Wie man Teilbarkeitsregeln herleiten, verstehen und beweisen kann
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- Опубликовано: 28 фев 2020
- Teilbarkeitsregeln für alle Zahlen bis 13 inclusive Beweis. Und hoffentlich auch dem nötigen Verständnis, was hier passiert und, wie das geht, sodass man davon ausgehend selbstständig Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen selbst finden kann.
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![[TOÁN LỚP 3] BẢNG NHÂN 7](http://i.ytimg.com/vi/d7_DNoli5D4/mqdefault.jpg)
Bei 4:19 ist ein kleiner Fehler, bei der 100er Dezimalzahl müsste eine 8 und keine 3 als Faktor :)
ACCURATE
"aber keine Sorge, es wird noch mathematischer..." Danke! Endlich einer der meine Sorgen versteht
Zwei Anmerkungen/Ergänzungen:
1) Die Teilbarkeitsregel für die 11 ist, im Gegensatz zu den meisten anderen Teilbarkeitsregeln, unabhängig von der Basis, da die 11 per Definition immer der Nachfolger der Zahl ist, auf der das Stellenwertsystem beruht. Sie gilt also beispielsweise auch im Hexadezimalsystem.
2) In jedem Stellenwert System mit Basis x gilt:
Sei a1*a2*...*an eine Zerlegung von x in Faktoren. Dann gilt für jede Zahl z in dieser Basis z ist durch ai^y teilbar, genau dann, wenn die letzten y Stellen von z durch ai teilbar sind. Beispiel in Basis 10: 10=2*5, also ist jede Zahl durch 625=5^4 teilbar, genau dann, wenn ihre letzten 4 Ziffern eine durch 625 teilbare Zahl ergeben.
Wie immer schönes Video.
Mann war das ein geiles Video. Hatte selten so viel Spaß.
bin zwar fertig mit der schule und hab dementsprechend kein mathe lk mehr und mache auch nichts mit mathe aber trotzdem finde ich deine videos so toll dass ich sie weiterhin anschaue
Danke 🙏🏻
Das ist aber ein langer Mathe-Song
Ich finde den Refrain auch echt langweilig!
Müssen immer nur Songs sein?
Wahnsinnig gut erklärt. Bitte mehr davon!
Genau diese Frage "Warum ist eigentlich die Quersumme jeder durch 3 teilbaren Zahl durch 3 teilbar?" habe ich mir vorgestern im Bus auf dem Weg zur Schule gestellt 😆
Endlich mal wieder was vom Fuchs!
Wieder was gelernt, danke!
richtig genial, bei dir lernt man immer was.
Diese alternierende 3er Quersumme ist übrigens auch eine Regel für alle Teiler von 1001, also eben den m und zugehörigen k von a-b aus der Definition der Kongruenz aus dem letzten Video. Also gleich noch eine Teilbarkeitsregel für 1, 77, 91, 143 und 1001 gefunden! :)
Ich brauch dich als Mathe Lehrer. Du hast den Kopf nach vorne. Danke.
Super Video
Gut strukturiert und erklaert
Sehr interessant und du bist wie immer megasüß ❤️
Vielen Dank für deine verständliche Erklärung :)
Der Moment, wenn man ein Video über Teilbarkeitsregeln teilt 🫠
Ne, ist leider noch kein Punkt um die Tausender Aufrufe zu trennen.😂😂 Hoffe aber sehr das der noch kommt.
Immerhin bei den Abonnenten ist der Punkt da 😉🥳
Ist soweit :D
Habe letztes Semester EZT (Elementare Zahlentheorie) gehört und da das erste mal von Restgruppen mit Modulo gehört. Ich bin echt erstaunt, dass das Video so gut ankommt, da ich gut mitkam mit meinem Wissen über Modulo und hab alles toll verstanden! Respekt an die Community, dass ihr das auf Anhieb mit der groben Erklärung verstanden habt! :D Mir hätte es damals nicht gereicht, wenn ich davon in diesem Video zum ersten mal höre xD P.S. Natürlich EZT bestanden (4 gewinnt) x)
Dieser Moment wenn man Mathe lernen muss und dann das kommt:Ich bin ein Cop ohne Ausweg AuDiBlE
Bei mir war es genauso
Genau
Kreativ!
Jetzt versteh ich was mein Mathelehrer immer meinte mit : „dir Mathematiker sind sehr faul“ 😂
*COOLES VIDEO!!!!*
Aus der selben Herleitung wie bei der "Teilbarkeit durch 7" lässt sich eine viel einfachere Regel für die 11 aufstellen: eine Zahl (10a+b) ist durch 11 teilbar wenn a-b durch 11 teilbar ist! Beispiel: 385 -> 38-5=33.
385 ist auch durch 7 teilbar: 38-2x5=28.
Als ich in der vierten Klasse war, hab ich mir, im Unterricht, als mir langweilig war, die Teilbarkeitsregeln von 1 bis 48 hergeleitet, durch rumprobiern. Bei ein paar Zahlen bin ich aber hängengeblieben. Bei 37 oder 41 zum Beispiel. Manchmal waren die auch total kompliziert, hatte ja nur Grundschulwissen und wusste nichts von modularer Arithmetik. Interessant jetz zu sehen, wies richtig funktioniert.
Ich habe Kästchen ausgemalt und du rechnest hier Algebra… ok 😂
same, zwar nicht in der Grundschule, erst später, aber ich habe im Matheunterricht immer Teilbarkeitsregeln bis 100 erfunden (außer für 81) anstatt Trigonometrie oder so zu machen. Wie haben deine funktioniert, also welches Prinzip hast du verwendet?
Danke
Sehr interessant
Ehrenmann.
Genau.
Stimme ich allem absolut zu.
A D ist Mathematik, da muss man zum Glück nicht zustimmen😂
Super Video! Die Teilbarkeit durch 7 mit konkreten Beispielen wäre echt cool.
Wie er schon gesagt hat, ist das bei der 7 etwas komplizierter.
864.192: da nimmst 864 - 192= 672. Das ist (leider nicht ohne hilfsmittel ;) sofort erkennbar) durch 7 teilbar.
Eine Teilbarkeitsprüfung für die 456.255.695.266 (ich habe 12 Ziffern blind am Taschenrechner eingetippt):
1.: Die Zahl in 3er-Segmente/1.000er-Potenzen zerlegen: 456 255 695 266
2.: Alternierend/Abwechselnd von rechts beginnend erst +, dann - ergänzen: -456+255-695+266
3.: Ausrechnen: -630
4.: Prüfen, ob das Ergebnis durch 7 teilbar ist: -630=-90*7, somit ist auch 456.255.695.266 ganzzahlig durch 7 teilbar.
Das gleiche Prinzip gilt auch für die 11 und die 13. Hier würde ich folgendermaßen rechnen:
11*50=550, Rest zur 630 sind 80, welche nicht durch 11 teilbar ist. 13*50=650, die Differenz sind 20, auch nicht durch 13 teilbar.
@@ok-wu7gd Doch! 672 = 700-28, da die 7 sowohl 700 als auch 28 teilt, teilt sie auch 672.
@@chrisso1612 Ich versteh deine Antwort nicht. Meinst Du, dass 672 durch 7 teilbar ist? Oder meinst Du, dass es leicht zu sehen ist? Letzteres hast Du sehr schön gezeigt. Ein Bienchen für dich
Und ich kann durch 0 teilen
aber nur Nullteiler bei injektiver Multiplikation!
Heute bekommt man von der Bank die Bankbewegungen elektronisch. Früher musste man für die Buchführung die Bankauszüge mühsam per Hand abtippen. Wenn der Bestand am Monatsende oder beim Seitenübertrag nicht stimmte, konnte man an der Teilbarkeit der Differenz durch 3 erkennen, dass man Ziffern vertauscht hat. So ist z. B. 76 - 67 = 9 etc.
Wenn man seitenverkehrt (Vorzeichenfehler) gebucht hat, war die Differenz durch 2 teilbar. 151 Guthaben statt Schuld: 2 * 151 = 302.
Danke für die Erklärung mit Modulo. In der Praxis fällt einem der 3er-Trick mit den Zahlendrehern recht schnell auf, man weiß aber nicht woher das kommt.
Die schlimmsten Eingabefehler sind übersehene Buchungen oder (wie ich ihn nenne) der Schnapszahlenfehler. Wenn man 699 statt 669 eingibt, sucht man sich "dumm und dusselig".
genial
"minus b plus minus die wurzel aus b quadrat minus vier ac geteilt durch zwei a"
@Regian *ins, wenn zitieren, dann bitte richtig!
Danke Euch beiden für die Ohrwürmer!!!
"negative b plus or minus the square root of b square minus 4ac over 2a"
Gabrielerklärt ICH HAB DIE FORMEL FÜRS VOLUMEN EINER KUGEL DABEI! VIER DRITTEL PI MAL r HOCH 2
@Regian woher kommst du
Bin ich der Einzige, der hinterher weniger weiß als vorher?
Das mit dem Modulo ist mir zu kompliziert ich beweise das lieber durch vollständige Induktion😂🙋♂️
Sehr hilfreich, danke !
Hier mal eine recht einfache Teilbarkeitsregel für die 7, die ich selbst bereits als Kind in der Schule gefunden hatte (was damals in den 1960ern niemanden interessiert hat):
Eine Zahl N = a x 10 + b ist durch 7 teilbar, wenn a - 2b ebenfalls durch 7 teilbar ist.
In der Kopfrechnung sieht das dann so aus, dass man einfach die Einer verdoppelt und vom Rest der Zahl abzieht - das kann man dann mit dem Ergebnis beliebig fortsetzen. Ist das Ergebnis jeweils durch 7 teilbar, dann ist auch die Ausgangszahl durch 7 teilbar. Das gilt ohne Einschränkung für alle Zahlengrößen von 1 bis x-stellig!
Beispiel 1: 75865 | 7586 - 10 = 7576 | 757 - 12 = 745 | 74 - 10 = 64 ... nicht durch 7 teilbar, also ist 75865 auch nicht durch 7 teilbar.
Beispiel 2: 49819 | 4981 - 18 = 4963 | 496 - 6 = 490 | 49 - 0 = 49 ... ist durch 7 teilbar, also ist 49819 auch durch 7 teilbar.
Zumindest in überschaubaren Zahlengrößen (3-5 stellig) kann man diese Teilbarkeitsregel recht einfach im Kopf anwenden.
Mein Leben lang (bin jetzt Rentner) habe ich erfolglos nach einer Erklärung gesucht WARUM obige Regel gilt - vielleicht habe Sie eine Idee.
Sie sind genial!
@DorFuchs
Warum ist es so, dass man die Ziffer mit dem Rest multiplizieren und dann ergibt die Summe aus den so gebildeten Zahlen ein Vielfaches der Zahl deren Vielfachheit man prüfen will?
Also bei 7 hat man ja
1 ≡ -6 (mod 7)
10 ≡ 3 (mod 7)
100 ≡ 9 (mod 7)
1000 ≡ -1 (mod 7)
1414 gibt ja dann (-6)*4 + 3*1 + 9*4 + (-1)*1 = 14 = 2*7
Oder bei 17
1 ≡ -16 (mod 17)
10 ≡ -7 (mod 17)
100 ≡ -2 (mod 17)
1000 ≡ -3 (mod 17)
1717 gibt ja dann (-16)*7 + (-7)*1 + (-2)*7 + (-3)*1 = -136 = (-8)*17
Warum ist dem so? Also der Groschen ist echt noch nicht gefallen^^
Das mit der Dreierquersumme gilt dann auch für 37, oder?
Hi , bin selbst Mathefreak aber auch Musiker 😀 was machst Du für Mucke?
Kannst du für die Teilbarkeitsregeln nicht einen Mathe-Song machen?
Bei 4:21 steht ne 3 statt net 8 vor dem •100
Hallo DorFuchs in dem Video bei 4:17 sollte bei den Hundertern nicht die 3, sondern die 8 stehen. Kuckst du und korrigiere, pls. Have a nice day!
Ich würde es feiern, wenn ein Prof seine Vorlesung mit den selben Worten beenden würde wie Du Dein Video :D "Jo, das wars mit der Vorlesung, hat ja lange genug gedauert und genug Mathematik drin gesteckt..."
Guten Video jedoch fehlt mir, dass die Restklassen einen Ring bilden und gerade deshalb die 10 durch eine 1 ersetzen darf. Ich denke, dass ist der essentielle Teil des Beweises.
Kannst Du das bitte nochmal ein bisschen ausführen?
Da bin ich im Video nämlich tatsächlich ein bisschen gestolpert...
geiler typ
Wie ich die Teilbarkeitsregel mit 3 und 9 merke:
Beispiel zahl mit max 4 ziffern(a4, a3, a2 und a1): a4*1000+a3*100+a2*10+a1*1 = (a4*999+a3*99+a2*9) +a4+a3+a2+a1
Der Teil in der Klammer ist immer durch 9 und 3 teilbar am Ende stehen nur noch die Tausender, hunderte, zehner und einser Stelle als Zahl dar, also eben die Quersumme.
Er ist zurück...
eBic
hehe.
ja... da braucht man mal ne kleine meditationsphase, aber klappt.
bei der 27 war ich aber dann langsam mal raus, da muss traubenzucker nachgeliefert werden :D
Nun wenn man jetzt weiß, ob das teilbar ist, gibt es auch so tolle tricks, sodass man direkt auf den Quotient kommt?
Rechnen :D
Wenn man das jetzt weiter führt bekommt man natürlich herrlich unnütze Regeln, weil man dann ja teilweise im Kopf noch bestimmen müsste, ob eine 9 Stellige Zahl jetzt durch irgendeine andere teilbar isz.
Mein Vater hat mir als ich in der Grundschule auch erklärt, dass 27*37=999 ist. Und dann bin ich zu meinem Mathelehrer gegangen und hab ihn gefragt was bei 27*37 rauskommt und mich schlau gefühlt als er es nicht direkt wusste😅
X - Quersumme(X) = vielfaches von 9 ...warum?
Falls du es im Video verstanden hast, findest du dort die Antwort auf deine Frage:
X = QS(X) (mod 9)
also
X-QS(X) = 0 (mod 9)
Zahlen, die beim Teilen mit 9 den Rest 0 lassen, sind genau die Vielfachen von 9.
Die Regel für die 9 lässt sich auch anders ausdrücken: Wenn man zu einer beliebigen Zahl die Neun hinzufügt, fügt man immer auch ihrer Quersumme 9 hinzu oder lässt sie gleich. Denn:
Ist die Einerstelle 0, so fügt man schlicht 9 hinzu, soweit, so klar.
Ist die Einerstelle alles außer 0, fügt man der Zehnerstelle eine 1 hinzu, die durch den Übertrag aus der Einerstelle kommt, und der Einerstelle zieht man 1 ab.
Da jede Zahl n die durch a teilbar ist sich ausdrücken lässt als x-mal a zu 0 addieren, kann man für jede durch neun teilbare Zahl einfach sagen, man hat beliebig oft 9 zur 0 addiert, deshalb muss die Quersumme entweder 0 oder ein vielfaches von 9 sein.
Aber ich frag mich bei sowas: Die Fragestellung ist doch immer ein wenig unkomplett, denn im Prinzip kann ja ALLES durch ALLES geteilt werden, mit Ausnahme der 0.
Das stimmt, bei den Teilbarkeitsregeln geht's halt ausschließlich um ganze Zahlen, also ob bei Division zweier ganzer Zahlen eine ganze Zahl als Quotient rauskommt, für Leute, die weniger mit Fachbegriffen umgehen können: Teilbarkeit in der Mathematik heißt, dass ich eine Zahl (ohne Komma) durch eine andere (auch ohne Komma) teile (bisher geht das noch mit allen, jetzt aber der Knackpunkt:), sodass als Ergebnis schon wieder eine Zahl ohne Komma rauskommt.
Ein Beispiel zu dieser alternierenden 3er-Quersumme hätte ich noch cool gefunden... Ansonsten spannendes Video, weil mal vor Ewigkeiten in der Mittelstufe gehört aber seitdem nie wieder drübergestolpert.
Eine Teilbarkeitsprüfung für die 456.255.695.266 (ich habe 12 Ziffern blind am Taschenrechner eingetippt):
1.: Die Zahl in 3er-Segmente/1.000er-Potenzen zerlegen: 456 255 695 266
2.: Alternierend/Abwechselnd von rechts beginnend erst +, dann - ergänzen: -456+255-695+266
3.: Ausrechnen: -630
4.: Prüfen, ob das Ergebnis durch 7 teilbar ist: -630=-90*7, somit ist auch 456.255.695.266 ganzzahlig durch 7 teilbar.
Das gleiche Prinzip gilt auch für die 11 und die 13. Hier würde ich folgendermaßen rechnen:
11*50=550, Rest zur 630 sind 80, welche nicht durch 11 teilbar ist. 13*50=650, die Differenz sind 20, auch nicht durch 13 teilbar.
Felistrix Danke (;
Moin bro
Mal wieder ein ausgezeichnetes Video von Dir. Bei 4:18 steht zwar "3 mal 100" anstatt "8 mal 100", aber okay.
Musste das mal beweisen.
Danke, Sheldon.
Die Teilbarkeit durch 3 (Quersumme durch 3 teilbar?) ist nur bedingt richtig: In unserem 10er-Zahlensystem funktioniert das einwandfrei. Es funktioniert aber nicht im Dualsystem 1 + 1= 10; 1+ 1 + 1 = 11 (im 10er-System: 3). Im Dualsystem 1 + 1 gerechnet (Quersumme) ergibt 10 (= 2 im 10er-System. "10" (im Dualsystem) ist aber nicht durch 11 (= 3) teilbar.
Noch eine Sache (für das 10er-System): Die Ziffern 0, 3, 6, 9 braucht man gar nicht dazu addieren, diese Ziffern ändern nichts an der Durch-Drei-Teilbarkeit. Das unnötige Addieren ist nur eine Fehlerquelle.
1: letzte 1 ziffern
2: letzte 1 ziffern
3: 1er-quersumme
4: letzte 2 ziffern
5: letzte 1 ziffern
6: letzte 24 ziffern
7: alternierende 3er-quersumme
8: letzte 3 ziffern
9: 1er-quersumme
10: letzte 1 ziffern
11: alternierende 1er-quersumme
12: letzte 24 ziffern
13: alternierende 3er-quersumme
14: letzte 24 ziffern
15: 30er-quersumme
16: letzte 4 ziffern
17: alternierende 8er-quersumme
18: letzte 24 ziffern
19: alternierende 9er-quersumme
20: letzte 2 ziffern
21: 6er-quersumme
22: letzte 40 ziffern
23: alternierende 11er-quersumme
24: letzte 24 ziffern
25: letzte 2 ziffern
26: letzte 24 ziffern
27: 3er-quersumme
28: letzte 24 ziffern
29: alternierende 14er-quersumme
30: letzte 86 ziffern
31: 15er-quersumme
32: letzte 5 ziffern
33: 2er-quersumme
34: letzte 47 ziffern
35: alternierende 26er-quersumme
36: letzte 24 ziffern
37: 3er-quersumme
38: letzte 39 ziffern
39: 6er-quersumme
40: letzte 3 ziffern
41: 5er-quersumme
42: letzte 24 ziffern
43: 21er-quersumme
44: letzte 40 ziffern
45: alternierende 42er-quersumme
46: letzte 89 ziffern
47: alternierende 28er-quersumme
48: letzte 24 ziffern
49: alternierende 21er-quersumme
50: letzte 2 ziffern
51: 16er-quersumme
52: letzte 24 ziffern
53: 13er-quersumme
54: letzte 38 ziffern
55: alternierende 44er-quersumme
56: letzte 24 ziffern
57: 18er-quersumme
58: letzte 122 ziffern
59: 60er-quersumme
60: letzte 86 ziffern
61: letzte 37 ziffern
62: letzte 24 ziffern
63: 6er-quersumme
64: letzte 6 ziffern
65: alternierende 25er-quersumme
66: letzte 78 ziffern
67: 24er-quersumme
68: letzte 47 ziffern
69: 22er-quersumme
70: letzte 48 ziffern
71: 33er-quersumme
72: letzte 24 ziffern
73: alternierende 4er-quersumme
74: letzte 32 ziffern
75: alternierende 82er-quersumme
76: letzte 39 ziffern
77: alternierende 3er-quersumme
78: letzte 24 ziffern
79: 13er-quersumme
80: letzte 4 ziffern
81: 9er-quersumme
82: letzte 77 ziffern
83: alternierende 29er-quersumme
84: letzte 24 ziffern
85: 30er-quersumme
86: letzte 35 ziffern
87: 92er-quersumme
88: letzte 40 ziffern
89: alternierende 22er-quersumme
90: letzte 91 ziffern
91: alternierende 3er-quersumme
92: letzte 89 ziffern
93: 15er-quersumme
94: letzte 39 ziffern
95: alternierende 63er-quersumme
96: letzte 24 ziffern
97: letzte 110 ziffern
98: letzte 85 ziffern
99: 2er-quersumme
Wohooo, Tausendertrennzeichen in den Aufrufen!🥳😂
Hast du das mit flammable math mitbekommen
ich schreube demnäachst meine mathe abschluss prüfung und ich wollte dich fragen ob du mir das erklären kannst
wie alt bist du!
*?
26
Bei 4:17 hast du einen Fehler gemacht
Ups, ja stimmt... aber das Prinzip sollte hoffentlich trotzdem verständlich sein. ;)
@@DorFuchs definitiv :)
Stoned ist das witzig
Also mit Linearer Algebra II ist das sehr einfach zu verstehen, aber ob das ohne diese Veranstaltung überhaupt nachvollziehbar ist, zb warum die kongruenzrelation einen linearen Operator definiert, wie du ihn verwendest...
perfekt machbar wenn man farbenblind ist...👍😂
wie bin ich hier her gekommen?
mach mal neue songs bro
Challenge: Finde eine Teilbarkeitsregel für 3.141.592.653
in der grundschule wollte mein lehrer die regel für 7 nicht erklären weil er meinte das verwirrt uns......er hatte recht😂
uhm 99 ist durch 11 teilbar. 9-9 ist nicht 11.
9-9=0 und 0 ist durch 11 teilbar ;)
studes ahhhh danke :)
@@realoddsx7082 Gerne! Kannst ja mal auf meinem Kanal vorbeischauen, ich mache auch Mathe-Videos. Vielleicht ist was für dich dabei :)
ich war noch nie erster
That moment wenn halt kein Tausenderpunkt bei den Aufrufen steht😂😂
Jetzt schon :D
Meine Lieblingszahl ist auf jedenfall nachdem Video die 4050 lmao
Nicht in allen Sprachen werden Tausender neu benannt. Im Japanischen zum Beispiel gibt es neue Begriffe für 10.000 und 100.000.000.
Ich wollte erst fragen ob du eine Zahl findest, die man mit einer 4stellig Alternierenden Summe findest. Habe aber dann selber einen Lösungsweg gefunden.
Jeder Teiler von 9999 lässt überprüfen.
Die Teiler von 10001 dann wieder alternierend.
Für 2 Stellig gilt das selbe mit 99.
Alternierend geht in dem Fall nur 101 (Primzahl)
PS
Die Regeln für 7, 11, etc machen zwar Spaß, in den meisten Fällen ist Ausprobieren wohl aber dann doch schneller.
Ja, im Chinesischen trennt man alle vier ab und so sind auch die Namen. Z.B.: 39.5093.8520.6174
But what do you mean?
Alle Teilbarkeitsregeln vereinfacht für alle N: Eine Zahl (Z) ist durch N teilbar wenn der Rest der Teilung null ergibt.
Und was machen rot-grün blinde Menschen :-D