klappt zwar (offensichtlich) nur bei echten Brüchen und hilft nur bedingt, wenn die Reste schöner zum Vergleichen sind, aber es ist zumindest ein Trick, denn man denke ich gut nachvollziehen kann.
zählt wohl auch zum groben vorstellen aber bestimmt als gegenperspektive zu "wieviel ist da" mit "wieviel fehlt" garnicht schlecht
👍
Man könnte sich sicher noch einige Tricks einfallen lassen, bei denen man Zähler plus Zähler und Nenner plus Nenner rechnet (bei nur positiven Zählern/Nennern). Denn a/b < c/d gilt genau dann, wenn a/b < (a+c)/(b+d).
Man könnte die Brüche auch als Vektoren darstellen: Der Vektor v = (b,a) hat eine Steigung von a/b. Mit u = (d,c) genau so. Wenn man beide am Koordinatenursprung einzeichnet, kann man schauen, welcher der beiden steiler ist.
Oder man zeichnet v ein, und von dort aus u, und dann bekommt man insgesamt den Vektor v + u. Falls v + u oberhalb vom Rest dieses Bildes liegt, dann war v der flachere, also a/b < c/d.
Eine weitere Möglichkeit wäre "auf einander zu" abzuschätzen. Also einen wert nach oben und den anderen nach unten entweder auf die gleiche Zahl oder auf zwei verschiedene die man einfach vergleichen kann. Dazu muss man natürlich zu erst raten welche größer ist. Implizit machst du das ja auch bei deinem größer/kleiner 1 Trick also ist das einfach nur eine Verallgemeinerung, die relativ nutzlos is, da man eben mit dem simultanen multiplizieren der beiden Seiten das Problem meist in die nähe von 1 bringen kann und sonst ganz einfach eine der andere Methoden verwenden kann.
Coole Methoden! Horizontales Kürzen kannte ich nicht.
Hey, I hope you can understand. My class is doing a video of singing your quadratic equation song and I was hoping if I could use your instrumental back for the video I'm making. If you want proof I have the recordings of my class singing all the parts. Please respond as soon as you can as my teacher said it has to be done by Tuesday.
Hey, how did your video project go? I find it great that you asked, but I am sure he would have been fine with it.
Intuitiv habe ich einfach mit der Ungleichung gerechnet und gut war's. Also die Quermultiplikation. Hilft zumindest, solange die Zahlen überschaubar sind.
Hab noch was:
Wenn die Differenz von Nenner und Zähler bei beiden Brüchen gleich ist, hat der größere Bruch immer einen größeren Nenner und einen größeren Zähler.
Ob den Kommentar noch jemand liest, ist vielleicht etwas zu spät
Zur Sache mit dem gleichen Zähler: Viele kleinere und gleich viele Kuchenstücke (A) im Vergleich zu vielen größeren und gleich viele Kuchenstücke (B) ergeben weniger als B.
Didaktisch würde ich "horizontales Kürzen" gar nicht präsentieren. Es wird einen großen Teil der Schüler verwirren, bei der Bruchrechnung (+, -, *, :). Am besten wie Ungleichungen auflösen (Kommandostrich).
zum oberen Beispiel:
5/14 ? 10/21 | :5
1/14 ? 2/21 | *7
1/2 < 2/3
DIe Methode mit fehlenden Anteil, die hier bereits angesprochen wurde, habe ich schon bei einigen meiner Schüler gesehen. Scheint gut anzukommen.
1/2: zu einem Ganzen fehlt 1/2
2/3: zu einem Ganzen fehlt 1/3
da 1/3 < 1/2, fehlt bei 2/3 zu einem Ganzen weniger
daher 2/3 > 1/2
@@recoder706 Vielleicht keine gute Methode, um sie als die ,,Standard"- Methode im Schulunterricht zu präsentieren. Aber es geht ja auch eher darum, den Spaß daran zu vermitteln indem man mal ungewöhnliche Rangehensweisen und Spielereien aufzeigt.
Würde mir mal ein Video zu Kettenbrüchen wünschen. Manchmal echt verwirrend wie man da Äquivalenz-Umformungen machen kann.
Wäre bestimmt hilfreich. Aber bis dahin: Den unteren Bruch als Kehrwert nehmen und dann mit dem oberen mal nehmen. Dadurch verwandelst du deinen Doppelbruch wieder in einen simpleren Bruch.
Also zum Beispiel: 2/5 *geteilt durch* 7/10 = 2/5 *mal* 10/7 = 20/35 = 4/7
Nicht schlecht
Hallö!
Ich persönlich finde es bei den letzten beiden Beispielen einfacher (und evtl auch didaktisch sinnvoller) einen oder beide Brüche so zu kürzen, dass sie den gleichen Zähler oder Nenner haben und dann nur noch das jeweils andere vergleichen zu müssen.
Also bei 5/14 vs 10/21 letzteren mit 2 kürzen, hat man 5/14 und 5/11,5 also muss der rechte größer sein. Das spart einen Zwischenschritt und die Werte der Brüche verändern sich nicht, weshalb das für SuS verständlicher ist (denke ich).
Aber 5/10,5 ist im klassischen sinne kein Bruch mehr, ich würde in diesem Fall eher darüber gehen 14 auf 15 und 21 auf 20 zu runden, damit man beide Brüche kürzen kann und näherungsweise vergleichen kann, ähnlich wie bei Quadratwurzeln von Zahlen die nahe an Quadratzahlen liegen.
@@lennartbkmn20:
Ob das ein idealer Bruch ist oder nicht, spielt ja für den Vergleich keine Rolle. 11,5 < 14 ist eine legitime Darstellung. Daran gibt's keinen Zweifel. Und das ist die einzige Umgleichung, die man noch braucht, wenn der Zähler gleich ist. Nur auf das relationszeichen muss man je nach "Trick" eben achten.
Kannst du mal ein Video zur Lorenzgleichung machen?
hi :), ich habe mal über eine vielleicht komische Frage nachgedacht und dachte, dass du vielleicht dazu etwas sagen könntest: "ist die Wurzel aus PI auch irrational?"
würde mich über eine Antwort freuen :)
Ja, √π ist irrational.
Wäre √π = a/b mit ganzen Zahlen a und b, dann wäre π = a^2/b^2, was nicht sein kann, da π irrational ist.
Auf diese Weise sieht man, dass die Wurzel aus jeder irrationalen Zahl wieder irrational sein muss.
Generell beim Vergleich zweier Zahlen (nicht nur Brüchen), wenn man intutitiv sieht dass eine größer als X ist und die andere kleiner als (dasselbe X)... Hattest du zwar ein paar Mal in deinen Methoden erwähnt (meistens mit 1), aber kann man durchaus auch als eigene Methode sehen um z.B. 3017/9000 (mehr als 1/3) mit (10000/30124) (weniger als 1/3) zu vergleichen. Die Zähler mit 3 Erweitern geht aber auch, ist aber mehr zu Rechnen.
Und die offensichtliche Methode in höheren Klassen, die Brüche in den Taschenrechner einzugeben und die Dezimalschreibweise zu vergleichen (wenn die Brüche nicht so nahe zusammen liegen dass der Unterschied weniger ist als die Rechengenauigkeit des Taschenrechners und deshalb 0 herauskommt).
Ich habe mal eine andere Frage: Ist pi in pi drin?
Du meinst, ob ab irgend einer Nachkommastelle die Zahlenfolge 314159... beginnt? Das kann tatsächlich nicht sein. Denn dann würden sich die Nachkommastellen irgendwann periodisch wiederholen. Und wenn wir periodische Nachkommastellen haben, wäre pi eine rationale Zahl.
Aber coole Frage.
Voll witzig wie er die paar haare die er auf seinem Kopf hat immer versucht hochzustylen.😂
386/407 > 12/8845, ja sieht man, aber ich denke man kann auch den Ansatz
386 > 12 und 407
ich verstehe zwar nicht wieso du dieses Thumbnail gewählt hast, weil die beiden brüche total einfach sind zu Vergleichen,
habe aber trotzdem auf video geklickt.
hier die Erklärung falls es jemand anders sieht
(10/99 sind ungefährt 1/10 aber halt ein kleines bisschen mehr, weil die 1 nur durch 9,9 geteilt wird
15/151 sind ca. 15/150 also auch wieder 1/10 aber halt ein bisschen weniger weil die 1 halt durch eine etwas größere Zahl geteilt wird.
desshalb ist es für mich eindeutig dass 10/99>15/151 ist)
Ich komme grad vom Binomische Formel Song und packs nicht wie alt du geworden bist
Also bei dem Thumbnail, 2/11 vs. 3/17 gehe ich mal folgendermaßen vor.
Die 2 passt glatt fünfmal in die 11 und die 3 passt ebenfalls glatt fünfmal in die 17.
Bei der 11 bleibt 1 übrig, das macht 50% der 2 aus.
Bei der 17 bleibt 2 übrig, das macht 66% der 3 aus.
Demzufolge schlussfolgere ich, das 2/11 größer als 3/17 sind.
Man kann schauen, welcher Bruch dichter an 1/2 ist. Z.B. 5/14 und 10/21. 2/14>0,5/21 also ist 10/21> 5/14
… zum *Brüchevergleichen (ein einziges Wort).
zum = zu dem
„dem“ bezieht sich auf das Verb „vergleichen“.
„Vergleichen“ ist hier also ein substantiviertes Verb und muss großgeschrieben werden.
Und es ist eine bestimmte Art des Vergleichens, nämlich das Brüche-Vergleichen (auch „Brüchevergleichen“ geschrieben).
Oder du änderst den Titel einfach komplett, das geht natürlich auch :)
😂👍
häufig kann man es auch abschätzen, also 10/99 ist größer 1/10, und 15/151 ist kleiner
Ja, wer sich Brüche gut vorstellen kann. Diese Vorstellungskraft fehlt aber oft bei Leute, denen Bruchrechnen generell schwerfällt.
kannst du auch beweisen dass das horizontale kürzen IMMER funktioniert? gilt es auch für negative zahlen?
Solange du nicht negative Faktoren rauskürzt, also beim Kürzen die Vorzeichen rumdrehst. Dann geht es schief.
5/14 = ~ 1/3, 10/21 = ~1/2.
Inhaltlich wie immer sehr gut und hilfreich. Die Werbung mittendrin das reine Desaster. Schade !
Kann jemand mal bitte "Grobe Vorstellung" mathematisch definererN? +-100% oder was?!
😀
Erster😉
Zweiter